UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA CENTRO LOCAL METROPOLITANO LICENCIATURA EN MATEMÁTICA MENCIÓN PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA CENTRO LOCAL METROPOLITANO LICENCIATURA EN MATEMÁTICA MENCIÓN PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA U NA ESTUDIO DE MÉTODOS NO PARAMÉTRICOS Iforme de pasatías presetado como requsto para optar al título de Lcecado e Matemátca Mecó Probabldad y Estadístca Autor: Frak Rodríguez Tutor: MSc. Amérca Vera Caracas, Marzo de 008

2 LISTA DE ILUSTRACIONES GRÁFICOS Pag. Fgura I... Dstrbucó co tres veles de sgfcaca dsttos e dode se muestra la regó de aceptacó y rechazo 5 Fgura I.3.. Curvas de fucó de poteca de ua prueba de dos colas co vel de sgfcaca α = 0.05 co dferetes tamaños de muestras 7 Fgura I.5.. El área sombreada muestra la regó de rechazo de ua prueba de dos colas 3 Fgura I.5.. El área sombreada muestra la regó de rechazo de ua prueba de cola derecha o superor. 3 Fgura I.5.3. El área sombreada muestra la regó de rechazo de ua prueba de cola zquerda o feror 3 Fgura II.6.. Regó derechazo para la prueba de corrdas (rachas) 34 Fgura II.6.. Dstrbucó de elemetos S e y celdas 35 Gráfca III.7.. Dstrbucó muestral de R 74 Gráfca III.7.. Dstrbucó de probabldad de R 74 Gráfca III.7.3. Muestra la brllatez e fucó del tempo 77 TABLAS Tabla I... Resume de probabldades segú el tpo de error 4 Tabla I Temperatura e cetígrados y Fahrehet Tabla I Resume de los cuatro veles de represetacó Tabla II... Hpótess alteratva y regó de rechazo para la hpótess ula μ = μ0

3 Tabla II... Hpótess alteratva y regó de rechazo para la hpótess ula μ X = μ Y 4 Tabla II.4.. Hpótess alteratva y regó de rechazo para la hpótess ula μ = μ 9 A B Tabla III... Observacoes y dferecas de medcoes de la ressteca a la compresó de probetas preparadas para el esayo 44 Tabla III... Observacoes y dferecas de las catdades de moóxdo de carboo (CO) emtdas cotedas e al are 47 Tabla III..3. Observacoes y dferecas de las calfcacoes del exame co medaa 66 y 75 de los casos a) y b) respectvamete 49 Tabla III... Número de rechazos ocurrdos ates y después de la aplcacó del uevo saborzate e las compotas 5 Tabla III... Número de rechazos ocurrdos ates y después de la aplcacó del saborzate dcado el sgo de su dfereca 5 Tabla III..3. Número de pezas defectuosas producdas por máqua 53 Tabla III..4. Número de tuercas defectuosas por máqua y sgo de la dfereca 54 Tabla III.3.. Medcó de ressteca 56 Tabla III.4.. Pesos e lbras ates y después de aplcar la deta a 6 persoas 57 Tabla III.4.. Pesos e lbras ates y después de aplcarla deta a 6 persoas co los ragos asgados 59 Tabla III.4.3. Datos pareados y sus dferecas para el ejemplo III.4. 6 Tabla III.5.. Ressteca de cable segú su aleacó 6 Tabla III.5.. Asgacó de rago a las resstecas 6

4 v Tabla III.5.3. Ragos asocados de la tabla III Tabla III.5.4. Datos del papel tamaño carta co sus ragos y sus sumas de rago 65 Tabla III.5.5. Asgacoes de ragos a las calfcacoes 66 Tabla III.6.. Calfcacoes de exame fal obteda por tres grupos co tres métodos dsttos 67 Tabla III.6.. Número de udades producdas por las máquas A, B, C, D, E 68 Tabla III.6.3. Asgacó de rago a los valores y su sumatora 69 Tabla III.6.4. Datos del ejemplo III Tabla III.7. Secueca-corrdas 73 Tabla III.7.. Tabla (R,f) cosecueca de la tabla III Tabla III.8.. Estatura de padres y sus hjos mayores 78 Tabla III.8.. Los valores de la tabla III.8. susttudos por sus ragos 79 Tabla III.8.3. Dfereca e ragos y su cuadrado 79 Tabla III.8.4. Compara vel académco co el vel profesoal 0 años después de graduados y la dfereca de ragos 80 Tabla III.8.5. Compara vel académco co el vel profesoal 0 años después de graduados y la dfereca de ragos 8 Tabla III.8.6. Horas de estudos por estudate y las calfcacoes que obtuvero e el exame de matemátcas 8 Tabla III.8.7. Idcacó de ragos por varables y sus dferecas 83 Tabla III.9.. Frecuecas acumulatvas observadas y relatvas 86 Tabla III.9.. Frecuecas acumulatvas observadas relatvas, frecuecas acumulatvas relatvas esperadas y desvacoes absolutas 87

5 v Tabla IV..Coversó de valores paramétrcos a ragos o paramétrcos 93 Tabla #. Dstrbucó de Probabldades Bomales 98 Tabla #. Dstrbucó ormal estádar 03 Tabla # 3. Prueba de ragos co sgos de Wlcoxo. Valores crítcos de T 04 Tabla # 4. Prueba U de Ma-Whtey. Valores crítcos de U 05 Tabla # 5. Valores de χ α,υ 07 Tabla # 6. Rachas o corrdas. Valores crítcos de R 08 Tabla # 7. Valores crítcos del coefcete de correlacó de ragos de Spearma0 Tabla # 8. Valores crítcos de D para la prueba de bodad de ajuste de Kolmogorov-Smrov

6 v RESUMEN El objeto del sguete trabajo de grado es hacer ua descrpcó, mostrado varas de las aplcacoes, de alguos de los métodos o paramétrcos de más fácl uso por su secllez para el aálss y el cálculo, tales como: la prueba del sgo, la prueba U de Ma-Whtey, la prueba H de Kruskal- Walls, la prueba de corrdas o rachas, la prueba del coefcete de correlacó de ragos de Spearma y la prueba de Kolmogorov-Smrov. Se hace ua revsó de alguas de las escalas de medcó mostrado sus propedades y aplcacoes, recoplado luego sus ecuacoes y después de mostrar como se aplca estas téccas, se hace ua dscusó dode se fja poscó acerca de las vetajas y desvetajas de estos métodos y su comparacó, e los casos posbles, co los métodos paramétrcos (que so los métodos tradcoalmete usados). E gú mometo se pretedó hacer u estudo exhaustvo de estos métodos e su fudameto teórco e lo referete a sus aplcacoes. Se recopló u cojuto de tablas, que se ecuetra e los apédces, y so solo las ecesaras para maejar los ejemplos aquí tratados. S embargo, exste u grupo más amplo de estas tablas e alguos de los lbros que se dca e la bblografía. E el campo de aplcacó de estas téccas, e alguos casos, se llega a usar la escala omal o clasfcatora, muy coveete para las aplcacoes de Pscólogos, Socólogos y aquellos que estuda las preferecas de los cosumdores, cosa que dfíclmete pueda hacerse co los métodos paramétrcos. Palabras claves: prueba, Ma-Whtey, Kruskal- Walls, Spearma, Kolmogorov- Smrov, corrdas o rachas, rago, o paramétrco.

