Problemas Propuestos y Resueltos

Transcripción

1 Problems Propuestos y esueltos de Electromgnetismo ~ ~D = r ˆn ~ ~B = q ~ ~E = ~B t ~ ~H = ~J + ~D t odrigo Chi Durán emil: rchi@ing.uchile.cl Versión α 1. - Mrzo 16

2

3 Índice generl I Electrostátic 1 1. Ley de Coulomb y Distribuciones Discrets de Crgs 3 I. Problems Propuestos II. Soluciones Distribuciones Continus de Crg 7 I. Problems Propuestos II. Soluciones Ley de Guss 5 I. Problems Propuestos II. Soluciones Conductores, Condensdores y Energí 35 I. Problems Propuestos II. Soluciones Ecución de Lplce/Poisson y Método de ls Imágenes 57 I. Problems Propuestos II. Soluciones

4 4 6. Dipolo Eléctrico 79 I. Problems Propuestos II. Soluciones II Corriente Eléctric Medios Conductores y Ecución de Continuidd 89 I. Problems Propuestos II. Soluciones Circuitos Eléctricos 99 I. Problems Propuestos II. Soluciones III Mgnetostátic Ley de Biot-Svrt 17 I. Problems Propuestos II. Soluciones Fuerz de Lorentz 113 I. Problems Propuestos II. Soluciones Ley de Ampère 119 I. Problems Propuestos II. Soluciones

5 5 1.Potencil Vectoril y Momento Mgnético 17 I. Problems Propuestos II. Soluciones IV Cmpos Electromgnéticos Vrintes en el Tiempo Ley de Frdy-Lenz 139 I. Problems Propuestos II. Soluciones Inductnci y Energí Mgnétic 147 I. Problems Propuestos II. Soluciones Corriente Altern 159 I. Problems Propuestos II. Soluciones Leyes de Mxwell y Onds Electromgnétics 167 I. Problems Propuestos II. Soluciones V Cmpos Electromgnéticos en Medios Mteriles Cmpo Eléctrico en Medios Mteriles 177 I. Problems Propuestos II. Soluciones

6 6 18.Cmpo Mgnético en Medios Mteriles 191 I. Problems Propuestos II. Soluciones VI espuests espuests 1

7 i Prólogo El Electromgnetismo es posiblemente un de ls rms más bonits de ls físic, l cul tiene muchs plicciones cotidins de ls cules no nos dmos cuent: prender l luz, llmr por celulr o usr el computdor. El estudio de est áre en el último siglo h provocdo un vnce considerble en l tecnologí y nos entregn un myor bienestr dirimente. El punte quí presente, nce como un recopilción de problems propuestos y resueltos durnte el tiempo que he sido Profesor Auxilir en l Universidd de Chile y mi breve pso por l Universidd de los Andes. L myorí de los problems disponibles hn sido extrídos de evluciones (controles, ejercicios, tres, etc) y de guís de problems propuestos que elboré pr que mis lumnos estudirn. Aclro que l myorí de los problems presentes no son de mi utorí sino de los profesores con los que he trbjdo y de lgunos libros de l bibliogrfí. Mi principl objetivo con este punte es entregr un buen mteril de estudio pr ls persons que necesiten estudir y/o que simplemente quiern prender. Además, el hecho de reunir el mteril que confeccioné durnte vrios semestres en un solo lugr hce que el trbjo se mucho más útil y durdero pr ls persons que quiern utilizrlo. Este compildo posee dos tipos de problems: lgunos con su solución complet y otros que solmente poseen su respuest finl. Como siempre es recomenddo, es importnte que l momento de usr este punte se den el tiempo de pensr el problem ntes de mirr su solución (si es que l posee). Un rol ctivo en l resolución de problems les trerá muy buenos resultdos durnte este curso. He querido ser detllist en l selección de problems, de modo que en l myorí de los cpítulos he intentdo plsmr un espectro representtivo de los de problems que suelen ser preguntdos en l FCFM (unque hy profesores que su ingenio siempre puede más). Ddo lo reciente de est recopilción, probblemente existn errores de los cules hn psdo despercibidos. Les pido por fvor los estudintes que los encuentren que me los notifiquen, sí gnrán buen krm y otros futuros estudintes se los grdecerán. Finlmente, quiero grdecer ls persons que hn hecho posible relizr este proyecto, los profesores Pblo Zegers, Dniel Escff, Simón Csssus, Crlos Crtes, Tkeshi Ashi, Mtís Montesinos y en prticulr, Mrcel Clerc y Cludio omero. Tmbién mis compñeros uxilires que portron con problems y soluciones: Susn Márquez y Luis Mtelun. Mucho Éxito!

8 ii Nots sobre l Versión α 1. L presente versión cuent con 18 cpítulos, donde existen 1 problems propuestos de los cules 86 tienen solución. Los problems tienen un simbologí de cuerdo su dificultd: signific que un problem es sencillo y deberí ser resuelto en form rápid. signific que el problem intermedio y requiere un myor nálisis o trbjo lgebrico. signific que es un problem difícil, que requiere un nálisis prolongdo. Todos los problems del punte cuentn con su respectiv respuest l finl del documento. Se puede llegr fácilmente su respuest presionndo el símbolo. En el enuncido de cd problem se detll si este tiene solución medinte el símbolo S. Si se presion el símbolo se puede llegr rápidmente su solución. He dejdo el cpítulo de Cmpo Eléctrico/Mgnético en Medios Mteriles l finl del punte, y que siempre me h gustdo más es form de ver los contenidos del curso.

9 Prte I Electrostátic 1

10

11 Ley de Coulomb y Distribuciones Discrets de Crgs 1 I. Problems Propuestos Problem 1.1 S Supong que en lugr de l Ley de Coulomb, uno hubier encontrdo experimentlmente que l fuerz entre dos crgs puntles fuer F 1 = q 1q (1 α r r 1 ) 4πɛ r r 1 3 ( r r 1 ) q ~F 1 donde α es un constnte. ) Escrib el cmpo eléctrico un crg puntul. Coloque el origen de coordends en l crg puntul. b) Elij un tryectori cerrd lrededor de l crg y clcule l integrl E dl. Compre el resultdo obtenido con l Ley de Coulomb. q 1 ~F 1 ~r 1 ~r O c) Encuentre en vlor de l integrl E ds sobre un superficie esféric centrd en l crg. Compre el resultdo obtenido con l Ley de Coulomb. e Problem 1. S En los vértices de un triángulo equilátero de ldo L se hn situdo tres crgs negtivs e. Si en el centro de grvedd del triángulo se sitú un crg de mgnitud Q, determine el vlor que debe poseer es crg pr mntener el sistem en equilibrio. e L Q L L e 3

12 4 CAPÍTULO 1. LEY DE COULOMB Y DISTIBUCIONES DISCETAS DE CAGAS Problem 1.3 Ocho prtículs puntules con crg q están ubicds en los vértices de un cubo de ldo como se muestr en l figur. Llmremos P l punto ubicdo en el centro de l cr del cubo que yce sobre el plno y = (ver figur). z P ) Determine el cmpo eléctrico producido en el punto P por ls cutro crgs que se ubicn en y =. b) Encuentre el cmpo eléctrico en P producido por l crg ubicd en el origen. c) Clcule el cmpo eléctrico totl en el punto P. x y +q Problem 1.4 +q q Considere seis crgs puntules ubicds en los vértices de un hexágono regulr de ldo. Existen tres crgs positivs q y tres crgs negtivs q distribuids como se muestr en l figur. Determine el cmpo eléctrico y el potencil eléctrico en el centro de hexágono. +q y x q q Problem 1.5 +q Dos crgs puntules positivs +q están seprds por un distnci. Por el punto medio del segmento que ls une se trz un plno perpendiculr l mismo. El lugr de los puntos en que l fuerz sobre un crg de prueb situd en el plno es máxim es, por rzón de simetrí, un circunferenci. Encuentre su rdio. Plno Divisor +q Problem 1.6 L cohesión en los cristles iónicos se debe ls fuerzs eléctrics de trcción entre los iones positivos y negtivos. Considere un modelo unidimensionl de un cristl de Cloruro de Sodio (NCl) que consiste en un líne rect infinit en que están colocdos los iones, lternándose los iones positivos de N y los iones negtivos de Cl. L distnci entre iones vecinos es. Los iones positivos tienen crg +e y los iones negtivos e. Clcule l energí que hy que entregrle un ion positivo de N pr scrlo de su lugr y llevrlo un distnci muy grnde respecto. N Cl N Cl N Cl

