1. Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie: z = y con el plano y=2, en el punto (2,1, 6 )

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1 PROBLEMAS RESUELTOS 1. Encontrar la pendiente de la recta tangente a la cra de intersección de la sperficie: z = 1 con el plano =, en el pnto (,1, 6 Solción La pendiente bscada es: z 1 (,1 1 z (,1 6 (,1. La ecación: (- z = -z-5, define a z como na fnción implícita de e. z z Determine i ii Solción i ( z (z5, esto implica qe: (-z ( z = z5 (-z ( z = 0 z5 - (-z z = z 5 z 5 z1 ii ( z (z5 esto implica qe: (-z ( z = z5 (-z ( z = 0 z5 z (-z (1 = 0 z 50 z ( z z1 [ ( z](z1 [ z1](( z ( ( z 1 = (z1 [ z](z1 [ z 1](( z (z1 [ z](z1 [ z](( z ( 1 ( = [ z z z] (z1 (z1 z = z ( z = =

2 5 66z1 [ ] z1 (z1 6 6z1 10 ( z 1 = =. Dado =f( -,-- na fnción contina con deriadas parciales de segndo orden continas. Hallar i ii Solción Se obsera qe es na fnción de dos ariables. = f(,w, donde = - ; w= -- i Para calclar, aplicaremos la regla de la cadena: = + w w = f 1 + f w = f 1 (- + f (-1 = - f 1 - f, en donde f 1 f son las deriadas de parciales de f respecto w, respectiamente. ii : = + w w = f 1 + f w = f 1 ( + f (1 = f 1 + f = ( ( f 1 + f = f 1 + f =[ f 1 + w f 1 w ] + [ f + w f w ] =[f 11 (- + f 1 (-1] + [f 1 (-+ f (-1] =- f 11 - f 1 f 1 f Como f tiene deriadas parciales de segndo orden continas, entonces, f 1 = f 1.

3 Lego, = =- f 11 (+ f 1 f. Dado el sistema de ecaciones, qe define a, con fnciones de e. Determinar,,, Solción Como:,entonces,. Esto implica (por la deriada del prodcto qe:...(. 1 Por otro lado,. Lego, (. Esto implica qe:...( Resoliendo el sistema de ecaciones (1 (, tenemos:, Como:,entonces,. Esto implica qe:...(. También,. Lego, (. Esto implica qe:...( 0 Resoliendo el sistema de ecaciones ( (, tenemos:,

4 5. La distribción de la temperatra en na placa metálica, iene dada por la fnción: 70 T (,, donde T está medida en grados centígrados,,z en metros. 1 z En qé dirección amenta más rápido la temperatra respecto al pnto(1,,? Cál es la máima tasa de incremento? Solción Se sabe qe la gradiente de T es la dirección en la cal amenta más rápido la temperatra. más rápido El gradiente de T es: f(,,z = < f (,,z, f (,,z, f z (,,z > = <,, ( 1 z ( 1 z ( 1 z > f(1,, =< ,, > La tasa máima de crecimiento es la longitd del ector gradiente f(1,, = Resoler la ecación: 5 e + d d = 0 Solción 5 e + d d = 0 d d = - 5 e d = - 5 e 1 d 5 d = - e d ( se logrado separar la ariables 1 Integrando cada término: d = - 5 e 1 e d = - + c

5 7. Resoler la ecación: ( + d + d = 0 Solción Veamos si la EDO es homogénea: P(, = + P(t, t = (t + (t =t ( + = t P(, Q(, = Q(t, t = (t (t = t ( = t Q(, P es homogénea de grado Q es homogénea de grado Lego, la EDO es homogénea. Hacemos el cambio de ariable: z = = z d = dz + z d ( + d + d = 0 ( + (z d + (z ( dz + z d = 0 (1+z d + z ( dz + z d = 0 Diidiendo por : (1+z d + z dz + z d = 0 (1+z d + z dz = 0 z dz d Separando ariables: 1 z 1 ln(1 z = - ln( +cte 1 ln(1 z + ln( = cte 1 z ln( 1 = cte (1+z 1/ = cte (1+ z = cte Sstitendo z = : (1+ = cte + = c

6 8 Resoler la ecación: ( d + + ( - = 0. d Solción Veamos si la Ecación Diferencial Ordinaria (E.D.O es eacta: ( + Recordar: La ecación diferencial: P d + Q d = 0, es eacta si solo si P Q. d + ( - = 0 ( 6 d + ( + d = 0 d (* P(, d + Q(, d = 0 P(, = P 6 = Q(, = Q + = P Q De esto, la E.D.O es eacta. Por lo tanto, s solción es: F(,=c, de modo qe : F = P(, = 6 (1 F = Q(,= + ( F De la ecación (1 : = 6 F(, = ( - 6 d F(, = + ( ( F F Lego, = ( - + ( = + ( ( Reemplazando ( en (: + = + ( ( = '( d d ( = (5 Reemplazando (5 en (: F(, = +. Finalmente, + = c, es la solción de la ecación ordinaria.