7 v ÍNDICE Pág. Itroduccó CAPÍTULO I Prueba estadístca y prueba de hpótess I. Elemetos de ua prueba estadístca I. Nvel de sgfcaca de ua prueba 4 I.. Seleccó 4 I.. Iterpretacó 4 I.3 Fucó de poteca de ua prueba de hpótess 6 I.4 Escalas de medcó 8 I.4. Itroduccó 8 I.4. Escala omal o clasfcatora 8 I.4.3 Escala ordal o de rago 9 I.4.4 Escala de tervalo 0 I.4.5 Escala de proporcó I.5 Teoría de decsó CAPÍTULO II 4 Las pruebas y su teoría 4 II. Prueba del sgo. Breve hstora 4 II.. Prueba del sgo de ua sola muestra 4 II.. Prueba del sgo para muestras e pares. Expermetos de pares comparados 7 II... Caso de dos muestras 7 II... Modelo geeral de desplazameto 8

8 v II...3 Prueba de los sgos para u expermeto de pares comparados 8 II. Prueba de Wlcoxo 0 II.. Prueba de ragos para ua sola muestra. Itervalos co sgos 0 II.. Prueba de ragos co sgos de Wlcoxo para u expermeto de pares comparados 3 II.3 Prueba de suma de ragos de Wlcoxo. Muestras aleatoras depedetes 6 II.4 Prueba U de Ma-Whtey. Muestras aleatoras depedetes 6 II.5 Prueba H de Kruskal- Walls 3 II.6 Prueba de corrdas (rachas) de ua sola muestra 34 II.7 Coefcete de correlacó de ragos de Spearma 38 II.8 Prueba de Kolmogorov-Smrov 4 CAPÍTULO III 43 Las pruebas y sus aplcacoes 43 III. Aplcacoes de la prueba del sgo de ua sola muestra 43 III. Aplcacoes de la prueba del sgo para muestras de pares comparados 50 III.3 Aplcacoes para la prueba de ragos co sgos de Wlcoxo para u expermeto de ua sola muestra 55 III.4 Aplcacoes para la prueba de ragos co sgos de Wlcoxo para u expermeto de pares comparados 57 III.5 Aplcacoes para la prueba U de Ma-Whtey 6 III.6 Aplcacoes de la prueba H de Kruskal- Walls 67 III.7 Aplcacoes de la prueba de corrdas (rachas) de ua sola muestra 7 III.8 Aplcacoes del coefcete de correlacó de ragos de Spearma 78 III.9 Aplcacoes de la prueba de Kolmogorov-Smrov 84 CAPÍTULO IV 89

9 x Aálss, coclusoes y recomedacoes 89 IV. Pruebas estadístcas paramétrcas y o paramétrcas 89 IV. Vetajas de los métodos o paramétrcos 9 IV.3 Desvetajas de los métodos o paramétrcos 93 IV.4 Recomedacoes 94 APÉNDICE A 95 Teorema cetral del límte 95 APÉNDICE B 98 Tabla #. Dstrbucó de probabldades bomales 98 Tabla #. Dstrbucó ormal estádar 03 Tabla # 3 Valores crítcos de T (Wlcoxo) 04 Tabla # 4 Valores crítcos de U (Ma-Whtey) 05 Tabla # 5 Valores de χ α,ν 07 Tabla # 6. Valores crítcos de R (rachas o corrdas) 08 Tabla # 7. Valores crítcos del coefcete de correlacó de ragos de Spearma 0 Tabla # 8. Valores crítcos de D (Kolmogorov-Smrov) REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA

10 INTRODUCCIÓN Cada vez es más frecuete el uso de métodos o paramétrcos para el aálss estadístco etre profesoales y estudates de dferetes áreas del coocmeto, etre otras, las cecas socales, medca, geería y aquellas que estuda las preferecas del cosumdor. Esto ha motvado la elaboracó del presete trabajo. Las pruebas estadístcas o paramétrcas forma, hoy día, u cojuto amplo co muchos métodos de fereca dspoble, y debdo a su mportaca y lo poco coocdas se preseta u estudo, troductoro, que descrbe los métodos de Pruebas: de sgo, Wlcoxo, U de Ma-Whtey, H de Kruskal-Walls, de corrdas, correlacó de ragos y de Kolmogorov-Smrov mostrado, e forma clara, las aplcacoes e que so de utldad estos métodos. E gú mometo se pretede abordar el tema bajo estudo de maera exhaustva, se hace ua recoplacó bblográfca cosderado el fudameto teórco y aplcacoes de los métodos mecoados arrba, y presetamos ua comparacó co los métodos cláscos, e dode es posble.

11 CAPÍTULO I PRUEBA ESTADÍSTICA Y PRUEBA DE HIPÓTESIS I. ELEMENTOS DE UNA PRUEBA ESTADÍSTICA E ua prueba estadístca todo se ca co ua suposcó que hacemos de u valor hpotétco de la poblacó, cosa que se puede determar, por ejemplo, e forma tutva o producto de la expereca que teemos sobre u parámetro de algú eveto, que e partcular creemos que tee ua determada poblacó. Uo de los objetvos de ua prueba estadístca es el de probar ua hpótess relacoada co los valores de uo o más parámetros poblacoales. Ua vez plateado el problema, formulamos ua hpótess de vestgacó respecto a los parámetros que queremos sustetar y después de seleccoar la hpótess, se recoge los datos empírcos que da formacó drecta acerca de la aceptabldad de ésta, la cual es llamada hpótess ula y se deota medate H 0. Este térmo, hpótess ula, surgó de las prmeras aplcacoes agrícolas y médcas de la estadístca, teedo como f el probar la efectvdad de u uevo fertlzate o ua ueva medca, la hpótess que se probaba era que o tuvo efecto, es decr, o hubo dfereca etre las muestras tratadas y o tratadas. Cuado os refermos a u parámetro cualquera de la poblacó, por ejemplo θ, el símbolo θ 0 se usará e los plateametos de este tpo de problemas para represetar el valor hpotétco del parámetro poblacoal que correspode a la hpótess ula. La decsó acerca del sgfcado de los datos, ua vez procesado, puede coducr a la cofrmacó, revsó o rechazo de la hpótess y, co ella, la teoría que la orgó. La hpótess alteratva, que se deota por H, es la hpótess que se acepta s se rechaza H 0 y que queremos comprobar co base e la formacó de la muestra.

