Mecánica del Sólido Rígido

Transcripción

1 Mecánca del Sóldo ígdo 1.- Introduccón Cnemátca, Dnámca y Estátca 2.- Cnemátca. Tpos de movmento del sóldo: Traslacón, otacón Movmento Plano General Movmento General 3.- Cnétca. Fuerzas y aceleracones. Energía y cantdad de movmento. Momento Angular y Momento de Inerca Ecuacones Fundamentales de la Dnámca 4.- Estátca. Equlbro.

2 Mecánca del Sóldo ígdo Introduccón. El Sóldo ígdo como un sstema de partículas especal Sstema de Partículas. Fuerzas Internas y Externas Sóldo ígdo: Se defne como aquel sstema de partículas que no se deforma. Esto es, s A y B son dos partículas cualesquera de un sóldo rígdo, entonces la dstanca entre A y B permanecerá sn cambos. Los límtes de esta hpótess son aquellas deformacones debdas a la elastcdad y a la rotura del cuerpo. r B A AB r r B B / A r A C (a) Fuerzas externas, representan la accón de otros cuerpos sobre el que consderamos (b) Fuerzas nternas son las fuerzas que sujetan juntas las partículas que forman el sóldo rígdo.

3 Mecánca del Sóldo ígdo Introduccón: Cnemátca y Dnámca

4 Mecánca del Sóldo ígdo 1.- Introduccón: Fuerzas que actúan en un sóldo rígdo : (a) Fuerzas externas, representan la accón de otros cuerpos sobre el que consderamos (b) Fuerzas nternas son las fuerzas que sujetan juntas las partículas que forman el sóldo rígdo. Consderacones báscas (se demostrarán posterormente usando Leyes de Newton) -Solo la accón de fuerzas externas sobre un sóldo rígdo puede producr cambo en el movmento de traslacón, rotacón o ambos. -Prncpo de transmsbldad: El efecto de una fuerza externa en un sóldo rígdo es exactamente el msmo cuando la fuerza se ejerce a lo largo de su línea de accón. Necestaremos ntroducr el concepto matemátco de momento de una fuerza (torque) para expresar matemátcamente este prncpo La accón de fuerza que ejerce la cuerda sobre el camón cuando los hombres tren de ella sería la msma s empujaran con la msma fuerza en la trasera del camón en un punto stuado a lo largo de la línea marcada por la cuerda?

5 Centro de Masas Centro de Masas (Centro de gravedad) de un sstema de partículas y/o de un sóldo rígdo El centro de gravedad de un sstema de partículas (el Sóldo ígdo es un caso partcular) es el punto del espaco donde el sstema de fuerzas gravtaconales formado por todas las fuerzas gravtatoras elementales que actúan sobre cada partícula elemental (dm g),es equvalente a una fuerza (mg) colocada allí. La energía potencal de un sstema de partículas es mgh, donde h es la altura del centro de masas. S el campo gravtaconal es unforme el centro de masas concde con el centro de gravedad. Defncón del CdM estátca Cómo encontrar el punto centro de masas m r m x CM CM m r m x ; m y CM m r CM m y dm Encontrar el centro de masas de la fgura representada, or ; r m z CM m cdm un punto mágco? z m 2m

6 Centro de Masas Centro de Masas (Centro de gravedad) de un sstema de partículas y/o de un sóldo rígdo El centro de masas se mueve como una partícula de masa m = Σm bajo la nfluenca de las fuerzas externas que actúan sobre el sstema. Defncón del CdM Dnámca F ext m a CM mv Cómo encontrar el punto centro de masas o CM m v cdm un punto mágco? m r m x CM CM m r m x ; or m y CM m r CM m y ; r dm m z CM m z Encontrar el centro de masas de la fgura representada, m 2m

