Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca

Transcripción

1 Ejercicio:.. Lanzamos una moneda dos veces consecutivas. Consideramos el espacio de posibilidades formado por los cuatro casos Ω = {,,, }. En este espacio, el suceso " obtener más caras que cruces " es igual a: a) {, }. b) {,, }. c) { }. El suceso "obtener más caras que cruces" solo ocurre cuando tenemos, para la respuesta a y b no se cumple.. Lanzamos una moneda dos veces consecutivas. Consideramos el espacio de posibilidades formado por los cuatro casos Ω = {,,, }. El suceso contrario de " obtener alguna cara " es igual a: a) {, }. b) { }. c) { }. El suceso contrario de "obtener alguna cara" solo ocurre cuando tenemos, para la respuesta a y b no se cumple.

2 Ejercicio:.. Lanzamos una moneda tres veces consecutivas. Consideramos el espacio de posibilidades formado por los ocho resultados posibles de los tres lanzamientos. El suceso de " obtener al menos dos caras " es igual a: a) {,,, }. b) { }. c) {,, }. Los ocho resultados posibles son Ω = {,,,,,,, } El suceso de " obtener al menos dos caras " ocurre cuando tenemos: {,,, }

3 Ejercicio:.. Lanzamos una moneda tres veces consecutivas. Consideramos el espacio de posibilidades formado por los ocho resultados posibles de los tres lanzamientos. El suceso A = {,,,,, } Es igual a: a) Obtener al menos dos caras o dos cruces. b) Obtener al menos dos resultados consecutivos iguales. c) Que los tres resultados no sean iguales. La a no es correcta ya que este suceso es igual al espacio de posibilidades y nos faltaría: Ω = {,,,,,,, } La c es imposible. La correcta es la respuesta b.

4 Ejercicio:.. Lanzamos una moneda cuatro veces consecutivas. Consideramos el espacio de posibilidades formado por los dieciséis resultados posibles de los cuatro lanzamientos. El suceso contrario de "obtener más caras que cruces" es igual a: a) "Obtener más cruces que caras". b) "Obtener menos caras que cruces". c) "Obtener al menos tantas cruces como caras". Los dieciséis resultados posibles son: Ω={,,,,,,,,,,,,,,, } El suceso "obtener más caras que cruces" {,,,, } El suceso contrario de "obtener más caras que cruces" {,,,,,,,,,, }

5 Ejercicio:.6.6 Lanzamos una moneda tres veces consecutivas. Consideramos el espacio de posibilidades formado por los ocho resultados posibles de los tres lanzamientos. El suceso contrario de "algún resultado es cara" es igual a: a) "Algún resultado no es cara". b) "Todos los resultados son cruz". c) " Algún resultado es cara y alguno es cruz ". Ω = {,,,,,,, } El suceso de "algún resultado es cara" es {,,,,,, } El suceso contrario de " algún resultado es cara " es { }

6 Ejercicio:.7.7 Lanzamos un dado dos veces consecutivas. Consideramos el espacio de posibilidades formado por los 6 resultados posibles de los dos lanzamientos. El suceso {,,, } Es igual a: a) "El resultado del segundo lanzamiento es mayor que el primero". b) "Los resultados de los dos lanzamientos son distintos". c) "La diferencia entre el resultado del segundo lanzamiento y el del primero es ". En total tenemos 6 6 = 6 casos posibles.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,. La a no es correcta porque no contiene el resultado La b no es correcta porque no contiene el resultado que está incluido en los 6 casos posibles. que está incluido en los 6 casos posibles.

7 Ejercicio:.8.8 Si el suceso A ha ocurrido, se puede asegurar que el suceso a) A B también ha ocurrido. b) A B también ha ocurrido. C c) A también ha ocurrido. Intersección, A B, Ocurre siempre que el resultado pertenezca a A y B Unión, A B, Ocurre siempre que el resultado pertenezca a A o B o los dos. C Complementación, A, Sucede siempre cuando el resultado no pertenece a A..9 Si el suceso A C B ha ocurrido, se puede asegurar que el suceso a) A ha ocurrido. b) B ha ocurrido. c) A B no ha ocurrido. Si el suceso A C B ha ocurrido, se puede asegurar que el suceso A ha ocurrido U A B A B C.0 Si el suceso A C C B ha ocurrido, se puede asegurar que el suceso C a) A B ha ocurrido. b) A B ha ocurrido. c) A B no ha ocurrido. C C Si el suceso A B ha ocurrido, se puede asegurar que el suceso A B no ha ocurrido. Llegamos a esta conclusión aplicando las leyes de Morgan.

8 . Lanzamos una moneda dos veces consecutivas. Consideramos el espacio de posibilidades formado por los cuatro casos Ω = {,,,}. Sea A el suceso el primer resultado es cara y B el suceso el segundo resultado es cara, entonces el suceso A B es igual a: a) Ambos resultados son cara. b) Al menos un resultado es cara. c) Más de un resultado es cara. La respuesta a nos dice que Ambos resultados son cara lo que equivale a A B. La unión, A B, quiere decir que el primer resultado es cara o el segundo resultado es cara, por lo tanto Al menos un resultado es cara.

9 Ejercicio:.. Un dado está cargado de manera que al lanzarlo sus sucesos simples ocurren con las siguientes probabilidades: Modelo no uniforme del lanzamiento del dado Suceso Probabilidad 0, 0, 0, 0, 0, 0, En un lanzamiento, la probabilidad de obtener más de cuatro puntos es: a) 0,. b) 0,. c) 0,. El suceso A = obtener más de cuatro puntos es igual a: A = {, } P(A)= P( )+( ) = 0, + 0, = 0,

10 Ejercicio:.. Un dado está cargado de manera que al lanzarlo sus sucesos simples aparecen con las siguientes probabilidades: Modelo no uniforme del lanzamiento del dado Suceso Probabilidad 0, 0, 0,? 0, 0, La probabilidad de que aparezca es: a) 0,. b) No lo podemos saber, faltan datos. c) Es imposible que un dado tenga esas probabilidades. La suma de las probabilidades de los sucesos elementales debe de ser igual a, así que: 0, + 0, + 0,+ x + 0, + 0, = x = 0,

11 Ejercicio:.. Lanzamos dos veces un dado equilibrado, la probabilidad de que un resultado sea el doble del otro es: a) /6. b) /6. c) /. Regla de Laplace. ( ) P A número de casos favorables a A = número de casos posibles En total tenemos 6 6 = 6 casos posibles.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,. Los casos favorables son 6.,,,,,. La probabilidad es ( ) 6 P A = = 6 6

12 Ejercicio:.. Lanzamos dos veces una moneda equilibrada, la probabilidad de obtener alguna cara es: a) /. b) /. c) /. El espacio de posibilidades formado por los cuatro casos Ω = {,,, }. El suceso A = obtener alguna cara = {,, }. Por lo tanto tenemos casos favorables de los posibles. Regla de Laplace. ( ) P A número de casos favorables a A = = número de casos posibles

