ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

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1 ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

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3 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA SEDE CUENCA UNIDAD DE POSGRADOS MAESTRÍA EN MÉTODOS NUMÉRICOS PARA DISEÑO EN INGENIERÍA TEMA: ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL GRADO DE MAGÍSTER EN MÉTODOS NUMÉRICOS PARA DISEÑO EN INGENIERÍA AUTOR: ING. DIEGO JAVIER NAREA CHUMBI DIRECTOR: ING. ESTEBAN SAMANIEGO ALVARADO, PH.D. JUNIO DE CUENCA ECUADOR

4 Datos d Catalogació Bibliográica NAREA CHUMBI DIEGO JAVIER ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA, CUENCA ECUADOR,. UNIDAD DE POSGRADOS. Formato: 7x4 mm. Págias: 7 Brv rsña dl autor: Digo Javir Nara Chumbi Igiro Civil 6. Facultad d Igiría. Uivrsidad d Cuca. -mail: digojc8@hotmail.com Dirigido por: Estba Patricio Samaigo Alvarado Igiro Civil. Facultad d Igiría, Uivrsidad d Cuca. Mastr Métodos Numéricos para Cálculo y Disño Igiría 998. Uivrsidad Politécica d Cataluña. Ph.D. Mcáica Computacioal 3. Uivrsidad Politécica d Cataluña. Catdrático d la Facultad d Igiría la Uivrsidad d Cuca. -mail: stba.samaigo@gmail.com Todos los drchos rsrvados. Quda prohibida cualquir orma d rproducció, distribució, comuicació pública y trasormació d sta obra para is comrcials, si cotar co autorizació d titulars d propidad itlctual. La iracció d los drchos mcioados pud sr costitutiva d dlito cotra la propidad itlctual. S prmit la libr diusió d st txto co is académicos o ivstigativos por cualquir mdio, co la dbida autorizació dl autor. DERECHOS RESERVADOS Uivrsidad Politécica Salsiaa Cuca Ecuador DIEGO JAVIER NAREA CHUMBI ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS Edició y Producció: Digo Javir Nara Chumbi Imprso Ecuador Pritd i Ecuador

5 ÍNDICE ÍNDICE ÍNDICE... i LISTA DE FIGURAS... v LISTA DE TABLAS... vii LISTA DE SÍMBOLOS... xi DEDICATORIA... xv PREFACIO... xvii PRÓLOGO... xix AGRADECIMIENTO... xxi CAPÍTULO : INTRODUCCIÓN.... INTRODUCCIÓN JUSTIFICACIÓN OBJETIVO GENERAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS HIPÓTESIS INICIALES ESBOZO DE LA TESIS... 6 CAPÍTULO : MARCO TEÓRICO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS PLÁSTICO DE ESTRUCTURAS INTRODUCCIÓN HIPÓTESIS Y FUNDAMENTOS... ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS i

6 ÍNDICE..3 PROCEDIMIENTOS DE ANÁLISIS.... MODELOS REOLÓGICOS DE PLASTICIDAD UNIDIMENSIONAL MODELO ELASTO-PLÁSTICO UNIDIMENSIONAL CON ENDURECIMIENTO LINEAL MODELO ELASTO-VISCOPLÁSTICO PERFECTO UNIDIMENSIONAL 5.3 TEORÍA INCREMENTAL DE PLASTICIDAD UNIDIMENSIONAL TEORÍA INCREMENTAL PARA EL MODELO ELASTO-PLÁSTICO UNIDIMENSIONAL CON ENDURECIMIENTO LINEAL TEORÍA INCREMENTAL PARA EL MODELO ELASTO- VISCOPLÁSTICO PERFECTO UNIDIMENSIONAL....4 INTEGRACIÓN NUMÉRICA DEL MODELO ELASTO-VISCOPLÁSTICO DE PERZYNA INTEGRACIÓN NUMÉRICA DEL MODELO ELASTO-VISCOPLÁSTICO DE PERZYNA CON ENDURECIMIENTO LINEAL ANÁLISIS DE ELEMENTOS TIPO BARRA SOMETIDOS A CARGAS AXIALES DISCRETIZACIÓN EN ELEMENTOS FINITOS ANÁLISIS DE LA FLEXIÓN EN VIGAS ESBELTAS MEDIANTE LA TEORÍA DE EULER-BERNOULLI DISCRETIZACIÓN EN ELEMENTOS FINITOS PUNTOS ÓPTIMOS PARA EL CÁLCULO DE TENSIONES Y DEFORMACIONES... 4 CAPÍTULO 3: MODELACIÓN PROPUESTA MODELO PROPUESTO PARA EL ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS FORMULACIÓN DEL MODELO DETERMINACIÓN DE FUERZAS INTERNAS EN UNA SECCIÓN ii ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

7 ÍNDICE 3.. INCORPORACIÓN DEL MODELO ELASTO-VISCOPLÁSTICO DE PERZYNA CON ENDURECIMIENTO LINEAL A LA FORMULACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS DE UNA BARRA SOMETIDO A CARGA AXIAL INCORPORACIÓN DEL MODELO ELASTO-VISCOPLÁSTICO DE PERZYNA CON ENDURECIMIENTO LINEAL A LA FORMULACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS DE LA VIGA DE EULER-BERNOULLI FORMULACIÓN EN ELEMENTOS FINITOS PARA ELEMENTOS TIPO BARRA SOMETIDOS A ESFUERZOS AXIALES Y DE FLEXIÓN INCORPORANDO EL MODELO ELASTO-VISCOPLÁSTICO DE PERZYNA CON ENDURECIMIENTO LINEAL CAPÍTULO 4: IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MODELO PROPUESTO IMPLEMENTACIÓN COMPUTACIONAL DEL MODELO PROPUESTO ALGORITMO PRINCIPAL DEL MODELO Archivo: PRINCIPAL.m ALGORITMO PARA LECTURA DE DATOS Archivo: _lctura.m ALGORITMO PARA LA DETERMINACIÓN DE LA RESPUESTA DEL PÓRTICO Archivo: _itra.m ALGORITMO PARA DISCRETIZACIÓN DE LA SECCIÓN DE UN ELEMENTO Archivo: _sccio.m ALGORITMO DE RETORNO APLICADO AL MODELO ELASTO- VISCOPLÁSTICO DE PERZYNA CON ENDURECIMIENTO LINEAL Archivo: _tsio.m CAPÍTULO 5: EJEMPLOS DE APLICACIÓN INTRODUCCIÓN EJEMPLO SOLUCIÓN EXACTA SOLUCIÓN MEDIANTE EL MODELO IMPLEMENTADO ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS iii

8 ÍNDICE 5.3 EJEMPLO SOLUCIÓN MEDIANTE EL MODELO IMPLEMENTADO VERIFICACIÓN DEL EQUILIBRIO MEDIANTE EL SAP EJEMPLO SOLUCIÓN MEDIANTE EL MODELO IMPLEMENTADO VERIFICACIÓN DEL EQUILIBRIO MEDIANTE EL SAP EJEMPLO SOLUCIÓN MEDIANTE EL MODELO IMPLEMENTADO VERIFICACIÓN DEL EQUILIBRIO MEDIANTE EL SAP... 9 CAPÍTULO 6: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES CONCLUSIONES RECOMENDACIONES... 5 ANEXOS... 7 REFERENCIAS iv ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

