INTERPRETACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE UN MODELO BÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL. Rafael de Arce Ramón Mahía Febrero de 2012

Transcripción

1 INTERPRETACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE UN MODELO BÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL Rafael de Arce Ramón Mahía Febrero de 0 Además de abordar en otras sesones y documentos los aspectos relatvos a la estmacón de los parámetros de un MBRL, convene tener claro, por encma de todo la nterpretacón de los msmos. I.- Interpretacón ntutva de los estmadores MCO en la regresón múltple S magnamos una ecuacón estmada con dos varables exógenas más un térmno ndependente, el modelo estmado sería: ˆ ˆ ˆ y x x ˆ Imagnemos una muestra temporal donde representa el paso del tempo. S expresamos ahora el modelo en dferencas, es decr, s al valor estmado de y en el período ( ŷ ) le restamos el valor estmado de y en el período - ( y ˆ ) tenemos que: yˆ yˆ ˆ ˆ x ˆ x ˆ ˆ x ˆ x yˆ ˆ x ˆ x Qué representa por tanto ˆ?. Una forma smple de expresar ˆ es: x yˆ 0 ˆ x Es decr, ˆ permte computar el cambo obtendo en y producdo por un cambo en x mantenéndose x constante. Es decr: los coefcentes de la regresón múltple son coefcentes ceters parbus. El punto clave, como señala Wooldrdge, es que la estmacón de estos coefcentes parcales se obtene aún cundo los datos no se hayan observado o recogdo en esas condcones. Es decr, la regresón múltple nos permte mtar ( ) lo que los centífcos hacen en los entornos (expermentales) controlados de laboratoro: conservar fjos otros factores. Introduccón a la econometría. Un enfoque moderno. Ed. Thomson.

2 Imagnemos, por ejemplo, el resultado obtendo en la estmacón de una regresón que relacona las ventas mensuales de nuestra empresa con los cambos en los precos y en la publcdad: Vˆ 0,5Pr, Pub S las ventas y la publcdad están meddas en mllones de euros y los precos en euros por undad: El parámetro -0.5 de los precos ndcaría que por cada ncremento de un euro en el preco untaro, nuestras ventas se reducrían en medo mllón de euros sempre y cuando se mantuvese constante el presupuesto en publcdad. El coefcente de., postvo, ndca que, s no varamos el preco de venta, un ncremento de mllón de euros en publcdad genera un ncremento de ventas de. mllones. Evdentemente, la empresa nunca movó sólo los precos o sólo la publcdad, sno que todos los años hzo, probablemente, ambas cosas: sn embargo, la regresón múltple permte aslar ambos efectos. Una observacón de nterés es: qué sucede s sólo utlzamos una de las dos varables en la regresón? En ese caso, puede observarse que los resultados de las dos regresones ndvduales son: Vˆ,9 0,8Pr Vˆ,6, 9Pub Los resultados de la regresón sobre el preco son smlares a los obtendos en la regresón múltple pero qué ha suceddo con los resultados de la regresón sobre la publcdad? Utlzando los msmos datos, el sgno de la Publcdad en su relacón con las ventas es ahora negatvo cómo podemos explcar esto? Observemos la evolucón de las ventas, los precos y la publcdad en los años utlzados para la estmacón ventas preco publcdad