13 Ejercicio:.6.6 Lanzamos tres veces una moneda equilibrada, la probabilidad de obtener alguna cara es: a) /. b) /. c) 7/8. El espacio de posibilidades formado por los ocho casos: Ω = {,,,,,,, } El suceso A = obtener alguna cara = {,,,,,, } Por lo tanto tenemos 7 casos favorables de los 8 posibles. Regla de Laplace. ( ) P A número de casos favorables a A 7 = = número de casos posibles 8

14 E jercicio:.7 A utor: A ntonio R ivero Cuesta, Tutor C.A. Palm a de M allorca.7 Lanzamos tres veces una moneda equilibrada, la probabilidad de obtener dos resultados iguales consecutivos es: a) /. b) /8. c) 7/8. El espacio de posibilidades formado por los ocho casos: Ω = {,,,,,,, } El suceso A = obtener dos resultados iguales consecutivos = {,,,,, } Por lo tanto tenemos 6 casos favorables de los 8 posibles. Regla de Laplace. númerodecasosfavorablesaa 6 P ( A) = = = número de casos posibles 8

15 Ejercicio:.8.8 Cien personas se han clasificado según el color de los ojos y el color del pelo. La tabla siguiente muestra el número de personas en cada categoría: Pelo negro Pelo castaño Pelo rubio Ojos oscuros Ojos claros Se elige una persona entre las cien al azar, la probabilidad de que tenga los ojos claros y pelo negro es: a) 0,0. b) 0,. c) 0/. Por lo tanto tenemos 0 casos favorables de los 00 posibles. Regla de Laplace. número de casos favorables a A 0 P( A) = = = 0,0 número de casos posibles 00

16 Ejercicio:.9.9 Se lanza un dado equilibrado dos veces. La probabilidad de que la suma de los resultados sea 7 es: a) /6. b) 7/6. c) /6. Regla de Laplace. ( ) P A = número de casos favorables a A número de casos posibles En total tenemos 6 6 = 6 casos posibles.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,. Los casos favorables son 6.,,,,,. La probabilidad es ( ) 6 P A = = 6 6

17 Ejercicio:.0.0 De una urna que contiene bolas azules y rojas se extraen dos bolas sucesivamente, sin devolver la primera a la urna. La probabilidad de que alguna de las bolas sea azul es: a) 0,. b) 0,6. c) 0,7. Vamos a numerar las bolas para contar En total tenemos 0casos posibles, que los representamos por: Para saber la probabilidad de que alguna de las bolas sea azul contamos todos los pares en los que hay al menos una bola azul como casos favorables, que son. La probabilidad es 7 P A 0 0

18 Ejercicio:.. De una urna que contiene bolas azules y rojas se extraen dos bolas sin devolver la primera a la urna. La probabilidad de obtener dos bolas de distinto color es: a) /. b) /. c) /. Vamos a numerar las bolas para contar En total tenemos = 0 casos posibles Tenemos = 6 casos favorables en donde la primera bola es azul y la segunda roja. Y también tenemos = 6 casos favorables en donde la primera bola es roja y la segunda azul. Para saber la probabilidad de que alguna de las bolas sea azul contamos todos los pares en los que hay bolas de distinto color, en total son casos favorables. La probabilidad es ( ) P A = = 0

19 Ejercicio:.. De una urna que contiene bolas azules y rojas y verde se extraen dos bolas sucesivamente, sin devolver la primera a la urna. La probabilidad de que una de las dos bolas sea la verde es: a) 0,8. b) 0,6. c) 0,. Vamos a numerar las bolas para contar En total tenemos 0casos posibles Para seleccionar la bola verde, o bien la primera es verde y la segunda no, con lo que tenemos casos favorables. O bien la primera no es verde y la segunda sí, con lo que tenemos casos favorables. En total son 8 casos favorables y la probabilidad del suceso "la bola verde está entre las elegidas es: La probabilidad es 8 P A 0, 0

20 Ejercicio:.. Lanzamos un dado dos veces, la probabilidad de que el primer resultado sea mayor que el segundo es igual a: a) /. b) /. c) /. Regla de Laplace. ( ) P A número de casos favorables a A = número de casos posibles En total tenemos 6 6 = 6 casos posibles.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,. Los casos favorables son.,,,,,,,,,,,,,,, La probabilidad es ( ) P A = = 6

21 Ejercicio:.. De una urna que contiene bolas numeradas con los números,,, y se extraen dos bolas sucesivamente, sin devolver la primera a la urna. La probabilidad de que el número de la primera bola sea mayor que el de la segunda es: a) 9/0. b) /. c) /0. Regla de Laplace. P A número de casos favorables a A número de casos posibles En total tenemos 0casos posibles.,,,,,,,,,,,,,,, En total son 0 casos favorables y la probabilidad de que el número de la primera bola sea mayor que el de la segunda es:,,,,,,,,, La probabilidad es 0 P A 0

22 Ejercicio:.. Cien personas se han clasificado según el color de los ojos y el color del pelo. La tabla siguiente muestra el número de personas en cada categoría: Pelo negro Pelo castaño Pelo rubio Ojos oscuros Ojos claros Se elige una persona entre las cien al azar, y luego otra al azar entre las restantes, la probabilidad de que tenga los ojos del mismo color es: a) /. b) /. c) 9/99. Regla de Laplace. ( ) P A número de casos favorables a A = número de casos posibles En total tenemos = 9900 casos posibles. Para que ocurra el suceso "tienen los ojos del mismo color", o lo que es lo mismo: Ambos tienen los ojos oscuros que son 0 9 casos favorables Ambos tienen los ojos claros que son 0 9 casos favorables En total el número de casos favorables son 09 La probabilidad es P( A) 09 9 = =

23 Ejercicio:.6.6 Si PA 0, y PA B 0, a) 0,. b) 0,0. c) 0,., la probabilidad condicionada P B A es igual a: La probabilidad de que ocurra el suceso B cuando sabemos que A ha ocurrido se denomina probabilidad de B condicionada por A y se designa por el símbolo PB A. P B A P A B P A 0, PB A 0, 0,.7 Si PA 0, y 0,6 a) 0,. b) 0,. c) 0,6. P B A, la probabilidad PA B es igual a: P A B 0, 6 0, 0,.8 Si PA 0,, PB 0, y PA B 0,, la probabilidad condicionada PB A es igual a: a) 0,. b) 0,. c) 0,. P B A P AB P BA P A P A Tenemos que PAB PA BPB 0,0 0,0 PB A 0, 0, P B A P A B P A P B Si utilizamos la regla de Bayes tenemos PB P A B 0,0, PB A 0, P A 0,

