LITERATURA Y MATEMÁTICAS. El código Da Vinci

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1 Números reles SOLUCIONARIO Números reles LITERATURA Y MATEMÁTICAS El código D Vinci El profesor Lngdon se sintió un vez más en Hrvrd, de nuevo en su clse de «Simbolismo en el Arte», escribiendo su número preferido en l pizrr:, Lngdon se dio l vuelt pr contemplr l cr expectnte de sus lumnos. Alguien puede decirme qué es este número? Uno lto, estudinte de último curso de mtemátics, que se sentb l fondo levntó l mno. Es el número Phi dijo, pronuncindo ls consonntes como un efe. Muy bien, Stettner. Aquí os presento Phi. Que no debe confundirse con pi ñdió Stettner con un sonris de suficienci. Phi prosiguió Lngdon, uno com seiscientos dieciocho, es un número muy importnte pr el rte. Alguien sbrí decirme por qué? Stettner seguí en su ppel de grcioso. Porque es muy bonito? Todos se rieron. En relidd, Stettner, vuelve tener rzón. Phi suele considerrse como el número más bello del universo. Ls crcjds cesron l momento, y Stettner se incorporó, orgulloso. [ ] A pesr de los orígenes prentemente místicos de Phi, prosiguió Lngdon, el specto verddermente psmoso de ese número er su ppel básico en tnto que molde constructivo de l nturlez. Ls plnts, los nimles e incluso los seres humnos poseín crcterístics dimensionles que se justbn con misterios exctitud l rzón de Phi. L ubicuidd de Phi en l nturlez ñdió Lngdon pgndo ls luces [pr proyectr en l pntll imágenes de nutilos, piñs, girsoles ] trsciende sin dud l csulidd, por lo que los ntiguos creín que ese número hbí sido predetermindo por el Credor del Universo. Los primeros científicos butizron el uno com seiscientos dieciocho como «L Divin Proporción». DAN BROWN + + En relidd, el vlor del número Phi es Φ. Los números, y son dos números reles, pero uno es rcionl y el otro es irrcionl. Por qué? Qué error se comete l tomr, como vlor de Phi?, es un número rcionl, pues es un deciml excto. Phi es un número irrcionl, y que lo es y, l sumr o dividir un número irrcionl y un entero, el resultdo es un número irrcionl. + Como, 0 ; el error cometido es menor que un diezmilésim.

2 SOLUCIONARIO 00 ANTES DE COMENZAR RECUERDA Clsific estos números según el tipo l que pertenecen. 0,,009 0,00,9 0, es un número deciml periódico puro. es un número entero.,009 es número deciml periódico mixto. 0,00 y,9 son números decimles exctos. es un número nturl. y son números rcionles. 00 Expres en form de frcción. 0,,0,0 0,0,0. 0,,0, ,0. 0, Obtén el vlor bsoluto de los números. 0 () () Clcul ls siguientes potencis. e) f) () () g) 9 h) e) f) ().. () g) 9 9 h) 9

3 Números reles 00 Simplific y expres el resultdo como potenci. 0 ACTIVIDADES 00 Clcul el representnte cnónico de estos números Escribe dos representntes de los números rcionles. 9 Respuest biert.,,, 9,,,,,, 0 Hll cuántos números rcionles distintos hy en est secuenci. 0, Hy dos números rcionles distintos, que son: 0, Un frcción que teng un término negtivo y otr que teng sus dos términos positivos, pueden ser representntes del mismo número rcionl? No pueden representr el mismo número rcionl, puesto que si un frcción tiene un término negtivo, el cociente es negtivo; y si sus dos términos son positivos, el cociente es positivo.

4 SOLUCIONARIO 00 Escribe números irrcionles, especificndo su regl de formción. Respuest biert. Trs l com, se sitún todos los múltiplos de : 0,9 Trs l com se sitún todos los múltiplos de : 0, Al número irrcionl se le sum el número : + Al número irrcionl se le sum el número : + 00 Decide si los siguientes números son irrcionles. 0,000 π π 0 π Es un número irrcionl, y que tiene infinits cifrs decimles que no se repiten de form periódic. Es un número deciml excto, luego no es un número irrcionl. Es un número irrcionl, porque si un número irrcionl se le rest un número entero, el resultdo es un número irrcionl. No es un número irrcionl, puesto que es un frcción. 00 Encuentr, sin hcer operciones con decimles, un número irrcionl comprendido entre y. Respuest biert. 00 Rzon si son cierts o no ls siguientes firmciones. L ríz de un número irrcionl es irrcionl. Un número irrcionl l cudrdo no es rcionl. Ciert, y que sigue teniendo infinits cifrs decimles no periódics. Fls, por ejemplo: ( ) 009 Indic el conjunto numérico mínimo l que pertenece cd número.,0999 e),,, f) Q Q I e) Q I f) Z