12 3 Por defcó ua hpótess estadístca es ua afrmacó o cojetura de la dstrbucó de ua o más varables aleatoras. Y cuado específca por completo la dstrbucó, recbe el ombre de hpótess smple; s o, se cooce como hpótess compuesta. Las partes esecales de ua prueba estadístca so el estadístco de prueba y ua regó de rechazo asocada. El estadístco de prueba, como u estmador, es ua fucó de las medcoes de la muestra que srve de fudameto para las tomas de decsoes estadístcas. La regó de rechazo, deotada por RR, especfca los valores del estadístco de prueba para los que la hpótess ula se rechaza a favor de la hpótess alteratva. S e ua muestra el valor calculado del estadístco de prueba está e la regó RR, rechazamos la hpótess ula H 0 y aceptamos la hpótess alteratva H. S el valor del estadístco de prueba o cae e la regó de rechazo RR, aceptamos H 0. U problema mportate es ecotrar ua buea regó de rechazo para ua prueba estadístca y e cualquer regó de rechazo fja se puede cometer dos tpos de errores al tomar ua decsó. Podemos decdros a favor de H cuado H 0 es verdadera o lo que es lo msmo rechazar H 0 cuado es verdadera, este error se deoma del tpo I co probabldadα deomada vel de sgfcaca de la prueba, o podemos decdros a favor de H 0 cuado H es verdadera lo que equvale a rechazar H cuado es verdadera; este error se deoma del tpo II co probabldad β. Así estas probabldades proporcoa ua maera práctca de medr la bodad de ua prueba y podríamos resumrlas de la sguete maera segú se muestra e la tabla # I.. Aceptar es asegurar que la hpótess Ho es verdadera 00% y esto o es así. E la mayoría de los textos que trata el tema se usa esta expresó como ua abrevacó que o es más que u abuso del leguaje. Todos aclara, y así també lo hacemos aquí, que lo que se quere decr es que o se tee sufcetes elemetos de juco desde el puto de vsta estadístco como para rechazarla; sedo ésta la forma más adecuada o completa. E esta moografía se hace també de las dos formas y es bueo que se tega presete para o crear cofusó.

13 4 Probabldad de rechazar la hpótess cuado es verdadera: P(RHCEV) P(RH 0 CEV) = α P(RH CEV) = β Tpo de error I II Tabla # I... Resume de probabldades segú el tpo de error. I. NIVEL DE SIGNIFICANCIA DE UNA PRUEBA I.. SELECCIÓN El cuestoar o o el valor calculado del estadístco de ua muestra o es el propósto de la prueba de hpótess, so hacer u juco co respecto a la dfereca etre el valor de ese estadístco de muestra y u parámetro hpotétco de la poblacó. Ua vez establecda la hpótess ula y la alteratva, etoces, todo cosste e decdr qué crtero utlzar para decdr s aceptar o rechazar la hpótess ula. I.. INTERPRETACIÓN No exste u vel de sgfcaca úco uversal para probar hpótess. E alguos casos, se utlza u vel de sgfcaca de 5%. Alguos resultados de vestgacoes publcados a meudo prueba hpótess al vel de sgfcaca de %. Es posble probar ua hpótess a cualquer vel de sgfcaca. Pero es bueo recordar que la eleccó del estádar mímo para ua probabldad aceptable, o el vel de sgfcaca, es també el resgo que se asume al rechazar ua hpótess ula cuado es certa. Metras más alto sea el vel de sgfcaca que se utlce para probar ua hpótess, mayor será la probabldad de rechazar ua hpótess ula cuado sea certa. Al examar este cocepto, os refermos a la fgura # I... e la que se ha lustrado ua prueba de hpótess co H : μ = μ y 0 0 H : μ μ 0 a tres veles de Probabldad de Rechazar la Hpótess Cuado Es Verdadera se abreva como P(RHCEV). Obsérvese que las palabras que se ca co mayúscula so las úcas que se cluye e el parétess.

14 5 sgfcaca dferetes: 0.0, 0., y E ella se puede observar la dstrbucó muestral, la regó de aceptacó de la hpótess ula (e blaco) y su regó de rechazo (sombreada). Fgura # I... Dstrbucó co tres veles de sgfcaca dsttos e dode se muestra la regó de aceptacó y de rechazo. També se ubca e ella la msma muestra x e cada ua de las dstrbucoes e dode puede verse que tato e a) como e b) aceptaríamos la hpótess ula de que la meda de poblacó es gual al valor hpotétco. Pero observe que e la parte c) de la msma fgura, rechazaríamos la msma hpótess ula que co la codcó ateror se aceptó, pues uestro vel de sgfcaca de 0.50 e esa parte es ta alto que raramete aceptaríamos dcha hpótess cuado o sea certa, pero, al msmo tempo la rechazaríamos cuado es certa.

15 6 Observemos que cuado amplamos RR para obteer ua ueva regó de rechazo RR*; es decr, RR RR*, la prueba co la regó de rechazo RR* os llevará a rechazar H 0 co más frecueca. S α * y α deota las probabldades de los errores tpo I (veles de las pruebas) cuado utlzamos RR* y RR como regoes de rechazo, respectvamete, etoces, como RR RR*, α * = P( el estadístco de la prueba está e RR* cuado H 0 es verdadera) P( el estadístco de la prueba está e RR cuado H 0 es verdadera) = α. De la msma maera, s usamos la regó de rechazo amplada RR*, el procedmeto de la prueba os llevará a aceptar H 0 co meor frecueca. S β * y β deota las probabldades de los errores tpo II para las pruebas co regoes de rechazo RR* y RR, respectvamete, etoces β * = P( el estadístco de la prueba o está e RR* cuado H es verdadera) P( el estadístco de la prueba o está e RR cuado H es verdadera) = β. Estas relacoes permte otar que s se modfca la regó de rechazo para cremetar α, β dsmuye. De la msma maera, s el cambo e la regó de rechazo da como resultado que α dsmuya, β se cremeta. Por lo tato, α y β está relacoados de maera versa. Para poder reducr los valores de α o β debemos obteer más formacó respecto a la verdadera aturaleza de la poblacó cremetado el tamaño de la muestra. E cas todas las muestras estadstcas, s α se matee fjo co u valor sufcetemete meor, β dsmuye a medda que aumeta el tamaño de la muestra. I.3 FUNCIÓN DE POTENCIA DE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS La bodad de ua prueba de hpótess se mde medate las probabldades de cometer errores de tpo I y II, éstos está detfcados co α y β, respectvamete,

16 7 Fgura # I.3.. Curvas de fucó de poteca de ua prueba de dos colas co vel de sgfcaca α = 0.05 co dferetes tamaños de muestras. dode α se elge co aterordad, y determa la localzacó de la regó de rechazo. U método que preseta ua mayor utldad para evaluar el desempeño de ua prueba recbe el ombre de fucó de poteca de ua prueba de ua hpótess estadístca H 0 cotra ua hpótess alteratva H y está dada por α ( θ ) fp( θ ) = β ( θ ) para valores deθ supuestos co H para valores deθ supuestos co H o La fgura # I.3. muestra las curvas típcas fp para la prueba de H 0 : θ = θ 0 (hpótess smple) frete a la hpótess alteratva H : θ θ 0 (hpótess compuesta) a medda que el tamaño de la muestra () se cremeta, de modo que la fucó poteca aumeta al crecer el tamaño de. Esto e alguos casos de la práctca o sempre es posble pues el vestgador puede estar estudado u caso muy raro de efermedad, por ejemplo, e la que solo se dspodrá e valores pequeños. E la fgura se lustra el cremeto de la poteca de ua prueba de dos colas de la meda que se produce co muestras de