24 .9 Si PA 0,, PB 0, y PA B 0, a) /7. b) /7. c) /. C, la probabilidad condicionada P A B es igual a: La probabilidad de que ocurra el suceso B cuando sabemos que A ha ocurrido se denomina probabilidad de B condicionada por A y se designa por el símbolo PB A. P A B C P A B P B C C 0,7 C Tenemos que PB PB C 0, P A B P A P A B C 0, PA B 0,7 7 U A B

25 E jercicio:.0 A utor: A ntonio R ivero Cuesta, Tutor C.A. Palm a de M allorca.0 Lanzamos dos veces una moneda. Si sabemos que ha aparecido alguna cara, la probabilidad de que los dos resultados sean cara es: a) /. b) /. c) /. La probabilidad de que ocurra el suceso A cuando sabemos que B ha ocurrido se denomina probabilidad de A condicionada por B y se designa por el símbolo P ( A B ). La probabilidad condicionada reduce el espacio de posibilidades con la información adicional que nos proporciona y mejora la probabilidad que se obtiene. ( ) P A B = ( B) P ( B) P A Suponemos que A y B son los sucesos: A = los dos resultados son cara B = ha aparecido alguna cara P(B) = P ({,, }) ( B) = P ({ }) P A = = ( ) P A B ( B) P ( B) P A = = = Otra forma de resolverlo: Como sabemos que ha aparecido alguna cara, el espacio de posibilidades es: {,, }, tenemos resultados posibles. Y solo en resultado han salido dos caras { }. Por lo tanto aplicando Laplace tenemos P ( resultados cara) número de casos favorables = = número de casos posibles

26 Ejercicio:.. De una urna que contiene bolas azules y rojas y verde extraemos una bola al azar. Si sabemos que la bola extraída no es verde, la probabilidad de que sea roja es: a) /. b) /. c) /. La probabilidad de que ocurra el suceso A cuando sabemos que B ha ocurrido se denomina probabilidad de A condicionada por B y se designa por el símbolo P ( A B ). La probabilidad condicionada reduce el espacio de posibilidades con la información adicional que nos proporciona y mejora la probabilidad que se obtiene. ( ) P A B = ( B) P ( B) P A Suponemos que A y B son los sucesos: A = la bola es roja B = la bola no es verde P( B ) = de las seis bolas cinco no son verdes 6 P( A B) = de las seis bolas dos son rojas y seguro no son verdes. 6 ( ) P A B ( B) P ( B) P A 6 = = = 6 Otra forma de resolverlo: Como sabemos que la bola no es verde el espacio de posibilidades se reduce a bolas, bolas azules y rojas y para saber la probabilidad de que sea roja seleccionamos las bolas rojas de las posibles: ( ) P Sea roja =

27 Ejercicio:.. Cien personas se han clasificado según el color de los ojos y el color del pelo. La tabla siguiente muestra el número de personas en cada categoría: Pelo negro Pelo castaño Pelo rubio Ojos oscuros 0 0 Ojos claros 0 0 Elegimos una persona al azar y no tiene el pelo negro; la probabilidad de que tenga los ojos claros es: a) 7/. b) /. c) 0/0. Tenemos 60 casos posibles que no tienen el pelo negro y los ojos claros. Tenemos casos favorables con ojos claros. La probabilidad es ( ) 7 P A = = 60 Otra forma de resolverlo: La probabilidad de que ocurra el suceso A cuando sabemos que B ha ocurrido se denomina probabilidad de A condicionada por B y se designa por el símbolo P ( A B ). La probabilidad condicionada reduce el espacio de posibilidades con la información adicional que nos proporciona y mejora la probabilidad que se obtiene. ( ) P A B = ( B) P ( B) P A Suponemos que A y B son los sucesos: A = tiene los ojos claros B = no tiene el pelo negro 60 P( B ) = de los 00 casos posibles hay 60 favorables a B. 00 P( A B) = 0 con los ojos claros y el pelo castaño y con los ojos claros y el pelo rubio. 00 ( ) P A B ( B) P ( B) P A 00 7 = = = =

28 Ejercicio:.. Lanzamos un dado dos veces, si el primer resultado ha sido mayor que el segundo, la probabilidad de que el primero sea un 6 es igual a: a) /. b) /. c) /. Suponemos que A y B son los sucesos: A = el primer resultado es 6 B = el primer resultado es mayor que el segundo En total tenemos 6 6 = 6 casos posibles.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,. Tenemos casos favorables donde el primer resultado es mayor que el segundo P ( B ) = casos favorables a que el primer resultado sea mayor que el segundo. 6 P( A B) = casos favorables a que el primer resultado sea 6 y que sea mayor que el segundo, en total. 6 ( ) P A B ( B) P ( B) P A 6 = = = = 6 Otra forma de resolverlo: Tenemos casos totales en donde el primer resultado es mayor que el segundo. Y casos favorables en donde el primer resultado es un 6. P ( El primero 6) = =

29 Ejercicio:.. Lanzamos un dado dos veces, si la suma de los resultados es 7, la probabilidad de que el primero sea un 6 es igual a: a) /. b) /6. c) /7. En total tenemos 66 6casos posibles.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,. Hay 6 casos posibles en donde la suma es 7 y caso favorable en donde el primer resultado sea un 6.,,,,,. P A La probabilidad es 6 Otra forma de resolverlo: La probabilidad de que ocurra el suceso A cuando sabemos que B ha ocurrido se denomina probabilidad de A condicionada por B y se designa por el símbolo PA B. La probabilidad condicionada reduce el espacio de posibilidades con la información adicional que nos proporciona y mejora la probabilidad que se obtiene. P A B P A B P B Suponemos que A y B son los sucesos: A = el primer resultado es 6 B = la suma es 7 6 PB Casos favorables a que la suma es 7. 6 PAB Solo hay un favorable a que el primer resultado sea 6 y que la suma es 7. 6 P A B P A B 6 P B 66 6

30 Ejercicio:.. De una urna que contiene bolas azules y rojas se extraen dos bolas, sucesivamente, sin devolver la primera a la urna. Si la primera bola ha sido roja, la probabilidad de que la segunda bola sea azul es: a) /. b). c) /9. Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que ocurran ambos sucesos, ( A B) de que ocurra primero B, por la probabilidad de que ocurra A si ya ha ocurrido B. P ( A B) = P ( B) P ( A B) Suponemos que A y B son los sucesos: A = la segunda bola es azul B = la primera bola es roja, es igual a la probabilidad En total tenemos 9 8 = 7 casos posibles de extraer dos bolas, sin devolver la primera a la urna. De estos 8 = 0 casos favorables a que la primera bola sea roja y la segunda de cualquier color. 0 P ( B ) = Casos favorables a que la primera bola es roja y la segunda de cualquier color. 7 0 P( A B) = Casos favorables a que la primera bola es roja y la segunda bola sea azul. 7 ( ) P A B ( B) P ( B) P A 0 7 = = = 0 7 Otra forma de resolverlo: Si sabemos que la primera bola ha sido roja nos quedan en la urna bolas azules y rojas en total. Y como casos favorables tenemos bolas azules: P ( ª sea azul ) = = 8