5 Números reles 00 Represent ls ríces Coloc, en l rect rel, el número: Φ Represent, en l siguiente rect rel, los números y Aplic l propiedd distributiv y oper

6 SOLUCIONARIO 0 Orden, de menor myor, los siguientes números rcionles e irrcionles < π < π Con yud de l propiedd distributiv, clcul 99 y 999 sin relizr ls operciones (00 ) (.000 ) Represent los siguientes conjuntos numéricos de tods ls forms que conozcs. Números menores que π. Números myores que y menores o igules que. Números menores o igules que y myores que. Números comprendidos entre los dos primeros números pres, mbos incluidos. (, π) {x: x <π} π (, ] { x: < x } (, ] {x: < x } [, ] {x : x } 0 Escribe, de tods ls mners que conozcs, estos intervlos de l rect rel. (, ) {x: x <} (, + ) {x: x > } [, ) {x: x < } (, ) {x: x < } 0 Represent el conjunto {x: x } de tods ls forms posibles. [, ] {x: x } 9

7 Números reles 09 Con yud de l clculdor, escribe por exceso y por defecto. en form deciml y sus proximciones A ls diezmilésims. A ls cienmilésims. A ls millonésims., 000 Aproximción por exceso:, Aproximción por defecto:,0 Aproximción por exceso:,0 Aproximción por defecto:,0 Aproximción por exceso:,0 Aproximción por defecto:,0 00 Clcul los errores bsoluto y reltivo l redonder el número, ls décims. V rel, V proximdo, E,, 0,0 0, 0 E r 0, 0, 0 Piens en un situción en l que dos mediciones tengn los mismos errores bsolutos, pero distintos errores reltivos. Respuest biert. V rel, Vlores proximdos, y. En mbos csos, el error bsoluto es 0,; pero los errores bsolutos son distintos: 0, E r 0,0 0, E r 0,0 0 Indic dos ejemplos de medid y d sus correspondientes cots de error. Respuest biert. Velocidd en utopist: 0 km/h; edd de jubilción: ños. 0 Clcul ls cots de error bsoluto y reltivo l redonder el número : A ls centésims. A ls milésims. E 0,00 0 E r E 0,000 E r 0,00 0,00, 0,00 0,000 0,000, 0,000 0

8 SOLUCIONARIO 0 0 L poblción de un pueblo, redonded ls decens, es de 0 hbitntes. Puedes indicr los errores? Sbrís dr ls cots de error cometido? Pr clculr los errores reltivos y bsolutos es necesrio conocer el vlor rel; por tnto, no se pueden clculr. E 0 E r 0 0,0 Clcul un cot de error bsoluto cundo truncmos un número ls décims. Y si fuer ls centésims? E 0 0, E 0 0,0 0 Escribe en notción científic los siguientes números. 0, , ,00000, , , , Oper y expres el resultdo en notción científic. (, 0 +, 0 ) :,0 0,9 0 (, 0, 0 ) (, 0 +, 0 ) :,0 0,9 0,9 0 (, 0, 0 ), Decide si son cierts ests igulddes. Rzon l respuest ±. 000 ± ± Fls: () Fls: (.000) Fls:. Fls: () 09 Clcul el vlor numérico, si existe, de los siguientes rdicles No existe ningun ríz rel.

9 Números reles 00 Trnsform los rdicles en potencis, y vicevers. e) 0 f) e) 0 0 f) 0 Indic si son equivlentes los siguientes rdicles. y 0 y y 0 y Son equivlentes. Son equivlentes. No son equivlentes. No son equivlentes. 0 Efectú ests operciones Oper y simplific

10 SOLUCIONARIO 0 Rcionliz ls siguientes expresiones ( ) + 0 Rcionliz y oper Rcionliz y oper Rcionliz ests expresiones

11 Números reles 0 Clcul, medinte l definición, estos logritmos. log log.000 e) ln e g) log log log 0,000 f) ln e h) log 0, log e) ln e log f) ln e log.000 g) log log 0,000 h) log 0, 09 Hll, medinte l definición, los siguientes logritmos. log log e) ln e g) log log 9 log 0,0000 f) ln e h) log 0,0 log e) ln e log 9 f) ln e log g) log log 0,0000 h) log 0, Clcul los logritmos y dej indicdo el resultdo. log log 00 e) log log log f ) log 0 log log log log log 00 log 00,9 log e) log Sbiendo que log 0,00; log 0, y log 0,; determin los logritmos decimles de los 0 primeros números nturles. Con estos dtos, sbrís clculr log,? Y log,? log log ( ) log + log 0,00 0,00 0 log log log 0 log 0,00 0,990 log log ( ) log + log 0, + 0,00 0, log log ( ) log + log 0,00 + 0,00 0,900 log 9 log ( ) log + log 0, + 0, 0,9 log 0 log, log log log 0, 0,00 0, log, log log log 0, 0,00 0, f) log log, log log log log 0 log 0,9 log