13 II. SOLUCIONES 5 II. Soluciones Solución 1.1 P ) Colocndo l crg q 1 en el origen se obtiene r 1 =. Luego llmndo q 1 = q y recordndo que F = q E, se puede obtener que F = q q (1 α r ) 4πɛ r 3 r = E = q (1 α r ) 4πɛ r 3 r Como l dirección de l fuerz y el cmpo es rdil podemos decir que r = rˆr. Finlmente E = q (1 αr) 4πɛ r ˆr b) Bst tomr un tryectori cerrd Γ, por ejemplo, un circunferenci de rdio lrededor de l crg. En ese cso se tiene que l curv qued prmetrizd como: Γ E d l = ˆπ E ˆr dθˆθ = Pr el cso de l ley de Coulomb se tiene que el cmpo es siempre conservtivo, es decir E =, por lo cul E d l = pr culquier cmino cerrdo Γ. Se concluye que l ley Γ de Coulomb y l ley encontrd experimentlmente entregn el mismo resultdo. c) Pr este cso hy que clculr un integrl de flujo. Por simplicidd se elige un esfer de rdio centrd en el origen. Luego el flujo sobre su superficie es " Ω E d S = ˆπ ˆπ q (1 α) ˆr sin θdθdϕˆr = q (1 α) 4πɛ ɛ Pr el cso de l ley de Coulomb, se sbe que es integrl es conocid y que coincide con l Ley de Guss, es decir " E d S = q ɛ Pr l nuev ley se tiene que difiere en un fctor (1 α), demás el flujo no es constnte como en l Ley de Guss y depende de l superficie esféric que se tome.

14 6 CAPÍTULO 1. LEY DE COULOMB Y DISTIBUCIONES DISCETAS DE CAGAS Solución 1. P En este problem se preci un simetrí con respecto l crg Q, y que tods ls crgs negtivs sienten l mism fuerz de trcción/repulsión. Por ejemplo, hciendo el DCL l crg superior se obtiene lo siguiente y ~F 1 ~F x e ~F 3 L L e Q L e Figur 1.1: DCL Sobre l Crg Superior Ls fuerzs F 1 y F son repulsivs (generds por ls otrs crgs negtivs), mientrs que l fuerz F 3 generd por l crg Q positiv es trctiv. Usndo el sistem de referenci de l Figur 1.1 y l Ley de Coulomb, es posible descomponer ls fuerzs de l siguiente form F 1 = e ( ˆx 4πɛ L cos π 3 + ŷ sin π ), F = e (ˆx 3 4πɛ L cos π 3 + ŷ sin π ), F3 = eq 3 4πɛ d ŷ donde d es l distnci desde culquier vértice l centro del triángulo. Usndo el Teorem del Coseno, es posible despejr d como L = d + d d cos π 3 = d = L 3 por lo tnto l fuerz totl vle ( e F T = πɛ L sin π 3 3eQ ) 4πɛ L ŷ Ddo que se dese el sistem en equilibrio se impone F T =, obteniéndose que e πɛ L sin π 3 3eQ 4πɛ L = = Q = e 3 3 = e 3

15 Distribuciones Continus de Crg I. Problems Propuestos Z Problem.1 S Csquete Semiesférico Un disco de rdio complet un csquete semiesférico de rdio. Ambs superficies tienen densidd de crg uniforme σ. Clcule el cmpo eléctrico en un punto sobre el eje Z. Hint: [ ] d r z cos(x) (z r cos x) sin x dx z = r rz cos x + z (r sin x + (z r cos x) ) 3 Disco s s Y Problem. S Considere un brr infinit de densidd de crg linel λ. Sobre est brr se cuelg un péndulo idel de lrgo l y un ms puntul m y crg q, bjo l influenci del cmpo grvittorio como se ilustr en l figur. Encuentre el ángulo de equilibrio del péndulo y determine cuál es ángulo límite cundo el vlor de q crece infinitmente. l q l m,q ~g Problem.3 S Un nillo de rdio tiene un crg Q positiv, l cul está distribuid de mner uniforme sobre el nillo, como se ilustr en l figur. Considere un crg puntul de crg negtiv q (q < ) y ms m, l cul es depositd en reposo sobre el eje centrl del nillo cerc del centro representdo por el punto A, demás l crg está soldd un resorte idel de constnte elástic k y lrgo nturl cero con extremo fijo en el punto A. Clcule l frecuenci de oscilción prtícul puntul. Indicción: Considere que l prtícul se mueve sobre el eje centrl del nillo. Q k A q 7

16 8 CAPÍTULO. DISTIBUCIONES CONTINUAS DE CAGA Problem.4 S Un densidd de crg linel λ está reprtid de form homogéne lo lrgo de un semicircunferenci BD centrd en C y de rdio. Un crg puntul q está ubicd en punto A como se indic en l Figur. (CA = ). ) Clcule el potencil eléctrico en el punto C, V (C). B C l D b) Por rgumentos de simetrí, determine l dirección del cmpo eléctrico E(C). Clcule E(C). c) Determine l relción entre λ y q tl que E(C) = A q Problem.5 S Se tienen dos nillos coxiles del mismo rdio, contenidos en plnos prlelos y seprdos entre sí un distnci L. Uno de los nillos tiene densidd de crg uniforme +λ y el otro λ. ) Clcule el cmpo eléctrico en el eje común de los nillos, o se en el eje O O en l figur. b) Clcule l diferenci de potencil entre los centros O y O de los nillos. l l O O L Problem.6 S Un lmbre semi-infinito crgdo yce sobre el semieje positivo x. El lmbre posee un densidd linel homogéne λ. y A ) Determine el vlor del cmpo eléctrico en el punto A de l figur el cul está ubicdo sobre el eje y un distnci del origen. b) Determine el vlor del cmpo eléctrico en el punto B de l figur el cul está ubicdo sobre el eje x un distnci del origen. B O l x l Problem.7 S Considere un lmbre muy delgdo como el de l figur, éste est compuesto por dos rects infinits y un rco de circulo de 135. El lmbre tiene un densidd linel de crg λ constnte. Encuentre el cmpo producido en el punto P. 135 P

17 I. POBLEMAS POPUESTOS 9 Problem.8 S Dos brrs delgds e igules de longitud L y crg totl Q distríbuid uniformemente, están situds sobre el eje x, seprds un distnci d como se indic en l figur. y ) Clcule el cmpo eléctrico producido por l crg de l izquierd pr un punto situdo sobre el eje x, es decir E(x). b) Clcule l fuerz que ejerce l crg de l izquierd sobre l crg de l derech. c) Pruebe que si d L l fuerz entre ls brrs equivle l de dos crgs puntules de crg Q. Puede ser útil l proximción ln(1 + x) x x si x 1. +Q +Q L d L x Problem.9 Considere un plno infinito con crg superficil σ >. El plno contiene un orificio circulr de rdio en su superficie. l z ) Clcule el cmpo eléctrico en culquier punto del eje z. b) A lo lrgo del eje del orificio se coloc un líne de crg de lrgo, densidd linel λ > y cuyo punto más próximo se encuentr un distnci d del centro del orificio. Clcule l fuerz de repulsión que experiment l líne de crg. s d z s = s(q) Problem.1 Clculr el cmpo electrostático que gener un csquete esférico de centro O y rdio que port un densidd superficil de crg σ = σ cos θ (en coordends esférics) en su mismo centro. O q x

