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1 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 7 2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Límite de una función en un punto Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto x 0 (no necesariamente en el propio punto, basta que f esté definida en un conjunto de la forma (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ) con δ > 0). Se dice que f tiende al límite l en x 0 si los valores de f(x) están tan próximos a l como se quiera con tal de tomar x suficientemente próximo a x 0. Se escribe lim f(x) = l. x x 0 Fig.6 lim (2x + 5) = 11, x 3 ya que cuando x tiende a 3, 2x tiende a 6, y 2x + 5 tiende a 11. Propiedades de los limites Si lim x x0 f(x) = l, lim x x0 g(x) = m y α es un número real, entonces 1. Si f(x) = g(x), l = m. (Unicidad del límite) 2. lim x x0 [f(x) + g(x)] = l + m 3. lim x x0 [αf(x)] = αl 4. lim x x0 [f(x)g(x)] = lm. [ ] f(x) 5. lim x x0 = l g(x) m (si m 0). 6. lim x x0 f(x) = limx x0 f(x) = l. (Siempre que l 0) s 3 3x lim x + 6x 8 = 3 2. lim x + ( x x) = lim x + 3x + 5 6x 8 = lim 3 x + 3x + 5 lim x + 6x 8 = lim 3 x /x lim x + 6 8/x = 3 1/2 ( x lim x)( x x) = lim x + x x x + x x 2 x x = lim x + 3 x x = 0

2 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 8 x 2 3. lim x x2 + x 3x 6 = lim x x 2 + x x 2 3x x 6 x = 1 3. Nótese que se divide el numerador y el denominador por x. Continuidad en un punto Se dice que una función f, definida al menos en un intervalo abierto de la forma (x 0 r, x 0 + r), es continua en x 0 si lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Fig.7 Si una función es continua en todos los puntos de un intervalo se dice que es continua en el intervalo. Esto quiere decir de forma gráfica que no tiene agujeros ni saltos en el intervalo. Propiedades de la continuidad Si f y g son continuas en x 0 y α es un número real se verifica 1. f + g es continua en x 0 2. αf es continua en x 0 para todo α real 3. fg es continua en x 0 4. f/g es continua en x 0 siempre que g(x 0 ) 0. Dos teoremas básicos 1. Si f es continua en [a, b] y K es un número entre f(a) y f(b), existe al menos un número c entre a y b tal que f(c) = K. En particular si f(a) y f(b) son de distinto signo entonces existe al menos un punto c en el intervalo en el cual f(c) = 0 (figura 8a). 2. Si f es una función continua en [a, b], entonces (i) f está acotada en [a, b]. (ii) f alcanza tanto su máximo M como su mínimo m en [a, b] (figura 8b).

3 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 9 Fig.8 El primero de los dos teoremas anteriores es muy útil para resolver ecuaciones. Para demostrar que la ecuación x = 1/2 x tiene al menos una raíz real en el intervalo [0, 1], construimos la función f(x) = x 1 2 x. Esta función cumple que f(0) = 1 < 0 y f(1) = 1 2 > 0. Como la función es continua en [0, 1], tiene una raíz en (0, 1) y por tanto su parte entera es cero, es decir, la raíz es de la forma 0,... La derivada Se dice que una función f es derivable en x 0 si existe lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ). h A este límite se le denomina derivada de f en x 0 y se designa por f (x 0 ). El número f (x 0 ) puede interpretarse como la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (x 0, f(x 0 )). Esta recta tangente que pasa por el punto (x 0, f(x 0 )) con pendiente f (x 0 ), (siendo su ecuación y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 )), es la recta que mejor se aproxima a la gráfica de f en la proximidad del punto (x 0, f(x 0 )). La figura 9 muestra la recta tangente en el punto (1, 1) a la gráfica de y = x 2. Fig.9 Observación La derivabilidad de una función en un punto implica la continuidad de la función en ese punto; el recíproco no es cierto. Propiedades de la derivación Si α es un número real y f y g son derivables en x: 1. (f + g) (x) = f (x) + g (x)