12 SOLUCIONARIO 0 0 Hll, sin yud de l clculdor, log y log. Comprueb que su producto es. En el ejercicio nterior, se h visto que log 0,00. Si se utilizn cmbios de bse, result: log 0 log 0, log 0,00 log 0 log ( ) log + log log, log Como los dos números son inversos, su producto es. Tmbién se puede comprobr de este modo: log log 0, log log log log log log log Hll el vlor de x en ls siguientes igulddes. log x log x log x log x,00 0 Clcul cuánto vle log b log b. log b log b log log b log b log 0 Clcul l frcción irreducible de: e) g) f). 0 h) 0 e) g). 00 f). 0 h) 0 0 Indic cuáles de ls siguientes frcciones son irreducibles. 0 Son frcciones irreducibles:, y 0 9

13 Números reles Cuántos números rcionles hy en el siguiente grupo? 0 Los números rcionles son quellos que se pueden escribir como frcción, luego todos los números del grupo lo son. Hll x pr que ls frcciones sen equivlentes. 9 x 0 x x x x x 9 0 Puedes escribir un frcción equivlente cuyo denomindor se 0? Por qué? No, porque 0 no es múltiplo de. Reliz ests operciones : : : : : Cuáles de los siguientes números son rcionles y cuáles no lo son? Rzon tu respuest.,,,, Es un número rcionl, y que es periódico, y culquier número periódico se puede expresr como frcción. Es un número rcionl, puesto que es un deciml excto y los decimles exctos se pueden expresr como frcción. Es un número rcionl, y que es periódico. Es un número irrcionl, puesto que tiene infinits cifrs decimles que no son periódics.

14 SOLUCIONARIO 0 Indic el tipo de deciml, en cd cso, y clcul si es posible su frcción genertriz.,, e),,, f).. 9 Es un número deciml periódico mixto: Es un número deciml periódico mixto: Es un número deciml excto: 00.. Es un número deciml periódico puro: e). Es un número deciml excto:. 000 f ) Es un número nturl: 0 Hll l frcción genertriz de los siguientes números decimles. 0,,000 g) 0,0, e), h),90, f) 0, i) 0,0 e) f) g) h) i)

15 Números reles Efectú, utilizndo ls frcciones genertrices., +,, +, e), +, 9 0,,, +, f), +, e) f) Reliz ls siguientes operciones.,, 0,0 :,9,,, :, : : Utilizndo ls frcciones genertrices, comprueb si son verdders o flss ls igulddes., 9, : 0,, 9 + 0, 0, + 0, 9 Verdder: 9 Verdder: : : Fls: Verdder: Escribe l expresión deciml de tres números rcionles y otros tres irrcionles. Explic cómo lo relizs. Respuest biert. L expresión deciml de un número rcionl debe ser finit o periódic:,,, L expresión deciml de un número irrcionl debe ser infinit y no periódic:, ,90,

16 SOLUCIONARIO 0 Orden los siguientes números decimles, de menor myor.,999,9,9,9,99,9 Se ordenn los números, de menor myor:,9 <,9 <,99 <,9 <,9 <, Orden estos números decimles, de menor myor.,9 9, 9, 9,9 9,9,,,,,, Se ordenn los números, de menor myor:,9 <,99,9 <,99 <,9, <, <, <,, <, 00 D un número rcionl y otro irrcionl comprendidos entre:, y,00 y e), y,, y,, y, f) 0, y 0, Respuest biert. Rcionl:,00 Rcionl:, Irrcionl:,00000 Irrcionl:,000 Rcionl:, e) Rcionl:, Irrcionl:,000 Irrcionl:,000 Rcionl:, f ) Rcionl: 0, Irrcionl:,000 Irrcionl: 0,000 0 Es cierto que,,? Si no lo es, escribe dos números, uno rcionl y otro irrcionl, situdos entre ellos. No es cierto, y que un número es deciml excto y el otro es periódico. Respuest biert. Rcionl:, Irrcionl:,000 0 Clsific en rcionles e irrcionles ls ríces cudrds de los números nturles menores que 0. Son rcionles ls ríces de los cudrdos perfectos (,, 9 y ). Ls demás ríces son irrcionles. 0 Indic cuáles de los siguientes números son rcionles y cuáles son irrcionles. 9 Solo es irrcionl, y que ls demás ríces son excts. 9