9 LISTA DE FIGURAS CAPÍTULO : INTRODUCCIÓN LISTA DE FIGURAS Figura. Esquma d las scalas d oqu a mplar l modlo propusto. a Pórtico plao d la structura idalizada scala global. b Curva d volució d la rspusta itra d la scció, obtida a partir d la aplicació d la Mcáica d Mdios Cotiuos Uidimsioal scala local CAPÍTULO : MARCO TEÓRICO Figura. Curva surzo dormació para u matrial lastoplástico prcto Figura. Evolució d la scció d u lmto cuyo matrial s lastoplástico prcto somtido a lxió.... Figura.3 Curva momto-curvatura.... Figura.4 Modlo lasto-plástico uidimsioal co durcimito Figura.5 Modlo lasto-visco-plástico prcto Figura.6 Ly d durcimito d tipo lial Figura.7 Curva típica surzo-dormació para l modlo lasto-plástico co durcimito lial Figura.8 Curva típica surzo-dormació para l Modlo Elasto-Viscoplástico Prcto Uidimsioal.... Figura.9 Modlo lasto-viscoplástico d Przya Figura. Curva surzo-dormació co putos dl stado trial para l modlo lastoviscoplástico d Przya co durcimito lial Figura. Esquma d aplicació dl Algoritmo d Rtoro a u puto stado trial ura d la curva surzo-dormació... 9 Figura. Elmto tipo barra somtidos a cargas axials Figura.3 Elmto uidimsioal d clas Co d odos. Variabls odals y ucios d orma Figura.4 Viga d Eulr-Broulli ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS v

10 LISTA DE FIGURAS Figura.5 Elmto uidimsioal d clas C d odos. Variabls odals y ucios d orma CAPÍTULO 3: MODELACIÓN PROPUESTA Figura 3. Modlo dl pórtico rspcto al sistma global, lmto tipo viga js locals Figura 3. Procso gral d aplicació dl Modlo Propusto para l Aálisis d Plasticidad Pórticos Plaos Figura 3.3 Discrtizació d la scció dovlas y rprstació d las dormacios d ua scció corrspodit al j-ésimo puto d Gauss Figura 3.4 Elmto tipo barra somtido a lxo-comprsió o lxo-tracció Figura 3.5 Pórtico plao y sus lmtos js locals y globals CAPÍTULO 5: EJEMPLOS DE APLICACIÓN Figura 5. Viga simplmt apoyada stado lastoplástico Figura 5. Estado lastoplástico d ua scció doblmt simétrica Figura 5.3 Modlo lmtos iitos d la viga simplmt apoyada dl EJEMPLO Figura 5.4 Evolució d la scció ilustrativa para l EJEMPLO Figura 5.5 Pórtico corrspodit al EJEMPLO Figura 5.6 Evolució d la scció ilustrativa para l EJEMPLO Figura 5.7 Pórtico corrspodit al EJEMPLO Figura 5.8 Evolució d la scció ilustrativa para l EJEMPLO Figura 5.9 Pórtico corrspodit al EJEMPLO Figura 5. Evolució d la scció ilustrativa para l EJEMPLO ANEXOS Figura A.7- Curva surzo- dormació, para sayo d carga axial mootóica ua barra d acro d rurzo y=4kg/cm vi ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

11 LISTA DE TABLAS CAPÍTULO : MARCO TEÓRICO LISTA DE TABLAS Tabla. Rsum dl Modlo Elasto-plástico Uidimsioal co Edurcimito Lial.... Tabla. Rsum dl Modlo Elasto-Viscoplástico d Przya CAPÍTULO 5: EJEMPLOS DE APLICACIÓN Tabla 5. Valoració d rsultados mdiat solució xacta dl EJEMPLO Tabla 5. Rsum Parámtros qu di l matrial Tabla 5.3 Gomtría d las sccios Tabla 5.4 Numració d odos y sus coordadas Tabla 5.5 Diició d lmtos, d sus coxios odals, dl tipo d matrial asigado Tabla 5.6 Codicios d cotoro Tabla 5.7 Cargas odals xtras aplicadas Tabla 5.8 Dsplazamitos odals ials para l EJEMPLO Tabla 5.9 Cargas odals xtras para l EJEMPLO Tabla 5. Rsultados obtidos mdiat l modlo implmtado para l EJEMPLO Tabla 5. Rsum Parámtros qu di l matrial Tabla 5. Gomtría d las sccios Tabla 5.3 Numració d odos y sus coordadas Tabla 5.4 Diició d lmtos, d sus coxios odals, dl tipo d matrial asigado Tabla 5.5 Codicios d cotoro Tabla 5.6 Cargas odals xtras aplicadas ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS vii

12 LISTA DE TABLAS Tabla 5.7 Dsplazamitos odals ials para l EJEMPLO Tabla 5.8 Cargas odals xtras para l EJEMPLO Tabla 5.9 Cargas odals xtras para l EJEMPLO dsd l SAP Tabla 5. Rsum Parámtros qu di l matrial Tabla 5. Gomtría d las sccios Tabla 5. Numració d odos y sus coordadas Tabla 5.3 Diició d lmtos, d sus coxios odals, dl tipo d matrial asigado Tabla 5.4 Codicios d cotoro Tabla 5.5 Cargas odals xtras aplicadas Tabla 5.6 Dsplazamitos odals ials para l EJEMPLO Tabla 5.7 Cargas odals xtras para l EJEMPLO Tabla 5.8 Cargas odals xtras para l EJEMPLO 3 dsd l SAP.... Tabla 5.9 Rsum Parámtros qu di l matrial.... Tabla 5.3 Gomtría d las sccios.... Tabla 5.3 Numració d odos y sus coordadas Tabla 5.3 Diició d lmtos, d sus coxios odals, dl tipo d matrial asigado Tabla 5.33 Codicios d cotoro Tabla 5.34 Cargas odals xtras aplicadas Tabla 5.35 Dsplazamitos odals ials para l EJEMPLO Tabla 5.36 Cargas odals xtras para l EJEMPLO Tabla 5.37 Cargas odals xtras para l EJEMPLO 4 dsd l SAP viii ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

13 LISTA DE TABLAS ANEXOS Tabla A.7- Disposició d datos hoja putos_gauss.... Tabla A.7- Disposició d datos hoja modulo.... Tabla A.7-3 Disposició d datos hoja lucia.... Tabla A.7-4 Disposició d datos hoja durcimito.... Tabla A.7-5 Disposició d datos hoja viscosidad.... Tabla A.7-6 Disposició d datos hoja sccio.... Tabla A.7-7 Disposició d datos hoja odo.... Tabla A.7-8 Disposició d datos hoja barra Tabla A.7-9 Disposició d datos hoja barra Tabla A.7- Disposició d datos hoja carga Tabla A.7- Rsultados obtidos laboratorio para l sayo a tracció ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS ix

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15 LISTA DE SÍMBOLOS LISTA DE SÍMBOLOS Símbolo Dscripció b B B Oprador d samblaj. Carga distribuida d axial por uidad d logitud Matriz d dormació axial Matriz d dormació d lxió o d curvatura dl lmto Suprici d lucia E Módulo d lasticidad ta E Módulo d dormació tagt Domiio lástico Espacio d tsios admisibls Suprídic qu idica qu la variabl sobr la qu s cutra corrspod a u lmto Fució d lucia it F Furza itra Fx Furza la dircció dl j x g Fució d durcimito H' Módulo d durcimito I Ircia d la scció rspcto al j utro i Cotador j Cotador k Cotador ta K Matriz d rigidz tagt dl sistma ta a K Matriz d rigidz tagt dl sistma para l caso axial ta K Matriz d rigidz tagt dl sistma para l caso d lxió M Momto lctor M Momto límit lástico it M Momto itro Mp N dov gauss P Momto d lucia d toda la scció Matriz d las ucios d orma Númro d dovlas Númro d putos d Gauss Carga putual prpdicular al j dl lmto ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS xi

