APLICACIÓN DE LA LEY DE OHM (II)

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1 APLICACIÓN DE LA LEY DE OHM (II) MEDIDA DE RESISTENCIAS / PUENTE DE WHEATSTONE / MEDIDA DE LA RESISTIVIDAD 1. OBJETIVO Comprobación experimental de las leyes de Kirchhoff. Estudio experimental de la resistividad de conductores metálicos. 2. DESARROLLO TEÓRICO Leyes de Kirchhoff La primera ley de Kirchhoff, también conocida como ley de los nudos nos dice que, la suma de las intensidades que llegan a un nudo es igual a la suma de las intensidades que salen del mismo, estableciéndose normalmente como positivas aquellas corrientes que llegan a un punto de unión y como negativas las que salen de él. ii I ii = 0 (1) La segunda ley, conocida como ley de las mallas afirma que, comenzando por cualquier punto de una red y siguiendo cualquier trayecto cerrado de vuelta hacia él, la suma neta de las diferencias de potencial es igual a cero. Esta segunda ley es sencillamente una generalización de la ley de Ohm. i V i - j I j R j =0 (2) Donde V i son las caídas de tensión a lo largo del circuito cerrado, R j las resistencias e I j las intensidades que pasan por ellas. En un circuito cerrado las resistencias pueden encontrarse asociadas en serie o en paralelo: Figura 1. Resistencias (a) en serie y (b) en paralelo Puente de Wheatstone / Resistividad 1

2 Aplicando las leyes de Kirchhoff a los circuitos de la figura: Circuito (a) V=IR 1 +IR 2 =I(R 1 +R 2 ) R=R 1 +R 2 (3) La resistencia equivalente de dos o más resistencias conectadas en serie es la suma de todas ellas. Circuito (b) I=I 1 +I 2 ; V V I 1 = ; I 2 = R R I = V + R 1 R 2 1 R 1 1 = + (4) R 1 R 2 El inverso de la resistencia equivalente de dos o más resistencias conectadas en paralelo es la suma de los inversos de dichas resistencias. Puente de Wheatstone Cuando se desea conocer el valor de una resistencia con cierta precisión se hace uso de los llamados "circuitos puente". Entre ellos, el más conocido es el puente de Wheatstone cuyo esquema eléctrico es el que se muestra en la figura 2: Figura 2. Puente de Wheatstone El puente de Wheatstone consta de cuatro ramas resistivas, una batería y un detector de cero, generalmente un galvanómetro u otro medidor sensible a la corriente. Este dispositivo nos permite determinar el valor de una resistencia desconocida, R x, conocidas otras tres R 1, R 2 y R, siempre que el puente esté equilibrado, es decir, cuando el amperímetro no detecte paso de corriente, I A =0 A. Aplicando la 1ª ley de Kirchhoff en los puntos F y D: I-I x -I A =0 I 2 -I 1 -I A =0 Puente de Wheatstone / Resistividad 2

3 y la 2ª ley de Kirchhoff en las mallas: ABCFEA: V-R x I X -RI=0 ABCDEA: V-R 2 I 2 -R 1 I 1 =0 DEFD: I 1 R 1 =I x R x +I A R A Resolviendo este sistema de cinco ecuaciones con cinco corrientes desconocidas, se obtiene la siguiente expresión para I A : I A V(R 1R R 2R x ) = (5) B siendo B un término expresado en función de las 4 resistencias. Para que el puente esté equilibrado, la corriente del amperímetro debe ser igual a cero, es decir: Si I A =0 V(R 1 R-R 2 R x )=0 R 1 R=R 2 R x cumpliéndose que el producto de las resistencias opuestas es constante, es decir, en el caso de la figura 2: R 1 R=R 2 R x R 1 R x = R (6) R 2 A las resistencias R 1 y R 2 se las denomina ramas de relación y a la resistencia R rama patrón del puente. La resistencia de un hilo viene dada por la expresión: R =r = r A π r 2 (7) siendo la longitud del hilo metálico, A su sección y r una constante de proporcionalidad denominada resistividad del material. Si sustituimos R 1 y R 2 en función de la expresión (7): R x R 1 = (8) 2 Obtenemos la expresión final a partir de la cual podemos determinar el valor desconocido de una resistencia mediante el puente de Wheatstone. El método es válido y de gran fiabilidad siempre y cuando la rama patrón del puente, R, y la resistencia problema sean del mismo orden de magnitud. Puente de Wheatstone / Resistividad 3

4 3. MATERIAL UTILIZADO Escala de madera graduada, de longitud = 1000 mm, que soporta un hilo metálico, sujeto en los extremos, y un cursor de desplazamiento con enchufe. Fuente de Alimentación Caja de conexiones Multímetro digital 5 Resistencias de valores conocidos (10 Ω, 100 Ω, 680 Ω, 1 kω, 3.3 kω) y 5 resistencias problema (R x6, R x7, R x8, R x9, R x10 ). Cables de conexión 4. EXPERIMENTACIÓN 4.1 Medida de resistencias con un multímetro Para tener una primera estimación de los valores de las resistencias desconocidas, se utilizará un multímetro. Coloque el selector del multímetro en la posición de medida resistencias (Ω) e introduzca la resistencia problema en los bornes del multímetro (COM y Ω), obteniéndose así directamente la lectura del valor de la misma. Elijan siempre la escala de medida adecuada. Anoten los resultados: R x6 R x7 R x8 R x9 R x Asociación de resistencias en serie y en paralelo Tal y como se muestra en la figura 3, utilizando una caja de conexiones, una fuente de alimentación y un multímetro, que actúa como amperímetro, se puede determinar la resistencia equivalente de un circuito, utilizando la ley de Ohm: V V I = R = (9) R I El amperímetro se incorpora al circuito debido a que se van a medir intensidades del orden de miliamperios, que no pueden ser leídas directamente en la fuente de alimentación. Coloquen el selector del multímetro en la posición de medida intensidad en corriente continua (A ) y elijan la escala de lectura adecuada. Puente de Wheatstone / Resistividad 4