17 Números reles 0 0 Deduce cuáles de los siguientes números son rcionles y cuáles son irrcionles Son irrcionles + y + 0, pues ls demás ríces son excts. Qué números representn sobre est rect numéric los puntos A, B, C y D, donde n es un segmento culquier? 9 0 B n n C B + D + A + 0 Represent en l rect rel. 0 e) g) f) h) e) 0 0 f ) g) 0 0 h)

18 SOLUCIONARIO 0 Orden y represent, de form exct o proximd, los siguientes números reles., +, Se ordenn los números, de menor myor: <, <, < < + A A 0 B C D E B, C, D E + 0 Represent estos números en l rect rel Orden y represent los siguientes números. 0, Se ordenn los números, de menor myor: < < 0, < < < 0 0,

19 Números reles 00 Oper y clsific el tipo de número rel., 9,, Es un número rcionl: Es un número irrcionl: Es un número rcionl:, ± 9,9 9, ± 9 0 Describe y represent los siguientes intervlos. (0, 0) e) [, 0) (, ] f) [, + ) (, ) g) (, ] [, ] h) (00, + ) {x: 0 < x < 0} {x: < x } 0 0 {x: x <} {x: x } e) {x: x < 0} f) {x: x} 0 g) {x: x } h) {x: 00 < x} 00

20 SOLUCIONARIO 0 Escribe el intervlo que corresponde ests desigulddes. < x < < x x < 9 0 x (, ) (, ] [, 9) [0, ] 0 Escribe el intervlo que corresponde : x x > e) x <9 x < x f) x (, ] (, + ) e) (, 9) (, ) [, + ) f) [, + ) 0 Represent, medinte intervlos, los números: Myores o igules que. Myores que y menores que. Menores o igules que. e) Myores que y menores que. Myores que. f) Comprendidos entre 0 y 0, incluidos estos. [, + ) (, ) (, ] (, ) e) (, + ) [0, 0] f) Represent (, ) y [, + ) en l mism rect, y señl medinte un intervlo los puntos que están en mbos. (, ) [, + ) El intervlo es [, ). 0 Represent los intervlos (0, ) y (, ) en l mism rect, y señl el intervlo intersección. (0, ) (, ) El intervlo es (0, ). 0 0 Escribe dos intervlos cuy intersección se el intervlo [, ]. Respuest biert: (, ] y [, )

21 Números reles 0 Oper y redonde el resultdo ls décims., +, e),,,,9 f) 0,9 :,, +,9 g),,9,,9 h) 00, :, Redondeo:, e) Redondeo:, Redondeo:, f ) Redondeo:, Redondeo:, g) Redondeo:, Redondeo: 00, h) Redondeo:, 09 Hll l proximción por redondeo hst ls diezmilésims pr cd cso ,,09 0,00,09 00 Qué error bsoluto cometemos l proximr el resultdo de,9 + 0, + 0, por el número 0,9?,9 + 0, + 0, 0, El error bsoluto cometido es: E 0, 0,9 0,00 0 Si proximmos 0,9 por 0,; qué error bsoluto se comete? Y si lo proximmos por 0,? Cuál es l mejor proximción? Rzónlo. El error bsoluto cometido es: E 0,9 0, 0,0 Si se proxim por 0,; el error bsoluto es: E 0,9 0, 0,09 Es mejor proximción 0,; porque el error bsoluto cometido es menor. 0 Desde l ntigüedd prece con frecuenci, el número de oro, Φ, en proporciones de l nturlez, sí como en ls medids de construcciones, o en obrs de rte como l Giocond. Φ +,0 Escribe l proximción por redondeo hst ls centésims del número de oro. Puedes hllr los errores bsoluto y reltivo? L proximción por redondeo ls centésims es,. No se pueden hllr los errores bsoluto y reltivo, y que el número de oro es un número irrcionl y, por tnto, tiene infinits cifrs decimles no periódics.