18 1 CAPÍTULO. DISTIBUCIONES CONTINUAS DE CAGA V? Problem.11 Considere un cono de ltur h y rdio bsl h. L superficie (mnto) del cono está crgd uniformemente con un densidd σ. Clcule el potencil en el centro de l bse del cono. h h Problem.1 L contminción por compuestos químicos de un lgo de form circulr h dejdo su densidd superficil de crg que, expresd en coordends polres se puede escribir como σ(r) = σ 3 (r + ) 3 donde y σ son constntes conocids. Aquí el origen de coordends es el centro del lgo. Se pide: ) Determine el cmpo eléctrico que fectrá l vid en el lgo. Supong que los peces sólo viven en ls cercnís del centro del lgo (eje z) y profundiddes mucho menores que l extensión del lgo, por lo cul éste puede considerrse infinito. b) Supong que debido est contminción, un pez dquiere un crg Q. Determine el trbjo electrostático que debe efectur el pez pr llegr l centro del lgo si se encontrb ndndo un distnci profundidd sobre el eje z de l Figur. Hint: [ ] d ( + r + z ) dr ( z ) r = ( + r )(z + r ) (( + r )(z + r )) 3 s(r) z Problem.13 Clcule el cmpo eléctrico credo por un cono mcizo de ltur h y semi ángulo α, uniformemente crgdo con un densidd volumétric de crg ρ en su vértice. r h

19 I. POBLEMAS POPUESTOS 11 Problem.14 En un primer proximción, un montñ puede ser modeld como un cono de ltur h y semi ángulo α de ms totl M distribuid uniformemente. Geofísicos hn determindo que l grvedd en su cim tiene un vlor g 1 = g 1 ẑ l cul está un distnci h sobre el nivel suelo. Los mismos científicos sben que si l montñ no existiese el cmpo grvitcionl terrestre en el mismo punto serí g = g ẑ. Determine g = g 1 g. (Hint: Puede ser útil el Problem.13) h z P 1 Problem.15 S Considere un cilindro mcizo de rdio y lrgo L como se muestr en l Figur. El cilindro posee un densidd de crg volumétric ρ. Determine ) El módulo del cmpo eléctrico en un punto P 1 ubicdo un distnci h sobre su bse superior y sobre el eje del cilindro. b) El módulo del cmpo eléctrico en un punto P ubicdo un distnci h > del eje cilindro, justo l mitd de l ltur del cilindro. L h r h P L Problem.16 Un bloque infinito posee un densidd de crg uniforme ρ que h sido loclizdo entre x = y x =. Este bloque es infinito en l dirección y y z (sliendo de págin). Dos plnos infinitos son loclizdos en x = b y x = b, los cules poseen un densidd de crg σ 1 y σ, respectivmente. Al medir el cmpo eléctrico se observ que: x < b +E E = ˆx b < x < E ˆx < x < b x > b b r s 1 s y b x ) Clcule l densidd de crg ρ del bloque infinito. b) Clcule ls densiddes de crg superficiles σ 1 y σ de los plnos l izquierd y derech del bloque respectivmente.

20 1 CAPÍTULO. DISTIBUCIONES CONTINUAS DE CAGA II. Soluciones Solución.1 P Todos los problems donde se pid determinr el cmpo eléctrico se pueden bordr medinte l definición. Sin embrgo, no en todos los problems siempre será fácil usr est técnic (y que se pueden llegr integrles bstnte complejs). En generl en todos los problems donde se pid determinr el cmpo eléctrico en un punto o en un eje (y no en todo el espcio) se pueden bordr por definición. Ddo que este problem cumple con es crcterístic, se debe tener clro como prmetrizr l superficie pr poder usr l definición. Sin embrgo, no es clro que hy un fórmul mtemátic con que se pued representr de un sol vez l unión csquete-disco. L prmetrizción nterior se ve soluciond usndo el principio de superposición; primero se clcul el cmpo eléctrico generdo por el disco y luego el del csquete semiesférico, pr luego sumr mbos resultdos y obtener el cmpo finl en el punto. Cmpo generdo por el disco. Usndo definición: Se debe tener clro que: E = 1 ˆ 4πɛ Ω r r r r 3 dq r : Es el vector que señl dónde se quiere conocer el cmpo eléctrico (puede ser un punto en específico, un eje, un superficie, etc.). r : Es el vector que señl dónde está lo que gener el cmpo eléctrico. Este vector es vrible y no represent un punto por sí solo en distribuciones continus de crg y que prmetriz un líne/superficie/volumen. dq : Es el diferencil de crg, y puede vler dq = λdl = σds = ρdv, eventulmente ls densiddes de crg λ, σ y ρ no necesrimente son constntes y podrín depender del vector r (ie. depende de lgun vrible de integrción). Ω : Es el espcio de integrción de l líne/áre/volumen de lo que está generndo el cmpo eléctrico. Estblece los límites de tods ls integrles. Luego, plicdo lo nterior l disco de rdio se tiene que (en coordends cilíndrics): r = (,, ) = ẑ r = rˆr dq = σds Donde los límites de integrción serán r [, ], θ [, π] ( qué es l prmetrizción del disco!).

21 II. SOLUCIONES 13 Z s ~r ~r ~r ~r Trozo infinitesiml de disco Y Figur.1: Cmpo Eléctrico generdo por un disco. Clculndo l integrl: E = 1 4πɛ Ω = σ 4πɛ = σ 4πɛ = σ 4πɛ ˆπ ˆ r r r r 3 σds ˆπ ˆ ˆπ ˆ ẑ rˆr ẑ rˆr 3 rdrdθ ẑ rˆr rdrdθ (( ) + r ) 3 ẑ r(cos θˆx + sen θŷ) rdrdθ (( ) + r ) 3 En este cso se seprrá por cd componente del vector E, de modo que E x = σ 4πɛ ˆπ ˆ = σ ˆπ 4πɛ r cos θ rdrdθ (( ) + r ) 3 cos θdθ } {{ } = ˆ r dr (( ) + r ) 3 Ddo que l integrl del coseno en un período es nul, se tiene que el cmpo eléctrico no tiene componente según x. Análogmente, sucede lo mismo l momento de clculr E, y por lo que

22 14 CAPÍTULO. DISTIBUCIONES CONTINUAS DE CAGA tmpoco existe un coordend según y. Luego E = σ 4πɛ ˆπ ˆ ẑ rdrdθ (( ) + r ) 3 = σẑ ˆπ ˆ r dθ 8πɛ (( ) + r ) 3 = σẑ ˆ r dr 4ɛ (( ) + r ) 3 [ ] Nótese que d 1 r = dr ( ) + r (( ) + r ) 3 E = σẑ 4ɛ = σẑ 4ɛ = σ ɛ Cmpo generdo por el semicsquete por lo tnto 1 ( ) + r [ 1 r= r= ( ) ( ) ẑ Al igul que el cso nterior debe procederse clculr los vectores r, r y dq, en este cso se tiene que (en coordends esférics): dr ] r = (,, ) = ẑ r = ˆr dq = σds = σ sen θdθdϕ Donde los límites de integrción serán ϕ [, π], θ [, π ]. E = 1 4πɛ Ω = σ 4πɛ = σ 4πɛ = σ 4πɛ π ˆπ ˆ r r r r 3 σds π ˆπ ˆ π ˆπ ˆ ẑ rˆr ẑ ˆr 3 sen θdθdϕ ẑ (sen θ cos ϕˆx + sen θ sen ϕŷ + cos θẑ) ẑ (sen θ cos ϕˆx + sen θ sen ϕŷ + cos θẑ) 3 sen θdθdϕ ẑ (sen θ cos ϕˆx + sen θ sen ϕŷ + cos θẑ) sen θdθdϕ ( sen θ + ( cos θ) ) 3