5 Figura 3. Ejemplo de Medida de dos Resistencias en Serie Para realizar las medidas de los conjuntos de resistencias que se indican a continuación seleccionen en la fuente de alimentación el voltaje que se indica al lado de cada combinación. - R x7 en serie con R x8 (V 6 Voltios) - R x7 en serie con R x8 y en serie con R x9 (V 6 Voltios) - R x7 en paralelo con R x8 (V 3 Voltios) - (R x7 en paralelo con R x8 ) en serie con R x9 (V 6 Voltios) - (R x7 en serie con R x8 ) en paralelo con R x9 (V 6 Voltios) (En este último caso además de las resistencias necesitan dos cables pequeños para formar el circuito) Comparen los resultados obtenidos utilizando las expresiones (3) y (4) (R equivalente ) con el obtenido aplicando la expresión (9) (R Ohm ). (Los signos (-) y ( ) indican en serie y en paralelo respectivamente) R Ohm (Ω) R equivalente (Ω) % ε R x7 - R x8 R x7 - R x8 R x9 R x7 R x8 Puente de Wheatstone / Resistividad 5

6 R Ohm (Ω) R equivalente (Ω) % ε (R x7 R x8 ) R x9 (R x7 - R x8 ) R x9 4.3 Medida de resistencias con el puente de Wheatstone Monten el circuito que se muestra en la figura 4. Figura 4. Circuito para medida con el Puente de Wheastone Coloquen en serie, en la caja de conexiones, una resistencia problema, R x, y una resistencia conocida R (ver tabla 1). Verifiquen que el multímetro se encuentra en la posición de medida intensidad en corriente continua (A ) y elijan, si es posible, el rango de escala de ma. Ajusten ahora mediante el cursor de desplazamiento los valores de R 1 y R 2 de modo que la intensidad que mida el amperímetro sea nula. Midan en ese momento las longitudes 1 y 2 y, mediante la ecuación (8) obtengan el valor de la resistencia desconocida. Comparen el valor así obtenido con el hallado en el apartado 4.1 e indiquen el error relativo cometido. Realicen el experimento con todas las resistencias de valor desconocido. En la tabla 1 se indican los valores de las resistencias, R, que tienen que utilizar para el cálculo de las resistencias problema, y los voltajes de trabajo. Puente de Wheatstone / Resistividad 6

7 Tabla 1. Datos de Trabajo R x R x6 R x7 R x8 R x9 R x10 R 10 Ω 100 Ω 680 Ω 1 kω 3.3 kω V 0.5 V 4 V 4 V 4 V 4 V Anoten los resultados obtenidos: Laboratorio de Física Valor obtenido con el multímetro Valor obtenido en el puente de Wheatstone % ε R x6 R x7 R x8 R x9 R x10 Cuándo son menores los porcentajes de error? Comenten los resultados. 4.4 Medida de la resistividad de conductores metálicos Hay una serie de materiales, entre los que se incluyen la mayor parte de los metales, que se denominan materiales óhmicos en los cuales la resistencia, R, es independiente del valor de la intensidad de corriente, I, y depende exclusivamente de la longitud del conductor y del área de la sección transversal, ver expresión (7). La resistividad de un material nos da una idea de lo buen o mal conductor que ese material es. Un valor alto de resistividad indica que el material es mal conductor mientras que un valor bajo indica todo lo contrario. Para determinar la resistividad del cobre ó del aluminio, sigan los pasos que se describen a continuación: - Monten el circuito de trabajo que se muestra en la figura 5. - Enciendan el amplificador y verifiquen que los selectores se encuentran en las posiciones correctas de trabajo: Input: Low Drift Amplification: 10 3 ó 10 4 Time Constant: 0 s Puente de Wheatstone / Resistividad 7

8 - Enciendan el multímetro, que va a actuar de voltímetro, y coloquen el selector en la posición de medida adecuada Voltaje en corriente continua (V )). - Comprueben que marca cero, si no es así utilicen el selector 6 del amplificador hasta conseguirlo. - Enciendan ahora la fuente de alimentación y tomen medidas para diferentes valores de intensidad (leídas en la fuente de alimentación) y del voltaje (registradas en el multímetro). Representen Voltaje=f(Intensidad) ó Intensidad=f(Voltaje) y realicen un ajuste por mínimos cuadrados para determinar el valor de la resistencia, R, a partir del valor de la pendiente, teniendo en cuenta la expresión (9). Tengan en cuenta que el valor del voltaje está amplificado. CONDUCTOR: I (A) V(Volt) R(Ω) Fuente de Alimentación Amplificador Multímetro Figura 5. Circuito para medida de la Resistencia en Conductores Metálicos Puente de Wheatstone / Resistividad 8

9 Calculen el valor de la resistividad del material conductor a partir de la expresión (7). Comparen el valor teórico con el experimental y calculen el porcentaje de error cometido. Valores teóricos r(cu) = Ω m (α= K -1 ) r(al) = Ω m (α= K -1 ) Puente de Wheatstone / Resistividad 9