31 Otra forma de resolverlo, aplicando la regla de Laplace:. De una urna que contiene bolas azules y rojas se extraen dos bolas, sucesivamente, sin devolver la primera a la urna. Si la primera bola ha sido roja, la probabilidad de que la segunda bola sea azul es: a) /. b). c) /9. Si la primera bola ha sido roja, tenemos: Que son los casos totales, 0. Ahora nos queda averiguar los casos favorables. La probabilidad de que la segunda bola sea azul es: Resultan 0 casos favorables. ( ) 0 ª 0 P sea azul = =

32 Ejercicio:.6.6 De una urna que contiene bolas azules, rojas y verdes, extraemos una bola al azar. Sea A el suceso no es roja y B el suceso no es verde, la probabilidad P ( A B ) es igual a: a) 0,. b) 0,. c) /. La probabilidad de que ocurra el suceso A cuando sabemos que B ha ocurrido se denomina probabilidad de A condicionada por B y se designa por el símbolo P ( A B ). La probabilidad condicionada reduce el espacio de posibilidades con la información adicional que nos proporciona y mejora la probabilidad que se obtiene. ( ) P A B = ( B) P ( B) P A Suponemos que A y B son los sucesos: A = no es roja B = no es verde Tenemos un total de 6 casos, con favorables a B. P( B ) = Casos favorables a que la primera bola es no sea verde. 6 Tenemos un total de casos favorables a P ( A B). P( A B) = Casos favorables a que la bola sea azul. 6 ( ) P A B ( B) P ( B) P A 6 = = = = 0, 6 Otra forma de resolverlo: Como nos piden P ( A B ) y si sabemos que la bola no es verde, tenemos casos posibles ques son bolas rojas y dos bolas azules. Para los casos favorables sabemos que no son rojas y no son verdes, por lo tanto nos quedan azules: P ( NO Sea roja sabiendo que NO es verde ) = =

33 Ejercicio:.7.7 De una urna que contiene bolas azules y rojas, se extraen dos bolas sucesivamente, sin devolver la primera a la urna. La probabilidad de que la segunda bola sea roja es: a) /8. b) /9. c) /. La fórmula de la probabilidad total es: Si B, B,... Bn son sucesos disjuntos cuya unión es el suceso seguro, la probabilidad de cualquier suceso A se calcula mediante la expresión: ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( n) ( n) P A P B P A B P B P A B P B P A B P A = La primera bola puede ser o bien azul, con probabilidad ( ) P R = O bien roja con probabilidad ( ) En el primer caso, en la urna quedan bolas azules y rojas 9 Así que la probabilidad de que la segunda bola sea roja si la primera fue azul es ( ) 9 P R A = P R R = En el segundo caso, cuando la primera es roja quedan cuatro de cada color y ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) P R P A P R A P R P R R P( R ) = + = Otra forma de razonarlo es: Tenemos un total de 98 = 7 para las dos bolas extraídas. El número de casos en los que la segunda bola es roja es 8 = 0, ya que la segunda bola debe ser una de las cinco rojas, y la primera puede ser cualquiera distinta de la primera. La probabilidad es: 0 = 7 9

34 Ejercicio:.8.8 De una urna que contiene bolas rojas y azules, extraemos una bola sucesivamente, y sin devolverla a la urna, extraemos otra bola a continuación. Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color? a) /. b) /. c) 8/. La fórmula de la probabilidad total es: Si B, B,... Bn son sucesos disjuntos cuya unión es el suceso seguro, la probabilidad de cualquier suceso A se calcula mediante la expresión: ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( n) ( n) P A P B P A B P B P A B P B P A B A = las bolas son de distinto color P R = Si la primera bola es roja tiene una probabilidad de ( ) Entonces la probabilidad de que la segunda sea de distinto color que la primera es ( ) Si la primera bola es azul tiene una probabilidad de ( ) P A = 6 6 P A R = P A A = Entonces la probabilidad de que la segunda sea de distinto color que la primera es ( ) La probabilidad total es: ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) P A P R P A R P A P A A 8 P( A ) = + = 6 6 Otra forma de razonarlo es: Tenemos un total de 6 = 0 para las dos bolas extraídas. Para que sean de distinto color tenemos que la primera sea roja y la segunda azul sea azul y la segunda sea roja = 8casos favorables, en total 6 La probabilidad es: 6 = 8 0 = 8 o que la primera

35 Ejercicio:.9.9 Las monedas M y M son idénticas salvo que M tiene probabilidad 0, de salir cara, mientras que la probabilidad de salir cara al lanzar M es 0,. Elegimos una de las monedas al azar y la lanzamos, la probabilidad de que salga cara es: a) 0,. b) 0,. c) 0,. La fórmula de la probabilidad total es: Si B, B,... Bn son sucesos disjuntos cuya unión es el suceso seguro, la probabilidad de cualquier suceso A se calcula mediante la expresión: ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( n) ( n) P A P B P A B P B P A B P B P A B Tenemos que C = sale cara. Si se lanza la moneda M que tiene una probabilidad de ( ) Entonces la probabilidad de obtener cara es PCM ( ) = 0, P M = Si se lanza la moneda M que tiene una probabilidad de ( ) Entonces la probabilidad de obtener cara es PCM ( ) = 0, P M = La probabilidad total es: ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) PC PM PCM PM PCM P( C ) = 0, 0, + 0, 0, = 0,

36 Ejercicio:.0.0 Tenemos tres urnas que contienen bolas azules y rojas la primera, azules y rojas la segunda, y azules y rojas la tercera. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas, sucesivamente, sin devolver la primera a la urna. La probabilidad de obtener dos bolas azules es: a) /. b) /. c) /. La fórmula de la probabilidad total es: Si B, B,... B n son sucesos disjuntos cuya unión es el suceso seguro, la probabilidad de cualquier suceso A se calcula mediante la expresión: ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( n) ( n) P A P B P A B P B P A B P B P A B Tenemos que A = las dos bolas son azules. PU = Las bolas se extraen de la primera urna con probabilidad ( ) Cuando esto sucede, la probabilidad de extraer dos bolas azules es: ( ) Las bolas se extraen de la segunda urna con probabilidad ( ) PU = 0 P AU = = Cuando esto sucede, la probabilidad de extraer dos bolas azules es: ( ) PU = Las bolas se extraen de la tercera urna con probabilidad ( ) 6 P AU = = Cuando esto sucede, la probabilidad de extraer dos bolas azules es: ( ) 0 P AU = = La probabilidad total es: P( A ) = + + = 0 0 0