23 II. SOLUCIONES 15 En este cso vuelve ocurrir lo mismo que psó cundo se clculó el cmpo que gener un disco, y que se nuln ls componentes en x e y debido que precen un cos ϕ y sen ϕ integrdos en un período. En generl, uno tmbién puede rgumentr por simetrí que lguns componentes del cmpo eléctrico son nuls, no siempre es necesrio el cálculo (siempre se llegrá funciones sinuosoidles integrds en un período). Por lo tnto el vlor del cmpo generdo por el semicsquete es: E = σẑ 4πɛ π ˆπ ˆ cos θ sen θdθdϕ ( sen θ + ( cos θ) ) 3 π ˆ ˆπ = σ ẑ ( cos θ) sen θ dϕ dθ 4πɛ ( sen θ + ( cos θ) ) 3 = σ ẑ π cos θ 4πɛ ( ) ( ) cos θ + ( ) = σẑ ɛ ( ) + ( ) = σ ( ) 5 1 ẑ ɛ θ= π θ= Ddo los resultdos nteriores, se procede sumrlos pr encontrr el cmpo finl en el punto E totl = σ ( 1 1 ) ẑ + σ ( ) 5 1 ẑ = σ ( ) ẑ ɛ 5 ɛ ɛ Solución. P Pr encontrr el ángulo de equilibrio, se debe considerr que l sum de fuerzs que ctún sobre l ms m deben nulrse, por consiguiente se hce un DCL pr deducir ls ecuciones de movimiento. l ~g q l ~T ~F e m~g Figur.: DCL pr ms m.

24 16 CAPÍTULO. DISTIBUCIONES CONTINUAS DE CAGA Con lo nterior ls ecuciones de movimiento son: mẍ = F e T sin θ = mÿ = T cos θ mg = T = mg cos θ Como F e = qe, se clculrá el cmpo E un distnci d = l sin θ producido por l brr infinit de densidd de crg linel λ. Considerndo que E = 1 4πɛ ˆ l r r r r 3 dq Donde r = dˆx = l sin θˆx correspondiente l posición donde se quiere clculr el cmpo, r = zẑ correspondiente quien gener el cmpo, y dq = λdz dónde z (, + ). Además se consider que por l simetrí del problem, el cmpo será el mismo independiente de l posición en ẑ de l ms, por lo que E sólo tiene componente en ˆx. Con lo nterior l ecución nterior qued: E = 1 4πɛ = ˆ+ l sin θˆx λdz ((l sin θ) + z ) 3 ˆ+ λl sin θ dz ˆx 4πɛ ((l sin θ) + z ) 3 Se hce el cmbio de vrible z = (l sin θ) tn φ, lo cul implic que dz = (l sin θ) sec φdφ, y los límites de integrción cmbin de z (, + ) φ ( π, + π ). Luego: E = = + ˆ π λl sin θ ˆx 4πɛ π + ˆ π λl sin θ ˆx 4πɛ π (l sin θ) sec φdφ ((l sin θ) + (l sin θ) tn φ) 3 (l sin θ) sec φdφ (l sin θ) 3 (1 + tn φ) 3 = = + ˆ π λ 4πɛ (l sin θ) ˆx sec φdφ sec 3 φ π + ˆ π λ 4πɛ (l sin θ) ˆx cos φdφ π λ = 4πɛ (l sin θ) ˆx sin φ π π λ = πɛ (l sin θ) ˆx Como y se conoce el cmpo, luego F λ e = q ˆx. Dicho vlor en ls ecuciones de movimiento πɛ (l sin θ) y despejndo T, se lleg : λ mẍ = F e T sin θ = q πɛ (l sin θ) mg cos θ sin θ = = sin θ cos θ = qλ πɛ lmg = qk

25 II. SOLUCIONES 17 Se us l identidd trigonométric sin θ = 1 cos θ: 1 cos θ cos θ = qk = cos θ + qk cos θ 1 = = cos θ = qk ± (qk ) + 4 Como se esper que θ (, π/) (el péndulo no drá l vuelt complet), cos θ >, luego se escoge l solución positiv. Finlmente si q, se cumple que (qk) + 4 qk, entonces cos θ = qk + qk El resultdo nterior implic que θ = π, esto es esperble y que l ser un crg positiv se lejrá lo más posible de quién genere el cmpo y eso de logr l myor distnci, es decir, con el ángulo encontrdo. = Solución.3 P L fuerz sobre l crg q es F q = F e + F r donde F e corresponde l fuerz que el nillo ejerce sobre q, y F r, l fuerz que ejerce el resorte. L fuerz que ejerce el cmpo eléctrico que gener el nillo sobre l crg q está dd por F e = q E A Entonces el cmpo eléctrico que gener el nillo en su eje es: E A = 1 ˆ r r 4πε r r dq 3 Donde r = zẑ, r = ˆr (en coordends cilíndrics) y dq = λ dθ con θ (, π). Además, ddo que l crg totl en e nillo es Q y se distribuye homogénemente, λ se puede clculr como: con lo nterior: E A = 1 ˆπ zẑ ˆr 4πε (z + ) 3 λ dθ = 1 4πε λ = Q L = Q π ˆπ zẑ (z + ) 3 ˆπ ˆr λ dθ (z + ) 3 λ dθ Nótese que por l simetrí del nillo l segund integrl se nulrá. Tmbién se puede justificr notndo que ˆr = sin θˆx + cos θŷ, y como l integrl de sin θ y cos θ se nuln en un intervlo entre (, π), el segundo sumndo se nul. Luego: E A = λ zẑ 4πε (z + ) 3 ˆπ dθ = λ zẑ ε (z + ) 3 Finlmente, sustituyendo λ, se concluye el vlor de F e : F e = qe Q zẑ A = q π ε (z + ) 3 = F qqzẑ e = 4πε (z + ) 3

26 18 CAPÍTULO. DISTIBUCIONES CONTINUAS DE CAGA Nótese que como q < est fuerz punt en en l dirección ẑ. Por otro ldo, l fuerz elástic pr un distnci z (notr que el resorte se mueve sólo en el eje), es l que gener el resorte de constnte k, l cul está dd por F r = k zẑ Ddo los cálculos nteriores, l fuerz totl sobre q es: ( qq F q = 4πε (z + ) 3 k ) zẑ Por otr prte, l fuerz en el eje ẑ est dd por: F q = m zẑ Si se dese encontrr l frecuenci pr pequeñs oscilciones, considermos que los vlores que tom z 1, con lo que z. Finlmente: ( ) qq m z = 4πε 3 k z = z + 1 ( qq ) m 4πε 3 + k z = y como l ecución de l frecuenci en pequeñs oscilciones cumple z + ω z = ( 1 ω = qq ) m 4πε 3 + k Solución.4 P ) Es necesrio clculr el potencil generdo por l semicircunferenci y el credo por l crg puntul. Pr el cso de l semicircunferenci se puede clculr usndo l expresión V ( r) = 1 ˆ dq 4πɛ r r en este cso r = y r = ˆr con θ [, π] y dq = λdl = λdθ. Luego V lmbre () = λ 4πɛ ˆπ dθ ˆr = λ 4ɛ Adicionlmente es sbido que el potencil que gener un crg puntul est ddo por V crg () = q 4πɛ Por lo tnto el potencil pedido es l superposición de los resultdos nteriores V (C) = q 4πɛ + λ 4ɛ

