ETS Minas: Métodos matemáticos Ejercicios resueltos Tema 1 Preliminares

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1 ETS Minas: Métodos matemáticos Ejercicios resueltos Tema Preliminares Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Curso 006/07 Agosto 006, versión. Ejercicio Resuelve las siguientes desigualdades (a) x. (b) 4x +> x. (c) x x +. (d) x <x. x (e) Resuelve las desigualdades con Maple. (a) Es una inecuación lineal, podemos resolverla directamente. la solución es (, ]. (b) Es una inecuación lineal. x x 4 x 4x + > x x > x > / la solución es el intervalo abierto ( /, + ). (c) Es una inecuación cuadrática, en este caso no podemos resolverla directamente. Escribimos la inecuación en la forma f(x) 0 x x 0.

2 Francisco Palacios Tema : Preliminares. La función f(x) =x x no tiene puntos de discontinuidad. Determinamos los ceros resolviendo la ecuación x x =0, x = ± ½ 4+4 x = = = x =+. =. 44 La función f(x) tiene signo constante en los intervalos I =(,x ), I =(x,x ), I =(x, + ). Para determinar dicho signo, tomamos un punto de prueba en cada intervalo c j I j y calculamos el valor f(c j ). c j f(c j ) signo (,x ) (x,x ) 0 ª (x, + ) Porlotanto,lasoluciónes, +, +. (d) La inecuación no es lineal. La expresamos en la forma f(x) < 0. x <x x x x +< 0 x x +4x < 0 x Para mayor comodidad, cambiamos de signo a toda la desigualdad, x 4x + > 0 x Debemos averiguar en qué intervalos la función f(x) = x 4x + x toma valores estrictamente positivos. La función f(x) tiene una discontinuidad en x =0; para calcular los ceros, resolvemos x 4x +=0 x = 4 ± 6 4 = 4 ± = 4 ± =± La función f(x) puede cambiar de signo en los puntos x = 0 x = ' x = + '. 7

3 Francisco Palacios Tema : Preliminares. por lo tanto, tiene signo constante en los intervalos I =(,x ), I =(x,x ), I =(x,x ), I 4 =(x, + ). Para determinar dicho signo, tomamos un punto de prueba en cada intervalo c j I j y calculamos el valor f(c j ). c j f(c j ) signo (,x ) 6 ª (x,x ) (x,x ) ª (x, + ) 4 4 La solución es I I 4 = 0, +, +. Ejercicio Determina del dominio de las siguientes funciones (a) f(x) = x. (b) f(x) =ln(x x). (c) f(x) = x. (d) Representa gráficamente las funciones y verifica los resultados. (a) Paraquelaraízcuadradaestédefinida, se ha de cumplir x 0. Resolvemos la inecuación cuadrática y obtenemos Dom(f) =(, ] [, + ). (b) Para que el logaritmo esté definido, se debe cumplir x x>0. Resulta Dom(f) =(, 0) (, + ). (c) Paraquelaraízcuadradaestébiendefinida, debe cumplirse x 0, además, debemos evitar que el denominador se anule, por lo tanto Dom(f) ={x R : x > 0}

4 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 4 Si resolvemos la desigualdad x > 0 resulta Dom(f) = ³,. (d) Ver resolución con Maple. Ejercicio Consideramos la función f(x) =x ln x. (a) Calcula M = max x [,] f 000 (x), m = min x [,] f 000 (x). (b) Calcula las derivadas con Maple; usa un gráfico para estimar M y m. (a) Calculamos f 000 (x) f(x) =x ln x f 0 (x) =xln x + x f 00 (x) =lnx + La función objetivo es f 000 (x) = x h(x) = x Observamos que la función h(x) es continua en el intervalo cerrado [, ]. Calculamos la derivada de h(x) h 0 (x) = x h 0 (x) es negativa en [, ], por lo tanto, h(x) es decreciente en el intervalo M = max h(x) =h() = x [,] m = min h(x) =h() = x [,] (b) Ver resolución con Maple. Ejercicio 4 Consideramos la función f(x) =xe x.

