EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ARAGÓN Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com

Transcripción

1 FUNCIONES I: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1- Considere la función: 3 2 a) Determine las asíntotas, horizontales, verticales y oblicuas, que tenga la función f(x). b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x). Tiene la función f(x) algún máximo o mínimo relativo? Aragón 2014 Opción A Junio 2- a) Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión de la función: 1 b) Determine: lim Aragón 2014 Opción B Junio 3- Considere la función: 26 a) Determine el dominio y las asíntotas, si existen, de esa función. b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si existen, de esa función. Aragón 2014 Opción A Septiembre 4- a) Considere la función: Determine los valores de a y b para que la función sea continua. b) Supongamos ahora que a = 0. Usando la definición de derivada, estudie la derivabilidad de f(x) en x = 2. Aragón 2014 Opción B Septiembre 20

2 5- Un poste de 3 metros de altura tiene en su punta un sensor que recoge datos meteorológicos. Dichos datos deben transmitirse a través de un cable a una estación de almacenamiento situada a 4 metros de la base del poste. El cable puede ser aéreo o terrestre, según vaya por el aire o por el suelo (véase figura). El coste del cable es distinto según sea aéreo o terrestre. El metro de cable aéreo cuesta 3000 euros y el metro de cable terrestre cuesta 1000 euros. Qué parte del cable debe ser aéreo y qué parte terrestre para que su coste sea mínimo? Aragón 2014 Opción A Junio 6- Sea la función: a) Determine su dominio de definición. b) Encuentre las asíntotas que tenga esa función. c) Considere ahora la función; Encuentre sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos, si existen. Aragón 2013 Opción A Septiembre 21

3 7- a) Descomponer el número 12 en dos sumandos positivos de forma que el producto del primero por el cuadrado del segundo sea máximo. b) Hallar el valor de k para que c) Sea una función real de variable real, continua y derivable en la recta real. Supongamos que y para todo número real x, y. Demostrar que para todo número real x. Aragón 2012 Opción A Junio 8- Sea f la función de variable real definida mediante la expresión a) Determine el dominio de continuidad, simetrías, corte con los ejes y asíntotas de la función f. b) Calcule, si existen, los extremos relativos y absolutos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. c) Calcule, si existen, los puntos de inflexión de f. d) Dibuje la gráfica de f. Aragón 2012 Opción B Junio 9- Se dispone de una cartulina cuadrada como la del dibujo, cuyo lado mide 50 cm. En cada una de las esquinas se corta un cuadrado de lado x con el fin de poder doblar la cartulina y formar una caja, sin tapa. Cuál debe ser el lado x del cuadrado a cortar para que el volumen de la caja sea máximo? Aragón 2012 Opción A Septiembre 22

4 10- Sea la función a) Determine el dominio de f(x). 1 6 b) Estudie si la función es continua. Si no lo es, determine los puntos de discontinuidad. c) Determine los posibles máximos y mínimos, así como las asíntotas de f(x). Aragón 2012 Opción B Septiembre 11- Sea la función! a) Calcular su dominio. b) Obtener sus asíntotas. c) Estudiar sus puntos de corte con los ejes y analizar si es una función par. Aragón 2011 Opción A Junio #$ a) Se considera la función ". Si f(2)=3, obtener los valores 1 de a y b que hacen que f(x) sea continua. b) Calcular lim #' 9 ) lim * +#' 9. Aragón 2011 Opción B Junio 13- Sea, -.! a) Determinar su dominio. b) Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Analizar sus puntos de inflexión. Aragón 2011 Opción B Junio 14- En un campo hay plantados 50 manzanos. En este momento produce 800 manzanas. Está estudiado que por cada manzano que se añade al campo, los manzanos producen 10 manzanas menos cada uno. Determinar el número de manzanos que se deben añadir para maximizar la producción de manzanas de dicho campo. Aragón 2011 Opción A Septiembre 23