16 LISTA DE SÍMBOLOS P P it q z S u u v w W z W X Vctor d urzas odals xtras Vctor d urzas odals itras Ly d durcimito Dobl dl momto stático d la smiscció qu prmac lástica rspcto al j utro Vctor d dsplazamitos odals Dsplazamito l stido dl j x Dsplazamito l stido dl j y Dsplazamito l stido dl j z Trabajo virtual Módulo rsistt d la zoa qu prmac lástica rspcto al j utro Furza xtra axial x m Coordada dl ctro dl lmto Variabl d durcimito VAR p vp Dsplazamito virtual d la variabl "VAR" Dormació uitaria Vlocidad d dormació plástica Vlocidad d dormació visco-plástica Dormació uitaria l lmto lástico p Dormació uitaria l modlo plástico vp Dormació uitaria l modlo visco-plástico x y z Dormació uitaria l stido dl j x Dormació uitaria l stido dl j y Dormació uitaria l stido dl j z Águlo d dircció Multiplicador plástico Distorsió uitaria l plao xy xy xz Distorsió uitaria l plao xz Distorsió uitaria l plao yz yz Parámtro d viscosidad Curvatura Curvatura l momto d límit lástico xii ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

17 LISTA DE SÍMBOLOS Factor d pso "Método Tta", Águlo d giro dtro d la Toría d Eulr-Brolli Esurzo Esurzo l lmto Esurzo l lmto Esurzo l lmto lástico p Esurzo l modlo plástico v Esurzo l lmto viscoso vp Esurzo l modlo visco-plástico Esurzo d lucia y x Esurzo axial la dircció dl j x Carga distribuida d lxió por uidad d logitud j Pso corrspodit al j-ésimo puto d la cuadratura d Gauss- Lgdr Coordada atural ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS xiii

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19 DEDICATORIA DEDICATORIA El prst trabajo stá ddicado a mis padrs qu gracias a su surzo, cariño y jmplo, ha sido pilar udamtal a lo largo d mi vida. A mis hrmaos por su comprsió, apoyo y algría bridados. A todos y cada uo d mis amigas y amigos quis m ha xtdido su mao. ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS xv

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21 PREFACIO PREFACIO E vista d qu varias circustacias las accios a las qu s cutra solicitada ua structura provoca qu la misma s comport d orma tal qu la rlació acciócto s d caráctr o lial, s importat icursioar los pricipios y métodos qu prmit aalizar la rspusta d la misma bajo st comportamito. Ua d las causas d aálisis d la o lialidad las structuras s la dbida al comportamito dl matrial costitutivo d sus lmtos. A vcs icluso dsd l momto mismo qu ua structura tra srvicio, y más aú rt a dtrmiadas situacios d solicitacios xtras sismo por jmplo a las qu s cutra somtida ua diicació, ocasioa qu l matrial qu compo sus mimbros icursio ura dl rago lástico. Es por sto qu s cosidra csario dar u oqu hacia l tratamito dl aálisis plástico d las structuras. Cosidrado qu s importat coocr a más dl stado rsultat d ua structura, la volució qu ha surido hasta llgar a su stado ial, s propodrá u modlo qu aport co iormació dtallada acrca dl stado tso-dormacioal mitras pasa d u stado lástico a uo plástico dl matrial costitutivo. Dicho modlo s coctrará l tratamito d pórticos plaos. Dbido a qu la ormulació qu implica l aálisis o lial dl matrial dtro d las structuras, s importat coocr y/o dsarrollar algoritmos qu m prmita, cojuto co la aplicació d los métodos uméricos, cotrar la solució d la misma co ua aproximació adcuada, si olvidar qu la mjor orma d tratar problmas d tipo umérico, s su implmtació computacioal co l objtivo d laborar hrramitas d apoyo. ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS xvii

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23 PRÓLOGO PRÓLOGO E l prst trabajo s dscrib orma gral los tipos d o lialidad qu s prsta l aálisis d structural, para dtro d st cotxto ocaros l objtivo d la tsis, qu s l aálisis plástico d pórticos plaos. Bajo sta prmisa, s trata orma dtallada los modlos rológicos uidimsioals: lasto-plástico co durcimito lial, lasto-viscoplástico prcto, y l lasto-viscoplástico d Przya co durcimito lial. Postriormt s aborda l tma d los lmtos iitos tipo barra, somtidos a ctos axials, y d lxió. Dtro d cada uo d éstos tmas s dduc la ormulació matmática qu los gobira y s dscrib la orma qu s dsarrollará su solució umérica. Al ial y bas a los cocptos dsarrollados, s plata u modlo para aalizar pórticos plaos mdiat lmtos iitos tipo barra qu icluya ctos d tipo axial y d lxió, pro icorporado l modlo lasto-viscoplástico d Przya co durcimito lial dtro d su ormulació, para dtrmiar la rspusta d la structura ura dl rago lástico. Para l tratamito d la solució umérica dl modlo propusto s utiliza la stratgia icrmtal itrativa, s xpo los algoritmos d rsolució dl ómo, y al ial s dsarrolla ua hrramita computacioal para dicho modlo mplado l programa MATLAB, xpoido alguos jmplos d aplicació. Palabras clav: - Aálisis o lial d structuras. - Aálisis plástico d pórticos plaos. - Modlos rológicos d plasticidad uidimsioal. - Método d los lmtos iitos. - Estratgia icrmtal itrativa. - Programa MATLAB. ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS xix

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25 AGRADECIMIENTO AGRADECIMIENTO A mi amilia por todo su apoyo y acto. A todos y cada uo d los prosors qu impartiro su cátdra dtro d la mastría. Al Ig. Estba Samaigo por su valioso aport y apoyo, tato académico como prsoal a lo largo d la dircció d la prst tsis. ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS xxi

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27 CAPÍTULO INTRODUCCIÓN

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29 CAPÍTULO INTRODUCCIÓN. INTRODUCCIÓN La structura d ua diicació gral s pud idalizar como u sistma d marcos rígidos bi o tridimsioals somtidos a la acció d dtrmiadas cargas o dormacios, y sujtas a u cojuto d codicios d cotoro prstablcidas, bajo st cotxto st caso os limitarmos al studio d pórticos plaos. Para dtrmiar la rspusta d ua structura stado tsioal y dormacioal, s importat ralizar hipótsis sobr l comportamito ísico-mcáico d los matrials qu la coorma, los cuals al sobrpasar cirtos límits d tsió o dormació o s pud rprstar co modlos lials como los lásticos Sigr & Pytl, 98, por tato s db rcurrir al mplo d modlos adcuados qu icluya l comportamito ilástico. Admás s csario idalizar su gomtría, codicios d apoyo, y slccioar los ctos rlvats qu s ha d tomar cuta para l aálisis. Lugo s db platar ua ormulació matmática qu rprst l modlo y ialmt diir la stratgia umérica qu m prmita rsolvr dicha ormulació. E l prst trabajo s dsarrollará ua mtodología qu prmita aalizar l comportamito régim plástico d los lmtos d diicacios, qu pud modlars como pórticos plaos. Si bi s cirto xist varios tipos d matrials mplados la costrucció d diicacios, a cada matrial s lo pud caractrizar mdiat parámtros ísco-mcáicos qu dscrib d orma adcuada, su comportamito ilástico. El modlo a propor srá d caráctr multiscala véas Figura., bajo l siguit oqu: a b Figura. Esquma d las scalas d oqu a mplar l modlo propusto. a Pórtico plao d la structura idalizada scala global. b Curva d volució d la rspusta itra d la scció, obtida a partir d la aplicació d la Mcáica d Mdios Cotiuos Uidimsioal scala local. Ua scala global d la structura, pus a partir d la idalizació d su modlo, vamos a dtrmiar su rspusta rt a las solicitacios xtras. ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS 3