37 Ejercicio:.. Si P( A ) = 0,, P( B ) = 0, y P( A B ) = 0,, la probabilidad condicionada P( B A) es igual a: a) 0,. b) 0,. c) 0,. Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que A haya ocurrido, suponiendo que B ha ocurrido, se puede calcular mediante la regla de Bayes. ( ) P B A P( A B) = P( A) P B ( ) P B A 0, = 0, 0, ( ) 0,0 P( B A ) = = 0, 0,

38 Ejercicio:.. Las monedas M y M son idénticas salvo que M tiene probabilidad 0, de salir cara, mientras que la probabilidad de salir cara al lanzar M es 0,. Elegimos una de las monedas al azar y la lanzamos, ha salido cara, la probabilidad de que se trate de la moneda M es: a) 0,6. b) 0,. c) /. Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que A haya ocurrido, suponiendo que B ha ocurrido, se puede calcular mediante la regla de Bayes. ( ) P B A P( A B) = P( A) P B ( ) Los datos son las probabilidades condicionadas de obtener cara en cada moneda P( C M ) = 0, ( ) P C M = 0, Y las probabilidades previas de elegir cada una de las monedas ( ) 0, probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda elegida al azar entre PC ( ) = 0, 0, + 0, 0, = 0, La probabilidad posterior de que se trate de la moneda M es: ( C) P M ( ) P( C M) P M 0, 0, = = = P C 0, ( ) ( ) P M =, P M = 0,. La M y M es

39 Ejercicio:.. De una urna que contiene bolas azules y rojas se extraen dos bolas, sucesivamente, sin devolver la primera a la urna. Si la segunda bola ha sido roja, la probabilidad de que la primera bola haya sido azul es: a) /. b) /8. c) /9. P A =. 9 La probabilidad de que la primera bola sea azul es ( ) P R A =. 8 La probabilidad de que la segunda bola sea roja es si la primera fue azul es ( ) P R =. 9 La probabilidad de que la primera bola sea roja es ( ) P R R =. 8 La probabilidad de que la segunda bola sea roja si la primera fue roja es ( ) La probabilidad de que la segunda bola sea roja es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P R = P A P R A + P A P R A = ( ) P ( A ) P A R ( ) P R A 9 8 = = = P R 9 ( ) 9 Otra forma de resolverlo: Si sabemos que la segunda bola ha sido roja nos quedan en la urna bolas azules y rojas en total. Y como casos favorables tenemos bolas azules: P ( ª sea azul ) = = 8

40 Otra forma de resolverlo, aplicando la regla de Laplace:. De una urna que contiene bolas azules y rojas se extraen dos bolas, sucesivamente, sin devolver la primera a la urna. Si la segunda bola ha sido roja, la probabilidad de que la primera bola haya sido azul es: a) /. b) /8. c) / Si la segunda bola ha sido roja, tenemos: Que son los casos totales, 0. Ahora nos queda averiguar los casos favorables. La probabilidad de que la primera bola sea azul es: Resultan 0 casos favorables. 0 P ( ª sea azul ) = = 0

41 Ejercicio:.. Tenemos tres urnas, la primera contiene bolas azules, la segunda bola azul y una roja, la tercera bolas rojas. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola extraída es roja, la probabilidad de que la tercera urna haya sido elegida es: a) /. b) /. c) /. Pongamos que U i = la urna i es elegida, para i,, y B = la bola es roja. Se trata de calcular PU B. Por la fórmula de Bayes, se tiene PU B PBU PU P B Puesto que las urnas se eligen al azar, se tiene PU PU PU Ahora, la urna y PBU U no contiene bolas rojas, luego PBU 0 ; de manera similar, obtenemos. De la fórmula de la probabilidad total resulta: P B P U P BU P U P BU P U P BU Si reemplazamos en la fórmula de Bayes obtenemos: P BU PU B PBU PU P B Este resultado se puede razonar directamente, las bolas de las urnas están numeradas de la siguiente manera: Si sabemos que la bola elegida es roja, no sabemos exactamente cual es, pero hay casos posibles, que tienen la misma probabilidad: De los casos son favorables a que la urna elegida sea la tercera y uno a que sea la segunda, por lo tanto la probabilidad es:

42 Ejercicio:.. Si P ( A ) = 0, y P ( A B ) = 0, se cumple: a) Los sucesos A y B son independiente. P A B = P B A. b) ( ) ( ) c) No pueden ser iguales esas probabilidades. En un fenómeno aleatorio determinado diremos que el suceso B es independiente del suceso A si se cumple P B A = P B ( ) ( ) Dos sucesos A y B son independientes si se cumple P ( A B) = P ( A) P( B).6 Si P ( A) P( A B) 0, a) P ( B ) = 0,. b) P ( B) P( B A) = = se cumple: =. c) No pueden ser iguales esas probabilidades. Como sabemos que B ha ocurrido no altera la probabilidad de que A ocurra, los sucesos A y B son P B = P B A. independientes y por ello tenemos que ( ) ( ) Sin embargo, no hay ninguna razón para que P ( B ) = 0,.7 Si A y B son sucesos independientes, con probabilidades respectivas P ( A ) = 0, y P ( B ) = 0, la probabilidad condicionada P ( A B) es igual a: a) /. b) 0,06. c) 0,. Por definición de la independencia de sucesos, tenemos dos sucesos A y B son independientes si se cumple P A B = P A P B. ( ) ( ) ( ) ( B) = 0, 0, = 0,06 P A

43 Ejercicio:.8.8 Si A y B son sucesos independientes, con probabilidades respectivas P( A ) = 0, y P( B ) = 0, la C probabilidad condicionada P( A B ) es igual a: a) 0,. b) 0,06. c) 0,. Por definición de la independencia de sucesos, tenemos dos sucesos A y B son independientes si se cumple C P( A B C ) P( A B ) = C P B ( ) C Tenemos que P( B ) P( B) = = 0,7 C Por otro lado tenemos P( A B ) P( A) P( A B) que P( A B) = P( A) P( B) = 0,06 C ( B ) = 0, 0, 06 = 0, P A C 0, P( A B ) = = 0, 0,7 C Hay que tener en cuenta que P( A B ) P( A) = y como los sucesos son independientes se cumple = que nos indica que A también es independiente de C B.