17 tamaño cada vez mayor, sedo sucesvamete gual a 4, 0, 0, 50 y 00. Estas muestras se tomaro de poblacoes ormales co varaza σ. Es mportate teer e cueta que cuado los supuestos que costtuye el modelo estadístco para ua prueba o ha sdo e verdad satsfechos, o cuado la medda carece de la fuerza requerda, es dfícl, s o mposble, medr la poteca de la prueba. 8 I.4 ESCALAS DE MEDICIÓN I.4. INTRODUCCIÓN Los vestgadores prcpates y aú los más expermetados que usa la estadístca como herrameta, ecuetra dfcultades e muchos casos, para decdr cual de las pruebas estadístcas es la más adecuada para aalzar u cojuto de datos. Las áreas e las que se aplca la estadístca para el aálss de datos so muy amplas y dversas, pues abarca desde las cecas báscas, pasado por las cecas médcas y las tecológcas, hasta llegar a las cecas socales y las que estuda las preferecas del cosumdor. La seleccó de la prueba estadístca ecesara para el caso, depede de varos factores, y uo de ellos es la escala co la que se está mdedo los datos que se aalzará, pues o es gual procesar ua varable que detfca el peso de u artículo que la profesó del usuaro de u producto. La medcó es el proceso de asgar úmeros a objetos u observacoes. E seguda descrbremos los cuatro métodos de medcó usados comúmete: omal, ordal, de tervalo y de proporcó. I.4. ESCALA NOMINAL O CLASIFICATORIA Es aquella escala e dode los úmeros o símbolos se usa co el f de dstgur etre sí los grupos a que perteece varos objetos, persoas o característcas represetado u vel elemetal de medcó pues smplemete los clasfca. Cada uo de estos grupos debe ser mutuamete excluyete y la úca relacó mplcada es la de

18 9 equvaleca ( = ) la cual es reflexva (x = x x), smétrca (x = y y = x x,y) y trastva (s x = y e y = z x = z x,y,z). Ejemplos. Cuado u médco psquátrco exama a sus pacetes y los agrupa por dagóstco como esquzofréco, paraoco, maíaco-depresvo o pscoeurótco se vale de u símbolo para represetar la clase de persoas a que perteece ese dvduo; por tato se emplea la escala omal. Los úmeros de los uformes de los futbolstas y de los polcías també ejemplfca el empleo de úmeros e escala omal. També la asgacó de placas automovlístcas coforma otro ejemplo de esta escala, pues e alguos países los úmeros y letras de las placas dca el lugar dode resde cada propetaro del automóvl, y teemos que cada subclase de la escala omal costa de u grupo de etdades: todos los propetaros que resde e el msmo lugar. La asgacó de los úmeros debe ser tal que el msmo úmero (o letra) se dé a todas las persoas que resde e el msmo lugar y que dferetes úmeros (o letras) se de a persoas que resde e lugares dferetes. Esto es, el úmero o la letra de la placa debe dcar claramete a qué cojuto de las subclases que se excluye mutuamete perteece el propetaro. Observe que e éste ejemplo como e los aterores, la dfereca etre dos valores cualesquera de ua escala para ua prueba estadístca o paramétrca carece de setdo y la frecueca es u ejemplo de estadístco utlzado e este tpo de escala. I.4.3 ESCALA ORDINAL O DE RANGO Se llama escala ordal a toda escala omal e la que se sostega la relacó >, que sgfca mayor que, etre todos los pares de clases de modo que surja u rago ordeado completo. Este orde cumple co las relacoes de equvaleca ( = ) y la de mayor que ( > ), es rreflexva ( x, x o es > x), asmétrca ( x,y x > y y o es > x) y trastva ( x,y,z x > y e y > z x > y).

19 0 Ejemplos. E el sstema educatvo de u país podría medrse el vel de coocmetos, o grado de preparacó, alcazado por los estudates e las dferetes materas segú las otas por ellos obtedas. E la escala del al 0 cada ua de las otas represeta ua clase. La relacó de equvaleca (=) se matee etre los membros de la msma clase y la relacó mayor que (>), etre cualquer pareja de clases. El sstema de grados e el ejércto es també u ejemplo de ua escala ordal. El sargeto > el cabo > el soldado raso cumple co la relacó mayor que, la msma es rreflexva: es decr el cabo o es mayor que el cabo; y es asmétrca: el cabo es mayor que el soldado raso etoces el soldado raso o es mayor que el cabo y trastva: como el sargeto es mayor que el cabo y éste a su vez mayor que el soldado raso etoces el sargeto es mayor que el soldado raso. Aquí també se matee la relacó de equvaleca (=) etre elemetos de la msma clase, ya que es reflexva, smétrca y trastva. Como puede verse por medo de estos ejemplos la dfereca etre valores e esta escala o represeta formacó co valor auque sí la poscó que las dferetes clases tee e ella. Exste varos estadístcos que usa este tpo de escala para pruebas estadístcas o paramétrcas, uo de ellos es el coefcete de correlacó de Spearma que será tratado más adelate. I.4.4 ESCALA DE INTERVALO Se defe así aquella escala e la que se especfca las relacoes de equvaleca y de mayor que, juto co la proporcó de dos tervalos cualesquera. E esta escala el puto cero y la udad de medda so arbtraros. Ejemplo. U ejemplo típco de medcó de ua varable e esta escala, es la temperatura cuado se mde e grados Fahrehet o e grados cetígrados, pues éstas como es ya coocdo, o so escalas absolutas, so relatvas. Sabemos que la

20 dfereca etre 30º C y 35º C es la msma que etre 45º C y 50º C y s se dce que u líqudo se ecuetra a 0º C, o sgfca que o tee temperatura. E la tabla # I.4.4. que se muestra segudamete se tabula la msma temperatura e ambas escalas Cetígrados Fahrehet Tabla # I Temperatura e cetígrados y Fahrehet Calculamos ahora la proporcó de la dfereca e cada escala: cetígrados = y Fahrehet =. Las lecturas comparables e ambas escalas, como se ve 50 3 producto del cálculo, da como resultado la msma proporcó:. Esta escala es de tpo cuattatvo y resulta apropada para pruebas estadístcas paramétrcas y o paramétrcas. I.4.5 ESCALA DE PROPORCIÓN Se llama así a las escalas que además de teer todas las característcas de ua escala de tervalo tee u puto cero real e su orge. E ella, la proporcó de u puto a otro cualquera de la escala es depedete de la udad de medda. Los úmeros que se asoca co esta escala so úmeros co verdadero cero y cualquer prueba estadístca, ya sea paramétrca o o paramétrca, puede usarse. Ejemplo. Medmos la masa o el peso e ua escala de proporcó. La escala e ozas y lbras tee u verdadero puto cero. Lo msmo sucede co las escalas e gramos, amperos y voltajes. La proporcó etre dos pesos cualesquera es depedete de la udad de medda. Por ejemplo, s determamos los pesos de dos objetos dferetes o

21 sólo e lbras so també e gramos, ecotramos que la razó de los dos pesos e lbras es détca a la razó de los dos pesos e gramos. La tabla # I.4.5. cotee u resume sobre los cuatro métodos de medcó cometados aterormete. Escala Relacoes defdas. Pruebas estadístcas apropadas. Nomal - Equvaleca( = ) Pruebas estadístcas o paramétrcas Ordal o de rago - Equvaleca( = ) - Mayor que( > ) Pruebas estadístcas o paramétrcas Itervalo - Equvaleca( = ) - Mayor que ( > ) 3- Proporcó coocda de u tervalo a cualquer otro. Pruebas estadístcas paramétrcas y o paramétrcas Proporcó - Equvaleca( = ) - Mayor que( > ) 3- Proporcó coocda de u tervalo a cualquer otro. 4- Proporcó coocda de u valor de la escala a cualquer Pruebas estadístcas paramétrcas y o paramétrcas otro. Tabla # I Resume de los cuatro veles de represetacó. I.5 TEORIA DE DECISIÓN El razoameto e que se apoya este proceso de decsó es muy smple. Se trata de establecer u crtero para decdr s aceptar o rechazar la hpótess ula. S es muy pequeña la probabldad asocada co la ocurreca coforme a la hpótess ula de u valor partcular e la dstrbucó muestral, decmos que dcha hpótess es falsa. Esto es, cuado la probabldad asocada co u valor observado de ua prueba estadístca es gual o meor que el valor prevamete determado de α, coclumos que H 0 es falsa. El valor observado es llamado sgfcatvo. La hpótess e prueba, H 0, se rechaza sempre que ocurra u resultado sgfcatvo. Por tato, se llama valor sgfcatvo a aquel cuya probabldad asocada de ocurreca de acuerdo co H 0 es