30 CAPÍTULO INTRODUCCIÓN Y, otra scala local para ua scció trasvrsal d cada lmto structural, qu s cutra gobrada por la Mcáica d Mdios Cotiuos Uidimsioal Olivr Olivlla & d Saracíbar Bosch,, Samaigo Alvarado, 7b, y por Las Lys Costitutivas d los Matrials Samaigo Alvarado, 7a. Cab mcioar qu la mayor part d los métodos mplados para l aálisis d structuras, s oca xpor la rspusta ial d la structura djado d lado la volució qu ha surido la misma hasta llgar a tal codició. Es por sto qu la propusta dl prst trabajo, mplado l oqu multiscala idicado, s aportar co iormació acrca d la volució dl stado tso-dormacioal varias sccios d los lmtos qu compo la structura d modo qu cada paso podamos aalizar su comportamito, y al ial dispor d u rgistro d su rspusta rt a ua historia d solicitacios xtras dada. Para l dsarrollo d la mtodología propusta, mplarmos Algoritmos d Ilasticidad Computacioal Simo & Hughs, 998, la solució dl modlo qu dscrib l comportamito dl matrial costitutivo d los lmtos d la structura régim plástico, dicho modlo srá acord a la Toría d Plasticidad Uidimsioal. A la structura la idalizarmos como u pórtico plao, qu srá rsulto mdiat la aplicació dl método d los lmtos iitos icluydo dicha ormulació la plasticidad dl matrial. Co stos cocptos, al ial s laborará ua hrramita computacioal, qu srá implmtada utilizado l programa MATLAB.. JUSTIFICACIÓN Es importat l aálisis ilástico d ua structura, pus s coocido qu icluso bajo cargas d srvicio, xist putos dtro d la structura los cuals s xcd l límit lástico, ya sa por la aplicació d cargas putuals, por dctos la abricació d los matrials, por rrors la costrucció y motaj, o por dicicias los cálculos. El aálisis dl comportamito l rago ilástico d ua structura s hac más vidt cuado la misma s cutra bajo solicitacios d carga rptida o d ivrsió dl stido d su aplicació, como s l caso ctos sísmicos, por jmplo. Frt a lo xpusto, y dbido a qu la mayoría d los oqus para l aálisis dl comportamito d las structuras s procupa dl stado ial d la misma rt a las solicitacios xistts, a vcs si dtallar lo qu sucd a lo largo d la aplicació d las cargas, l prst trabajo s justiica la csidad qu s ti d coocr cómo va volucioado l matrial ura dl rago lástico, a mdida qu s icrmta la carga hasta llgar a la solicitació rqurida, varias sccios d los lmtos qu compo l pórtico. 4 ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

31 CAPÍTULO INTRODUCCIÓN Por lo tato bas a lys costitutivas qu rig l comportamito d los matrials d los lmtos qu compo la structura d ua diicació y a la vriicació dl quilibrio tr la rspusta itra d la structura y las accios xtras a las qu s somt, s dsarrollará ua hrramita umérica mdiat la cual s podrá cotrar la rspusta d la structura scala global ura dl rago lástico, pro aportado co iormació acrca d la volució dl comportamito itro d la misma varias sccios d los lmtos, para dirts scarios d carga. Admás, al ir dscribido la volució dl stado tso-dormacioal varias sccios d la structura s podrá obtr u rgistro d la historia d dormació qu surió la misma..3 OBJETIVO GENERAL Dtrmiar l comportamito plástico d los pórticos plaos d ua structura si llgar al colapso, grado iormació acrca d su volució durat l procso ilástico..4 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Los pricipals is qu s prtd alcazar co l prst trabajo so: Aalizar los pricipals modlos d plasticidad para matrials. Dsarrollar la solució umérica dl modlo lgido para caractrizar l comportamito plástico dl matrial. Propor u modlo qu icluya la ormulació d lmtos iitos l modlo d plasticidad qu caractriza l matrial dl lmto, d modo qu sa aplicabl para la rsolució d pórticos plaos ura dl rago lástico. Dsarrollar ua hrramita umérica, bas al modlo propusto, qu prmita aalizar pórticos plaos stado plástico, d orma tal qu aport co iormació rspcto a la volució dl stado tso-dormacioal a lo largo d la historia d carga. Valorar l modlo dsarrollado..5 HIPÓTESIS INICIALES S partirá d las siguits cosidracios: Las dormacios so iiitsimals. ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS 5

32 CAPÍTULO INTRODUCCIÓN No s cosidrará los ctos dbidos al cortat, y s toma cuta las accios dbidas a carga axial y a lxió, asumido para la lxió las hipótsis cimáticas d Eulr-Broulli. Las sccios d los lmtos d los pórticos so tals qu o s tdrá problmas d pado local. Como s dijo atriormt los pórticos a aalizar s cutra l plao, así pus s suicit mplar modlos rológicos uidimsioals para caractrizar su matrial. Dichos modlos stará xprsados orma discrta d modo qu s los puda implmtar uméricamt. E bas a los modlos rológicos s obtdrá la rspusta itra d cada lmto rt a las solicitacios xtras d tipo stático, para lugo mdiat la aplicació d los lmtos iitos buscar l quilibrio gral d la structura. S tomará cuta básicamt los ctos d carga axial, y d lxió bajo la toría d Eulr-Broulli, para modlar l comportamito d los lmtos qu compo los pórticos d ua structura. Cada lmto d la structura stará compusto por ua sola clas d matrial homogéo isotrópico por jmplo, acro dulc structural, y la scció trasvrsal srá simétrica rspcto al plao qu coti al pórtico. Las cargas srá d tipo stático y mootóicas, d magitud tal qu o produzca l colapso d u lmto dtro d la structura, por las razos qu s xpo más adlat la scció.. HIPÓTESIS Y FUNDAMENTOS, y stará aplicadas dtro dl plao qu coti l pórtico..6 ESBOZO DE LA TESIS Al tratar l prst trabajo acrca dl aálisis d plasticidad pórticos plaos, qu s part dl aálisis o lial d structuras, la primra part dl prst documto dtro dl CAPÍTULO s plata ua itroducció al tma, su justiicació, objtivos, hipótsis, y su sbozo. Más adlat l CAPÍTULO s prsta los udamtos tóricos bass, para lugo l CAPÍTULO 3 aplicar dichos cocptos y propor u modlo qu os ayud a llvar a cabo l aálisis d plasticidad pórticos plaos. Dbido a qu la mara más adcuada para llvar a cabo la rsolució d la modlizació s su implmtació computacioal l CAPÍTULO 4 s da a coocr la orma la qu s ctuó la misma, para postriormt l CAPÍTULO 5 prstar alguos jmplos d aplicació, y ialmt xpor las coclusios y rcomdacios al rspcto l CAPÍTULO 6. 6 ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