44 Ejercicio:.9.9 Lanzamos dos veces un dado cargado de manera que sus sucesos simples aparecen con las siguientes probabilidades: Modelo no uniforme del lanzamiento del dado Suceso La probabilidad de obtener dos números pares es: Probabilidad 0, 0, 0, 0, 0, 0, a) 0,6. b) 0,. c) Es imposible que un dado tenga esas probabilidades. Cada vez que lanzamos el dado tenemos que, E i es el suceso obtener un número par En la tirada i, la probabilidad de E i es: PEi P( )+P ( )+P ( ) = 0, Como los resultados de distintas tiradas son independientes, tenemos: P " obtener dos pares" P E E P E P E 0, 0,6

45 Ejercicio:.0.0 La moneda M está cargada de manera que al lanzarla sale cara con probabilidad 0,; la moneda M está cargada de manera que al lanzarla sale cara con probabilidad 0,6. Escogemos al azar una de las monedas y la lanzamos dos veces. La probabilidad de que salgan dos caras es: a) 0,6. b) 0,. c) 0,6. Es una aplicación de la probabilidad total y de la independencia de los sucesivos resultados de lanszar la moneda. Si la moneda elegida es M, la probabilidad de obtener dos caras es: P( M ) = 0, 0, = 0,6 Si la moneda elegida es M, la probabilidad de obtener dos caras es: P( M ) = 0,6 0,6 = 0,6 Cada moneda puede ser elegida con igual probabilidad, resumiendo tenemos: P( ) = P(M ) P( M ) + P(M ) P( M ) = 0,6 + 0,6 = 0, 6

46 Ejercicio:.. Sobre cual de las siguientes características tiene sentido realizar un estudio estadístico: a) El número de patas de las hormigas. b) El grupo sanguíneo de los habitantes de Londres. c) El tamaño de los planetas del sistema solar. El número de patas de las hormigas es 6 y el tamaño de los planetas es permanente y sabemos cual es. En cambio, los habitantes de Londres se cuentan por millones y el grupo sanguíneo varía de unos a otros.. Sobre cual de las siguientes características NO tiene sentido realizar un estudio estadístico: a) El nivel de renta de los hogares españoles. b) La fertilidad de los delfines. c) El número de átomos de las moléculas de agua.. Si para realizar un estudio estadístico se examinan un cierto número de individuos de una población, los individuos observados: a) Constituyen una muestra de la población. b) Dan lugar a un censo de la población. c) Han de ser elegidos con cuidadosa precisión.. En un estudio estadístico, la observación de las características de los individuos de una muestra: a) Da escasos indicios de las características globales del colectivo. b) Permite establecer conclusiones sobre las propiedades colectivas de los miembros de la población. c) Es conveniente, aunque sería preferible realizar un censo.. En un estudio estadístico, las variables estadísticas son: a) Los atributos o magnitudes que se observan en cada individuo. b) Principalmente la media y la varianza. c) Las frecuencias con las que aparece cada observación..6 Entre las siguientes características de un automóvil, Cuál es la variable cualitativa?: a) Su matrícula. b) Su consumo. c) Su velocidad máxima..7 La edad en años de un automóvil es una variable estadística: a) Cualitativa. b) Cuantitava discreta. c) Cuantitativa continua.

47 .8 Entre las siguientes características de un atleta, Cuál es la variable cuantitativa?: a) Su nacionalidad. b) La modalidad de atletismo que practica. c) Su mejor marca personal..9 La fecha de caducidad de un producto farmacéutico es una variable: a) Nominal. b) Ordinal. c) Cuantitativa..60 El año de fabricación de un automóvil es una variable estadística: a) Que se mide en escala de intervalos. b) De tipo ordinal. c) Que se mide en escala de razón..6 La latitud y el huso horario de un lugar son variables: a) Cuantitativa y cualitativa respectivamente. b) Cuantitativas, continua y discreta respectivamente c) Cuantitativa y ordinal respectivamente.

48 Ejercicio:.6.6 Los comercios de una pequeña ciudad se han agrupado según el número de dependientes, x i, observándose las frecuencias absolutas F i que indica la tabla: x i F i Es correcta la afirmación a) El 0% de los comercios tiene a lo sumo dependientes. b) El % de los comercios tiene más de dependientes. c) El 0% de los comercios tiene más de dependientes. Comercios con más de dependientes tenemos = de entre los 00 que hay..6 Los comercios de una pequeña ciudad se han agrupado según el número de dependientes, x i, observándose las frecuencias absolutas F i que indica la tabla: x i F i 0 0 Es correcta la afirmación a) El 7% de los comercios tiene a lo sumo dependientes. b) El 6% de los comercios tiene más de dependiente. c) El 0% de los comercios tiene o dependientes. El total de comercios son 0. Con a lo sumo dependientes, tenemos 0 + = 68,% 0 Con más de dependiente, tenemos = 6,6% 0 Con o dependientes, tenemos + 0 = 0% 0

49 .6 Los comercios de una pequeña ciudad se han agrupado según el número de dependientes, x i, observándose las frecuencias absolutas F i que indica la tabla: x i F i 6 8 Las frecuencias relativas de comercios con a) dependientes es 0,0. b) solo dependiente es 0,6. c) Más de dependientes es 0,0. El total de observaciones son = 80 La frecuencia relativa de es 6 0, 80 = La frecuencia relativa de es 0, 80 = La frecuencia relativa de más de es + 8 = 0, 80.6 Los 00 comercios de una pequeña ciudad se han agrupado según el número de dependientes, x i, observándose las frecuencias relativas f i que indica la tabla: x i f i 0,8 0,6 0,8 0, 0,0 Es correcta la afirmación a) Hay 76 comercios con dependientes. b) Hay 8 comercios con o dependientes. c) Hay 76 comercios con más de dependientes. Tenemos el total que son 00 comercios y con las frecuencias relativas calculamos las absolutas, 0,8 00 = 76 Con dependiente. 0,6 00 = Con dependientes. 0,8 00 = 6 Con dependientes. 0, 00 = 8 Con dependientes. 0,0 00 = 8 Con dependientes. Con más de dos dependientes tenemos 6+8+8=7.

50 Ejercicio: Los hogares de una población han sido clasificados según el nivel de renta anual, x i en miles de euros, hallándose las frecuencias relativas f i que indica la tabla: x i > 0 f i 0,0 0,0 0,0 0, 0,0 La frecuencia acumulada de rentas inferiores a a) 0 mil euros es 0,0. b) 0 mil euros es 0,80. c) 0 mil euros es 0,8. La frecuencia relativa acumulada del valor x j es la suma de las frecuencias relativas de todos los valores menores o igual que x, se representa por n = f + f +... f. j j j Las sucesivas frecuencias relativas acumuladas son: x i > 0 n i 0,0 0,60 0,80 0,9 El 0,60 es la frecuencia de hogares con renta inferior a 0 mil euros. El 0,80 es la frecuencia de hogares con renta inferior a 0 mil euros. El 0,9 es la frecuencia de hogares con renta inferior a 0 mil euros.

51 Ejercicio: Los hogares de una población han sido clasificados según el nivel de renta anual, x i en miles de euros, hallándose las frecuencias relativas f i que indica la tabla: x i > 0 f i 0, 0, 0,0 0,0 0,0 Es correcta la afirmación a) El 60% de los hogares tiene una renta inferior a 0 mil euros. b) El % de los hogares tiene una renta superior a 0 mil euros. c) El 8% de los hogares tiene una renta superior a 0 mil euros. Inferior a 0 mil euros hay una proporción 0,0 = 0% de los hogares. Superior a 0 mil euros hay una proporción 0,0 = 0% de los hogares. Superior a 0 mil euros hay una proporción 0,8 = 8% de los hogares.