27 II. SOLUCIONES 19 b) Por simetrí ls componentes en horizontles se nuln en el punto C, por ende en ese punto sólo existe l superposición de de componentes verticles. El cmpo generdo por el lmbre vle E( r) = 1 ˆ ( r r ) 4πɛ r r 3 dq nuevmente se tiene que r = y r = ˆr con θ [, π] y dq = λdl = λdθ, por lo que E lmbre () = λ 4πɛ ˆπ ( ˆr)dθ ˆr 3 = λ ˆπ 4πɛ [cos θˆx + sin θŷ] dθ = λ πɛ ŷ l igul que l prte nterior el cmpo eléctrico generdo por l crg está ddo por E crg () = q 4πɛ ŷ Finlmente el cmpo totl es E(C) = ( q 4πɛ λ ) ŷ πɛ c) Imponiendo E(C) =, se tiene que q 4πɛ = λ = q = λ πɛ Solución.5 P ) Inicilmente determinremos el potencil que gener un nillo por si sólo y luego se usrá el hecho que E = V pr determinr el cmpo eléctrico. De este modo el potencil de un sólo nillo de rdio y densidd homogéne λ y con su centro en el origen provoc un potencil ddo por: V ( r) = 1 ˆ 4πɛ dq r r donde r = zẑ, r = ˆr y dq = λdθ con θ [, π]. Por ende V (z) = 1 ˆπ λdθ 4πɛ z + = λ ɛ z + Extrpolndo este resultdo l problem se tiene que los nillos están distnci L, de modo que suponiendo que el origen está en el punto de medio de su seprción, el potencil en el eje es V (z) = λ (z ) ɛ L + λ (z ) ɛ + L + = λ ɛ (z L 1 ) + (z + L 1 ) + Ddo que E = V = V z ẑ

28 CAPÍTULO. DISTIBUCIONES CONTINUAS DE CAGA Por lo que finlmente E = λ ɛ ( (z L z L ) + ) 3 ( (z + L z + L ) + ) 3 ẑ b) Considerndo lo obtenido en ) V (O) = V Por lo que l diferenci vle: V (O ) = V ( z = L ) = λ ( ) 1 ɛ 1 L + ( z = L ) = λ ɛ V (O) V (O ) = λ ɛ ( 1 L + 1 ) ( ) 1 1 L + Solución.6 P ) ecordndo, que el cmpo eléctrico producido por un distribución de crg dq( r ) vle: E( r) = 1 ˆ 4πɛ r r r r 3 dq( r ) Luego se tiene que: r = ŷ; r = xˆx; dq = λdx, por lo tnto: E(ŷ) = λ ŷ 4πɛ elizndo el cmbio de vrible: ˆ dx ( + x ) 3 ˆ xdx ˆx ( + x ) 3 x = tn θ = dx = sec θdθ esult: E(ŷ) = λ 4πɛ E(ŷ) = ŷ π ˆ λ 4πɛ sec θdθ 3 sec 3 θ ŷ π ˆ ˆx π ˆ cos θdθ ˆx tn θ sec θdθ 3 sec 3 θ π ˆ sin θdθ Obteniendo, finlmente que: E(ŷ) = λ (ŷ ˆx) 4πɛ

29 II. SOLUCIONES 1 b) Nuevmente usndo l definición se tiene que r = ˆx; r = xˆx; dq = λdx E( ˆx) = λ ˆx 4πɛ Mnejndo lgebricmente l expresión se obtiene que E( ˆx) = λ 4πɛ ˆ ˆ x x 3 dx dx (x + ) = λ ˆx 1 4πɛ x + = λ 4πɛ ˆx Solución.7 P Seprndo el problem en dos prtes: i) Cmpo producido por ls rects semi-infinits: Sen (ˆx ; ŷ ) el sistem de referenci pr l rect superior en l figur, y (ˆx ; ŷ ) pr l rect inferior, orientdos de mner que coincidn con el sistem de referenci de l prte ) entonces: E 1 = λ 4πɛ ( ˆx + ŷ ) E = λ 4πɛ ( ˆx + ŷ ) Ahor descomponiendo en los ejes ˆx e ŷ (ˆx horizontl hci l derech, ŷ verticl hci rrib): ˆx = cos π 8 ˆx + sin π 8 ŷ ŷ = cos 3π 8 ˆx sin 3π 8 ŷ ˆx = cos π 8 ˆx sin π 8 ŷ Como cos 3π 8 E 1 + E = ŷ = cos 3π 8 ˆx + sin 3π 8 ŷ = sin π 8, y superponiendo los cmpos, entonces: ) λ ( πɛ ˆx cos π 8 + cos 3π 8 = λ ( πɛ ˆx cos π 8 + sin π ) = λ 8 πɛ ˆx Otr form mucho más rápid de resolver est prte es l siguiente: E 1 = E λ = 4πɛ ( ) 3π cos 8 Entonces, debido l simetrí con respecto l eje x, ls componentes en ŷ de los cmpos producidos por ls dos rects se nuln, y se obtiene que: E 1 + E = E 1 cos 3π 8 = λˆx πɛ cos 3π 8

30 CAPÍTULO. DISTIBUCIONES CONTINUAS DE CAGA ii) Cmpo producido por el sector circulr: Clculndo por definición, de mner similr l prte nterior: E 3 ( r) = 1 ˆ r r 4πɛ r r 3 dq( r ) Con: r = ; r = ˆr ; dq = λdθ. Entonces: E 3 () = λ 4πɛ Descomponiendo ˆr en los ejes crtesinos, y por l pridd e impridd del coseno y seno, l integrl en ŷ se nul (tmbién se puede comprobr esto último debido l simetrí con respecto ˆx) result: E 3 () = λ 4πɛ 11π ˆ8 5π 8 ˆx cos θdθ = 11π ˆ8 5π 8 ˆrdθ λˆx ˆ 3π 8 cos θdθ πɛ Luego: E 3 () = λˆx πɛ sin 3π 8 = λˆx πɛ cos π 8 = λˆx ( sin 5π 4πɛ 8 ) 11π sin 8 Finlmente, sumndo todos los cmpos, se obtiene que el cmpo eléctrico totl en el punto P vle: ( ) E T = λˆx 1 πɛ sin 3π 3π cos 8 = λˆx ( cos π 8 πɛ 8 sin π ) 8 Solución.8 P ) Primero debe usrse el cmpo eléctrico por definición pr hllr un expresión E( r) = 1 ˆ ( r r )dq 4πɛ r r 3 En l fórmul nterior r = xˆx, r = x ˆx y dq = λdx con x [, L] donde λ = Q L. Anlizndo por intervlos x > L E(x) = λˆx 4πɛ ˆL x x (x x ) 3 dx = λˆx ˆL dx 4πɛ (x x ) = λˆx 4πɛ 1 x x L = λ ( 1 4πɛ x L 1 ) ˆx x x < Análogo lo nterior: E = λ 4πɛ ( 1 x L 1 ) ˆx x

31 II. SOLUCIONES 3 x L En este cso el cmpo eléctrico es infinito y se ce en un punto de crg infinit. Esto puede verse en l integrl, y que si x = x diverge. b) En este cso un diferencil de fuerz está ddo por d F = E(x)dq = E(x)λdx, por lo tnto F = λˆx 4πɛ ˆ L+d L+d ( 1 x L 1 ) dx = λˆx [ ln x 4πɛ ( L + d c) Pr l últim prte debe notrse lo siguiente ( ) ( (L + d) L + Ld + d ) ln = ln d(l + d) Ld + d = ln De lo nterior se termin deduciendo que d ( 1 + F 1 4πɛ (λl) d ˆx = 1 4πɛ Q d ˆx ) ( )] ( ) L + d ln = λ (L + d) ln ˆx L + d 4πɛ d(l + d) L ) Ld + d ln Que coincide con l fuerz que sienten dos crgs puntules de crg Q = λl. ) (1 + L L d d Solución.15 P ) En este cso, se usrá el resultdo conocido del cmpo eléctrico que gener un disco de rdio y densidd de crg σ, el cul corresponde E = σ ( ) z 1 ẑ ɛ z + Ahor, usndo este resultdo se considerrá z = en el punto P 1 creciendo hci rrib. A prtir de esto, el cilindro está compuesto por l superposición infinitesiml de discos (uno encim del otro). El porte de cmpo eléctrico de que provoc uno de estos discos de ncho infinitesiml es ( 1 de = ρ dz ɛ Por lo que el cmpo totl en el punto está ddo por E(P 1 ) = ρ ẑ ɛ ˆ h (L+h) z z + ) ẑ ( ) z 1 dz = ρ [ L ( h z + ɛ + ] (L + h) + ) ẑ b) Pr resolver este problem, se usrá un técnic de nlogís. Este problem es un poco difícil plntendo ls integrles correspondientes, pero se puede usr otro resultdo conocido como el que gener un brr de densidd linel λ de lrgo L sobre un punto ubicdo un eje perpendiculr ell justo en su mitd. En este cso, tomndo el eje z coincidente con eje de l brr y el origen su punto medio, se obtiene r = hˆr, r = zẑ con z [ L, L ] y dq = λ dz. Entonces E(P ) = 1 4πɛ L ˆ L hˆr zẑ λ (h + z ) 3 dz = λ L πɛ h 4h + L ˆr