33 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO

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35 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS PLÁSTICO DE ESTRUCTURAS.. INTRODUCCIÓN La o lialidad d structuras gral pud dbrs a 5 causas pricipals Pio Vlazquz, 8: Dbidas a comportamitos ilásticos dl matrial. No lialidads dl matrial. Causadas por la gomtría dl modlo. No lialidads gométricas. Dsplazamitos dpdits d las codicios d cotoro. No lialidads d cotacto. Cargas aplicadas dpdits d las codicios d cotoro. Al comportamito y dsarrollo d gritas l matrial. Mcáica d la Fractura. E ustro caso os ocarmos l aálisis plástico o lialidad d matrial dl matrial qu compo los lmtos d u pórtico l plao. Y qu al sr u caso particular dl aálisis o lial tambié stá rgido por los pricipios básicos dl mismo Dalmau & Vilardll, 3, qu so aplicabls a cualquir mdio cotiuo, y so: Pricipio d la cotiuidad dl mdio o d la cosrvació d la masa. Pricipio d la catidad d movimito lial: d st pricipio s driva las cuacios d quilibrio y d movimito dsplazamito. Pricipio dl momtum agular. Pricipio d la cosrvació d la rgía. Rama plástica y E y Rama lástica Figura. Curva surzo dormació para u matrial lastoplástico prcto. ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS 9

36 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO Para ilustrar l comportamito plástico d u matrial, vamos a cosidrar u lmto tipo viga coormado por u matrial lasto-plástico prcto cuya curva surzo-dormació s como s mustra la Figura., co ua scció doblmt simétrica, y somtido úicamt a lxió. Vamos a aalizar ua scció d st lmto qu s cutr somtida a u momto M d mayor solicitació para u sistma d cargas xtras actuat dado. Supoido qu dichas cargas s va icrmtado gradualmt dsd cro hasta alcazar l colapso d la scció, la volució d la scció s como s mustra la Figura.. Vista Frotal d la Scció z Vista Latral d la Scció y y y y O y Ctro d gravdad: O y y y y Scció iicial Estado Estado M=M y y y y y y z z REAL z z IDEAL y y y y y Estado 3 M>M Estado 4: scció compltamt plastiicada M=Mp Figura. Evolució d la scció d u lmto cuyo matrial s lastoplástico prcto somtido a lxió. Como s pud obsrvar dicha igura a mdida qu s icrmta l valor d M, s ti qu para l Estado la scció s cutra l rago lástico, ya l Estado la scció s cutra l stado límit lástico a puto d trar la rama plástica d la curva tsió-dormació st istat l valor d M=M, mitras qu l Estado 3 la scció s cutra u stado lasto-plástico pus xist ua zoa qu s cutra rago lástico y otra la cual las ibras ha alcazado la lucia, a mdida qu s icrmta l momto la scció hasta alcazar u valor d M=Mp d modo qu toda la scció s cutr plastiicada s ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

37 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO dcir colapsada pusto qu o admit mayor carga, la scció s cutra l Estado 4. A partir d la cuació.77 valuado la curvatura ivrso dl radio d giro para l Estado 4, tmos: y. E z D la cuació. otamos qu mitras z la curvatura tid a iiito Borg & Garo, 96, lo qu sugir qu la scció ittará girar librmt simulado ua articulació, domiádos a sta codició rótula plástica. Es importat aclarar st cocpto, pus como s obsrva la Figura., la scció s comporta como ua rótula d rozamito qu prmac rígida tato qu M<Mp, y qu prmit la rotació rlativa la scció l momto qu alcaza su valor plástico Mp dspués d lo cual s dorma plásticamt a momto costat Mp, por tato s trata d ua rotació rrada auqu la domiació rótula plástica sugir ua rotació libr Massot & Sav, 966. Admás s posibl dmostrar qu xist ua codició límit d giro d la scció, por lo qu cuado s ha grado la rótula plástica z, pro o s ulo, s dcir qu ua zoa muy pquña dtro d la scció qu o alcazara la dormació plástica Massot & Sav, 966, Pio Vlazquz, 8, por lo qu ralidad l momto M qu produc l Estado 4 d plastiicació total d la scció srá muy crcao a Mp, dicha itrprtació s tal como s mustra la Figura.3. M TEORICO Mp REAL Figura.3 Curva momto-curvatura... HIPÓTESIS Y FUNDAMENTOS Bajo la prmisa qu úicamt vamos a cosidrar úicamt la o lialidad dl matrial mdiat aálisis plástico, s asum las siguits hipótsis Pio Vlazquz, 8: ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

38 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO Qu los dsplazamitos y dormacios so iiitsimals. La rlació tso-dormacioal s o lial. D sta mara las tsios y dormacios so las qu usualmt s trata igiría ómos lials, pro sido csario icorporar l aálisis las lys costitutivas dl matrial para cuado s cutra régim plástico. Cuado dtro d ua structura dada s produc rótulas plásticas, s dcir cuado ua o varias sccios ha colapsado, cambia las codicios las qu s comporta la structura gral, xistido ua rdistribució d la rspusta itra los lmtos qu la compo, y si l colapso varios lmtos s tal qu la structura s covirt u mcaismo, s dic qu la structura ha colapsado. Así pus, structuras isostáticas l colapso d toda la structura ocurr cuado l mimbro o lmto más solicitado alcaza l colapso, y s st momto qu la structura pasa d u quilibrio stabl a uo istabl; mitras qu structuras hiprstáticas a mdida qu s va icrmtado las solicitacios xtriors l grado d hiprstaticidad baja u grado cada vz qu uo d sus lmtos ha colapsado ocasioado ua rdistribució d las solicitacios. Admás s importat idicar qu ua vz qu u matrial ha sobrpasado l límit lástico s prsta tato dormacios como tsios rsiduals lugo qu s ha dscargado l matrial, lo cual iluy su historia d carga o dscarga postrior. Es por sto qu l prst trabajo os limitarmos a aalizar structuras bajo cargas státicas y mootóicas d magitud tal qu o s llgu a colapsar ua scció d u lmto pusto qu tdríamos qu variar las codicios d cotoro d la structura d modo qu s tom cuta la rdistribució d solicitacios itras...3 PROCEDIMIENTOS DE ANÁLISIS E gral para ralizar u aálisis o lial xist pricipalmt 3 procsos: l icrmtal, l itrativo, y uo mixto icrmtal itrativo Argyris, Boi, & Klibr, 98. El método icrmtal cosist dividir la acció actuat pquños icrmtos d carga ir aplicádolos paso a paso, mitras s vriica su quilibrio, hasta lograr qu su suma alcac l total d la carga. E l método itrativo s aplica iicialmt toda la carga, s dtrmia la matriz d rigidz dl sistma, y s obti los icrmtos d dsplazamito rspctivos a partir d los cuals s actualiza l vctor d dsplazamitos, y bas a ésta última s dtrmia la carga d rspusta corrspodit a dichos dsplazamitos, la dircia tr la carga actuat y la carga d rspusta d la structura s la carga a quilibrar, y l procso s rpit actualizado la matriz d rigidz dl sistma hasta qu la carga a quilibrar sa próxima a cro. Por último l método icrmtal itrativo, qu s l qu vamos a mplar, rsulta como ua combiació d los atriors, s dcir dividirmos la carga total icrmtos d carga, y para cada icrmto s actualizará orma itrativa la matriz d rigidz ució dl modlo rológico qu gobira l ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