3 Cuando tomamos sólo los datos de la publcdad y las ventas, observamos que, efectvamente, a lo largo de los últmos 5 años la publcdad se ha ncrementado notablemente pero, sn embargo, las ventas han dsmnudo; sn embargo, durante este msmo período, los precos han crecdo tambén de forma muy sgnfcatva, de modo que el efecto teórcamente postvo de la publcdad se ha vsto anulado por un ncremento descontrolado de los precos. S sólo observamos la relacón entre ventas y publcdad, subestmamos clamorosamente el efecto de la publcdad; del msmo modo, s sólo observamos la relacón entre ventas y precos, subestmamos tambén el efecto negatvo de un alza en los precos (la realdad es que, s no hubésemos elevado la publcdad a lo largo de estos 5 años, la caída de las ventas ante tal ncremento de los precos hubera sdo algo mayor). La anteror exposcón nos oblga a plantearnos algunas preguntas: - S sólo estamos nteresados en el efecto de una varable explcatva en su relacón con la endógena (y) Es necesaro nclur en la regresón múltple otras varables que son potencalmente relevantes para observar adecuadamente ese únco parámetro de nterés? Así es, el ejemplo anteror demuestra que, aunque nuestro nterés se centre en una varable exógena, debemos recoger nformacón de las demás varables que han poddo varar durante el período muestral, de otro modo, no podemos aslar, dstngur del resto, los efectos de la varable que nos nteresa. Este es, sn duda, el preco a pagar en la regresón a cambo de evtar dseños expermentales ceters parbus. Veremos más adelante, de modo más formalzado, el porqué de este requsto y cuáles son los efectos técncos de la omsón de varables relevantes sobre el carácter sesgado de los parámetros de un modelo de regresón múltple. - Exste alguna excepcón a lo anteror? Es decr, es posble obtener resultados correctos (no subestmados n sobreestmados) en las regresones ndvduales? S. El problema resde, en realdad, en la exstenca de correlacón entre las varables explcatvas utlzadas en el ejemplo. Por qué? El problema de una muestra en la que exste correlacón alta entre las explcatvas (postva o negatva) es que la muestra no permte aslar el efecto de cada una sobre la endógena, porque, magnando que la correlacón fuera postva, cada vez que una crecó (respecto a su meda), la otra tambén lo hzo. Dgamos que la muestra es lo contraro al tpo ceters parbus que necestaríamos para observar el efecto ndvdual de las exógenas. Ahora ben, s en nuestra muestra podemos encontrar crecmentos de una exógena que se hayan combnado con ncrementos y dsmnucones de la otra de modo que entre ambas no exsta una correlacón sstemátca, la muestra es deal para observar los efectos de forma ndvdual (sn recurrr a la regresón múltple) porque los efectos de

4 subestmacón y sobreestmacón en esas estmacones ndvduales aparecerán compensados, resultando nulos o poco sgnfcatvos. - S la regresón múltple permte separar sn sesgos los efectos de las dstntas varables aún cuando las muestras no sean ceters parbus. Por qué es mportante que no exsta correlacón muestral entre las exógenas? Por qué se formula la hpótess de ausenca de multcolnealdad? Efectvamente, la regresón múltple permte separar los efectos de cada exógena sn cometer sesgos de sobre o subestmacón aún cuando las muestras sean desfavorables en ese sentdo (es decr, aún cuando las exógenas estén muy relaconadas). Sn embargo, la exstenca de multcolnealdad mplca un preco a pagar nevtable: una menor precsón en la estmacón de los parámetros (una mayor varanza en la estmacón). Esto puede entenderse ntutvamente: s las varacones de una varable X se ven sstemátcamente acompañadas de la varacón de otra varable X resulta dfícl separar con precsón qué parte de los efectos sobre Y se deben a los movmentos de X y que parte a los de X. Además de la explcacón ntutva veremos en el tema de la Multcolnealdad como técncamente, la varanza de un parámetro depende de tres factores y uno de ellos es, precsamente, el grado de correlacón que exste entre cada varable exógena y el resto: a mayor relacón, menor precsón en la estmacón. II.- Interpretacón de los parámetros cuando en el modelo ntervenen varables en logartmos En muchas ocasones, las varables mplcadas en el modelo (exógenas, endógena o ambas) venen expresadas en logartmos. El uso de los logartmos puede deberse a algunas causas frecuentes: a) Desde el punto de vsta puramente matemátco, algunas veces el modelo teórco orgnal se expresa en forma no lneal de modo que para abordar su estmacón medante métodos lneales, se lnealza, generándose una expresón en logartmos. Este es, por ejemplo, el caso de una funcón de produccón, en la que la expresón lógca (debdo a la ley de rendmentos decrecentes) es una funcón no lneal del tpo: P L * K * u ln( P ) Ln( L ) Ln( K ) Ln( u ) Otro ejemplo habtual de este caso sería el de los llamados modelos de gravtacón basados en la expresón de Newton de la Gravedad: la fuerza que atrae dos cuerpos es drectamente proporconal a la dferenca de sus masas e nversamente proporconal a la dstanca al cuadrado que los separa. Esta expresón se traslada en economía para representar, por ejemplo, flujos comercales entre dos puntos geográfcos, mdendo la masa de los cuerpos