22 3 gual o meor que α. Obsérvese que las fguras # I.5., # I.5.., y # I.5.3 muestra las dferetes regoes de rechazo o aceptacó de la hpótess ula de ua prueba para el caso de dos y ua cola, sedo esta últma de cola derecha o de cola zquerda segú correspoda. Fgura # I.5.. El área sombreada muestra la regó de rechazo de ua prueba de dos colas. Fgura # I.5.. El área sombreada muestra la regó de rechazo de ua prueba de cola derecha o superor. Fgura # I.5.3. El área sombreada muestra la regó de rechazo de ua prueba de cola zquerda o feror

23 4 LAS PRUEBAS Y SU TEORÍA CAPÍTULO ІI II. PRUEBA DEL SIGNO. BREVE HISTORIA Es ua de las pruebas o paramétrcas más smples y la más atgua de todas, pues está reportada e la lteratura desde 70 por Joh Arbuthott, que hzo uso de este procedmeto, por prmera vez, para demostrar que la proporcó de varoes acdos e Lodres e u determado período de tempo era sgfcatvamete mayor que la proporcó de mujeres. Se basa e los sgos que geera la dfereca de comparar los datos e ua poblacó co respecto a su meda, medaa o co respecto a otros datos tomados de la msma poblacó, presetádose así dos casos, el de ua muestra seclla (ua sola muestra) y el de ua muestra e pares. II.. PRUEBA DEL SIGNO DE UNA SOLA MUESTRA S cada vez que se vaya a realzar ua expereca aleatora, fjamos uestra atecó ate u suceso A, de probabldad o ula P(A) = p, podemos defr trvalmete ua varable aleatora Y, dcotómca, tomado valores e { 0,}, que recbe el ombre de varable de Beroull de parámetro p, B(p): Y = s tee lugar el eveto A Y = 0 s o tee lugar el eveto A cuya fucó de desdad se puede expresar e la forma: y y f ( y) = P( Y = y) = p ( p), y = 0, S realzamos esayos o repetcoes depedetes, es decr, e détcas codcoes, y sempre cetrados e el suceso A, la varable X que cueta el úmero de veces que ha tedo lugar el suceso A defe el modelo bomal B (x,,p) que tee por fucoes de desdad y dstrbucó la sguete estructura: f (x) = P (X= x ) = p x x x ( p) ; x = 0,,...,

24 5 F X (t) = P ( X t) = t t k k f ( k) = p ( p) k = 0 k = 0 k Cuado muestreamos ua poblacó smétrca cotua e dode se hace sosteble la suposcó de que se muestrea ua poblacó ormal, se puede aplcar la prueba del sgo de ua sola muestra, e dode el suceso A aparece como resultado de la dfereca de cada uo de los datos co la meda y la probabldad de obteer u valor de la muestra que sea mayor que la meda o que sea meor que la meda so ambas ½. Y s o se puede supoer que la poblacó es smétrca, se usa la msma técca pero aplcada a la hpótess ula ~ μ = ~ μ0, dode ~ μ es la medaa de la poblacó. Para probar la hpótess ula H 0 : μ = μ0 cotra ua alteratva apropada sobre la base de ua muestra aleatora de tamaño, se susttuye cada valor de la muestra que exceda a μ 0 por u sgo más y cada valor de la muestra meor que μ 0 co u sgo meos, y después se prueba la hpótess ula de que el úmero de sgos más es el valor de ua varable aleatora que tee ua dstrbucó bomal co los parámetros y p = /. Por lo tato, la alteratva blateral H : μ μ0 se trasforma e p y las alteratvas ulaterales μ < μ 0 y μ > μ 0 se coverte e p < / y p > / respectvamete. S u valor de la muestra es gual a μ 0, smplemete se desecha. Sea ( X, X,..., X ) varables aleatoras reales cotíuas e depedetes y además deotamos, para todo =,,,; ψ = ψ ( X - μ 0 ), co μ 0 coocdo, dode ψ ( x ) = s ψ ( x ) = 0 s x > 0 x < 0 Etoces sea T( ψ,, ψ ) u estadístco basado sobre los ψ. Los estadístcos ψ,, ψ so depedetes y sgue ua dstrbucó de Beroull. E efecto como los X so depedetes, los ψ lo so també. E partcular s

25 6 X = T( X, X,..., X ) = y μ 0 es la medaa comú de los X, se tee el sguete estadístco, deotado por S. S = T( ψ,, ψ ) = ψ = ψ ( X - μ 0 ) = úmero de dferecas = = X -μ 0 estrctamete postvas El estadístco a calcular es: S = º de casos e los que X - μ 0 > o =,,..., y tee ua dstrbucó bomal B (s,,/), dode es el úmero de dferecas X - μ 0 o ulas ya que el estadístco oblga a la coversó de los valores a sgos. Para ejecutar ua prueba del sgo de ua sola muestra cuado la muestra es muy pequeña, os refermos drectamete a la tabla # de probabldades bomales del apédce B; cuado la muestra es grade ( p > 5 yq > 5), podemos utlzar la dstrbucó ormal represetada e la tabla # del msmo apédce como aproxmacó a la dstrbucó bomal. Ua demostracó geeral de este cocepto puede verse e el apédce A. Sea p = ½ La prueba del sgo de ua sola muestra se resume de la sguete maera: Hpótess ula H 0 : μ = μ0 Hpótess alteratva H : μ μ0 o ( μ < μ0 o μ > μ 0 ) Estadístco de prueba S = º de casos e los que X - μ 0 > o =,..., Regó de rechazo s H : μ μ0, se rechaza H 0 para los valores más grades y más pequeños de S; s H : μ < μ 0, se rechaza H 0 para los valores más pequeños de S; s H : μ > μ 0, se rechaza H 0 para los valores más grades de S.