39 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO comportamito dl matrial, hasta vriicar qu s cumpla l quilibrio tr la carga rsultat y la actuat. Bajo st squma d aálisis a cotiuació s tratará los udamtos tóricos csarios para llgar a dducir la ormulació qu os prmitirá llvar a cabo l procdimito icrmtal itrativo dscrito.. MODELOS REOLÓGICOS DE PLASTICIDAD UNIDIMENSIONAL Exist varios modlos rológicos Olivr Olivlla & d Saracíbar Bosch,, cuya lcció y uso dpd d la orma la qu s spra o asum s comport u dtrmiado matrial. Para l objto d la prst tsis s va a tratar básicamt tipos d modlos: Modlo Elasto-Plástico co Edurcimito Lial, Modlo Elasto-Viscoplástico Prcto ua dimsió, para postriormt al ial d la prst scció, bas a dichos modlos, obtr las cuacios qu rig l Modlo Elasto-Viscoplástico d Przya. Sido st último l modlo qu s va a mplar para caractrizar l comportamito o lial dl matrial qu compo ua structura, dbido a la vrsatilidad qu ti para caractrizar dicho matrial y a las vtajas propias dl modlo qu s dtalla más adlat la prst scció... MODELO ELASTO-PLÁSTICO UNIDIMENSIONAL CON ENDURECIMIENTO LINEAL Es u modlo rológico qu rsulta d la combiació d u lmto lástico, co módulo d lasticidad E, sri co u modlo plástico co durcimito lial diido mdiat u módulo d durcimito H ' y surzo d lucia y, tal como s obsrva la Figura.4. y H' E p Figura.4 Modlo lasto-plástico uidimsioal co durcimito. Al aplicar ua tsió al modlo d la Figura.4, dicha tsió s la misma y s trasmit tato al modlo plástico como al lmto lástico, por star colocados sri. E l modlo plástico, al star coormado por u lmto riccioal co ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS 3

40 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO surzo d lucia y y u lmto lástico caractrizado por u módulo d durcimito H ' parallo, ambos lmtos ti l mismo valor d p dormació uitaria, mitras qu la dormació dl lmto lástico s, y p la dormació total dl modlo corrspod a la suma d y. Por tato a partir d las cuacios d quilibrio d tsios y d compatibilidad d las dormacios, tmos: p dscomposició aditiva d la dormació p p p, sabido qu, tocs p p H' p. sido, : dormació uitaria : dormació uitaria l lmto lástico p : dormació uitaria l modlo plástico : surzo : surzo l lmto lástico p : surzo l modlo plástico : surzo l lmto riccioal : surzo l lmto lástico, cuyo módulo d durcimito s H A partir d la cuació. aalizarmos l comportamito dl modlo propusto así: Cuado y, l modlo plástico co durcimito o s dorma y l icrmto la dormació total s absorbido compltamt por l lmto lástico, y l procso s tramt lástico, tal como s dscrib sgú las siguits cuacios. Si p p H' y, tocs por tato E.3 Cuado H' p, s ti las siguits posibilidads: y 4 ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

41 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO a Si, os cotramos u procso d carga ilástica. Aquí tato como db tr l mismo sigo, por lo qu l icrmto o dcrmto l surzo total s l mismo ambos lmtos: l modlo plástico co durcimito, y l lmto lástico por star dispustos sri, y tido cuta qu l lmto qu absorb dicho surzo dtro dl modlo plástico s l compot caractrizado por l módulo d durcimito H '. Lo atrior s xprsa así: p, sido E y p p H'.4 Mitras qu l icrmto o dcrmto la dormació s absorbido por ambos lmtos dl modlo, así pus la dormació total s dtrmia mdiat la suma d la dormació corrspodit al lmto lástico y al dl lmto plástico co durcimito lial, tal como s idica a cotiuació a partir d la cuació.4: p E H' E H' EH'.5 D la xprsió atrior s pud obsrvar qu xist proporcioalidad tr y, a sta rlació s l cooc gral como módulo d ta dormació tagt E, y qu para l prst caso lasto-plástico s: EH' E E H' ta.6 b Si, y ti sigo cotrario lo qu idica qu l valor dl surzo valor absoluto dismiuy, y por tato cualquir cambio d dormació s absorbido por l lmto lástico, a st caso lo domiarmos procso d dscarga lástica, así: p sido, s ti, tocs E.7.. MODELO ELASTO-VISCOPLÁSTICO PERFECTO UNIDIMENSIONAL Est modlo rológico s aálogo al caso atrior, pus costa d u lmto lástico, co módulo d lasticidad E, sri co u modlo visco-plástico diido mdiat u compot co parámtro d viscosidad y otro caractrizado por l surzo d lucia y, tal como s mustra la Figura.5. ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS 5

42 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO El prst modlo cosidra la vlocidad d dormació d u matrial qu s cutra somtido a u procso d carga; por tato s d gra utilidad para l aálisis d la rspusta d matrials qu prst algú comportamito viscoso, y spcial cuado s somt a cargas dod l timpo s u actor importat durat l dsarrollo dl ómo. y E vp Figura.5 Modlo lasto-visco-plástico prcto. Dl quilibrio d tsios y compatibilidad d las dormacios, tato l lmto riccioal como l viscoso compart la misma dormació vp, sido la dormació dl lmto lástico, la dormació total dl modlo s la suma d vp y. Mitras qu la tsió s la misma y s trasmit tato al modlo visco-plástico como al lmto lástico, por star colocados sri. Lo qu s xprsa d la siguit orma: vp vp vp vp vp dscomposició aditiva d la dormació, sabido qu vp vp, tocs.8 sido, : dormació uitaria : dormació uitaria l lmto lástico vp : dormació uitaria l modlo visco-plástico : surzo : surzo l lmto lástico vp : surzo l modlo visco-plástico : surzo l lmto riccioal 6 ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

43 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO vp : surzo l lmto viscoso : parámtro d viscosidad,, vp : vlocidad d dormació visco-plástica El comportamito dl prst modlo s lo dscrib ució d los siguits casos: Si y, l icrmto la dormació total s absorbido compltamt por l lmto lástico, y l procso s tramt lástico, tal como s dscrib sgú las siguits cuacios. Si vp, tocs y vp por tato E.9 Cuado vp, s ti las siguits posibilidads: y a Si, tato como db tr l mismo sigo y os cotramos u procso d carga ilástica, así l icrmto o dcrmto l surzo total s l mismo l modlo visco-plástico, y l lmto lástico por star dispustos sri, y tido cuta qu l lmto qu absorb dicho surzo dtro dl modlo visco-plástico s l compot viscoso. Lo atrior s xprsa como: vp, sido E y vp vp y. Mitras qu l icrmto o dcrmto la dormació s absorbido por ambos lmtos dl modlo, así pus la dormació total s dtrmia mdiat la suma d la dormació corrspodit al lmto lástico y al dl lmto visco-plástico: vp. b Cuado, y ti sigo cotrario lo qu sigiica qu l valor dl surzo valor absoluto dismiuy, d modo qu cualquir variació la dormació s absorbido por l lmto lástico, y stamos u procso d dscarga lástica, así: ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS 7