5 (como la renta de cada uno de los lugares) y la dstanca entre ellos (ben en térmnos físcos (km) o en funcón de otras varables que representen dstanca económca ). En este modelo, tendríamos: Flujo j Re nta Re nta j U ln( ) ln(re ) ln(re ) ( ) Flujo j nta nta j Ln dj W d j b) En otras ocasones se emplean los logartmos como smple estratega de transformacón matemátca tendente a reducr la dspersón orgnal de una sere. Efectvamente, la forma funconal logarítmca produce una compresón de los valores orgnales dentro de un rango sempre menor que el orgnal. Así, por ejemplo, una sere que varase orgnalmente entre un mínmo de.000 y un máxmo de (.000 veces mayor) quedaría, al tomar logartmos naturales, transformada en una sere con un mínmo de =log(00) y un máxmo sólo veces mayor, 6=log( ). Reducr la dspersón de una varable (generalmente la endógena) lmta el resgo de aparcón de heterocedastcdad (varanza no constante de la perturbacón aleatora condconada a los valores de endógena) un problema que, como se verá más adelante durante el curso, afecta a la efcenca de los estmadores MCO. Más allá de las dos razones prevamente apuntadas, lo nteresante del uso de los logartmos es que la forma en la que se expresan las varables en el modelo (nveles o logartmos) modfca conceptualmente el propo sgnfcado (e nterpretacón) de los parámetros obtendos. Así, cuando ambas varables (endógena y exógena) están escrtas en logartmos, la nterpretacón de los parámetros de un modelo de regresón es cercana al concepto de elastcdad entre ambas varables ( y y X ) o, dcho de otro modo, la magntud del cambo porcentual en y ante una varacón del % en la varable x. y y Elastcda d y / * x y x x y x x y * x log(y) *log( x) y x Así pues, por ejemplo, s en un modelo Consumo / Renta obtenemos el sguente resultado: log( C ),9 0,4log( R ) El parámetro de la renta (0,4) ndcaría la elastcdad Consumo / Renta, es decr, que por cada ncremento del consumo de un %, la renta se ncrementaría un 0,4%. Ver Wooldrgge, 009: Introduccón a la Econometría: un enfoque moderno. Ed. Parannfo Pg con mayor detalle sobre el efecto de las transformacones logarítmcas.

6 En los casos en los que se combnan nveles y logartmos la nterpretacón es senclla s recordamos que los cambos de la varable en logartmos han de asmlarse a cambos porcentuales en tanto que los cambos en las varables en nveles han de expresarse como cambos en las undades orgnales de esas varables. En la sguente tabla se resume esa nterpretacón: Especfcacón Expresón Interpretacón de Nvel-Nvel y x u Log-nvel Nvel-log Log-Log log( y ) Incremento de undades en y cuando aumenta undad la X (ambas en sus undades de medda orgnales) x u * 00 y log( x ) u / 00 = ncremento porcentual de y cuando aumenta una undad la X =ncremento en undades de y cuando aumenta un % la X log( x u Incremento porcentual de y log( y ) ) cuando aumenta un % la X Insstendo con el nterés conceptual de estas dstntas formulacones, y más allá de la nterpretacón puramente matemátca, es obvo que estas varacones en la medcón de exógenas y endógena permte abordar la estmacón de modelos teórcos que sugeren CONCEPTUALMENTE relacones no lneales entre varables. Efectvamente, el modelo Nvel-Nvel, asume que el cambo de Y ante varacones de X es sempre el msmo, ndependentemente del nvel de partda de Y y de X. Por ejemplo, este sería el modelo correcto s podemos suponer que una habtacón adconal en un pso genera un ncremento de euros en el valor de mercado del nmueble, ndependentemente de s el pso tene una, dos o tres habtacones e ndependentemente del valor que estemos consderando como referenca. Otro ejemplo puede observarse en el gráfco sguente que lustra la relacón entre el número de hjos por mujer (fertldad total) y la esperanza de vda (en años). Aparentemente, el ncremento de años de vda es constante para cada dsmnucón en la fertldad (medda en hjos por mujer) ndependentemente del nvel consderado para la fertldad o la esperanza de vda. La regresón, en un caso como este, se representaría como una línea recta que atravesaría la nube de puntos, y cuya pendente concdría con el parámetro estmado:

7 Relacón Nvel-Nvel: Fertldad total (en número de hjos) y Esperanza de vda (en años) Fuente: GapMnder.com Alternatvamente, los modelos log-log, son ncompatbles con la dea preva y sugeren modelos de elastcdades constantes ; en estos modelos, se presupone que un cambo porcentual en la X genera sempre un cambo porcentual constante en la y. El cambo en nveles no será, por tanto, ndependente del nvel de partda sno que, al ser porcentual, será mayor cuanto mayores sean los nveles de comparacón prevos. El gráfco sguente lustra un ejemplo del modelo log-log entre renta per-cápta ( x ) y el consumo de energía eléctrca ( y ). El hecho de que la lnealdad se verfque utlzando logartmos (log-log) ndca que es constante el ncremento porcentual que se produce en el consumo de energía ante varacones porcentuales en la renta. Dcho de otro modo, un ncremento en la renta de un % genera sempre el msmo ncremento porcentual en el consumo de energía. S el coefcente de la regresón fuera, por ejemplo, gual a (elastcdad renta/electrcdad = ) esto sgnfcaría que en un país pobre (4.000 $) y con bajo consumo (.000 Kw/h) un ncremento de un % en la renta (40$) genera un ncremento porcentual semejante en el consumo (% de.000 = 0 Kw/h). Esa msma elastcdad se mantene constante para nveles más altos de renta lo que sgnfca que los cambos en renta y consumo son mucho mayores: por ejemplo en un país rco (0.000 $) con consumo ya elevado (9.000 Kw/h) un ncremento de un % en la renta sgnfcaría 00 $ más (no 40 $) y el ncremento de consumo de electrcdad que esto mplcaría sería de 90 Kw/h, y no de 0 Kw/h. O dcho de otro modo: que elevar un % la renta mplca un mayor ncremento del consumo de energía eléctrca (en Kw) según la renta de los países es más alta.

8 Relacón Log-Log: Consumo de energía eléctrca (en logartmos) en funcón de la Renta per cápta (en logartmos) Fuente: GapMnder.com Los modelos mxtos, Log Nvel o Nvel Log tenes nterpretacones sencllas en térmnos smlares a los ejemplfcados prevamente. Por ejemplo, el gráfco Nvel-Log sguente, lustra que ES CONSTANTE la mejora en la esperanza de vda, medda en años, para un ncremento PORCENTUAL en la renta per cápta (medda en logartmos). Esto sgnfca que la mejora de la esperanza de vda en un año requere un esfuerzo RELATIVO de ncremento de la renta IGUAL para todos los países: los países más pobres deben crecer porcentualmente lo msmo respecto a su nvel prevo que los rcos PARA MEJORRA UN AÑO su esperanza de vda. Vsto desde una perspectva dferente, el ncremento de renta en dólares necesaro para segur mejorando la esperanza de vda en los países rcos es mucho mayor que el ncremento en dólares requerdo en un país menos desarrollado. Algo smlar sucede con el segundo gráfco: la mejora en la esperanza de vda (en años) requere un ncremento porcentual constante en el gasto santaro (o sea, un ncremento del gasto tanto mayor cuanto mayor sea la cuantía ya gastada prevamente).

9 Relacón Nvel-Log: Esperanza de vda (en años) en funcón de la Renta per cápta (en logartmos) Fuente: GapMnder.com Relacón Nvel-Log: Esperanza de vda (en años) en funcón del Gasto Santaro (en logartmos) Fuente: GapMnder.com

10 Por últmo, el gráfco sguente, lustra una relacón log-nvel entre la renta per cápta (en logartmos) y los años de escolarzacón (en años). La relacón gráfca sugere que el ncremento en los años de escolarzacón medos genera ncrementos de renta relatvos constantes (respecto al nvel prevo) o, vsto desde el otro punto de vsta, que un año más de escolarzacón genera un ncremento en dólares cada vez más grande cuanto mayor es el nvel de renta ya alcanzado. Relacón Log-Nvel: Renta per cápta (en logartmos) en funcón de la escolarzacón (en años) Fuente: GapMnder.com III.- Interpretacón del térmno constante En un modelo econométrco es sempre recomendable nclur un térmno constante tanto para lograr un mejor ajuste en la curva de regresón estmada como para obtener una mejor nterpretabldad de ndcadores de ajuste como, por ejemplo, la R cuadrado. Matemátcamente, la nclusón del térmno constante nos permte que el orgen de la curva de ajuste no parta necesaramente del punto (0,0) en los ejes de coordenadas, lo que cas sempre dará lugar a un mejor ajuste.

