Regla de la cadena. Ejemplo 1. y = f (g(x)) Como las funciones son diferenciables son suaves.
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- Gustavo Caballero Maestre
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1 1 Regla e la caena Hasta aquí hemos erivao funciones que no son compuestas. El problema surge cuano tenemos una función que es compuesta, por ejemplo, igamos que el precio e la gasolina epene el precio el ólar. A su vez el precio el ólar epene e otro factor, como el precio el euro. Si D es el precio el ólar y E es el precio el Euro, entonces, D f (E). A su vez, si G es el precio e la gasolina, tenemos que G g(d) g( f (E)). Así que necesitamos una forma e erivar funciones compuestas. Ejemplo 1 Suponieno que las funciones y f (u), y u g(x) son iferenciables un intervalo abierto I, calcula la erivaa e la función compuesta: y f (g(x)) Como las funciones son iferenciables son suaves. Entonces, pequeños incrementos en x ocasionarán pequeños incrementos en u y éste a su vez en y. Esto nos permite escribir: y u u ɛ one ɛ es un número muy pequeño que tiene a cero conforme x tiene a cero. y(u) u ɛ y u u Entonces, y x u x ɛ u x
2 2 Tomano el límite cuano el incremento en x se hace cero, obtenemos: ( ) ( y lim lim x 0 x x 0 u x ɛ u ) x ( ) ( u lim lim ɛ u ) x 0 x x 0 x (0) Esta es la regla e la caena: ( f (g(x))) one se supone que las funciones y f (u), y u g(x) son iferenciables. En palabras, la regla e la caena nos ice que para erivar una función compuesta: y f (g(x)) ebemos primero erivar la función y f (u) (respecto e u) y espués erivar u g(x) (respecto e x). Al multiplicar estos resultaos obtenemos la erivaa e y respecto e x. Ahora poemos aplicar esta regla para ecir completamente la erivaa e una función exponencial. Ejemplo 2 Dece la regla e erivación e la función: y a x Si y a x, se sigue que x log a y. Derivano ambos laos e la iguala respecto e x obtenemos: 1 y log a e one hemos aplicao la regla e la caena, porque y a x, es una función e x. De esta última iguala poemos fácilmente espejar /: y log a e ax log a e Utilizano las propieaes e los logaritmos poemos reescribir el resultao como: ax log e a Para el caso particular en el cual a e, obtenemos: (e x ) e x ln e e x
3 3 En palabras, este resultao nos ice que la razón e cambio instantánea e la función y e x es igual a la función misma para caa uno e sus puntos. Gracias a la regla e la caena poemos erivar funciones compuestas aplicano las emás reglas e erivación que ya hemos ecio antes. Ejemplo 3 Calcula la erivaa e la función: y (2 x + 5) 27 aplicano la regla para erivar una potencia y la regla e la caena. La regla para erivar una potencia es: (x n ) n x n 1 En este caso, el argumento e la función es: u 2 x + 5, cuya erivaa es fácil e calcular: (2 x + 5) 2 Ahora poemos hacer el cambio e variable: u 2 x + 5 y erivamos: y u u26 (u) Y al sustituir u 2 x + 5 en el resultao junto con su erivaa, obtenemos: Y terminamos. 27 (2 x + 5)26 (2) 54 (2 x + 5) 26 Observa que multiplicamos (2)(27) para obtener 54 como coeficiente. El 2 salió e erivar el argumento e la función que eseabamos erivar. A partir e los ejemplos anteriores, vemos que ebemos aplicar la regla e la caena a toas las reglas e erivación que conocemos. El siguiente resumen e fórmulas contiene toas las reglas e erivación que conocemos hasta ahora. (u + v) + v (un ) n 1 nu (u v) ( u ) v u v + v v u v v 2 (sin u) (cos u) cos u sin u