44 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO vp sido, s ti, tocs E..3 TEORÍA INCREMENTAL DE PLASTICIDAD UNIDIMENSIONAL A través d la toría icrmtal Olivr Olivlla & d Saracíbar Bosch, vamos a modlar matmáticamt l comportamito tso-dormacioal d u matrial dado, para cada uo d los modlos dscritos la scció.. Para l caso uidimsioal s prtd aproximar l comportamito tso-dormacioal mdiat ua sri d ramas lásticas ilásticas..3. TEORÍA INCREMENTAL PARA EL MODELO ELASTO- PLÁSTICO UNIDIMENSIONAL CON ENDURECIMIENTO LINEAL S di al multiplicador plástico como ua ució dpdit dl timpo t, d la siguit orma: p p si q si q p.3 sido q ua ució a través d la cual s di la ly d durcimito. Ats d cotiuar vamos a itroducir l cocpto d variabl d durcimito, la cual tambié dpd dl timpo y s xprsa sgú la cuació.4. t dt dt, por tato t t t p t.4 Sido g ua ució d durcimito, qu para l prst modlo s d tipo lial, la ly d durcimito q tambié s d tipo lial véas Figura.6, y s xprsa como s idica a cotiuació: q g, sido H' y g, d dod q y H'.5 8 ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

45 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO q y H' Figura.6 Ly d durcimito d tipo lial. Val idicar qu para u procso moótoo d carga crcit, corrspodit a u itrvalo d timpo dado, tato la variabl d durcimito como la dormació ilástica so quivalts, s dcir dt. t p p Co los cocptos atriors vamos a diir la ució d lucia, q, como s idica la cuació.6, sido la curva rprstativa para la tsió dormació la qu s mustra la Figura.7., q q, q H' y y g.6 Rama lastoplástica y ta E E Rama lástica Figura.7 Curva típica surzo-dormació para l modlo lasto-plástico co durcimito lial. p Hay qu tr prst qu si os cotramos dtro d u procso lástico y coscucia, q ; mitras qu cuado l comportamito dl p ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS 9

46 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO matrial s st caso lastoplástico co durcimito lial, por tato, q ; coclusió la ució d lucia db cumplir qu, q. A partir dl quilibrio d tsios y d la compatibilidad d dormacios, la rlació tsió-dormació s xprsa d la siguit mara: p E E.7 S di como domiio lástico vr cuació.8 al spacio d tsios qu s cutra al itrior dl domiio crrado por la suprici d lucia. R /, q.8 Al cotoro dl domiio lástico s l domia suprici d lucia : R /, q q.9 El cojuto ormado por la uió dl domiio lástico y su cotoro, s l cooc como spacio d tsios admisibls, y cualquir stado tsioal ura d st spacio o s actibl: R /, q q. A cotiuació vamos a stablcr las codicios las qu s udamta st p modlo. Dspjado d la cuació.3 obtmos la domiada rgla d lujo qu s xprsa como: p, q y H' sig. Sabido qu y qu, q, por tato cuado a u dtrmiado p matrial s l somt a u procso d carga ilástica tocs, q, mitras qu cuado csa sa acció y dja d xistir dormació ilástica sigiica qu os cotramos u procso d dscarga lástica pus, q, así pus rsum la codició d carga y dscarga pud scribirs d la siguit mara:, q. ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

47 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO Para istats los cuals, q s ti qu, q carga ilástica s ti qu, q, así u procso d, y para u procso d dscarga lástica rsulta qu, q, s dcir prsist la suprici d lucia, a ésta codició s l cooc como codició d prsistcia y s rsum así:, q.3 Las cuacios qu di l prst modlo s rsum la Tabla. a cotiuació: Tabla. Rsum dl Modlo Elasto-plástico Uidimsioal co Edurcimito Lial. Ecuació p Dscripció E Rlació surzo-dormació q y H ' Ecuació d durcimito, q q H' Fució d lucia p y, q sig Rgla d lujo, q Codició d carga y dscarga, q Codició d prsistcia.3. TEORÍA INCREMENTAL PARA EL MODELO ELASTO- VISCOPLÁSTICO PERFECTO UNIDIMENSIONAL Tal como pud vrs la Figura.5, a partir d la compatibilidad d dormacios y dl quilibrio d tsios, las xprsios qu dtrmia la dormació total cuació.4 y la rlació tsió-dormació cuació.5 para ést modlo so: sido, : dormació uitaria : dormació uitaria l lmto lástico vp.4 vp E E.5 ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

48 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO vp : dormació uitaria l modlo visco-plástico : surzo E st caso la ució d lucia, q, sido q y, sólo dpd d la tsió como s idica la cuació.6, y cuya curva rprstativa s mustra la Figura.8, óts qu la trasició tr la rama lástica y la viscoplástica s mos brusca. Y aálogo al modlo atrior s db cumplir qu., q.6 y y Rama viscoplástica y E Rama lástica Figura.8 Curva típica surzo-dormació para l Modlo Elasto-Viscoplástico Prcto Uidimsioal. El domiio lástico, la suprici d lucia y l spacio d tsios admisibls cualquir stado tsioal ura d st spacio s iadmisibl, s idica las cuacios.7,.8 y.9, rspctivamt. R /.7 R / y.8 R /.9 Cuado os cotramos rt a u procso tramt lástico, la ució d lucia pos valors mors a cro, o xist dormació ilástica y toda sta dormació s absorbida por l lmto lástico dl modlo, así: y vp.3 ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

49 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO Aalicmos ahora l caso para l cual u matrial s cutra dtro d u procso ilástico, ést modlo xist ua dircia udamtal co l Modlo Elastoplástico Uidimsioal co Edurcimito Lial, pus stados d tsió ura dl spacio d tsios admisibls so prmitidos st caso, d tal mara qu s posibl qu :.3 y dl quilibrio d tsios véas Figura.5, la tsió l modlo viscoplástico s igual a la suma d la tsió l lmto riccioal más la corrspodit al lmto viscoso véas cuació.8: v vp sig sig y y v sig sig sig y y.3 sido, : surzo aplicado vp : surzo l modlo visco-plástico : surzo l lmto riccioal y v : surzo l lmto viscoso tido cuta qu l surzo l lmto viscoso s: vp v.33 sido, : parámtro d viscosidad,, vp : vlocidad d dormació visco-plástica, igualado la cuació.3 y.33, sabido qu la ució d lucia stá dada vp por la cuació.6, y dspjado obtmos la cuació d volució siguit: ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS 3

50 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO v vp vp sig sig sig y.34 Para cualquir stado tsioal la cuació d volució.34 s xprsa como: vp.35 sido, : la ució rampa d, la cual s di d la siguit mara: para para.36 Si cosidramos durcimito obtmos l domiado Modlo Elasto- Viscoplástico d Przya Ruso, véas Figura.9, así las cuacios d volució s xprsa d la siguit mara, sido q la ly d durcimito: H' y E vp Figura.9 Modlo lasto-viscoplástico d Przya. Para l caso viscoso la vlocidad d dormació visco-plástica s, vp, q, q, q sig q, sido.37 vp, mitras qu la cuació d volució para la variabl d durcimito s, 4 ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

51 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO vp, q.38 A cotiuació s rsum la Tabla. siguit las cuacios qu di l Modlo Elasto-Viscoplástico d Przya Samaigo Alvarado, 7a, la vtaja d ést modlo s qu o s rquir codicios d carga y dscarga. Tabla. Rsum dl Modlo Elasto-Viscoplástico d Przya. Ecuació Dscripció vp E Rlació surzo-dormació. q y Ecuació d durcimito. Sido g g la ució d durcimito., q q Fució d lucia. q q vp,, Ecuació d volució d la dormació sig visco-plástica. vp, q Ecuació d volució d la variabl d durcimito. Cab aclarar qu dtro d ést modlo, al icluir l parámtro d viscosidad logramos qu la curva surzo-dormació sa más suav y o tgamos ua trasició brusca al pasar d la rama lástica a la plástica, véas Figura.7 y Figura.8. D sta mara al caractrizar a algú matrial qu s mpla usualmt dtro d las structuras, l parámtro d viscosidad, s d caráctr mramt umérico pus ayuda a qu l modlo rológico posa robustz umérica, s dcir qu l modlo, st caso, s spraría qu sa capaz d ucioar adcuadamt rt a distitas situacios d carga dtro o ura d la rama lástica. ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS 5