5 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 5 (a) Calcula M = max x [0,] f (iv) (x), m = min x [0,] f (iv) (x). (b) Calcula las derivadas con Maple; usa un gráfico para estimar M y m. (a) Calculamos f (4) (x) f(x) =xe x, La función objetivo es f 0 (x) =e x + xe x, f 00 (x) =e x + xe x, f 000 (x) =e x + xe x, f (4) (x) =4e x + xe x. h(x) =4e x + xe x. Calculamos la derivada de la función objetivo h 0 (x) =5e x + xe x. h 0 (x) es suma de términos positivos y, por lo tanto, es positiva en [0, ]; entonces resulta que la función objetivo h(x) es creciente en el intervalo M = max x [0,] h(x) =h() = 6e, m = min h(x) =h(0) = 4. x [0,] (b) Ver resolución con Maple. Ejercicio 5 Sean dos números reales a<b,estudia si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas. En caso de ser falsas, encuentra un contraejemplo. (a) a >b. (b) a< b. (c) ln a<ln b. (d) a <b. (e) cos a<cos b. (f) e a <e b.

6 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 6 (g) e a <e b. (a) Es falsa. Si tomamos f(x) = x y calculamos la primera derivada, resulta f 0 (x) =x, que es positiva para todo x R. Obtenemos que f(x) = x es una función creciente en todo R, en consecuencia, si a<b,debe ser a <b. (b) Si a y b son números reales arbitrarios, a o b pueden no existir. f(x) = x está bien definida y es creciente en el intervalo [0, + ), por lo tanto si 0 a<b,entonces se cumple a< b. (c) Este caso es parecido al anterior, si a 0, la desigualdad ln a<ln b no tiene sentido. Por otra parte, la función f(x) =lnx está bien definida y es creciente en el intervalo (0, + ), por lo tanto, si 0 <a<b,entonces se cumple ln a<ln b. (d) En general es falsa. Tomemos por ejemplo a = y b =, entonces tenemos a<bysinembargoa >b. La función f(x) =x es creciente en el intervalo [0, + ), por lo tanto, si 0 a<b,entonces se cumple a <b. (e) En general es falsa. (f) Cierta, f(x) =e x es creciente en todo R. (g) Falsa, f(x) =e x es decreciente en todo R. Ejercicio 6 Determina el menor n N que verifica e 80n 0. e 80n 0, e 80 0 n, e 9 0 n, 00e n, 9 r 00e n = 0 e ' Como n debe ser un número natural, la solución es n =6. Ejercicio 7 Consideramos la función h(x) = x +sinxcos x + x +.

7 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 7 (a) Usando las propiedades del valor absoluto, determina una cota superior de la función en el intervalo [0, ]. (b) Representa la función con Maple y verifica el resultado. (a) Aplicamos la desigualdad triangular: x +sinxcos x + x + x + sin x cos x + x +. Si x [0, ], resulta que las expresiones x, sin x cos x, y son todas x + positivas, por lo tanto x +sinxcos x + x + x +sinxcos x + x +, El primer término es creciente y el último decreciente max x [0,] x =, max x [0,] x + = El comportamiento del término sin x cos x no está tan claro, no obstante, como sin x y cos x, podemos asegurar que sin x cos x, yporlotantosin x cos x. Finalmente, obtenemos: x +sinxcos x + x =4.5 Nota. Observa que en este caso no sería correcto el siguiente razonamiento: como sin x y cos x, entonces sin x cos x. En general si a b y c d, no podemos garantizar que ac bd. En efecto, podemos tomar y, si multiplicamos término a término las desigualdades, resulta 6. La siguiente propiedad sí es cierta: si a b y 0 c d, entonces ac bd. Como sin x y 0 cos x, sí que podemos afirmar que sin x cos x yporlotanto sin x cos x es decir (b) Ver resolución con Maple. sin x cos x.