26 II.. PRUEBA DEL SIGNO PARA MUESTRAS EN PARES. EXPERIMENTOS DE PARES COMPARADOS 7 II... CASO DE DOS MUESTRAS Las pruebas estadístcas de dos muestras se usa cuado el vestgador desea establecer la dfereca etre dos tratametos o s u tratameto es mejor que otro. El tratameto puede ser cualquera de ua gra varedad de codcoes: yeccó de ua droga, adestrameto, propagada, separacó de la famla, modfcacó qurúrgca, cambo e las codcoes del alojameto, tegracó tergrupal, cambos del clma, troduccó de u uevo elemeto e la ecoomía, etc. E cada caso, el grupo que ha sufrdo el tratameto es comparado co el que o lo ha expermetado o que ha sufrdo u tratameto dferete. E semejate comparacoes de dos grupos, alguas veces se observa dferecas sgfcatvas que o so resultado del tratameto. Por ejemplo para comparar dos métodos de eseñaza, u vestgador hace que u grupo de estudates apreda co uo de los métodos y u grupo dferete apreda co el otro. Ahora be, s uo de los grupos tee estudates más capaces o más motvados, la ejecucó de los dos grupos puede o reflejar exactamete la relatva efectvdad de los dos métodos de eseñaza, porque otras varables está creado dferecas e la ejecucó. Ua maera de vecer la dfcultad mpuesta por dferecas extrañas etre los grupos es usar dos muestras relacoadas o comparables e la vestgacó. Esto es, uo puede gualar, relacoar o hacer comparables de otra maera las dos muestras estudadas, cosa que puede lograrse cuado cada sujeto es su propo cotrol o co parejas de sujetos e las que se asga los membros de cada pareja a las dos codcoes. Cuado u sujeto srve como su propo cotrol está expuesto a ambos tratametos e dferetes ocasoes. Cuado se usa el método de pares, se trata de seleccoar, detro de lo posble, e cada pareja de sujetos, aquellos que sea los más

27 8 semejates, co respecto a cualquer varable extraña que pudera flur el resultado de la vestgacó. E el ejemplo mecoado aterormete, el método de pares requería que fuera seleccoadas umerosas parejas de estudates, cada ua compuesta por dos estudates de capacdad y motvacó fudametalmete guales. U membro de cada pareja, escogdo al azar, sería asgado a uo de los métodos de eseñaza y su compañero al otro. II... MODELO GENERAL DE DESPLAZAMIENTO U problema que comúmete se preseta a los expermetadores es el de obteer observacoes de dos poblacoes co el f de probar s estas posee la msma dstrbucó. Por ejemplo, s se toma muestras aleatoras depedetes e dode X, X,..., X y Y, Y,..., Y tee dstrbucoes F(x) y G(y) respectvamete y queremos probar s las dos poblacoes tee la msma dstrbucó, es decr, H 0 : F(z) = G(z) frete a H : F(z) G(z), para las que las formas de estas dstrbucoes o está determadas. Obsérvese que H es ua hpótess muy ampla. Muchas veces el expermetador querrá aalzar la hpótess alteratva más específca que dca que Y posee la msma dstrbucó que X, desplazada ua catdad determada θ. Así se tee que G(y) = P( Y y) = P( X y θ) = F(y - θ) para algú valor descoocdo θ; es decr, las dstrbucoes tee dferetes localzacoes. II...3 PRUEBA DE LOS SIGNOS PARA UN EXPERIMENTO DE PARES COMPARADOS forma ( Aquí cotamos co ua tabla formada de pares de observacoes de la X, Y ), y queremos probar la hpótess que afrma que la dstrbucó de los valores de X es la msma que la dstrbucó de los valores de Y frete a la hpótess alteratva que sostee que la dstrbucó tee dferete localzacó. Co base e la

28 9 hpótess ula que dca que X y Y provee de las msmas dstrbucoes de probabldad cotua, la probabldad de que D = X -Y sea postva es gual a / (la msma probabldad de que D sea egatva). Sea S la catdad total de dferecas postvas. De esta maera, s los valores de las varables X y Y posee la msma dstrbucó, S poseerá ua dstrbucó bomal co p = /, y la regó de rechazo para ua prueba basada e S podrá obteerse medate la dstrbucó de probabldad bomal. La prueba de los sgos e este caso se resume de la sguete maera. Prueba de los sgos para u expermeto de pares comparados Sea p = P(X >Y). Hpótess ula.. H 0 : p = ½ Hpótess alteratva.. H : p > ½ o (p < ½ o p ½) Estadístco de prueba... S = úmero de dferecas postvas, dode D = X -Y Regó de rechazo... s H : p > ½, se rechaza H 0 para los valores más grades de S; s H : p < ½, se rechaza H 0 para los valores más pequeños de S; s H : p ½, se rechaza H 0 para valores muy grades o muy pequeños de S. Supuestos los pares ( depedete. X, Y ) se elge de forma aleatora e Prueba de los sgos para expermetos de pares comparados co muestras grades ( p > 5 y q > 5 ). Hpótess ula: H 0 : p = 0.5 (No hay prefereca por algú tratameto). Hpótess alteratva: H : p 0.5 para ua prueba de dos colas. Estadístco de prueba: Z = X μ = σ S / (/ )

29 Regó de rechazo: H 0 se rechaza s z z α / o s z - z α /, dode z α / se obtee de la tabla # del apédce B referete a la dstrbucó ormal. 0 II. II.. PRUEBA DE WILCOXON PRUEBA DE RANGOS PARA UNA SOLA MUESTRA. INTERVALOS CON SIGNOS Como se vo e seccoes aterores, la prueba del sgo e sus dos versoes es muy fácl de realzar, pues s mportar la dstrbucó que sgue las observacoes, sólo utlzamos los sgos de las dferecas etre éstas y μ 0 o etre las parejas comparadas, sedo los sgos + y las dreccoes de las dferecas producto de las trasformacoes realzadas, desperdcádose por tato, toda la formacó coteda e la magtud de estas dferecas. La prueba de Wlcoxo para tervalos co sgo, hace u mejor aprovechameto de la formacó coteda e las observacoes, ya que toma e cueta, además de los sgos, las magtudes de las dferecas por medo de los ragos a que so asgados. Sea ( Z,, Z ) ua muestra aleatora de la varable aleatora cotua Z y ( () Z,, Z () ) la muestra ordeada asocada. Se llama rago R de la varable aleatora Z al úmero de varables aleatoras Z meores o guales a Z,. Luego el rago se determará medate la fórmula R = ( ψ ( X j X )), dode ψ es como j= se defó e la seccó II.., teédose e partcular que () Z < Z ( ) < Z (3) <... < Z ( ) y R es tal que Z ( R ) Z =, sedo sus valores extremos Z () = m( Z,, Z ) y Z () = máx( Z,, Z ). E esta prueba se ordea por rago los valores absolutos de las dferecas e relacó co sus sgos: asgamos el rago a la meor de las dferecas e valor

30 absoluto, el rago a la seguda dfereca más pequeña e valor absoluto, y así sucesvamete. Cuado varas de las dferecas sea las msmas, s fuera el caso de las que correspodería a 3, 4 y 5, cada ua tomaría como rago el valor promedo de las tres, e este caso, 4, sera el rago asgado a cada ua de las dferecas guales, y a la sguete dfereca e valor absoluto más grade se le asgaría el rago 5. Calcularíamos ahora la suma de los ragos para las dferecas egatvas T y las sumas de los ragos para las dferecas postvas T +.E el caso de ua prueba de dos colas utlzamos T, la más pequeña de estas dos catdades, como estadístco de prueba para probar la hpótess ula que afrma que las dos poblacoes so détcas. Cuato más pequeño sea el valor de T, mayor el peso de la evdeca que favorece el rechazo de la hpótess ula. Por cosguete, rechazaremos la hpótess ula s T es meor o gual a algú valor T α. La hpótess ula permte que para cada rago, las probabldades de que se le asge ua dfereca postva o ua egatva so ambas ½. Podemos escrbr el estadístco como T + =. X +. X X, dode X, X,....y X so varables aleatoras depedetes que tee la dstrbucó de Beroull co p = ½. Como el valor esperado y varaza de las X so E( X ) = 0./ +./ = / y Var( X ) = /.( / ) = /4 para =,, 3,,, y tomado e cueta las sguetes propedades E ( a X + a X a X ) = a E( X ) a E( X ) y Var( a X + a X a X ) = a Var( X ) a Var X ), ( se deduce que E (T + ) =./ +./ / = y aplcado el método de duccó completa, se tee que E( T + ) = ( +) 4,