52 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO.4 INTEGRACIÓN NUMÉRICA DEL MODELO ELASTO- VISCOPLÁSTICO DE PERZYNA E sta scció vamos a dducir las xprsios matmáticas qu prmit aproximar uméricamt las cuacios qu di úicamt al Modlo Elasto- Viscoplástico d Przya Samaigo Alvarado, 7a, pus st s l modlo qu vamos a mplar l prst trabajo, y porqu abarca a los modlos Elasto-Plástico co Edurcimito Lial y Elasto-Viscoplástico Prcto. La ly d durcimito qu vamos a mplar srá d tipo lial véas cuació.5. Lo qu os itrsa coocr s la volució d cada ua d las variabls qu dtrmia al modlo a mdida qu s dsarrolla u dtrmiado procso d carga o dscarga co l cosiguit cambio la dormació dl matrial, por tato os ocarmos la dtrmiació d sus valors l paso siguit d avac..4. INTEGRACIÓN NUMÉRICA DEL MODELO ELASTO- VISCOPLÁSTICO DE PERZYNA CON ENDURECIMIENTO LINEAL Ecuació d volució d la dormació visco-plástica cuació.37 la vamos a xprsar mdiat la Rgla Trapzoidal Gralizada o Método Tta, así: vp t sig sig.39 sido u actor d pso; mplado l Método d Eulr hacia atrás Backward Eulr, s dcir hacido, y tido cuta la cuació.37 para, la rgla d lujo s scrib como: vp t vp t vp sig sig.4 diido la discrtizació co rspcto al timpo d la volució dl multiplicador plástico d la siguit mara: t.4 vp y dspjado d la cuació.4 tmos: 6 ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

53 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO vp vp vp vp t sig t sig.4 Discrtizado la volució co rspcto al timpo d la variabl d durcimito dada la cuació.38 y utilizado la diició.4, obtmos: t t t t.43 Para dtrmiar l valor d la tsió, usarmos la rlació tsió-dormació d la cuació d la Tabla.: vp E.44 Y discrtizado la cuació qu di la ució d lucia, dada la Tabla., y cosidrado durcimito lial, tmos: y ' q H Estado Elástico d Pruba Estado Trial para l Modlo Elasto- Viscoplástico d Przya co Edurcimito Lial Dbido a qu, por jmplo al star u dtrmiado procso d carga ilástico s icrmta la dormació uitaria, corrspodiédol a ésta última u valor d tsió qu db star dtro dl spacio d tsios admisibls, s csario comprobar si u dtrmiado stado dl matrial diido mdiat los valors d dormació uitaria, surzo, variabl d durcimito, y ució d lucia, so o o prmisibls para l modlo corrspodit. Así por tato vamos a diir l Estado Trial como u stado d pruba cuyos valors srá vriicados ats d asumirlos como válidos, y más adlat vrmos la orma d corrgirlos caso d qu o sa admisibls. Hay qu tr prst qu la dtrmiació d los valors d las variabls trial, s dtrmia a partir d valors prvios qu ya ha sido vriicados como admisibls. ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS 7

54 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO trial + y : supusto icrmto lástico Figura. Curva surzo-dormació co putos dl stado trial para l modlo lasto-viscoplástico d Przya co durcimito lial. El stado trial para l Modlo Elasto-Viscoplástico d Przya co Edurcimito Lial, véas Figura., stá dado por las cuacios.46 a.49, qu dtrmia la dormació uitaria visco-plástica, variabl d durcimito, tsió, y ució d lucia, rspctivamt. vp trial vp.46 trial.47 trial vp vp vp E E E E.48 trial E trial trial trial trial q y H'.49 Para tdr mjor l stado trial vamos a ralizar u aálisis d su comportamito, trial así cuado la ució d lucia cumpl qu os cotramos u stado lástico, lo cual implica qu: vp vp vp trial trial trial trial s dcir l stado trial st caso s admisibl ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS

55 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO trial E cambio cuado, dicho stado trial o s admisibl y por tato o s pud igualar las variabls dl paso siguit a las variabls trial tal como sucdía atriormt l caso lástico, dbiédos ralizar ua corrcció a ést stado d modo qu l puto qu s cutra ura d la curva surzo-dormació rtor a la curva corrctamt véas cuació.48 y Figura., para lo cual vamos a mplar l domiado Algoritmo d Rtoro o Rtur Mappig Algorithm. trial + y Puto stado trial "Algoritmo d Rtoro" Puto corrgido : supusto icrmto lástico Figura. Esquma d aplicació dl Algoritmo d Rtoro a u puto stado trial ura d la curva surzo-dormació. Rorgaizado la cuació.44, tomado cuta la cuació.4 y.48, obtmos: E E vp vp vp vp E E E vp vp vp vp E E E vp sido sig vp vp vp : t sig trial E sig trial Et sig corrció plástica.54 y oprado sobr la xprsió rsultat atrior: ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS 9

56 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO 3 ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS trial trial trial trial sig sig t E sig t E sig sig sido los térmios t E, trial positivos, s cocluy d la cuació atrior qu:, trial sig sig.55 trial trial t E t E.56 Utilizado la cuació.56 para valuar, la ució d lucia discrtizada quda así: trial q t E q.57 Cosidrado la ly d durcimito lial dada la cuació.5 y rmplazado la xprsió atrior, s ti: ' ' ' ' ' ' rstado y sumado, ' H E H t E H H t E H H H t E trial trial trial y trial y trial.58 sabido por la cuació.43 qu t, y rmplazado la cuació atrior obtmos:

57 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS 3 ' trial t H E.59 Cosidrado qu, por star ura dl rago lástico, tocs, dspjado d la cuació atrior y rmplazádolo la cuació.43 para obtr : ' H E t t t t trial t H E t H E trial ' '.6 Drivado la cuació.54 rspcto a la variabl cosidrado l caso d carga plástica, sig, y tomado la cuació.6 para, l módulo tagt para l prst modlo s valúa mdiat la siguit xprsió: t H E t H E E E E t H E t H E H E d d E d E d t H E t H E H d d E d E d t H E t H E d d E d E d d d E d d d d E y vp vp y trial vp trial vp trial ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ta ta.6

58 CAPÍTULO MARCO TEÓRICO El valor qu s asum para la variabl t y db sr calibrados dtro dl modlo umérico ralizado varias corridas computacioals, d orma tal qu uméricamt ajust l modlo rológico para qu dscriba d mara adcuada l comportamito dl matrial. Es dcir, dtro d la modlació qu s propodrá y qu s dtalla l capítulo siguit, dichos parámtros so d caráctr mramt umérico, pus ayuda a qu l modlo rológico posa robustz umérica, s dcir qu l modlo, srá capaz d ucioar adcuadamt rt a distitas situacios d carga dtro o ura d la rama lástica, dbido a qu stas variabls colabora a qu produzca ua trasició suav tr la rama lástica y la plástica véas Figura.8. 3 ANÁLISIS DE PLASTICIDAD EN PÓRTICOS PLANOS