7 9 Resoler la ecación: d = 0. d Solción Veamos si la Ecación Diferencial Ordinaria (E.D.O es eacta: d = 0 ( d + d = 0 (* d P(, d + Q(, d = 0 P(, = P = 5 Q(, = Q = De esto, la E.D.O no es eacta. P Q Determinación de factores integrantes: Recordar: P Q d Si (P Q / Q es na fnción eclsia de, entonces ( = e Q es el factor integrante. Q P d Si (Q P / P es na fnción eclsia de, entonces (= e P es el factor integrante. Si (P Q / Q = (5 - / = / es na fnción eclsia de P Q d Lego, ( = e Q d ( = e ( = e ln ( = Ahora mltiplicamos por el factor integrante (=, a ambos miembros de la ecación (*, obtenemos: ( d + d = 0 ( d + 5 d = 0 P(, d + Q(, d = 0 P(, = P = 5 P Q

8 Q(, = 5 Q = 5 De esto, la E.D.O es eacta. Lego, eiste s solción es F(, = c, de modo qe : F = P(, = (1 F = Q(,= 5 ( F De la ecación (1 : = F(, = (5 8 d F 5 Lego, = ( + ( F(, = + ( F = 5 + ( ( Reemplazando ( en (: 5 = 5 + ( (= 0 ( = 0 ( '( d 0d Reemplazando ( en (: F(, = Finalmente, Resoler: sec Solción sec = c, es la solción de la ecación ordinaria. d d d d + = sen; (=1 + = sen d + (cos =cos sen, d P( Q( esta ecación diferencial es lineal de primer orden s solción esta dada por: P( d e = e P( d Q(d C cos( d e = e cos( d sen(cos( d C Lego: d e sen sen = e sen(cos( C e sen = e sen (-1+sen +C (1 sen 0 sen 0 Como: (=1 (=0; =1: 1e = e (-1+sen +C C= ( Reemplazando ( en (1, obtenemos la solción: e sen = e sen (-1+sen +.

9 d 11. Analizar si: f ( +f( P( = Q(, pede ser transformada a na E.D.O d lineal de primer orden. Solción Sea el cambio: z = f ( d z df( df( d d Lego, f '( (1 d d d d d d z Ahora de la E.D. original de la ec.(1, obtenemos: d es lineal. +P( z = Q(, esta E.D. 1 Resoler: e d d + e = d z de d Solción Haciendo: z = e e d d d 1 d z d z Lego: + z = + ( z = 6,esta ecación diferencial es lineal de d d primer orden s solción esta dada por: d z e d = e 6 d C z e = e (6 d C z e e = e +C e = e +C Tomando logaritmos natrales obtenemos: + =Ln( e 1.Determinar n factor integrante de: d (+ d=0, si el factor integrante de es de la forma: = m n. Solción d (+ d=0 ( m n ( d (+ d =( m n ( m n+1 d - ( m+1 n + m+1 n+ d= 0 P Q Para qe sea eacta debe cmplirse: P(, = m n+1 Q(, =- ( m+1 n + m+1 n+ P = (n+1 m m +c Q = -(m+1( m m + m m+

10 Igalando obtenemos: (n+1 m m =-(m+1( m m + m m+ (n+1 m m =-(m+1( m m -(m+1 m m+ De esto, ( n 1 ( m 1 ( m 1 0 n 1 m 1 Por lo tanto, el factor integrante bscado es: = Sea f: si (, (0, definida por: f(,. 0 si (, (0, a. Analizar si f tiene deriada direccional en el origen en calqier dirección b. Analizar si f es diferenciable en (0, Solción a. D f ( 0 h a, 0 h b f ( 0, f ( 0, lim, donde =(a,b, con a + b = 1 h 0 h Caso 1 b0: h0 h D f ( 0, lim h b Caso b=0: a b a ( b b a ( hb h a h 0 h a ( hb lim h0 h h( b h a a b lim h0 ( b h a D f ( 0 h a, 0 h b f ( 0, f ( 0 h a, 0 h f ( 0, lim lim h0 h h0 h ( h a ( 0 f ( h a, f ( 0, lim lim 0 h a lim 0 0 h0 h h0 h h0 f ( 0, En calqier caso, a si b 0 Df (0, b 0 si b 0 Conclsión: En calqier dirección eiste la deriada direccional en (0,.