22 SOLUCIONARIO Un truncmiento de,9 es,. Clcul el error bsoluto y el error reltivo. El error bsoluto cometido es: E,9, 0,009 0, 009 El error reltivo cometido es: E r 0, 0009, 9 Aproxim el número pr que el error se menor que un centésim. Pr que el error bsoluto cometido se menor que un centésim, hy que clculr el cociente con dos cifrs decimles. L proximción pedid es 0,. Aproxim el número, de form que el error bsoluto se menor que 0,00. Pr que el error bsoluto se menor que un milésim, se escribe el número con tres cifrs decimles. Por tnto, l proximción pedid es,. 0 Escribe los primeros intervlos encjdos dentro de los cules se hll, e indic qué error máximo cometes en cd uno., (, ) Error < (,;,) Error <,, 0, (,;,) Error <,, 0,0 (,;,) Error <,, 0,00 (,;,9) Error <,9, 0, Se puede escribir π? Justific l respuest y di cuál es el orden de error cometido. Al ser un número irrcionl es imposible escribirlo con un frcción, y que tods ls frcciones son números rcionles. π,9,99 El error cometido es menor que un millonésim. Pr qué número serí., un proximción ls milésims por defecto? Es l respuest únic? Cuánts respuests hy? Respuest biert. Un proximción ls milésims es.,. L respuest no es únic, y que hy infinitos números. Indic cuáles de los números están escritos en notción científic e), 0 g) 0, , 0 0,0000 f) 0, 0 h), 0 El número, 0 está escrito en notción científic.

23 Números reles Escribe en notción científic los siguientes números, e indic su mntis y su orden de mgnitud e) g) , , f) 0,09 h) Mntis: Orden de mgnitud: 9 0,000000, 0 - Mntis:, Orden de mgnitud: ,9 0 Mntis:,9 Orden de mgnitud: 0, Mntis: 9 Orden de mgnitud: 0 e) ,9 0 9 Mntis:,9 Orden de mgnitud: 9 f ) 0,09 9, 0 Mntis: 9, Orden de mgnitud: g) ,9 0 Mntis:,9 Orden de mgnitud: h).000, 0 Mntis:, Orden de mgnitud: Desrroll estos números escritos en notción científic., 0, 0, 0, 0, , 0 0, , 0 0, , 0 0, Reliz ls operciones., 0 +, 0, 0 + 9, 0, 0 +, 0, 0 +, 0 +, 0 e), 0 +,9 0 +, 0, 0 +, 0,9 0, 0 + 9, 0,0 0, 0 +, 0,0000 0, 0 +, 0 +, 0,09 0 e), 0 +,9 0 +, 0, Hll el resultdo de ests operciones. 9, 0, 0, 0, 0,9 0, 0, 0 +, 0,9 0 e) , 0, 0, 0, 0, 0,0 0,9 0, 0, 0, 0 +, 0,9 0,0 0 e) ,99 0

24 SOLUCIONARIO 09 Efectú ls siguientes operciones., 0, 0, 0 :, 0,9 0, 0 9, 0 :, 0, 0, 0, 0, 0 :, 0, 0,9 0, 0, , 0 :, 0, Simplific el resultdo de ests operciones., 0, 0 9, 0, 0, 9 0, 0 0 9, 0, 0, 0,9 0, 0, 0,90 0,9 0,9 0, 0 0 9, 0,9 0, 0, Hll el vlor numérico de estos rdicles e) f) ± e) ± f) 09 Indic los rdicles equivlentes Simplific los siguientes rdicles. e) f) g) h) e) f ) g) h)

25 Números reles 099 Escribe como potencis de exponente frccionrio estos rdicles. e) g) ( ) f) h) ( ) ( ) e) ( ) ( ) ( ) f) g) ( h) ( ) ( ) 00 Expres medinte un solo rdicl. e) f) ( ) 0 ( ) e) ( ) f) ( ) ( ) ( )

26 SOLUCIONARIO 0 Extre los fctores que pueds de l ríz. 0 e) g) f) h) e) f) g) h) 0 0 Extre fctores de los rdicles. b 9 b c e) b 0 f ). x y b b 9 b c bc bc e) 0 b b f ). x y x y xy x 0 Simplific ls siguientes expresiones. b c b b c b e) 9 b f) ( ) b c b c b c b b b b c b b c b b c e) 9 b b b b c f) ( ) 9

27 Números reles 0 Introduce los fctores bjo el rdicl. 0 e) f) g) h) i) j) 0 f) e) g) h) i) j). 9 0 Introduce los fctores dentro del rdicl, si es posible. b c b c b b e) + f) ( ) b c b b c b b c b c c c c b b b b b e) No es posible introducir fctores, puesto que no es fctor. f) 0 Oper y simplific. ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) e) ( + ) ( ) f) ( ) ( + ) g) ( + ) ( ) h) ( 0) ( + 0) 0