11 En el gráfco se puede observar una sere (roja) a estmar. La estmacón de la línea negra contnua es una regresón de una recta con constante y la dscontnua azul es una estmacón sn constante (oblgada a partr del punto 0,0). El ajuste de la segunda es claramente peor que el de la prmera, ya que la sere de nterés (la roja) claramente no parte de este punto (0,0). En defntva, la nclusón de la constante en muchas ocasones sólo es un artfco matemátco para lograr un mejor ajuste, sn que sea posble darle una nterpretacón económca. Sólo en el caso en el que todas las varables explcatvas puderan tomar el valor cero (y en la muestra elegda para realzar la estmacón de hecho tomaran este valor al msmo tempo en alguna ocasón) tendría sentdo nterpretar el parámetro que acompaña a la constante como el valor de la endógena cuando no toman valor el resto de las exógenas. Por ejemplo, en el clásco modelo de consumo teórco de Keynes, este autor denomna al térmno constante consumo autónomo o de subsstenca o aquel que se producría cuando la renta del ndvduo y los precos son cero; entendendo que, en teoría, esta crcunstanca podría darse. En la práctca, cuando se estma este modelo, en la muestra de datos utlzada no fgurará nngún caso en el que los precos (y seguramente tampoco la renta) valgan cero, por lo que el resultado del térmno constante no será nterpretable (pudendo tener, por ejemplo, un sgno negatvo, lo que en prncpo sería ncompatble con la lógca s es que fuera nterpretable). IV.- Interpretacón de los parámetros para varables dcotómcas e nteraccones entre ellas En algunos modelos se plantea la necesdad de utlzar varables dcotómcas: género (masculno o femenno), estado cvl (soltero o casado), naconaldad (extranjero o naconal). Cuando esto sucede, los parámetros tenen una nterpretacón muy concreta que convene conocer. Empezando por el caso más sencllo, con una únca varable, magne un modelo del sguente tpo:

12 salaro sexo u Donde explcamos el salaro en funcón de la varable sexo, una varable dcotómca con valor cero para los hombres y uno para las mujeres. En ese caso, el salaro estmado para hombres y mujeres sería: Salaro estmado para los hombres: ˆ s ˆ ˆ () ˆ ˆ Salaro estmado para las mujeres: ˆ s ˆ ˆ (0) ˆ Es decr, el parámetro estmado β representaría el salaro dferencal de los hombres respecto a las mujeres. Dado que el modelo se verfca en medas, esto sgnfca que la estmacón de β representaría el salaro muestral medo de las mujeres y la suma β + β debe concdr con el salaro muestral medo de los hombres. salaro sexo jornada u S el modelo ncluye otra varable no necesaramente dcotómca, la nterpretacón es nuevamente senclla. Para observarla, magnemos ahora el modelo: salaro sexo edad u En este caso, para dos personas de la msma edad, el salaro estmado sería ahora: Para un hombre: sˆ ˆ ˆ () ˆ h ( Edad ) Para una mujer: sˆ ˆ ˆ (0) ˆ ( ) ˆ ˆ m Edad ( Edad ) De modo que, restando ambas estmacones tenemos: sˆ h sˆ m ˆ ˆ ˆ ( Edad ) ˆ ˆ ( Edad ) ˆ Es decr, nuevamente, el parámetro estmado β representa el salaro dferencal de un hombre respecto a una mujer (para un msmo valor del resto de varables). En este caso, sn embargo, debe tenerse la precaucón de NO INTERPRETAR la estmacón de β como el salaro medo de las mujeres o la suma β + β como el salaro muestral medo de los hombres. Para obtener el salaro medo muestral de hombres y/o mujeres debemos tener en cuenta tambén el parámetro estmado β y los valores medos de edad para hombres y mujeres.

13 Supongamos ahora que tenemos dos varables dcotómcas, por ejemplo el sexo y la, jornada (con valor cero para jornada a tempo parcal y uno para jornada a tempo completo). En este modelo, todas las varables pueden tomar valor cero y todos los parámetros tenen un sgnfcado exacto y fáclmente nterpretable: Sexo \ Tpo jornada Tempo parcal Tempo completo Hombre salaro salaro Mujer salaro salaro En defntva, el salaro del hombre con contrato a tempo parcal se puede asocar drectamente con el valor del parámetro constante y, además, se converte en el valor de referenca sobre el que se puede comparar con el resto de los casos. El parámetro estmado β es la dferenca en el salaro entre la mujer con contrato parcal y el hombre con contrato del msmo tpo, etc. Tal y como se ha planteado este modelo, se está suponendo que las dferencas entre hombres a tempo parcal y completo son las msmas que entre las mujeres a tempo parcal y completo. En este tpo de modelos, para contrastar s estas dferencas no son las msmas, se suele nclur una varable explcatva más que recbe el nombre de nteraccón y que se especfcaría del sguente modo: salaro sexo jornada 4 sexo jornada u El parámetro β 4, en caso de resultar sgnfcatvamente dstnto de cero cuando se realce la estmacón, nos permtría contrastar la dferenca adconal en el salaro en el caso de una mujer a tempo completo. Ahora, la tabla para la nterpretacón de los parámetros quedaría del sguente modo: Sexo \ Tpo jornada Tempo parcal Tempo completo Hombre salaro salaro Mujer salaro salaro 4