11 b. La fnción f es no es diferenciable en (0,, a qe NO es contina en (0,, pesto qe no eiste el lim f (,, dado qe: (, 0 S1={(,/ =0}: lim f (, lim f (, lim 0 0 S={(,/ = }: ( 0, (, S1 lim ( 0, (, S 0 f (, lim f (, 0 0 ( lim 0 ( lim Un tanqe está lleno con 10 galones de aga salada en el cal estan diseltas 5 lb de sal. Aga salada conteniendo lb de sal por galón ingresa al tanqe a galones por minto, la mezcla bien agitada sale a la misma tasa. a Determine la cantida de sal presente despés de 10 min b Cánta sal está presente despés de n tiempo largo? Solción Sea A(t la cantidad de sal, en libras, en el tanqe despés de t mintos. Lego, da es la tasa de cambio de la cantidad de sal en el tiempo t, esta dada por: dt da tasa de ingreso - tasa de salida dt (1 Como ingresan gal/min, conteniendo lib/gal de sal, tenemos qe la cantidad de sal gal lib lib qe entra por minto por: 6 ( min gal min Dado qe siempre ha 10 gal en el tanqe debido qe ha A llibras de sal en en el tiempo t, entonces, las concentración de sal en el tiempo t es A libras por 10 galones. La A lib gal A lib cantidad de sal qe sale por minto es: ( 10 gal min 5 min De (1, ( ( tenemos: da A 6 -, A( = 5 (Pesto qe inicialmente ha 5 lib de sal, tenemos A=5 en t = dt 5 da 0 A da dt Por separación de ariable: dt 5 0 A 5 da dt ln(0 A t C 0 A 5 5 Como A=5 en t=0, tenemos c=-ln5. Así, t 5 t ln(0 A ln 5 ln A 0 5e 5 0 A 5 10/5 i Al cabo de 10 mintos se tendrá, A(1 0 5e 6,6 lib ii Despés de n largo tiempo, scede canto t, se tiene qe A0libras t /5

12 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Un eqipo de oceanógrafo está elaborando n mapa del fondo del mar para intentar recperar n antigo barco hndido. Por medio de n sonar, desarrollan n modelo: D = sen, 0, 0, donde, denotan las distancias en kilométros D la profndidad en metros. Hallar la dirección de máimo cambio de profndidad en el pnto de posición del barco. d. Resoler. Además, determine la(s solcion(es singlares si eisten d 1 ce Rpta., solcion singlar = - 1 ce d. Resoler d 8 Rpta. (+ 5 e =c(+ 5 e, propesto Zill,pg57(prop19. Determine n solción contina qe d f(, donde d (=0 ( 1e /, 0 1 Rpta. ( e e /, 1 5. Resoler 6 d+(+9 d=0, (=1, Rpta + =1 ; 0 1 f(, 0; 1 6. Resoler (+ e / d- e / d =0, (1=0, Rpta ln ln / e 1 7. Resoler d d, (1=0, Rpta ln / ln e 1 d 8. Resoler ( 1. Ec. Bernolli d 9. Resoler a. = e -, con (=0 b. (- d + (1 - d = 0 c. (e + d - d = 0, (=0 10. Un eqipo de oceanógrafo está elaborando n mapa del fondo del mar para intentar recperar n antigo barco hndido. Por medio de n sonar, desarrollan n modelo: D = sen, 0, 0, donde, denotan las distancias en kilométros D la profndidad en metros. Halle la dirección de máimo cambio de profndidad en el pnto de posición del barco.

13 d 11. Resela. Además, determine la(s solcion(es singlares si eisten d 1 ce Rpta., solcion singlar = - 1 ce d 1 Resela d 8 Rpta. (+ 5 e =c(+ 5 e, propesto Zill,pg57(prop19 1. Determine n solción contina qe d f(, donde d (=0 ( 1e /, 0 1 Rpta. ( e e /, 1 1. Resela 6 d+(+9 d=0, (=1, Rpta + =1 ; 0 1 f(, 0; Resela (+ e / d- e / d =0, (1=0, Rpta ln ln / e Resela d d, (1=0, Rpta ln / ln e 1 d 17. Resela ( 1. Ec. Bernolli d 18. Resela a. = e -, con (=0 b. (- d + (1 - d = 0 c. (e + d - d = 0, (=0 19. Una lata de metal en forma de cilindro circlar recto a a tener na altra interior de 8 plgadas, con radio interior de plgadas n espesor de 0, plg. Si el costo del metal qe a a ser sado es de 0soles por plg, determine el costo del metal, por diferenciales en la manfactra de la lata. Rpta. 6soles 0. Un tanqe contiene 00 de aga salada en la cal se han diselto 0g de sal. Aga salada con 1 g por litro entra al tanqe a litro por minto; la mezcla bien agitada sale a la misma tasa. Calcle la cantidad de sal cando t =10, Rpta Un tanqe contiene 00 litros de aga donde se han diselto 0g de sal le entran aga pra a L/min; bien mezclado, de él sale líqido con la misma rapidez. Calcle la cantidad de sal cando t =10. Un tanqe tiene 500 galones de aga pra de aga donde se han diselto 0g de sal le entran L/min de solción con 1g de sal por litro; bien mezclado, de él sale líqido con la misma rapidez. Calcle la cantidad de sal cando t =10, Rpta

14 . El qímico A es transformado en el qímico B. La taza a la cal B se forma aría directamente con la cantidad de A presente en calqier instante. Si 10 lb de A están presentes inicialmente si lb se transforman en B en na hora, en cánto tiempo se transforma el 75% del qímico A?. Un tanqe tiene 0 gal de aga pra. Una solción de aga salada con 1 lb de sal por galón entra a gal/min, la mezcla bien agitada sale a la misma tasa. Cándo el aga qe sale tendrá 0,5 lb de sal por galón? 5. Un tanqe tiene 60 gal de aga salada con lb de sal por galón. Una solción con lb de sal por galón entra a gal/min, la mezcla sale a la misma tasa. Cándo el habrá 150 lb de sal en el tanqe?