32 4 CAPÍTULO. DISTIBUCIONES CONTINUAS DE CAGA L L l h P Figur.3: Situción nálog l cilindro. Ahor, volviendo l problem, si V es el volumen de un cilindro es posible firmr que λ = dq dz = dq dv dv dz = ρ dv dz = ρ d dz (π z) = ρ π El vlor obtenido es equivlente l crg por unidd de lrgo que tiene el cilindro del problem. Finlmente el cmpo es ρ E(P L ) = ɛ h 4h + L ˆr

33 Ley de Guss 3 I. Problems Propuestos Problem 3.1 S Un distribución de crg esféric ρ se extiende desde r = r =, con ( ) ρ = ρ 1 r Clculr: ) L crg totl Q. b) El cmpo eléctrico en todo el espcio. c) El potencil eléctrico en todo el espcio. Problem 3. Considere un cble coxil infinito y rectilíneo, el cul está compuesto por un cilindro centrl y diferentes csquetes cilíndricos, de rdios 1,, 3 y 4 respectivmente, como se ilustr en l figur. Cd mteril tiene respectivmente un densidd de crg volumétric ρ 1, ρ, ρ 3 y ρ 4 (Ver Figur). En el cso que el cilindro y segundo csquete cilíndrico (de rdio 3 ) tienen densidd de crg cero (ρ 1 = ρ 3 = ). Encuentre el cmpo eléctrico en todo el espcio ,ρ 4,ρ 3,ρ 3 = 1,ρ 1 = Problem 3.3 Considere l siguiente distribución de volumétric de crg en coordends esférics { nρ < r < ρ(r) = ρ r b r nr b Donde ρ es un constnte y n es un entero no negtivo. Encuentre el cmpo eléctrico en todo el espcio. 5

34 6 CAPÍTULO 3. LEY DE GAUSS Problem 3.4 Se tiene un plc infinit no conductor de espesor desprecible l cul posee un densidd superficil de crg σ, y continu ell, un bloque infinito de espesor D con un densidd de crg uniforme +ρ. Tods ls crgs están fijs. Clcule l dirección y l mgnitud del cmpo eléctrico: ) un distnci h encim de l plc crgd negtivmente. +r s D b) dentro del bloque un distnci d debjo de l plc crgd negtivmente (d < D). c) un distnci H bjo fondo del bloque. Problem 3.5 Considere dos plcs prlels crgds con densiddes +σ y σ de ncho d como muestr en l figur. Se rroj un crg +q y ms m horizontlmente por el espcio entre ls plcs con un velocidd v x. Desprecindo efectos de borde, encuentre l tryectori seguid por l prtícul crgd y el ángulo que hce su vector de velocidd con l horizontl en el momento de slir. Asum que l seprción de ls plcs es suficiente pr que l crg pued slir de ells. s v x ˆx +s d z Problem 3.6 Considere un esfer mciz de rdio y crg Q. Determine el flujo de cmpo eléctrico sobre el cudrdo de ldo mostrdo en l Figur. y x Problem 3.7 Considere un esfer mciz de densidd de crg ρ y rdio l cul posee un perforción esféric de rdio < un distnci de d entre sus centros. Demuestre que el cmpo eléctrico es constnte en culquier punto dentro de l cvidd y determine su vlor. O ~d O

35 I. POBLEMAS POPUESTOS 7 Problem 3.8 S () r y +r Considere dos cilindros infinitos de rdios los cules poseen sus ejes prlelos l eje z (entrn y slen de l hoj de ppel). Ls densiddes de crg volumétrics de los cilindros son ρ y ρ y sus ejes centrles psn por los puntos (x, ) y ( x, ), respectivmente. Considerndo que x <. ) Determine el cmpo eléctrico en l zon de intersección. (b) x y x s(q) x b) Si x, mbos cilindros quedn infinitesimlmente cerc, crendo un único cilindro equivlente de rdio con un densidd de superficil de crg σ(θ). Encuentre el vlor de es densidd. q x Cilindro Equivlente (x ) Problem 3.9 Dentro de un esfer de rdio centrd en el origen hy un cmpo eléctrico E(r ) = E ( r ) ˆr ɛ Pr r > hy vcío. Se pide determinr ) L distribución de crg ρ(r) pr r. b) El cmpo E y el potencil eléctrico pr r > c) El potencil eléctrico V (r < ). r(r)? Problem 3.1 S Un cilindro infinito de rdio tiene su eje coincidente con el eje z. El cilindro posee un densidd volumétric ρ(r) = r donde es un constnte positiv y r es l distnci desde el eje del cilindro. ) Clcule l crg contenid en un cilindro centrdo en el eje z, de rdio r y ltur h pr los csos r < y r >. b) Determinr el cmpo eléctrico E(r) en todo el espcio. c) Clculr el potencil eléctrico V (r) en todo el espcio. Tome como referenci V (r = ) =. r(r)= r z d) Grfique E(r) y V (r) en función de r.

36 8 CAPÍTULO 3. LEY DE GAUSS Problem 3.11 Considere un cble infinito crgdo con un densidd linel de crg λ roded por un csquete cilíndrico infinito de rdio de densidd superficil homogéne σ. Si l densidd linel coincide con el eje del cilindro, determine: ) El cmpo eléctrico en todo el espcio, es continuo el cmpo eléctrico?. b) El potencil eléctrico en todo el espcio, es continuo el potencil eléctrico?. (Use como referenci V (r = ) = ) s l c) Si el lmbre se desplzr un distnci δ del eje del cilindro, cómo determinrí el nuevo vlor del cmpo eléctrico?. Problem 3.1 Use el teorem de Guss pr encontrr el cmpo eléctrico debido un distribución de crg z r(z) ρ = ρ e k z con ρ y k constntes positivs. ) Muestre que el cmpo es de l form E = (,, E(z)), con E( z) = E(z) pr z >. b) Encuentre el cmpo eléctrico en todo el espcio. l Problem 3.13 S Se tiene un fuente crgd que consiste en un rect infinit crgd, con densidd uniforme λ y un plno infinito crgdo con densidd de crg uniforme σ. L rect form un ángulo gudo α con el plno. Considere un punto P está un ltur h sobre el plno. Determine ) El cmpo eléctrico totl en un punto P sobre l rect que bisect l ángulo entre l rect y el plno. s Q () Vist Isométric P h b) El trbjo necesrio pr mover un crg puntul q desde el punto P hst el punto Q el cul está ubicdo un distnci h sobre el plno. Q h P h s (b) Vist Frontl

37 II. SOLUCIONES 9 II. Soluciones Solución 3.1 P ) L crg totl en el átomo está dd por Q = ρ(r)dv = ˆπ ˆπ ˆ ( ) ρ 1 r r sin θdrdθdϕ ˆ ) = 4πρ (r r4 dr ( ) 3 = 4πρ = 8π 15 ρ 3 En generl Q 4 3 π3 ρ(r) (hcer esto es un error muy común en el curso). Esto es verdd solmente cundo ρ(r) = cte. b) El cmpo eléctrico está ddo por Ley de Guss, pr ello se deben considerr dos posibles csos (dentro y fuer de l esfer). En mbos csos se sume por simetrí esféric que E = E(r)ˆr. r r W 1 W Figur 3.1: Superficie Gussin Ω 1 pr r Figur 3.: Superficie Gussin Ω pr r < r : En este cso se tom como superficie Gussin Ω 1, l cul represent un csquete esférico de rdio r >. E d q enc S = ɛ Ω 1 4πr E(r) = 1 ɛ ˆπ ˆπ ˆ E(r) = ρ 3 15ɛ r ˆr ( ) ρ 1 r r sin θdrdθdϕ