52 Ejercicio: En una tabla de frecuencias, el cálculo de las frecuencias acumuladas tiene sentido a) En cualquier caso. b) Si la variable es por lo menos ordinal. c) Solo si la variable es cuantitativa..69 En una tabla de frecuencia en la que aparecen las frecuencias acumuladas a) La suma de dicha frecuencias es. b) La suma de dicha frecuencias es el número total de observaciones. c) La última de dicha frecuencias es..70 En un diagrama de sectores, que representa las frecuencias de distintas modalidades de una variable estadística, son proporcionales a cada frecuencia a) Los radios y los ángulos de los sectores. b) Los ángulos y las áreas de los sectores. c) Los radios y las áreas de los sectores..7 Para representar la distribución de una variable estadística, en un histograma se representan a) Sólo las frecuencias de la variable. b) Sólo los valores de la variable. c) Los valores de la variable y sus frecuencias..7 Para una variable estadística cuantitativa continua, la representación gráfica más adecuada de su distribución de frecuencias es a) Un diagrama de sectores. b) Un histograma con valores agrupados en intervalos. c) Un histograma sin necesidad de agrupar los valores en intervalos..

53 Ejercicio:.7.7 Las calificaciones obtenidas por siete opositores aparecen en la tabla siguiente: A B C D E F G La puntuación media es: a),. b),7. c),7. La media aritmética es igual a la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. x + x x x = = n n xi n i= n n x = xi = =,7 n = 7 i

54 Ejercicio:.7.7 Las calificaciones x i obtenidas en un ejercicio de una oposición se han distribuido con las frecuencias F i indicadas en la tabla: x i F i La puntuación media del ejercicio ha sido: a),. b),70. c) 6,. La media aritmética de una distribución de frecuencias absolutas. x xifi xf xf... xf n n i F F... F N n n n i n i F i xf i i x xfxf... xf xf F F... F N 0 i i n n i n n,

55 Ejercicio:.7.7 Las calificaciones en las pruebas de selectividad se han distribuido con los porcentajes que indica la tabla:, -,, -,, -,, - 6, 6, - 7, 7, - 8, 8, - 9, % 7% % 6% % % 6% La puntuación media ha sido: a),6. b) 6,. c) 6,9. Las calificaciones aparecen agrupadas en intervalos con marcas de clase respectivas, los productos de las marcas de clase por su correspondiente frecuencia dan , 00

56 Ejercicio: En cierta población, en el último año ha habido sanciones de tráfico de 00 euros, de 600 euros y de 00 euros. La sanción media impuesta a los infractores ha sido de a) 67,8. b) 88,6. c) 0,7. En total tenemos 7 sanciones. El importe total es: = euros. La sanción media es ,7 7 =.

57 Ejercicio: Los 8 conductores de una población han recibido en el último año, sanciones de 00 euros, de 600 euros y de 00 euros. La sanción media de cada conductor ha sido de a) 60,. b) 8,7. c) 9,. La suma de todas las sanciones impuestas es de euros. Corresponden a = 8,7 euros por conductor. 8 Hay 8 7 = 6 sanciones. conductores sin sanción, que disminuye la media por debajo del importe medio de las

58 Ejercicio: Un banco invierte el % de sus depósitos en bonos del tesoro, con una rentabilidad del 6% anual, el 0% en bolsa, con una rentabilidad del 9% anual, y el resto en el mercado inmobiliario que tiene una rentabilidad del % anual. El interés medio que obtiene anualmente es a) 8,%. b) 8,%. c) 8,9%. Los tres tipos de inversiones se realizan con frecuencias relativas: 0., 0.0 y 0. respectivamente. La suma de los rendimientos ponderados por sus correspondientes frecuencias, da: 6% 0, + 9% 0,0 + % 0, = 8,9%

59 Ejercicio: Un comercio vende tres tipos de televisores; uno de 899 euros, otro de 99 euros y un tercero de 99 euros. Cuál es el ingreso medio por la vente de un televisor? a) 99 euros. b), euros. c) No puede saberse. Se ignoran las frecuencias con las que se produce cada tipo de venta y, por consiguiente, no se dispone de datos suficientes para calcular el ingreso medio que produce la vrnta de un televisor. El cociente: =,. Sólo proporciona el ingreso medio en el caso en que se vendiesen por igual los tres tipos de televisores.

60 Ejercicio: Un comercio vende tres tipos de televisores; uno de 899 euros, otro de 99 euros y un tercero de 99 euros. Observa que, por cada venta del más caro, vende dos del más económico y tres del de precio intermedio. Cuál es el ingreso medio por la vente de un televisor? a) 07, euros. b) 99 euros. c) 99 euros. De cada seis televisores vendidos, son económicos, de precio intermedio y de los más caros: = 99 euros

61 Ejercicio:.8.8 En un avión 7 plazas se han vendido a 0 euros, plazas a 0 euros y 0 plazas a 80 euros. El precio medio obtenido por cada plaza es a) 90,9 euros. b) 0, euros. c) 8,8 euros. De cada seis televisores vendidos, son económicos, de precio intermedio y de los más caros: ( 7 0) + ( 0) + ( 0 80) 0 = 8,8 euros.

62 Ejercicio:.8.8 Una prueba consiste en tres exámenes que se valoran de 0 a 0 y tienen una ponderación en la nota global de 0%, 0% y 0% respectivamente. Si una persona obtiene 6 en el primer examen,, en el segundo y 6, en el tercero, su nota global será a),7. b),. c),8. Con los coeficientes de ponderación indicados, la nota promedio es 0, 6 + 0,, + 0, 6, =,7

63 Ejercicio:.8.8 Una prueba consiste en tres exámenes que se valoran de 0 a 0 y tienen una ponderación en la nota global de 0%, 0% y 0% respectivamente. Si una persona obtiene 6 en el primer examen,, en el segundo, para alcanzar una puntuación global superior a 7, la nota del tercer examen debe superar a) 8. b) 8,. c) 9. Si x es la puntuación en el tercer examen, la calificación global será 0, 6 + 0,, + 0, x =, + 0,x Alcanzará la puntuación de 7 si es ( 7,) x = = 9 0,

64 Ejercicio:.8.8 Una prueba consiste en tres exámenes que se valoran de 0 a 0. En la puntuación final, la calificación del segundo cuenta como / del primero y la del tercero como el doble del primero. Si una persona obtiene 6 en el primer examen,, en el segundo y 6, en el tercero, su nota global será a),6. b),8. c) 6,8. Si x es la ponderación del primer examen en la nota global, La de segundo es: x. La del tercero es: x La suma de las tres ponderaciones es: x La suma de las tres ponderaciones debe de ser, por lo tanto, x= x= Y la calificación obtenida es: 6+,+ 6 6,=,8.