31 y que Var(T + ) =./4 +./ /4 = y aplcado de uevo el método ateror, se llega a que Var(T + ) = ( + )( + ) 4 La probabldad de que T sea meor o gual a algú valor T α está calculado para ua combacó de tamaños muestrales y valores de T α. Estas probabldades, se puede utlzar para determar la regó de rechazo de la prueba que se basa e T. Cualquera sea la hpótess alteratva, podemos basar todas las pruebas de la hpótess ula μ = μ0 e la dstrbucó de T, debedo sólo teer cudado de utlzar la estadístca correcta y el valor crítco correcto de T, como se muestra e la tabla II.. Hpótess alteratva Rechace la hpótess ula s: μ μ 0 T T α μ > μ 0 T T α μ < μ 0 T + T α Tabla II... Hpótess alteratva y regó de rechazo para la hpótess ula μ = μ0. dode, como se dca, el vel de sgfcaca es α e cada prueba. Los valores crítcos de T, que so tales que T α es el valor más grade para el cual P(T T α ) o es mayor que α, se da e la tabla 3 del apédce B. Obsérvese que los msmos valores crítcos srve para pruebas e dferetes veles de sgfcaca, depededo de que la hpótess alteratva sea ulateral o blateral.

32 II.. PRUEBA DE RANGOS CON SIGNOS DE WILCOXON PARA UN EXPERIMENTO DE PARES COMPARADOS E este caso, al gual que la prueba del sgo de pares comparados, cotamos també co observacoes pareadas ( X, Y ) y 3 D = X -Y. Nos teresa probar la hpótess de que los valores de X e Y tee la msma dstrbucó frete a la hpótess alteratva que sostee que la localzacó de las dstrbucoes es dferete. E la hpótess ula o hay dfereca e las dstrbucoes de los valores de X ey, esperaríamos que la mtad de las dferecas de los pares fuera egatva y la otra mtad postva, o sea, que el úmero esperado de las dferecas egatvas fuera de valor /. Para realzar la prueba de Wlcoxo calculamos las dferecas ( D ) de cada uo de los pares elmado las dferecas ulas y se asga los ragos como e la seccó ateror. Para detectar la hpótess alteratva ulateral que afrma que la dstrbucó de los valores de X está desplazados a la derecha de los valores de Y empleamos la suma de ragos T de las dferecas egatvas, y rechazamos la hpótess ula para los valores T T α. S queremos detectar u desplazameto de la dstrbucó de los valores de Y a la derecha de los valores de X, empleamos la suma de ragos T + de las dferecas postvas como estadístco de la prueba, y rechazamos los valores T + T α. El resume de las hpótess alteratvas, para el caso de dos muestras, basada e la prueba de la hpótess ula μ X = μ Y, es como se muestra e la tabla II.. dode hay que teer presete los msmos detalles de la seccó ateror y maejar la tabla co los msmos crteros dcados allí. A cotuacó se resume la prueba que se basa e T, la cual se cooce como prueba de ragos co sgo de Wlcoxo.

33 4 Hpótess alteratva Rechace la hpótess ula s: μ T T α X μ Y μ X > μ Y T T α μ X < μ Y T + T α Tabla II...Hpótess alteratva y regó de rechazo para la hpótess ula μ X = μ Y Prueba de ragos co sgo de Wlcoxo para u expermeto de pares comparados. Hpótess ula H 0 : las dstrbucoes de poblacó para los valores de X e Y so détcas. Hpótess alteratva H : las dos dstrbucoes de poblacó tee dferetes localzacoes (dos colas); o la dstrbucó de poblacó para los valores de X (Y ) está desplazada a la derecha de la dstrbucó para los valores de Y ( X ) (ua cola). Estadístco de la prueba:. Para ua prueba de dos colas utlce T = mí(t +, T ), dode T + es la suma de los ragos de las dferecas postvas y T es gual a la suma de los ragos de las dferecas egatvas.. E ua prueba de ua cola utlce la suma T (T + ) de los ragos de las dferecas egatvas (postvas) cuado la dstrbucó de los valores de X (Y ) está desplazados a la derecha de los valores de Y ( X ). Regó de rechazo:. Para ua prueba de dos colas rechace H 0 s T T α dode T α es el valor crítco para la prueba blateral que se proporcoa e la tabla 3 del apédce B.. E ua prueba de ua cola rechace H 0 s T (T + ) T α dode T α es el valor crítco para la prueba ulateral.

34 5 Prueba de ragos co sgos de Wlcoxo co muestra grades para u expermeto de pares comparados. Hpótess ula H 0 : las dstrbucoes de poblacó para los valores de X e Y so détcas. Hpótess alteratva H : las dos dstrbucoes de poblacó tee dferete localzacó (prueba de dos colas); o la dstrbucó de poblacó para los valores de X está desplazada a la derecha (o zquerda) de la dstrbucó de los valores de Y (pruebas de ua cola). Estadístco de prueba: Z = X μ = σ [ ( + )/4 ] + T ( + )( + )/4, T = T + ya que T + o T tedrá aproxmadamete ua dstrbucó ormal cuado la hpótess ula sea verdadera y sea grade. Regó de rechazo: rechace H 0 s z z α / o z - z α / colas., e ua prueba de dos Para detectar u desplazameto e las dstrbucoes de valores de X a la derecha de los valores de Y, rechace H 0 cuado z z α. Y para detectar u desplazameto e la dreccó opuesta rechace H 0 s z - z α.

35 6 II.3 PRUEBA DE SUMA DE RANGOS DE WILCOXON. MUESTRAS ALEATORIAS INDEPENDIENTES E el año de 945 Wlcoxo propuso ua prueba estadístca para comparar dos poblacoes basadas e muestras aleatoras depedetes. Supoga que elegmos muestras aleatoras depedetes de y observacoes, cada ua de ellas tomadas de dos poblacoes; represetemos a las muestras co A y B. La dea de Wlcoxo fue combar las + = observacoes y ordearlas por orde de magtud, de la uo (la más pequeña) a la (la más grade). Los empates se maeja gual que como se dcó ates. S las observacoes se obtee de poblacoes détcas, las sumas de ragos para las muestra debería ser más o meos proporcoales a los tamaños de las muestras y. Por ejemplo, s y so guales, esperamos que las sumas de los ragos sea aproxmadamete guales. Pero s las observacoes de la muestra A, por ejemplo, tede a ser mayores que las observacoes de la muestra B, las observacoes de la muestra A tederá a recbr los ragos más altos, y la suma de ragos que le perteece será mayor que la suma de ragos esperada. Por cosguete, teedo muestras de gual tamaño, s ua prueba de ragos es muy grade y, e cosecueca, la otra es muy pequeña, esta podría dcar ua dfereca mportate etre las dos poblacoes desde el puto de vsta estadístco. II.4 PRUEBA U DE MANN-WHITNEY. MUESTRAS ALEATORIAS INDEPENDIENTES Ma y Whtey propusero e 947 ua prueba estadístca equvalete a la de Wlcoxo que també cluye las sumas de los ragos de dos muestras, la cual cosste e ordear las ( + ) observacoes de acuerdo co su magtud y cotar el úmero de observacoes de la muestra A, por ejemplo, que precede a cada observacó de la B, así resulta el estadístco U que es la suma de estas eumeracoes.