28 SOLUCIONARIO ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) 0 + ( ) 0 + ( + ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( + ) ( ) e) ( + ) ( ) ( ) f ) ( ) ( + ) + g) ( + ) ( ) ( ) + ( ) h) ( 0 ) ( + 0 ) ( ) ( 0 ) Clcul. b b b : b b b 9 0 b b ( ( ( ( 9 b b b : : b : b b ( b ) ( ( b ) b 9 0 b b b ( ) ( ( ) ) b b ( b b b ( ) b b b 0 Efectú y simplific. ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) + ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) + ( ) ( + ) ( + ) ( + )

29 Números reles 09 Hll el resultdo ( )( + ) 9 + ( + ) ( + ) + ( + ) ( ) 0 Efectú y simplific. : ( ) : : : ( ) ( + ) + ( ) Expres el resultdo como potenci. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0

30 SOLUCIONARIO Rcionliz y simplific. f) + g) h) 9 i) e) j) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) e) f) g) h) i) + ( + ) + ( ) ( ) 9 ( ) 9 9 j) 9 9

31 Números reles Elimin ls ríces del denomindor. e) f) ( + ) ( ) ( ) ( + ( + ) ( ) ) ( ) ( + ) ( )( + ) ( + ) 0 ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) + ( + )( ) + e) f) + Rcionliz ls siguientes expresiones. ( ) ( + ) ( 0 ) ( ) ( )( + ) ( + ) ( ) ( ( + ) ( ) ) 0 0 ( 0 ) ( + ) ( ( 0 ) ( 0 + ) ) ( 0 ) 0 ( + ) ( ) ( + )( ) ( ) ( + ) Rcionliz y simplific el resultdo ( ) ( + ) ( ) + +

32 SOLUCIONARIO + + ( + ) ( + ) ( + )( ) + 0 ( )( ) ( ) ( ) ( ) + ( + ) + ( + ) + ( ) Rcionliz ls siguientes expresiones. ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + 9 ) ( )( + ) ( ) ( + ) ( )( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + )( ) 0 + ( ) + + ( + )

33 Números reles Reliz ests operciones Efectú ls operciones. + + ( + ) Clcul, medinte l definición, los logritmos. log e) ln e log 9 f) ln e log g) log log 0,0000 h) log 0,0 log e) ln e log 9 f ) ln e log g) log log 0,0000 h) log 0,0 Sbiendo que log 0,; hll log medinte ls propieddes de los logritmos. log log ( ) log + log log + log 0, +,9 +,9 Clcul log, utilizndo ls propieddes de los logritmos, e intent dr un resultdo excto. log x x x x Hll el resultdo de ls expresiones, medinte ls propieddes de los logritmos. log + log log 9 log + log + log log log 9 + log log + log log 9 + log + log + log log log 9 + log +

34 SOLUCIONARIO Desrroll ls siguientes expresiones. log b c d log b c x x log 0 y z e ln. 000 log b c log ( b log d d log + log b + log c log d log + log b+ log c log d log b log ( b ) log c c x x log0 log ( 0 x x ) log0 y z y z e ln. 000 log + log b log c log + log b+ log c ( ) 0 ( ) 0 log x x log y z log0 x + log 0 x log0 y log0 z log0 x + log0 x log 0 y log0 z ln( e ) ln. 000 ln e + ln ln 0 ln e+ ln ln 0 Determin, utilizndo l clculdor. log log log 00 log log log log, log log log log, log log 0 log00 log0,0 log log log log, log

35 Números reles Si log e 0,; cuánto vle ln 0? Y ln 0,? log 0 ln 0,0 log e 0, log 0, ln 0,,0 log e 0, Hll el vlor de los logritmos decimles, teniendo en cuent que log 0,00. log.0 log e) log, log 0, log 0,0 f) log 0, log.0 log log log 0,00,09 log 0, log log log 0 0,00 0,90 0 log log log 0 log 0,00 0,990 log 0,0 log 00 log log 0 0,00,9 e) log, log 0 log log 0 0,00 0,0 f ) log 0, log log log 0 0,00 0,99 0 Clcul el vlor de x. log x log x e) log (x ) g) log ( x) log x log x f) log (x + ) h) log ( + x) log x x x log x x x log x x x 0, log x x x e) log ( x ) x x + f) log ( x + ) x + x g) log ( x) x x 0, +, h) log ( + x) + x x Hll cuánto vle x. log x log x log x log x log x x x log x x x log x x x x log x x x