7 Cnemátca del sóldo rígdo 1.- CINEMÁTICA: Tpos de movmento: TASLACIÓN, OTACIÓN alrededor de un eje fjo, MOVIMIENTO PLANO GENEAL, Movmento alrededor de un punto fjo, MOVIMIENTO GENEAL TASLACIÓN. Se dce que un movmento de un S es de traslacón s una línea recta cualquera del cuerpo mantene la msma dreccón durante el movmento, Todas las parículas que forman el cuerpo se mueven en trayectoras paralelas. S estas trayectoras son líneas rectas, el movmento es de traslacón rectlínea. S las trayectoras son líneas curvas, el movmento es de traslacón curvlínea. OTACIÓN alrededor de un eje fjo. Las partículas que forman el S se mueven en planos paralelos a lo largo de círculo centrados en el eje de rotacón fjo. En el caso en que el eje de rotacón ntersecta el S, las partículas del eje tenen velocdad cero y aceleracón cero. Ejercco: Dstngur entre traslacón curvlínea y rotacón alrededor de un eje fjo

8 Mechancs of gd Body. Knematcs ueda Barra que deslza Movmento plano general. Cualquer movmento plano que no es de traslacón o de rotacón alrededors de un eje fjo. Movmento plano es aquel en el que las trayectoras de todas las partículas se mueven en planos paralelos Traslacón y rotacón xon movmentos planos.. Movmento alrededor de un punto fjo. Es el movmento trdmensonal de un cuerpo rígdo alrededor de un punto fjo. Por ejemplo el movmento de una peonza, cuando el punto de contacto con el suelo está fjo. MOVIMIENTO GENEAL Cualquer movmento de un cuerpo que no se descrbe por alguna de las categorías anterores.

9 Cnemátca del sóldo rígdo Ejercco: Descrbe los dferentes tpos de movmento de los Sóldos ígdos representados en las fguras Cuestón: El movmento de la Terra consderada como un sóldo rígdo de qué tpo es?

10 Cnemátca del sóldo rígdo TASLACIÓN. Ecuacones de la cnemátca del movmento explcar por qué? r B / A r B r A Para un movmento en traslacón el vector de poscón del punto B respecto de A, cualesquera sean esos puntos, será constante en magntud y dreccón, Y PO TANTO, EN TASLACIÓN... la dervada de r B / A es cero ASÍ PUES v B v A a B a A Conclusón: Un sóldo rígdo en traslacón puede ser consderado como una sola partícula Cuando un S está en traslacón todas las partículas tenen la msma velocdad. Y s exste aceleracón todas las partículas tenen la msma aceleracón

11 Cnemátca del sóldo rígdo. OTACIÓN OTACIÓN alrededor de un eje fjo. Ecuacones de movmento: Velocdad Placa representatva v P elacones báscas en el movmento crcular arco angulo x rado ds ds dt v d d dt!!!ángulos en radanes!!! Velocdad angular, ω Aceleracón angular α La velocdad y aceleracón angulares son nvarantes. Todas las partículas de un sóldo tenen la msma velocdad angular. Todas las partículas de un sóldo tenen la msma aceleracón angular. Tanto la velocdad angular como la aceleracón angular descrben el movmento de rotacón del sóldo Ejercco: Un CD que está rotando a 500 rev/mn se escanea por un laser. Calcular la velocdad lneal (tangencal) del punto del dsco sobre el que ncde el láser, (a) cuando el rado es de 2.4 cm; (b) cuando el rado es de 6 cm. d dt d dt

12 Cnemátca del sóldo rígdo. OTACIÓN OTACIÓN alrededor de un eje fjo. Ecuacones del movmento: Aceleracón dv d( ) a T dt dt a T 2 v ( ) d dt d dt 2 2 a N P a N Placa representatva Ejercco: Un CD que está rotando a 500 rev/mn se escanea por un laser. Calcular la aceleracón del punto del dsco sobre el que ncde el láser, (a) cuando el rado es de 2.4 cm; (b) cuando el rado es de 6 cm.

