Matemáticas aplicadas a las CC.SS. II 2º Bachillerato

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1 4. PROGRAMACIÓN LINEAL 4.1. Introducción 1. Determina las variables, la función objetivo y el conjunto de restricciones de los siguientes problemas de programación lineal: a) En una empresa de alimentación se dispone de 24 kg de harina de trigo y 15 kg de harina de maíz, que se utilizan para obtener dos tipos de preparados: A y B. La ración del preparado A contiene 200 g de harina de trigo y 300 g de harina de maíz, con 600 Cal de valor energético. La ración de B contiene 200 g de harina de trigo y 100 g de harina de maíz, con 400 Cal de valor energético. Cuántas raciones de cada tipo hay que preparar para obtener el máximo rendimiento energético total? Obtener el rendimiento máximo. x : Número de raciones de tipo A. y : Número de raciones de tipo B. (Maximizar) Rendimiento energético (Cal): 600 x +400 y Cantidad de harina de trigo: x+200 y ; 0 x+ y 120 Cantidad de harina de maíz: x +100 y ; 0 3 x+ y 150 b) Un proyecto de asfaltado puede llevarse a cabo por dos grupos diferentes de una empresa: G1 y G2. Se trata de asfaltar tres zonas: A, B y C. En una semana, el grupo G1 es capaz de asfaltar 3 unidades en la zona A, 2 en la zona B y 2 en la zona C. El grupo G2 es capaz de asfaltar semanalmente 2 unidades en la zona A, 3 en la zona B y 2 en la zona C. El coste semanal se estima en 3300 para G1 y en 3500 para G2. Se necesita asfaltar un mínimo de 6 unidades en la zona A, 12 en la zona B y 10 en la zona C. Cuántas semanas deberá trabajar cada grupo para finalizar el proyecto con el mínimo coste? x : Número de semanas que trabaja el grupo G1. y : Número de semanas que trabaja el grupo G2. (Minimizar) Coste ( ): x y Unidades asfaltadas en la zona A: 6 3 x+ 2 y Unidades asfaltadas en la zona B: 12 2 x+3 y Unidades asfaltadas en la zona C: 10 2 x+2 y ; 5 x+ y c) Una empresa, especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas, produce cierto tipo de mesas y sillas que vende a 12 y 18 por unidad, respectivamente. Desea saber cuántas unidades de cada artículo debe fabricar diariamente un operario para maximizar los ingresos, teniéndose en cuenta que el número total de unidades de los dos tipos no podrá exceder de 4 por día y operario; cada mesa requiere 2 h para su fabricación y cada silla 3 h, siendo la jornada laboral máxima de 10 h; el material utilizado en cada mesa cuesta 2,40 y el material utilizado en cada silla cuesta 1,20, disponiendo cada operario de 7,20 diarios para material. x : Número de mesas que se fabrica diariamente. y : Número de sillas que se fabrica diariamente. (Maximizar) Ingresos ( ): 12 x +18 y Raúl Corraliza 109

2 Nº total de unidades fabricadas: 0 x + y 4 Tiempo de trabajo: 0 2 x +3 y 10 Coste de material: 0 2,40 x +1,20 y 7,20 ; 0 2 x + y Resolución de problemas de Programación Lineal 2. Resuelve los problemas de programación lineal expuestos en el ejercicio 1. Problema a) Vértice X Y Función objetivo (Cal) O A B C La solución corresponde al vértice B: Se deben preparar 15 raciones de tipo A y 105 raciones de tipo B para obtener un rendimiento máximo total, igual a Cal. Problema b) 110 Raúl Corraliza

3 A B C La solución corresponde al vértice B: El grupo G1 debe trabajar 3 semanas y el grupo G2 debe trabajar 2 semanas para finalizar el proyecto con un coste mínimo, igual a Problema c) O A 0 10/3 60 B C La solución corresponde al vértice B (el vértice A no es solución, pues la variable y no toma un valor entero; y en ningún punto de la arista que une A con B ambas variables toman variables enteros simultáneamente): Cada operario debe fabricar 2 mesas y 2 sillas para maximizar obtener un ingreso máximo, igual a Resuelve los siguientes problemas de programación lineal: a) Una papelería quiere liquidar hasta 78 kg de papel reciclado y hasta 138 kg de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B. Los lotes A están formados por 1 kg de papel reciclado y 3 kg de papel normal, y los lotes B por 2 kg de papel de cada clase. El precio de venta de cada lote A es de 0,9 y el de cada lote B es de 1. Cuántos lotes A y B debe vender para maximizar sus ingresos? A cuánto ascienden estos ingresos máximos? x : Número de lotes A vendidos. y : Número de lotes B vendidos. (Maximizar) Ingresos ( ): 0,90 x +1,00 y Raúl Corraliza 111

4 Papel reciclado: 0 x +2 y 78 Papel normal: 0 3 x+ 2 y 138 O 0 0 0,00 A ,00 B ,00 C ,40 La solución corresponde al vértice B: Se deben vender 30 lotes A y 24 lotes B para obtener un ingreso máximo, igual a 51. b) Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños: pequeño y grande. La capacidad de sus congeladores no permite almacenar más de 1000 envases en total. En función de la demanda sabe que debe mantener un stock mínimo de 100 envases pequeños y 200 envases grandes. La demanda de envases grandes es igual o superior a la de envases pequeños. El coste por almacenaje es de 10 céntimos de euro para cada envase pequeño y de 20 céntimos de euro para cada envase grande. Qué cantidad de cada tipo de envases proporciona el mínimo gasto de almacenaje? Obtener dicho mínimo. x : Número de envases pequeños. y : Número de envases grandes. (Minimizar) Gastos ( ): 0,10 x +0,20 y Stock: 0 x 100 ; 0 y 200 Capacidad de congeladores: 0 x + y Demanda relativa: y x 112 Raúl Corraliza