8 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 8 Ejercicio 8 Consideramos la función f(x) = x ln x. (a) Determina los extremos absolutos de f(x) sobre el intervalo [, ]. (b) Representa la función con Maple y verifica el resultado. (a) La función f(x) es continua en el intervalo cerrado [/, ], por lo tanto tiene extremos absolutos en [/, ]. Los extremos absolutos de f(x) pueden producirse en Puntos frontera del intervalo: x =/, x =. Puntos interiores x (/, ) que son puntos críticos de f(x). Como f(x) es de la forma f(x) = g(x), con g(x) =x ln x, los puntos críticos de f(x) se producen en una de las tres situaciones siguientes: (i) g(x) =0, (ii) g 0 (x) =0, (iii) g 0 (x) no existe. (i) Resolvemos x ln(x) = 0 ln x = 0 x =. (ii) g 0 (x) =lnx +. Resolvemos ln x + = 0 ln x = x = e = e ' / (/, ). (iii) Finalmente, observamos que g(x) es derivable en todo el intervalo (/, ). Calculamos el valor de f(x) sobre los puntos candidatos Por lo tanto M = x f(x) / max f(x) =f() =.958, m = min f(x) =f() = 0. x (/,) x (/,) (b) Ver resolución con Maple.

9 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 9 Ejercicio 9 Dada la función f(x) =x ln x y el intervalo [a, b] =[, ] (a) Determina una cota superior para f (iv) (t), t [a, b]. (b) Usa la cota obtenida para determinar un valor de h, lo más grande posible, que verifique E s (h) < E s (h) = b a 80 h4 f (iv) (t), t [a, b]. (a) Calculamos f (iv) (x). f(x) = x ln x f 0 (x) = x ln x + x f 00 (x) = lnx + f 000 (x) = x f (iv) (x) = x La función objetivo es g(x) = x = x. Calculamos g 0 (x) = 4/x, queesnegativaentodoelintervalo[, ]; por lo tanto, g(x) es decreciente en el intervalo M = max f (iv) (x) = max g(x) =g() = x [,] x [,] =. (b) Queremos determinar un valor de h tal que b a 80 h4 f (iv) (t) , t [a, b] Sustituimos el valor de a y b y aplicamos las propiedades del valor absoluto b a 80 h4 f (iv) (t) = 80 h4 f (iv) (t) = f 80 h4 (iv) (t) Teniendo en cuenta la cota superior obtenida en el apartado anterior, resulta b a 80 h4 f (iv) (t) 80 h4 = h4 90. Exigimos h

10 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 0 y resolvemos la desigualdad h h 4p = Si tomamos h =0.590, podemos garantizar que se cumple b a 80 h4 f (iv) (t) para todo t [, ]. Ejercicio 0 Consideramos la función f(x) =e x/. (a) Calcula una cota superior M n tal que f (n) (t) M n, t [0, ]. (b) Usa M n+ para determinar un valor de n N, lomenorposible,que verifique f (n+) (t) R n (x) = (n +)! xn+ 0 5, t,x [0, ]. (a) Calculamos algunas derivadas de f(t) f(t) = e t/ f 0 (t) = e t/, f 0 (t) = e t/ f 00 (t) = f 00 (t) = 4 e t/, e t/ f 00 (t) = 4 e t/, f 00 (t) = e t/ f 000 (t) = 8 e t/, f 000 (t) = e t/ La función objetivo es h(t) = f (n) (t) = n e t/, calculamos la primera derivada de h(t) h 0 (t) = e t/ n+ que es negativa para todo valor de t, por lo tanto, h(t) es decreciente y resulta M n =max f (n) (t) =maxh(t) =h(0) = t [0,] t [0,] n.

11 Francisco Palacios Tema : Preliminares. (b) Aplicamos la propiedad ab = a b y resulta f (n+) (t) (n +)! xn+ = f (n+) (t) (n +)! xn+ Como x [0, ], tenemos xn+, para f (n+) (t) usamos la cota superior del apartado (a). f (n+) (t) (n +)! xn+ M n+ (n +)! = n+ (n +)! Exigimos n+ (n +)! Recordamos que n N, por lo tanto, podemos resolver la desigualdad calculando algunos valores n n+ (n+)! 4! =0. 5 8! = ! = ! = ! = ! = La solución es n =6. Ejercicio Efectúa las siguientes operaciones (a) ( +i) ( 5i). (b) ( + 4i)( +4i). i (c) 4+i. (d) Verifica los resultados con Maple.