38 3 CAPÍTULO 3. LEY DE GAUSS r < : En este cso se tom como superficie Gussin Ω, l cul represent un csquete esférico de rdio r <. E d q enc S = ɛ Ω ˆπ ˆπ ˆr 4πr E(r) = 1 ɛ 4πr E(r) = 4πρ ( ) r 3 ɛ 3 r5 5 E(r) = ρ ( ) r ɛ 3 r3 5 ˆr ( ) ρ 1 r r sin θdrdθdϕ Notr que ddo que r es rbitrrio, el ldo de izquierdo de l ecución de ley de Guss vldrá siempre 4πr en problems de simetrí esféric. c) Mientrs que el potencil (considerndo V (r ) = ) r r < ˆr V (r) = ˆr = = ρ 3 15ɛ r E(r )dr ρ 3 15ɛ r dr ˆ ˆr V (r) = E(r )dr E(r < )dr ˆ = ρ 3 ˆr 15ɛ r dr = ρ 15ɛ ρ ɛ ρ ɛ ( ) r 3 r3 5 dr ( 1 6 (r ) 1 (r4 4 ) ) Solución 3.8 P ) Primero se debe clculr el cmpo eléctrico producido por un cilindro infinito crgdo (rdio, densidd ρ constnte) centrdo en el origen. Usndo Ley de Guss: Dd l geometrí del problem: E = E(r)ˆr en coordends cilíndrics, luego: Pr r < : E d S = ˆπ ˆh Erdθdz = πrhe = Q ɛ

39 II. SOLUCIONES 31 Por otro ldo Q = ρdv = ρπr h = πrhe = ρπr h ɛ = E(r < ) = ρr ɛ ˆr El cso r > es irrelevnte pr est pregunt, luego no es necesrio clculrlo y que l zon donde se pide clculr el cmpo es tl que r < siempre. r y +r ~r 1 ~r x ˆx x Figur 3.3: Vectores posición en el áre de intersección Ahor volviendo l problem originl, sen E 1 y E los cmpos producidos por los cilindros crgdos con ρ y +ρ respectivmente, usndo el resultdo nteriormente encontrdo: E 1 = ρr 1 ɛ ˆr 1 = ρ r 1 ɛ E = ρr ɛ ˆr = ρ r ɛ Donde los vectores r 1 y r se miden desde el centro del cilindro correspondiente cd uno de ellos (Figur 3.3). Finlmente, usndo que: r 1 r = x ˆx Se obtiene: E = E 1 + E = ρ ( r r 1 ) = ρx ˆx ɛ ɛ b) Si x entonces en el borde del Cilindro equivlente posee un espesor r = r 1 r. Donde los segmentos de r 1, r y x formn un triángulo, cuyo ángulo opuesto l ldo r es θ. Así, usndo el teorem del coseno (y, por simplicidd, definiendo d = x ) : r = r1 + d r 1 d cos θ Luego como d x que result: entonces se reliz un proximción de Tylor en torno d =, de lo Por lo tnto: r r r 1 + d r 1 d cos θ (d r 1 cos θ) d= (d ) = r 1 d cos θ r = r 1 r d cos θ

40 3 CAPÍTULO 3. LEY DE GAUSS Por otr prte, en un pequeño volumen dv en el borde del Cilindro equivlente existe un crg Q, que cumple: Q = ρdv = ρ A r = ρ Ad cos θ Finlmente, de l relción nterior es posible definir un densidd de crg superficil en el borde del Cilindro equivlente cundo x : σ = ρ r σ = ρd cos θ = x ρ cos θ Not: observr que dich densidd σ es consistente en sus signo con l distribución de ls crgs en el Cilindro equivlente pues es proporcionl cos θ. Solución 3.1 P ) L crg contenid será pr r : Q enc (r ) = mientrs tnto, en el cso r > Q enc (r > ) = ρ(r)dv = ρ(r)dv = ˆh ˆπ ˆr ˆh ˆπ ˆ r πhr3 rdrdθdz = 3 r πh3 rdrdθdz = 3 b) Usndo l ley de Guss pr r : E ds = Q enc = E(r) πrh = πhr3 = E(r) ɛ 3ɛ = r ˆr 3ɛ De igul form, pr r > : E ds = Q enc ɛ = E(r) πrh = πh3 3ɛ = E(r) = 3 3ɛ r ˆr c) El potencil V (r), usndo como referenci V (r = ) =, estrá ddo por ˆr V (r) = V (r) V () = Pr un rdio r el potencil está ddo por ˆr V (r) = E(r)dr r 3ɛ dr = r3 9ɛ de form precid, el potencil pr un rdio r > es ˆ V (r) = d) Los gráficos están ddos por r ˆr dr 3ɛ 3 [ ( 3 r dr = ln + 3ɛ r 3ɛ ) 1 ] 3

41 II. SOLUCIONES 33 ~E(r) V (r) r 3e 3 9e Figur 3.4: Cmpo Eléctrico r Figur 3.5: Potencil Eléctrico Solución 3.13 P ) Ddo que el sistem está compuesto por un rect infinit y un plno infinito, se determin cul es el cmpo eléctrico que gener cd uno de ellos y luego se procederá l rotción del resultdo. Como resultdos generles pr un plno infinito y un rect se tiene que: E ds = Q enc ɛ = AE(z) = σa ɛ = E(z) = σ ɛ ẑ E ds = Q enc ɛ = πrle(r) = λl ɛ = E(r) = λ πrɛ ˆr En este problem se debe tomr como referenci l siguiente Figur y l y y ~E 1 ~E s x Figur 3.6: Cmpos Eléctricos en un punto sobre l bisectriz Se tom un punto P rbitrrio un distnci y desde l bisectriz hst el plno. Sobre ese punto ctún dos cmpos eléctricos ( E 1 y E provocdos por el plno y por l rect, respectivmente), de modo que l superposición de mbos cmpos es el cmpo totl en el punto. Usndo el sistem de referenci de l Figur 3.6, el cmpo totl vle: E T = E 1 ŷ E cos(α)ŷ + E sin(α)ˆx

42 34 CAPÍTULO 3. LEY DE GAUSS Donde E 1 = σ ɛ, E = λ πyɛ Nótese que ddo l rect donde se quiere conocer el cmpo es bisectriz, l distnci del plno l punto debe ser igul l de l rect crgd l bisectriz (congruenci de triángulos). Finlmente el cmpo totl cundo y = h vle E T (h) = λ sin (α) πhɛ ˆx + ( σ ɛ ) λ cos (α) ŷ πhɛ b) El trbjo necesrio pr mover l crg está ddo por l siguiente expresión ˆB W = q A E T (y) dl En est cso A = h y B = h, demás ddo que no es ni un cmino horizontl ni verticl, se tiene que dl = dxˆx + dyŷ, donde en l rect bisectriz se cumple que dy dx = tn α (pendiente de l bisectriz). eemplzndo W = q h ˆ h = q h ˆ h ( ( λ sin (α) σ ˆx + πyɛ ɛ λ sin (α) πyɛ dy tn α + h ˆ h ) ) ( ) λ cos (α) dy ŷ ˆx + dyŷ πyɛ tn α ( σ ɛ [ ( λ sin (α) σh = q πɛ tn α ln() + λ cos (α) 4ɛ πɛ = qσh ( ) qλ ln() sin α + cos α 4ɛ πɛ tn α ) λ cos (α) πyɛ )] ln() dy