36 SOLUCIONARIO 9 Clcul el vlor de x. log 9 x e) log 9 x+ log x f) log x/ ln x g) ln x+ log x+ h) log x+ log 9 x x log 9 x x log x log,99 x x log x ln x x ln x 0,90 ln x x+ x+ x+ log x + x 9 e) log 9 x+ 9 x+ x+ x + 9 x x x f ) log log x x 9,9 log g) ln x + ( x + ) ln x,9 ln x x h) log + ( x + ) log x + x x 9 0 Determin el vlor de x. x.0 e) x.0 x f) ( x ) x g) x + 0 x 0 h) x x x x x x x 9 ± 0 0 x x e) x ( x) 0. 0 x 0 x f) ( ) g) + 9 x x h) x x x x + x x + 0 x 9

37 Números reles Indic si son verdders o flss ls siguientes firmciones. Rzon tu respuest. Todos los números decimles se pueden escribir en form de frcción. Todos los números reles son rcionles. Culquier número irrcionl es rel. Hy números enteros que son irrcionles. e) Existen números reles que son rcionles. f) Todo número deciml es rcionl. g) Cd número irrcionl tiene infinits cifrs decimles. h) Todos los números rcionles tienen infinits cifrs decimles que se repiten. i) Todos los números rcionles se pueden escribir medinte frcciones. Fls, pues los números irrcionles tienen infinits cifrs decimles no periódics y no se pueden escribir como frcción. Fls, porque hy números reles que son irrcionles. Verdder, y que los números rcionles y los irrcionles formn el conjunto de los números reles. Fls, porque si son enteros no pueden tener infinits cifrs decimles no periódics. e) Verddero, pues todos los números que se pueden expresr como frcción, son números reles, que demás son rcionles. f ) Fls, porque los números decimles con infinits cifrs decimles no periódics son irrcionles. g) Verddero, y que tienen infinits cifrs decimles no periódics. h) Fls, pues los decimles exctos tmbién son rcionles. i) Verddero, por definición. Por qué l ríz cudrd de culquier número termindo en es un número irrcionl? Existe otro conjunto de números con est crcterístic? Porque no hy ningún número que, l multiplicrlo por sí mismo, dé un número termindo en. Tods ls fmilis de números terminds en, y tienen est crcterístic. Escribe en notción científic ls siguientes cntiddes. Distnci Tierr-Lun:.000 km Distnci Tierr-Sol: km Diámetro de un átomo: 0, m Superficie de l Tierr: 00 millones de km e) Longitud de un virus (gripe): 0, m f ) Peso de un estfilococo: 0, g g) Un ño luz: km h) Distnci l glxi más lejn:.000 millones de ños luz.000, 0 e) 0, , , 0 f ) 0, , g) , h) , 0 0 0

38 SOLUCIONARIO Con yud de ls propieddes de los números reles, prueb que el producto de cero por culquier número rel d como resultdo cero. En cd cso, indic l propiedd que estás utilizndo. Por l unicidd de los elementos neutros pr l sum y l multiplicción se tiene que: Propiedd distributiv 0 + (0 + ) Como Qué tipo de deciml se obtiene de l frcción, siendo un número entero? Como nuestro sistem de numerción es deciml, l dividir un número entero entre un número que se potenci de o, o de mbos, se obtiene un deciml excto. Si el numerdor es múltiplo del denomindor, se obtiene un número entero. Existe lgún cso en que l proximción por exceso y por defecto coincidn? Y si considermos el redondeo, puede coincidir con l proximción por exceso o por defecto? No pueden coincidir, y que pr proximr por defecto se eliminn ls cifrs prtir del orden considerdo, y pr proximr por exceso se eliminn ls cifrs prtir del orden considerdo, pero se ument en un unidd l últim cifr que qued. L proximción por redondeo coincide con l proximción por defecto si l cifr nterior l orden considerdo es menor que cinco, y coincide con l proximción por exceso en el resto de csos. Rzon cómo se rcionlizn ls frcciones del tipo: Multiplicmos el denomindor por el conjugdo: n n b n n n + b n n n n n ( ( + + n n n n ( ) + Por tnto, multiplicndo por el conjugdo n veces: n n n n ( + b )( + b ) ( + b ) b n n n n n n n n n n ( + ( + ( b b n n b ( b ) + )( + ) b b b

39 Números reles 9 0 Rcionliz ls siguientes expresiones ( ) + + ( + + )( ) ( ) ( ) ( + ) ( )( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) + ( + )( ) ( + + ) ( ) ( + + ) ( + + ) ( + + )( 0 ) 0. ( + + )( + 0 ). Indic un procedimiento generl pr rcionlizr expresiones del tipo: b + b + + b n teniendo en cuent que b, b,, b n son números reles. Se multiplic el denomindor por un expresión que result l cmbir de signo todos los elementos del denomindor menos uno. Al relizr l operción el número de ríces disminuye, se repite este proceso tnts veces como se necesrio hst que l expresión quede rcionlizd. Consider que A, B, C y D son cutro pueblos. L distnci medid entre A y B h sido de km, con un error de 00 m, y l distnci entre C y D h sido de 00 m, con un error de, m. Qué medid es mejor? Por qué? 0,, Se clcul el error reltivo: E r 0,00 E r 0, Es mejor l medid tomd entre ls ciuddes A y B, y que el error reltivo cometido es menor.