12 Francisco Palacios Tema : Preliminares. (a) (b) (c) ( +i) ( 5i) = ++(+5)i = +7i. ( + 4i)( +4i) = ( )i = 5. i 4+i = ( i)(4 i) (4 + i)(4 i) = 9+(9 ) i = 5 5 i. (d) Ver resolución con Maple. Ejercicio Calcula (a) 4 i (indicación: plantea (a + bi) =4 i y resuelve el sistema resultante.) µ i (b) z =. +i (c) w = 4i 4+i. (d) Verifica los resultados con Maple. (a) Planteamos Resulta a + bi = 4 i (a + bi) = 4 i (a b )+abi = 4 i Igualamos las partes real e imaginaria ½ a b =4 ab = Observamos que a =0no es solución, para a 6= 0, podemos despejar b en la segunda ecuación b = a y sustituir en la primera a µ =4, a

13 Francisco Palacios Tema : Preliminares. a 9 4a =4. Multiplicamos por 4a 4a 4 9=6a y reordenamos 4a 4 6a 9=0. Hemos obtenido una ecuación bicuadrática, efectuamos el cambio a = t yresolvemosent t = 6 ± t 6t 9=0 = 6 ± = 6 ± 0. 8 Recordamos que a y b deben ser números reales, por lo tanto sólo es válida la solución t = 6 8 = 9 de donde obtenemos La solución es a =, b = ³ = z = + i a =, b = ³ = z = + i µ z = ± + i Es inmediato verificar que la solución es correcta (b) z = µ ± + µ 9 i = + i =4 i. µ i = ( i) +i ( +i) = ( ) ( + 4i) 4i = = = 4i ( 4i)(+4i) i. (c) 4i 4+i = =5. Ejercicio Halla el módulo y el argumento de los siguientes números complejos.

14 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 4 (a) z =+4i. (b) z = i. (c) z = +i. (d) z 4 =( +i). (a) z = 9+6= 5 = 5. Para determinar el argumento, observamos que el punto correspondiente a z está en el primer cuadrante, por lo tanto θ =arctan 4 =0. 97 rad. (b) z = 4+9=. El punto Z está en el cuarto cuadrante, por lo tanto θ = arctan = rad. (c) z = +=. El punto Z está en el segundo cuadrante, θ = π + arctan = π π 4 = 4 π rad. (d) z 4 = i = i. Tenemos z 4 =, θ 4 = π rad. Ejercicio 4 Resuelve las siguientes ecuaciones. (a) z +iz =0. Observa que las soluciones no son complejos conjugados Cómo se explica este hecho? (b) z z 4=0(indicación: ensaya los divisores del término independiente para reducir el grado) (c) Sustituye las soluciones obtenidas en las ecuaciones para verificar los resultados. (d) Resuelve las ecuaciones con Maple (a) las soluciones son z = i ± i +4 = i ± z = i, z = i.

15 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 5 Los coeficientes de la ecuación son complejos, en este caso las soluciones no tienen porque ser complejos conjugados. (b) Para z =, resulta 0 4 ) por lo tanto, tenemos la descomposición z z 4=(z ) z +z + resolvemos la ecuación z +z +=0 z = ± 4 8 = ± 4 las soluciones de la ecuación son = ± i z =, z = +i, z = i. (c) Si sustituimos z = i en z + iz +, resulta Ã! Ã! i + i i = 4 4 i + i + = i + i + =0 Para z = i obtenemos Ã! Ã! i + i i = i Tomamos ahora la ecuación z z 4=0 i + = + i i + =0

16 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 6 y verifiquemos que el complejo z = + i es una solución. Previamente calculamos ( +i) =( +i) ( +i) =( i)( +i) =( i)( +i) =+i Sustituyendo en la ecuación, resulta z z 4=+i ( +i) 4=+i + i 4=0. (d) Ver resolución con Maple. Ejercicio 5 Determina la forma polar, trigonométrica y exponencial de los siguientes complejos. (a) z =+i. (b) z = + i. (c) z =. (d) z 4 =i. (e) z 5 = i. z r θ polar trigonométrica exponencial π +i 4 π cos π 4 + i sin π 4 e i π π i () π cos π 4 + i sin π e i π π () π cos π + i sin π e iπ π i () π cos π + i sin π e i π i π () π cos π Ejercicio 6 Sean z =+i, w = +i. (a) Calcula z w. (b) Repite los cálculos usando la forma exponencial. + i sin π e i π (a) z =(+i) = +i =i w = ( +i) =( ) +( ) i +( ) i + i = +i + i =+i