36 7 Sea ( X,,X m ) y (Y,,Y ) dos muestras aleatoras A y B de las varables cotuas X e Y. Se llama muestra combada a la muestra de tamaño N = + m gual a (X,,X m, Y,,Y ) = (Z,,Z m,z m +,,Z N ). Etoces sea R = (R,,R m,r m +,,R N ) el vector de los ragos asocados a la muestra combada, aquí Q = (R,,R m ) y S = (R m +,,R N ) so los vectores de los ragos de los X y los Y m R = e la muestra combada y se tee N R j j= m+ + N = k k = = N( N +). Cosderemos los estadístcos T, T, T 3 y T 4 tales que T (Z,,Z N ) = N Z j j= m+ T ( Z,,Z N ) = T 4 ( Z,,Z N ) = ψ ( Y X ) m = j=, T 3 ( Z,,Z N ) = ψ ( X Y ) j m = j= j m Z = Etoces los estadístcos W y W tales que W = T (R,,R N ) = m R = = suma de los N R j j= m+ ragos de las X e la muestra combada y W = T (R,,R N ) = = suma de los ragos de las Y e la muestra combada, so o paramétrcos llamados de Wlcoxo para dos muestra. Luego los estadístcos T 3 y T 4 so los de Ma-Whtey etoces U = MW = T 3 (Z,,Z N ) = ψ ( X Y ) m = j= U = MW = T 4 (Z,,Z N ) = ψ ( Y X ), m = j= j j j= ψ ( X -Y j ) = úmero de valores de j tal quey j < X para u, =,,m, fjado Luego s m = úmero de X meor o gual a X se tee: j= ψ ( - X j ) = R - m X

37 8 Etoces U A = MW = m = m ( R - m ) = R = m - m = m R = = m - = m R = = m( m +) - N R j j= m+ Cambado m por se obtee medatamete U B = MW = ( +) - Hacedo = m y =, las fórmulas para el estadístco U quedaría así: dode MW = U A = R - ( +)/ MW = U B = R - ( +)/ = úmero de observacoes de la muestra A = úmero de observacoes de la muestra B U A + U B = R = suma de ragos para la muestra A R = suma de ragos para la muestra B Como se puede ver e las fórmulas de U A y U B, U A es pequeño cuado R es grade, u caso que puede presetarse cuado la dstrbucó de poblacó de las medcoes de A se ecuetra desplazada a la derecha de las medcoes de B. Por cosguete, para efectuar ua prueba de dos colas co el f de detectar u desplazameto e la dstrbucó de A a la derecha de la dstrbucó de B, es ecesaro rechazar la hpótess ula que afrma que o hay dfereca e las dstrbucoes de poblacó s U A es meor que algú valor específco U α. Es decr, rechazamos H 0 para valores pequeños de U A. De maera smlar, para llevar a cabo ua prueba de ua cola co el f de detectar u desplazameto de la dstrbucó B a la derecha de la dstrbucó A, se rechazaría H 0 s U B es meor que algú valor específco U α. La tabla 4 del apédce B proporcoa la probabldad de que u valor observado de U sea meor que u valor específco U α. Para llevar a cabo ua prueba de dos colas, es decr, para detectar u desplazameto e las dstrbucoes

38 9 poblacoales para las medcoes A y B e cualquer dreccó, covemos e utlzar sempre U, el meor de U A o U B o sea U = mí(u A, U B ) como estadístco de prueba y rechazar H 0 para U < U α. El valor de α para la prueba de ua cola es el doble del de ua prueba de dos colas tal como se muestra e la sguete tabla # II.4.. Hpótess alteratva Rechace la hpótess ula s: μ U U α A μ B μ > μ A B U B U α μ < U A μ B A U α Tabla # II.4..Hpótess alteratva y regó de rechazo para la hpótess ula μ = μ A B Ua prueba para muestras grades smplfcada ( > 8 y > 8) se puede obteer utlzado el estadístco Z de la dstrbucó ormal. S las dstrbucoes de poblacó so détcas, el estadístco U posee los sguetes valores esperados y de varaza cuado U = U A (o U = U B ): E(U A ) = y Var(U A ) = ( + + ) La prueba U de Ma Whtey se resume de la sguete forma Hpótess ula: H 0 : Las dstrbucoes de frecuecas relatvas de poblacó para A y B so détcas. Hpótess alteratva: H : Las dos dstrbucoes de frecuecas relatvas de poblacó está desplazadas respecto a sus localzacoes relatvas (prueba de dos colas); o H : La dstrbucó de frecuecas relatvas de poblacó para A está desplazada a la derecha de

39 la dstrbucó de frecuecas relatva para la 30 poblacó B (prueba de ua cola). Estadístco de prueba: Para ua prueba de dos colas, utlce U, el más pequeño de U A = R - ( +)/ y U B = R - ( +)/ dode R y R costtuye las sumas de ragos para las muestras A y B, respectvamete. Para ua prueba de ua cola utlce U A o U B segú sea el caso. Tabla II.4.. Regó de rechazo:. Para ua prueba de dos colas y u valor dado de α rechace H 0 s U U α, dode P(U U α ) = α (Nota: observe que U α es el valor por el que P(U U α ) = α ). Para ua prueba de ua cola y u valor dado de α, rechace H 0 s U A ( U B ) U α, dode P(U A ( U B ) U α ) = α. Supuestos: Las muestras se ha seleccoado aleatora e depedetemete de sus respectvas poblacoes. Los empates e las observacoes se puede maejar promedado los ragos que se hubera asgado a las observacoes empatadas y asgado este promedo a cada observacó. Por cosguete, s hay observacoes empatadas, debdo a que tres se les asgaro los ragos 3, 4 y 5, les asgaremos el rago 4 a las tres.

40 3 E el caso de muestras grades la prueba U se resume como sgue: Hpótess ula: H 0 : Las dstrbucoes de frecuecas relatvas de poblacó para A y B so détcas. Hpótess alteratva H : Las dos dstrbucoes de frecuecas relatvas de poblacó o so détcas (prueba de dos colas); o H : La dstrbucó de frecuecas relatvas de poblacó para A está desplazada a la derecha (o zquerda) de la dstrbucó de frecuecas relatva para la poblacó B U = U A (U B ) (prueba de ua cola). Estadístco de prueba: Z = U ( / ) ( )( + + ) / Regó de rechazo: Rechace H 0 s z > z α o z < -z α e el caso de ua prueba de dos colas. E ua prueba de ua cola coloque todos los valores de α e ua de las colas de la dstrbucó z. Para detectar u desplazameto de la dstrbucó de las observacoes A a la derecha de dstrbucó de las observacoes B rechace H 0 cuado z < - z α. Para detectar u desplazameto e la dreccó cotrara rechace H 0 cuado z > z α. Los valores tabulados de z se ecuetra e la tabla del apédce B que es la dstrbucó ormal.