13 Cnemátca del sóldo rígdo. OTACIÓN OTACIÓN alrededor de un eje fjo. Ecuacones vectorales del movmento Expresones vectorales para la velocdad y aceleracón v P r α a N = - ω 2 a r ( r) a T a N

14 Cnemátca del sóldo rígdo. OTACIÓN OTACIÓN alrededor de un eje fjo. Mecansmos. Mecansmos: Sóldos rígdos conectados La flecha roja muestra la velocdad angular para el engranaje 1. Dbuja la velocdad angular de los engranajes 2 y 3. Calcula los valores que faltan en la tabla. ω 1 = 500 rev/mn; 1 = 2 cm ω 2 =? rev/mn; 2 = 5 cm; 2=10 cm ω 3 =? rev/mn; 4 = 10 cm; El cubo cae desde el reposo con una aceleracón de 0.3 g. (a) Cual es su velocdad después de 5 segundos y qué dstanca ha recorrdo. (b) Calcula la aceleracón angular de la polea (c) Con qué rapdez grará la polea después de 5 s de ncado el movmento. ado polea 10 cm El engranaje 1 rota en el sentdo de las agujas del reloj a una velocdad angular de 12 rad/s. Con qué rapdez grarán los engranajes 2 y 3? Datos: 1 : 5 cm; 2 :10 cm; 3 :20 cm.

15 Cnemátca del sóldo rígdo. MOVIMIENTO PLANO GENEAL MOVIMIENTO PLANO GENEAL. Cualquer movmento plano que no es de traslacón n de rotacón alrededor de un eje fjo Teorema de Euler: Cualquer movmento plano puede ser consderado como una composcón smultánea de un movmento de traslacón y un movmento de rotacón odadura

16 Cnemátca del sóldo rígdo. MOVIMIENTO PLANO GENEAL MOVIMIENTO PLANO GENEAL. Cualquer movmento plano que no es de traslacón n de rotacón alrededor de un eje fjo Centro Instantáneo de otacón: Es el punto del espaco desde el cual, y para ese nstante, el movmento del sóldo puede descrbrse como una rotacón pura. En el caso de un cuerpo en MPG sempre hay un punto desde el cual el movmento del sóldo es una rotacón pura, esto es la velocdad de traslacón es cero. Ese punto del espaco camba de poscón a cada nstante encontrar el CI en cada uno de los movmentos representados odadura Barra que deslza

17 Cnemátca del sóldo rígdo. MOVIMIENTO PLANO GENEAL Caso de una barra que deslza Movmento Plano General = Traslacón con A + otacón con centro en A La velocdad angular y la aceleracón angular son las msmas ndependentemente del punto que consderemos Movmento Plano General = Traslacón con B + otacón con centro en B

18 Cnemátca del sóldo rígdo. MOVIMIENTO PLANO GENEAL odadura sn deslzamento.c S no hay deslzamento en el punto de contacto, la dstanca recorrda por el punto C, es exactamente la dstanca del arco s. Cuando la rueda de rado rota un ángulo θ, el punto de contacto entre la rueda y el suelo se desplaza una dstanca s relaconada con θ por la ecuacón s= θ. odadura sn deslzamento s v a C C. s s.c odadura con deslzamento. Un objeto rueda y deslza Entonces... s v a C C

19 Cnemátca del sóldo rígdo. OTACIÓN. Ejerccos Calcular y representar la velocdad y aceleracón de los puntos señalados en la fgura sabendo que el centro de la rueda se desplaza a una velocdad de 10 m/s. La rueda se mueve con rodadura sn deslzamento Calcular la velocdad angular de la barra de 3 m de longtud cuando la velocdad delpunto de contacto con el suelo es de 3 m/s, y el ángulo entre la barra y el suelo es de 45º. Cual es la velocdad del punto de contacto con la pared?. Y la del centro de masas? Un cclsta vaja a la velocdad de 40 km/h. Cuan rápdo pedalea en rev/mn?. Datos: ado del pñón: 2.5 cm; ado del plato: 10 cm; ado de la rueda trasera: 40 cm El mecansmo bela-manvela converte el movmento de rotacón de la bela en un movmento lneal de la corredera o pstón. Encontrar la relacón entre la velocdad angular de la bela y la velocdad lneal del pston para una geometría determnada.