17 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 7 Finalmente z w = i +i = i +i = i ( i) ( + i)( i) = i i + = + i. (b) Expresamos los complejos en forma exponencial Entonces z w = ³ e π 4 i ³ e 4 z = e π 4 i, w = e 4 i. π i e = i e = e ( π 9 4 i 9π 4 )i = e 7π 4 i Para mayor claridad, reducimos el argumento a la primera vuelta, sumando π z w = 7π e ( 4 +π)i = e π 4 i, finalmente, si expresamos el resultado en forma binómica, vemos que el resultado coincide con el obtenido anteriormente e π 4 i = ³ cos π 4 + i sin π = µ + i = 4 + i. Ejercicio 7 Demuestralapropiedad z z = z z. (a) Directamente, a partir de la definición de módulo. (b) Usando las propiedades del conjugado. (a) Tomamos entonces z z = z = a + b i, z = a + b i, q q z = a + b, z = a + b, = Por otra parte, calculamos q q q a a + b a + b = + b a + b q a a + a b + b a + b b z z =(a + b i)(a + b i)=a a b b + i (a b + a b ),

18 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 8 entonces z z = = = q (a a b b ) +(a b + a b ) q a a + b b a a b b + a b + a b +a a b b q a a + a b + b a + b b = z z. (b) Si usamos las propiedades z z = z y z z = z z podemos realizar una demostración más simple. z z = z z z z = z z z z = z z z z = z z, resulta z z = q q z z = q z z = z z. Ejercicio 8 Sea P (x) =a 0 +a x+ +a n x n un polinomio con coeficientes reales. Demuestra que las raíces complejas, de existir, aparecen en pares conjugados. Supongamos que el complejo z verifica a 0 + a z + + a n z n =0 entonces a 0 + a z + + a n z n = 0. Aplicamos la propiedad z + z = z + z ylapropiedadz z = z z ahora aplicamos (z n )= z n, resulta a 0 + a z + + a n z n =0 ā 0 +ā z +ā (z )+ +ā n (z n )=0, ā 0 +ā z +ā z + +ā n z n =0, finalmente, observamos que los coeficientes a j son números reales y, por lo tanto, se cumple ā j = a j, esto es a 0 + a z + + a n z n =0 En definitiva, obtenemos que si el complejo z verifica P (z) =0, entonces P ( z) =0.

19 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 9 Ejercicio 9 Demuestra que si z = a ± bi son raíces de un polinomio, entonces el polinomio es divisible por Q(x) =((x a) + b ). Si el polinomio P (x) tiene las raíces z = a ± bi, entonces podemos escribirlo en la forma P (x) =(x a bi)(x a + bi) C(x) Si efectuamos el producto (x a bi)(x a + bi), resulta (x a bi)(x a + bi) =(x a) (bi) =(x a) + b por lo tanto, P (x) puede escribirse en la forma h P (x) = (x a) + b i C(x) Ejercicio 0 Sea P (x) =a 0 +a x+ +a n x n un polinomio con coeficientes reales y z = a + bi C. (a) Demuestra que el valor de P (z) coincide con el valor R(z) que se obtiene sustituyendo z en el resto que se obtiene al dividir P (x) por Q(x) =(x z)(x z) =((x a) + b ). (b) Aplica el resultado para calcular P ( + i) con (c) Verifica el resultado con Maple. P (x) =+x + x x +4x 4. (a) Supondremos que P (x) tiene grado mayor o igual a. Podemos escribir P (x) =Q(x) C(x) +R(x) donde C(x) es el cociente de la división y R(x) es el resto. Como Q(z) =0, obtenemos P (z) =Q(z) C(z) +R(z) =R(z). (b) Para calcular P (z) sustituyendo directamente, tendríamos que calcular z,z y z 4. Como P (x) es un polinomio de coeficientes reales, podemos dividir P (x) por Q(x) =(x ) +=x +x +

20 Francisco Palacios Tema : Preliminares. 0 yevaluarr(z). 4x x x +x + x x + 4x 8x 8x 4x +6x +5 6x 7x +x 6x +x x 5x x + 5x +0x 0 x 9 Elrestodeladivisión,es por lo tanto, resulta R(x) = x 9 (c) Ver resolución con Maple. p(z) =R(z) = ( + i) 9= 0 i.