5 A B C D La solución corresponde al vértice A: Se deben emplear 100 envases pequeños y 200 envases grandes para obtener unos gastos de almacenaje mínimos, iguales a 50. c) Un establecimiento de prendas deportivas tiene almacenados 1600 bañadores, 1000 gafas de baño y 800 gorros de baño. Se quiere incentivar la compra de estos productos mediante la oferta de dos tipos de lotes: el lote A, que produce un beneficio de 8, formado por un bañador, un gorro y unas gafas, y el lote B que produce un beneficio de 10 está formado por dos bañadores y unas gafas. Sabiendo que la publicidad de esta oferta tendrá un coste de 1500 a deducir de los beneficios, se pide calcular el número de lotes A y B que harán máximo el beneficio y a cuánto asciende éste. x : Número de lotes A. y : Número de lotes B. (Maximizar) Beneficio neto ( ): 8 x+ 10 y Bañadores: 0 x +2 y Gafas de baño: 0 x+ y 1000 Gorros de baño: 0 x 800 Raúl Corraliza 113

6 O A B C D La solución corresponde al vértice B: Se deben vender 400 lotes A y 600 lotes B para obtener un beneficio máximo, igual a d) Un producto se compone de la mezcla de otros dos A y B. Se tienen 500 kg de A y 500 kg de B. En la mezcla, el peso de B debe ser menor o igual que 1,5 veces el de A. Para satisfacer la demanda, la producción debe ser mayor o igual que 60 kg. Sabiendo que cada kg de A cuesta 5 y cada kg de B cuesta 4, calcular los kg de A y B que deben emplearse para hacer una mezcla de coste mínimo, que cumpla los requisitos anteriores. Obtener dicho coste mínimo. x : Número de kg de A. y : Número de kg de B. (Minimizar) Coste ( ): 5 x+ 4 y Stock: 0 x 500 ; 0 y 500 Composición: y 1,5 x Demanda: 0 x + y 60 A B 333, ,65 C D E La solución corresponde al vértice A: Se deben emplear 24 kg de A y 36 kg de B para obtener un coste mínimo, igual a Raúl Corraliza

7 e) Un vendedor quiere dar salida a 400 kg de garbanzos, 300 kg de lentejas y 250 kg de judías. Para ello hace dos tipos de paquetes. Los de tipo A contienen 2 kg de garbanzos, 2 kg de lentejas y 1 kg de judías, y los de tipo B contienen 3 kg de garbanzos, 1 kg de lentejas y 2 kg de judías. El precio de venta de cada paquete es de 20 para los de tipo A y de 30 para los de tipo B. Cuántos paquetes de cada tipo debe vender para obtener el máximo beneficio, y a cuánto asciende éste? x : Número de paquetes de tipo A. y : Número de paquetes de tipo B. (Maximizar) Beneficio ( ): 20 x +30 y Garbanzos: 0 2 x +3 y 400 Lentejas: 0 2 x + y 300 Judías: 0 x+2 y 250 O A B C D La solución corresponde a una combinación lineal convexa de los vértices B y C: Se deben emplear λ 50+(1 λ) 125= λ paquetes de tipo A y λ 100+(1 λ ) 50=50+50 λ paquetes de tipo B ( λ [0,1] ) para obtener un beneficio máximo, igual a Raúl Corraliza 115

8 4. Resuelve el siguiente problema de síntesis: Una compañía aérea tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B, pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos, pero menos de 200. En cada vuelo, A consume 900 L de combustible y B consume 700 L. En cada viaje del avión A la empresa gana 3000 y 200 por cada viaje del avión B. Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias? Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible sea el mínimo? x : Número de viajes del avión A. y : Número de viajes del avión B. Funciones objetivo: (Maximizar) Ganancias ( ): 3000 x +200 y (Minimizar) Consumo de combustible (L): 900 x +700 y y x x+ y 200 Función objetivo Vértice X Y Ganancias ( ) Consumo (L) A B C D E En lo que respecta a las ganancias, la solución corresponde al vértice C: El avión A debe hacer 120 viajes y el avión B debe hacer 80 viajes para obtener unas ganancias máximas, iguales a En lo que respecta al consumo de combustible, la solución corresponde al vértice A: El avión A debe hacer 30 viajes y el avión B debe hacer 30 viajes para obtener un consumo de combustible mínimo, igual a L. 116 Raúl Corraliza

9 No es posible optimizar simultáneamente ambas funciones objetivo. Se construye una función objetivo auxiliar: (Maximizar) λ (3000 x +200 y) k(1 λ )( 900 x +700 y) El parámetro k convierte litros de combustible en euros, para homogeneizar las funciones objetivo. El parámetro λ [0,1] pondera ambas funciones objetivos: En el caso λ=0 se obtiene: (Maximizar) (900 x +700 y), equivalente a (Minimizar) 900 x +700 y (minimizar consumo de combustible). En el caso λ=1 se obtiene: (Maximizar) 3000 x +200 y (maximizar ganancias) En función de λ : (Maximizar) (3000 x+ 200 y+ 900 k x+ 700 k y)λ 900k x 700 k y A ( k)λ k B ( k)λ k C ( k)λ k D ( k)λ k E 60 0 ( k)λ k Vértices de la región factible (eligiendo k =1 ): A λ B λ C λ D λ E λ Raúl Corraliza 117

10 Solución (en función de λ ): λ Vértice X Y Función objetivo Ganancias ( ) Consumo (L) [0 ; 0,07] A [0,07 ; 0,23] E [0,23 ; 0,78] D [0,78 ; 1] C Raúl Corraliza