20 MOVIMIENTOS DE LA TIEA: OTACIÓN Y TASLACIÓN ALEDEDO DEL SOL LA TIEA. Un cuerpo rotante ado de la Terra La forma de la Terra se asemeja a una esfera; De forma más precsa la forma de nuestro planeta se decrbe medante un esferode, o elpsode de revolucón. El elpsode utlzado en la actualdad (sstema de posconamento GPS) e denomna WGS-84 ado ecuatoral: 6, km ado polar: 6, km ado medo La Internatonal Unon of Geodesy and Geophyscs (IUGG) defne el rado medo de la Terra como 6, km ( 3, m; 3, nm).

21 MOVIMIENTO DE TASLACIÓN DE LA TIEA ALEDEDO DEL SOL: La Terra completa una revolucón alrededor del sol en 365 ¼ días Undad Astronómca La dstanca meda Terra-Sol se denomna una Undad Astronómca,; 1 UA = x 10 8 km Defncón recente de la undad astronómca como una constante de longtud 149,597,870,700 metros

22 1.- Calcular la velocdad angular promedo ω de la Terra. 2.- Calcular y representar la velocdad, v, y aceleracón, a, debdos al movmento de rotacón de la Terra, de un punto fjo de la superfce terrestre cuya poscón sea : (a) en el Ecuador, (b) 40º lattud Norte (c) 40 º lattud Sur (d) en el Polo Norte ω = 7, s -1 ; v = ω r cos λ; a = ω 2 r cos λ; r: rado de la Terra; λ lattud. ver el concepto de día sderal y da solar 3.- Calcular la velocdad y aceleracón de los msmos puntos en el movmento de traslacón curvlíneo alrededor del Sol. 4.- Calcular la velocdad y aceleracón debdo a la combnacón de los dos movmentos antes consderados.

23 Presentar un nforme -no más de 3 págnas- y exponerlo oralmente (10 ) sobre las sguentes cuestones: La Terra se mueve alrededor del Sol con un movmento smultáneo de Traslacón y otacón. Así pues, nuestro sstema de referenca Terra es un sstema gratoro y por tanto no nercal. Las aceleracones respecto a un sstema fjo, absolutas, y las que medmos respecto a un observador terrestre no son guales. La aceleracón efectva de un cuerpo en reposo respecto a la superfce terrestre ha de tener en cuenta el movmento de rotacón de la Terra? S la Terra detuvera su movmento de rotacón, cambaría la dreccón de la plomada? Ha tendo algo que ver ese movmento de rotacón con la forma de la Terra? Además, en qué nfluye el movmento de rotacón para el caso de un cuerpo que se está movendo respecto a la Terra?. Aceleracón de Corols Ver cómo nfluye en el movmento de las masas de are. Cómo podemos demostrar que la Terra efectvamente está grando?: La rotacón aparente dara de las estrellas, entre ellas la propa del Sol, la rotacón de la Luna pero durante sglos estos hechos no convenceron a los teólogos porqué? el caso de Galleo-. Una prueba de la rotacón de la Terra ndependente de la observacón de los astros exterores: el péndulo de Foucault

24 La poscón en la superfce terrestre SISTEMA DE EFEENCIA ESFÉICO: COODENADAS GEOGÁFICAS en la Esfera. Merdano de Greenwch Punto P Lattud 50ºN, Longtud 60ºW Φ LONGITUD λ, LATITUD

25 La poscón en la superfce terrestre COODENADAS GEOGÁFICAS en el Elpsode: Sstema de Coordenadas Geodéscas

26 La poscón en la superfce terrestre Coordenadas Geodéscas (dependentes del Elpsode) φ, lattud λ, longtud h, altura Superfce Topográfca P Elpsode H h Geode Las tres superfces de referenca geodéscas: Geode, elpsode y terrestre

27 La poscón en la superfce terrestre Sstema de Coordenadas geocéntrcas

28 La poscón en la superfce terrestre Sstema de Coordenadas locales

29 La poscón en la superfce terrestre LA ED UTM Proyeccón Unversal Transversa Mercator