65 Ejercicio:.8.8 El combustible sube un % anual, la luz un 7% y el gas un %. El consumo energético de una familia es de un % de combustible, un % de energía eléctrica y un 0% de gas. El incremento medio de gasto anual en energía de la familia es de a) 6,%. b) 7,9%. c) 9,%. Las subidas de cada producto repercuten en el consumo familiar en las proporciones 0., 0. y 0., respectivamente. De modo que la subida media es 0, % + 0, 7% + 0, % = 7,9%

66 Ejercicio: Un ciclista va de compras a una ciudad que dista 0 Km de su casa y después regresa cargado. Tarda una hora a la ida y hora y media a la vuelta. La velocidad media en todo el trayecto ha sido a) km/h. b) km/h. c) 7 km/h. Distancia 60 Km. e 60 v= = = km/ h. t,

67 Ejercicio: Un ciclista va de compras a una ciudad próxima a su casa y después regresa cargado. A la ida fue a una velocidad media de 7 Km/h y a la vuelta a una velocidad media de 0 Km/h. La velocidad media en todo el trayecto ha sido a) km/h. b),98 km/h. c) Depende de la distancia a la ciudad. Distancia x Km. x 7 x 0 Horas a la ida. Horas a la vuelta. La distancia que recorre es x en un tiempo x x 0 x = x = x e v = t x x v= = = =,98 Km/ h. 7x 7x 7 0

68 Ejercicio: Un ciclista circula a una velocidad media de Km/h durante la primera hora. Durante las dos horas siguientes su velocidad media baja a Km/h y todavía disminuye a 0 Km/h durante la hora siguiente. La velocidad media en las cuatro horas ha sido a) km/h. b) km/h. c), km/h =, km / h

69 Ejercicio: Un ciclista recorre los primeros 00 km a una velocidad de km/h, en los siguientes 00 km mantiene una velocidad de km/h y por fin los últimos 00 km circula a 0 km/h. la velocidad media en el trayecto ha sido a),7. b),. c) 7,. En promedio el tiempo invertido por kilómetro es: = 0 00 La velocidad media resulta 00 =,7 km / h 97

70 Ejercicio: En 0 días el número total de vehículos que repostó en una estación de servicio ha sido 6. Y la suma de los cuadros del número de vehículos diarios dio un total de La desviación típica del número diario de vehículo los vale a) 6,. b) 8,. c) 0,6. El número medio de vehículos diarios ha sido: 6 8, 0 = Conocida la suma de los cuadrados, la varianza es: 0600 s = ( 8,) = 9,7 0 Y la desviación típica es: s = 9, 7 = 0,6

71 Ejercicio:.9.9 Las horas que una persona invirtió en transporte durante los seis días laborables de una semana fueron,,8,6,8,, Entonces, la media es igual a horas y la varianza vale a) 0,6 h. b) 0,08 h. c) 0,06 h. Los seis valores suman, su media es. La suma de los cuadrados de las diferencias a la media es. ( ) ( ) ( ) 0, + 0, + 0, + 0, + 0, + 0, = 0,. La varianza resulta 0, s = = 0,08h. 6

72 Ejercicio:.9.9 Las horas que una persona invirtió en transporte durante los días laborables de un mes, aparecen agrupadas en la siguiente tabla, junto con sus frecuencias absolutas:,-,7,7-,9,9-,,-,,-, 9 Entonces, el tiempo medio invertido fue de horas y la desviación típica vale: a) 0, h. b) 0,96 h. c) 0, h. Las observaciones aparecen clasificadas en intervalos con marcas de clase:.6,.8,,., y.. la media es:, 6 +, 8 + +, 9 +, = = Los cuadrados de las desviaciones a la media, ponderados por sus respectivas frecuencias, dan como varianza Varianza de una distribución de frecuencias absolutas: ( ) + ( ) + + ( ) n x x F x x F... xn x Fn s = = ( xi x) Fi F+ F Fn N i = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, + 0, , 9+ 0, s = = 0,0 Y la desviación típica resulta s = 0,0 = 0, h.

73 Ejercicio:.9.9 En las 0 páginas de un libro, las erratas por página han sido erratas 0 páginas 08 8 El coeficiente de variación del número de erratas por página es: a) 0%. b) 66 %. c) 68%. La media aritmética de una distribución de frecuencias absolutas. xifi xf + xf xf n n i= x = = F + F F N n n El número medio de erratas por página es x = = 0, 0 La varianza vale: s + 8+ = 0, = 0,6 0 La desviación típica es s = 0,6 σ El coeficiente de variación CV = =,0 o bien 0% x

74 Ejercicio:.9.9 El precio en euros de un café en 6 establecimientos dio los resultados indicados en la tabla siguiente, junto con sus frecuencias: El coeficiente de variación del precio es: a),%. b),8 %. c),8%.,,,,6,8, La media aritmética de una distribución de frecuencias absolutas. xifi xf + xf xf n n i= x = = F + F F N n n El precio medio vale:, +, +, +, 6 +,8 +,, x = = =,7 6 6 La suma ponderada de los precios al cuadrado es:, +, +, +, 6 +,8 +, 0, 68 La varianza vale: = =, 6 6 s =,,7 = 0, 0687 La desviación típica es s = 0,9 euros. σ El coeficiente de variación CV = = 0,8 o bien,8% x

75 Ejercicio:.9.9 El número de teléfonos móviles por hogar aparece en la tabla siguiente con sus correspondientes frecuencias relativas: 0 6 0% % % % 6% % % El coeficiente de variación del precio es: a) 6,66%. b),7. c) No se pueden calcular. No se trata de hallar el número medio de móviles por hogar que es,7. Se pide la frecuencia media de las 7 categorías que es: =,9 7 En principio no tiene mucho interés el cálculo de la frecuencia media, pues lo importante de una distribución de frecuencias es su variación entre las diversas categorías. No obstante, para juzgar si la distribución es poco o bastante homogénea puede calcularse la desviación típica de las frecuencias y ello obliga a calcular la frecuencia media.

76 Ejercicio: El número de teléfonos móviles por hogar aparece en la tabla siguiente con sus correspondientes frecuencias relativas: 0 6 0% % % % 6% % % La desviación típica de las frecuencias es: a),68%. b),%. c) No se pueden calcular. La frecuencia media de las 7 categorías es: =,9% 7 y la varianza , 9 7, 6 = La desviación típica es s = 7,6 =,6%. No confundir con la desviación típica del número de móviles entre hogares: , 7 =, 68 00

77 Ejercicio: El salario mensual de los 00 trabajadores de una empresa suma 800 euros y los cuadrados de los salarios suman La desviación típica de los salarios: a) Es 6,9 euros. b) Es, euros. c) No puede calcularse sin más datos. El salario medio es 800 x = =, euros. 00 La varianza en los salarios es entonces s = (,) = 689,7 00 Y la desviación típica s = 6,9 euros.