4 4 (tan u) (sec u) (csc u) (cot u) (arcsin u) (arccos u) (arctan u) sec 2 u sec u tan u csc u cot u csc 2 u 1 1 u u u 2 (arccsc u) (arcsec u) (arccot u) (log a u) (ln u) (au ) (eu ) 1 u 1 u u u u u 2 log a e u a u ln a e u A partir e aquí, utilizaremos el formulario para erivar funciones e una manera más rápia y sencilla. Ejemplo 4 Calcula la erivaa e la siguiente función: y sin(2 x) + cos(3 x + π) Ya sabemos que la erivaa e una suma e funciones es igual a la suma e sus erivaas. Así que nos conviene efinir: f (x) sin(2 x), y g(x) cos(3 x + π). Usano u 2 x y v 3 x es fácil ecir que 2 y v 3 Sustituyeno esto en la regla e la caena aplicaa a la erivaa e y respecto e x, obtenemos: (sin(u)) cos(u) + (cos(v)) sin(v) v cos(2 x)(2) sin(3 x + π)(3) 2 cos(2 x) 3 sin(3 x + π) Y terminamos. Ejemplo 5 Calcula la erivaa e la función: y e x2
5 5 Definieno: u x 2, es fácil ver que 2 x Sustituyeno esto en la regla e erivación corresponiente, obtenemos: (e x2) (eu ) e u Al realizar las operaciones inicaas, resulta: (e x2) e u e x2 (2 x) 2 xe x2 Entonces, (e x2) 2 xe x2 Calcula la erivaa e la función: y x tan(2 x) Ejemplo 6 Para erivar esta función tenemos que aplicar: Regla el procto, Regla e la caena Definimos: f (x) x, y g(x) tan(2 x). La erivaa e f (x) es inmeiata: f (x) 1. Por otra parte, la erivaa e g(x) requiere la aplicación e las reglas e la caena y para erivar la tangente: one u 2 x, por lo que: u 2. (tan(u)) sec 2 u Sustituyeno estos valores en la erivaa e g(x) obtenemos: g (x) (tan(u)) 2 sec 2 (2 x) Ahora poemos sustituir f (x) x f (x) 1 g(x) tan(2 x) g (x) 2 sec 2 (2 x)
6 6 en la regla para erivar el procto e os funciones: f (x) g (x) + g(x) f (x) [ ] (x) 2 sec 2 (2 x) + [tan(2 x)] (1) 2 x sec 2 (2 x) + tan(2 x) Entonces, (x tan(2 x)) 2 x sec 2 (2 x) + tan(2 x) Calcula la erivaa e la función: y sec(x2 + 1) x Ejemplo 7 Definieno: u x 2 + 1, poemos reescribir la función como: Es fácil ecir que y sec u u 2 x Ahora tenemos que aplicar la erivaa e un cociente: (sec u) u (sec u) ( u 2 (u) sec u tan u ) sec u ( u 2 x ) sec ( x ) tan ( x ) (2 x) sec ( x ) (2 x) (x 2 + 1) (2 x) [( x ) sec ( x ) tan ( x ) sec ( x )] (x 2 + 1) Entonces, ( sec(x 2 ) + 1) (2 x) [( x ) sec ( x ) tan ( x ) sec ( x )] x (x 2 + 1)
7 7 Un fabricante e computaoras ha encontrao que el costo e procción C(x) e x laptops está ao por: C(x) (7 x + 12) Calcula costo marginal e procción e laptops para esa compañía. Ejemplo 8 El costo marginal e procción se efine como la erivaa el costo e procción. En este caso la función e costo es compuesta, así que tenremos que aplicar la regla e la caena: (C(x)) ( (7 x + 12) 2) + 2 (7 x + 12)(7) 14 (7 x + 12) 98 x (12 500) Entonces el costo marginal e procción es e: C (x) 98 x El costo marginal e procción nos inica cuánto cuesta procir una computaora más. Puees explicar por qué? Créitos Too ebe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Albert Einstein Este material se extrajo el libro Matemáticas V escrito por Efraín Soto Apolinar. La iea es compartir estos trucos para que más gente se enamore e las matemáticas, e ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Eición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño e figuras: Efraín Soto Apolinar. Proctor general: Efraín Soto Apolinar. Año e eición: 2010 Año e publicación: Peniente. Última revisión: 01 e agosto e Derechos e autor: Toos los erechos reservaos a favor e Efraín Soto Apolinar. México
8 8 Espero que estos trucos se istribuyan entre profesores e matemáticas e toos los niveles y sean ivulgaos entre otros profesores y sus alumnos. Este material es e istribución gratuita. Profesor, agraezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta e correo electrónico: efrain@aprenematematicas.org.mx
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