40 SOLUCIONARIO Comprueb ls siguientes igulddes. n m n m b b e) b b n m n m b + b f ) b + c b + c n n n + b + b g) b b n m n m b ( h) + b + b Flso: e) Verddero: b b b Flso: f ) Flso: + + Flso: + g) Flso: + b b b b ( ) b b Flso: h) Flso: ( ) + + Escribe 00 en notción científic. Sbiendo que log 0,00 y que 0,. Podrís hcerlo con un clculdor científic? Expres 00 en notción científic, teniendo en cuent el primer prtdo. Llmmos x l número: 00 x Tenemos que encontrr y tl que 0 y x. log x 00 x 00 log x log Por otro ldo, como log x y: y 00 log 0, 0 0, 0 0, 0 0, 0 0 No se puede hllr con clculdor, y que es un número demsido grnde. Llmmos x l número: 00 x Tenemos que encontrr y tl que 0 y x: log x 00 x 00 log x log Por otro ldo, como log x y: y 00 log 9, 0 9, 0 0, 0 9, 0 9

41 Números reles Ls uniddes de medid con que se mide l cntidd de informción son: Byte bits Megbyte 0 Kilobytes Kilobyte 0 bytes Gigbyte 0 Megbytes Expres, en form de potenci y en notción científic, ls siguientes cntiddes de informción en bits y bytes. Disco duro de 0 Gb. Disquete de, Mb. Trjet de memori de Mb. CD-Rom de 0 Mb. 0 Gb bytes bytes bits 0 Gb, 0 bytes,9 0 bits Mb bytes 9 bytes bits Mb, 0 bytes, 0 bits, Mb, 0 0 bytes, 0 bytes, bits, Mb,099 0 bytes, 0 bits 0 Mb bytes 0 0 bytes 0 bits 0 Mb, 0 bytes, 0 bits PARA FINALIZAR... Si es un frcción irreducible: b + + b Cuándo es equivlente? Y cuándo es equivlente? b + b b + b b + + b b + b b+ b b b + b b + b + b b + b b b b Como b es distinto de cero: b + b b Si un frcción es irreducible, son ls frcciones y irreducibles? b b b Como los divisores de + b son los divisores comunes de y b: + b ( + y b no tienen divisores comunes, y l frcción es irreducible. b Como los divisores de b son los divisores comunes de y b: b ( y b no tienen divisores comunes, y l frcción es irreducible. b 99 + k Demuestr l siguiente iguldd: log k k k + k + k log log log k k k k k k 99 ( log ( + k) log k) ( log 00 log ) k

42 SOLUCIONARIO Demuestr ests igulddes. log (b log b + log c b log log b log c c Por l definición de logritmos: log (b x log b y log c z x b c y b z c y z b c y + z b c log (b y + z Es decir: log (b log b + log c Por l definición de logritmos: b log x log b y log c z c b x y b z c c y b b b yz log y z z c c c b Es decir: log log b log c c Demuestr l siguiente iguldd: log ( b ) log ( + + log ( log ( + + log ( log [( + ( ] log ( b ) 9 Si el áre de est figur es 0 cm, cuál es su ltur? D C L longitud de l bse mide: + cm Clculmos l ltur: 0 ( + ) h h cm A h B 0 Dos piezs móviles de un máquin se desplzn l mism velocidd. L primer piez describe un circunferenci de rdio cm y l segund se desplz de un extremo l otro del diámetro de es circunferenci. Si mbs piezs prten del mismo punto, coincidirán en lgún momento? Suponemos que mbs piezs prten de A. Llmmos v l velocidd que llevn los dos móviles. A cm B L distnci recorrid por el móvil que se desplz por l circunferenci en los puntos A y B es: π(k ), siendo k un número nturl. L distnci recorrid por el móvil que se desplz por el diámetro en los puntos A y B es: 0(k ), siendo k un número nturl. Ls distncis recorrids por el móvil que se desplz por l circunferenci son números irrcionles, mientrs que ls distncis recorrids por el móvil que se desplz por el diámetro son números nturles. Por tnto, nunc coincidirán mbos móviles.

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