5 15- Sea la función! /-. Determinar: a) Su dominio de definición. b) Sus asíntotas. c) Máximos y mínimos. d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Aragón 2011 Opción B Septiembre 16- Encontrar el polinomio de grado dos p(x) = ax 2 +bx+c sabiendo que satisface: en x = 0 el polinomio vale 2, su primera derivada vale 4 para x = 1 y su segunda derivada vale 2 en x=0. Estudiar si el polinomio obtenido es una función par. Tiene en x = 0 un punto de inflexión? Aragón 2010 Opción A Junio 17- Sea! -! -, a) Calcular el dominio de f(x). b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de f(x). c) Analizar las asíntotas de f(x) y calcular las que existan. Aragón 2010 Opción B Junio 18- Sea la función #$1#$1 0'$ 0,1. a) Calcular sus extremos relativos. b) Estudiar su crecimiento y decrecimiento y razonar si posee algún punto de inflexión. Aragón 2010 Opción A Septiembre 19- El número de socios de una ONG viene dado por la función $2 * Donde x indica el número de años desde su fundación. a) Calcular el número de socios iniciales en el momento fundacional y en el quinto año. b) En qué año ha habido el menor número de socios? Cuántos fueron? c) El cuarto año se produjo un cambio en la junta directiva, influyó en el ascenso o descenso del número de socios? Aragón 2010 Opción B Septiembre 24

6 20- Sea 2$2 a) Determinar si tiene asíntotas de algún tipo. b) Estudiar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y la existencia de extremos relativos. c) Son los puntos x = π/2+kπ con 4 5, puntos de inflexión de f(x)? Aragón 2009 Opción A Junio 21- a) Queremos vallar un campo rectangular que está junto a un camino. La valla del lado del camino cuesta 5 euros/m y la de los otros tres lados, 0,625 euros/m. Hallar el área del campo de mayor superficie que podemos cercar con 1800 euros. 1, 1 b) Calcular para qué valores de a y b la función 6, 11 es continua., 71 Aragón 2009 Opción B Junio 22- Sean 0'31 y 8$. a) Calcular 8. b) Comprobar si g(x) es una función par. c) Obtener g (x) y estudiar si es cierto que g (1/3)=0. Aragón 2009 Opción A Septiembre 23- a) Sea 1./,0 ; <. Estudiar para qué valores del parámetro a esta, Sea. función es continua en x = 0. b) Entre los números, cuya suma es 36, encontrar aquellos números positivos cuya suma de cuadrados sea mínima. Aragón 2009 Opción B Septiembre :5 5? #'>..- a) Calcular el dominio de f(x). b) Estudiar si f(x) es una función par. c) Calcular las asíntotas de f(x). Aragón 2008 Opción A Junio 25

7 25- Sea. a) Estudiar su dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus asíntotas. b) Calcular A Aragón 2008 Opción B Septiembre 26- Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que, dada la estructura de la empresa, sólo puede optar por alarmas de dos tipos, A ó B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas del tipo A instaladas y el cuadrado del número de alarmas instaladas del tipo B. Estudiar cuántas alarmas de cada tipo deben instalar en la empresa para maximizar la seguridad. Aragón 2008 Opción B Septiembre 27- Calcular a) lim *! -B- -* b) lim C1.!D Aragón 2007 Opción A Junio 28- Sea la función :5 5 definida por!. a) Calcular su dominio. b) Estudiar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Analizar sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas y determinar las que existan. Aragón 2007 Opción B Junio 29- Obtener las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que: i) El perímetro del primero de ellos es el triple del perímetro del tercero. ii) Se necesitan exactamente 1664 metros de valla para vallar los tres campos. iii) La suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible. Aragón 2007 Opción B Septiembre 30- Calcular los valores de a y b para que la función E tenga como asíntota vertical -< la recta x = 2 y como asíntota horizontal la recta y = 3. Razonar si para a = 2 y b = 3 la función f(x) tiene algún mínimo relativo. Aragón 2006 Opción A Junio 26

8 31- Descomponer el número 8 en dos sumandos positivos de manera que la suma del cubo del primer sumando más el cuadrado del segundo sea mínima. Aragón 2006 Opción B Junio 32- a) Comprobar si F? GFH F? tiene un máximo relativo en I /. b) Calcular lim C B -. D?!?+, Aragón 2006 Opción A Septiembre 33- Sea :5 5 una función polinómica de grado menor o igual a tres que tiene un mínimo relativo en (0,0) y un máximo relativo en (2,2). Calcular la expresión de dicha función. Aragón 2006 Opción B Septiembre 27