43 Conductores, Condensdores y Energí 4 I. Problems Propuestos Problem 4.1 S ) Clcule l fuerz eléctric que ctú sobre ls plcs de un condensdor de plcs plns, crgdo con crg Q. b) Considere que l crg Q sobre ls plcs del condensdor se mntiene y que su cpcidd es C. Clcule el trbjo que se reliz l llevr ls plcs l mitd de l distnci originl, mnteniendo l crg constnte. Puede suponer que ls plcs poseen un áre A muy grnde. c) Este nuevo condensdor se conect en prlelo con otro condensdor inicilmente descrgdo e igul l condensdor de l prte (). Clcule l diferenci de potencil entre ls plcs del condensdor equivlente. Q +Q l Problem 4. S Un lmbre infinito tiene un distribución linel de crg λ >. El lmbre se encuentr ubicdo en el centro de un superficie cilíndric conductor infinit muy delgd de rdio conectd tierr como se muestr en l Figur. ) Encuentre l densidd de crg superficil inducid σ en l superficie interior conductor. b) Encuentre el cmpo eléctrico en todo el espcio. c) Encuentre el potencil eléctrico en todo el espcio. 35

44 36 CAPÍTULO 4. CONDUCTOES, CONDENSADOES Y ENEGÍA Problem 4.3 S Se dese diseñr un condensdor esférico prtir de un csquete conductor esférico de rdio exterior, que se cpz de lmcenr l myor cntidd de energí posible, sujeto l restricción que el cmpo eléctrico en l superficie de l esfer conductor interior, concéntric con el csquete y de rdio b <, no pued exceder un vlor ddo E. Clcule, en función de E, y constntes, el vlor que debe tener el rdio b y l mgnitud de l energí que puede lmcenr el conductor. b Problem 4.4 S Se tienen dos esfers conductors de rdio 1 y seprds entre si un distnci suficientemente grnde que segur que culquier crg sobre ells se distribuye uniformemente, sin que l presenci de un esfer fecte l otr. Se dese distribuir un crg Q entre ls dos esfer de mner que l energí potencil electrostátic del sistem de ls dos esfers se mínim. Clrmente, en un esfer hbrá Q q y en l otr q. Cuánto vle q, cuál es energí totl y cuál es el potencil de cd esfer cuándo se lcnz l condición de energí mínim?. 1 Muy Lejos Problem 4.5 Un esfer metálic se encuentr inicilmente descrgd. Ahor imgine que un crg positiv q es colocd en lgún lugr (no necesrimente el centro) dentro de l esfer y sin tocr ls predes. ) Qué crg se induce en l pred interior y exterior de l esfer?. Indicr culittivmente l concentrción de densidd de crg inducid. b) Supong que se mueve l crg q dentro de l cvidd. Cmbi l distribución en l superficie exterior de l esfer?. c) Ahor se coloc un crg q en contcto con l superficie interior de l esfer. Cómo qued l distribución de crg en l superficie interior y exterior?. d) Qué sucede si hor se cerc otr crg q cerc de l superficie exterior del conductor?. q Conductor

45 I. POBLEMAS POPUESTOS 37 Problem 4.6 S Un ión es celerdo desde el reposo hst un diferenci de potencil V pr luego entrr en un región entre dos electrodos cilíndricos muy lrgos A y B, de rdios y b respectivmente ( < b). El ión recorre un medi circunferenci de rdio r hciendo un tryectori circulr. Desprecindo efectos de borde y sumiendo que los cilindros son muy lrgos en comprción l espcio que los sepr, encuentre l diferenci de potencil V BA. B A V = V = V O Fuente de Iones r b Problem 4.7 Uno de los primeros modelos de átomo, como un ente compuesto de prtes crgds, lo propuso el descubridor del electrón Joseph John Thomson en 194. Este modelo, tmbién conocido como el modelo del pstel de fress, concibe l átomo como un esfer de crg positiv, en l cul están incrustdos los electrones. En el espíritu del modelo del pstel de fress, modelemos un átomo de hidrogeno (en equilibrio estático) como un esfer de rdio 1 de crg negtiv e uniformemente distribuid en su volumen (el electrón fres), roded de un esfer más grnde (concéntric l primer), de rdio > 1, con crg positiv +e uniformemente distribuid en el volumen comprendido entre 1 y. Determine l energí de formción de este átomo (i.e. el trbjo necesrio pr formrlo tryendo ls crgs desde el infinito) Problem 4.8 S Considere un esfer mciz conductor de rdio se encuentr un potencil V en tod su superficie con respecto l infinito. L esfer est recubiert por un csquete esférico conductor de rdio interno b y rdio externo c. c ) Determine el cmpo eléctrico y el potencil eléctrico en todo el espcio. Además encuentre ls densiddes de crg inducids en los conductores. b b) Si el csquete esférico se conect tierr, cómo cmbin sus respuests nteriores?.

46 38 CAPÍTULO 4. CONDUCTOES, CONDENSADOES Y ENEGÍA Problem 4.9 S Considere un esfer mciz conductor de rdio con un burbuj esféric excéntric de rdio c. El centro de l burbuj está un distnci b del centro de l esfer metálic. L esfer tiene un crg Q. Determine el potencil en el interior de l burbuj. Cómo se modific el resultdo si l burbuj no es esféric? c b Problem 4.1 Considere dos esfers conductors de rdios y b. Ls esfers están lo suficientemente lejos un de otr como pr desprecir su intercción, (i.e. el equilibrio electroestático de un esfer no se ve fectdo por el cmpo que gener l crg contenid en l otr). ) Supong que ls esfers tienen crgs Q 1 y Q, respectivmente. Ls esfers se ponen en contcto medinte un cble lo suficientemente lrgo, el cul posee un interruptor. Se conectn ls dos esfers y se esper hst que el sistem lcnce el equilibrio electroestático, pr luego desconectr el interruptor. Determine l crg que posee cd esfer luego que se desconect el interruptor. Qué esfer qued con myor crg?. b) Considere hor que ls esfers están descrgds y desconectds. Supong hor que l distnci que sepr ls esfers es d, b desde sus centros. Considerndo que dos conductores culesquier pueden formr un cpcitor, determine l cpcitnci de est configurción. Interruptor b A B Problem 4.11 Considere dos condensdores cilíndricos como se indicn en l figur. Los condensdores tienen rdios 1 y y el otro 3 y 4 (ver figur), determine l cpcitnci equivlente entre los puntos A y B. Supong que 1,, 3, 4 L L

47 I. POBLEMAS POPUESTOS 39 Problem 4.1 S Un sistem consiste de dos cscrones conductores cilíndricos concéntricos de longitud L d (, b, c, d definidos en l figur). El cscrón interior contiene un crg totl +Q y el exterior un crg totl Q. Determine: ) L densidd crg en cd un de ls cutro superficies conductors. L () Vist Exterior b) El potencil en todo el espcio. c) L diferenci de potencil de los conductores cilíndricos. d c b (b) Vist Interior Problem 4.13 Un crg +Q se encuentr insert en un lmbre conductor de lrgo L y rdio muy pequeño. Un cscrón cilíndrico conductor neutro de rdios interno 1 y externo y lrgo L es ubicdo simétricmente lrededor del lmbre (ver figur). Tener en cuent que: 1, L. Clcule: ) L densidd linel de crg λ del lmbre. b) L densidd superficil de crg en l cp intern y extern del cscrón; y l densidd volumétric de crg dentro del conductor. c) El cmpo eléctrico en todo el espcio. Ahor deposite un crg Q en el cscrón cilíndrico, clcule: 1 d) Ls nuevs densiddes de crg superficiles en ls cps intern y extern del cscrón, y tmbién l densidd volumétric dentro de éste. e) El nuevo cmpo eléctrico en todo el espcio. f) L diferenci de potencil entre el cilindro y el lmbre V = V cilindro V lmbre. g) L cpcidd (o cpcitnci) del sistem. h) L energí lmcend en el sistem. i) L cpcidd C si hor el lmbre tiene crg +Q y el cscrón tiene crg -Q.