4 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría (αf) (x) = αf (x) 3. (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) 4. ( f g ) (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x)] 2 si g(x) 0 5. Si f(x) = α, entonces f (x) = 0 para todo x real 6. Si f(x) = x, entonces f (x) = 1 para todo x real. En la última página de este tema se da una tabla con las derivadas más frecuentes. Regla de la cadena Si y es una función de x y ésta es a su vez función de t (esquemáticamente t x y), entonces dy dt = dy dx dx dt donde hemos utilizado la notación de Leibniz f (x) dy dx. Dada la función y = sen(x 2 ), hallar dy. Interpretamos la función propuesta como composición dx de dos funciones: u = x 2, y = sen u Aplicando la regla de la cadena tenemos dy dx = dy du du dx = cos u 2x = 2x cos(x2 ). Derivadas de orden superior Si una función es derivable, se puede formar una nueva función f. Si f es a su vez derivable, podemos formar su derivada, llamada derivada segunda de f y designada por f. Mientras sigamos teniendo derivabilidad podemos continuar de esta manera formando f, etc. En notación de Leibniz, las derivadas de orden superior se escriben d 2 y dx 2 = d dx ( dy dx ), d 3 y dx 3 = d dx ( d 2 y dx 2 ),... Crecimimiento y decrecimiento de una función Supongamos que f es continua en un intervalo [a, b] y derivable sobre el intervalo abierto (a, b). (a) Si f (x) > 0 para todo x en (a, b), entonces f es creciente en [a, b]. (b) Si f (x) < 0 para todo x en (a, b), entonces f es decreciente en [a, b]. (c) Si f (x) = 0 para todo x en (a, b), entonces f es constante en [a, b].

5 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 11 Concavidad y convexidad Sea f dos veces derivable sobre un intervalo abierto I. (a) Si f (x) > 0 sobre I, entonces f es cóncava hacia arriba sobre I. (b) Si f (x) < 0 sobre I, entonces f es cóncava hacia abajo sobre I. Si f es continua sobre un intervalo abierto conteniendo el punto x 0, y si f cambia la dirección de su concavidad en dicho punto f tiene un punto de inflexión en x 0, y decimos que el punto (x 0, f(x 0 )) de la gráfica de f es un punto de inflexión de f. Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos de inflexión de la función f(x) = xe x. Calculando las dos primeras derivadas de f obtenemos f (x) = (1 x)e x, f (x) = (x 2)e x Teniendo en cuenta que e x es siempre positivo, el signo de f (x) estará determinado por el factor 1 x. La primera derivada es positiva para x < 1, y negativa para x > 1, luego la función es creciente para x 1 y decreciente para x 1. Análogamente el signo de f estará determinado por el factor x 2. Entonces, f (x) < 0 si x < 2, y f (x) > 0 si x > 2, lo cual implica que la gráfica es cóncava hacia abajo para x < 2 y cóncava hacia arriba para x > 2. Así pues, en x = 2 hay un punto de inflexión. Fig.10 Función implícita Algunas veces es preciso conocer y (x) a partir de una expresión entre las dos variables como, por ejemplo, y 5 +xy = 3. La función y(x) no puede obtenerse explícitamente. Todo lo que se tiene es una definición de y como una solución de y 5 + xy = 3. El punto (2, 1), por ejemplo, satisface la ecuación de la curva. Se trata de hallar dy/dx en x = 2. Derivando en los dos miembros de la ecuación, teniendo en cuenta la regla de la cadena tenemos 5y 4 dy dx + x dy dx + y = 0 sustiuyendo x = 2 e y = 1, y resolviendo para dy/dx: 5 dy dx + 2 dy dx + 1 = 0, dy dx = 1 7.

6 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 12 Ésta es la derivación implícita y, como se ha visto, proporciona dy/dx a partir de la regla de la cadena aunque y no sea conocida explícitamente como una función de x. La diferencial de una función Si una función es derivable en un punto x 0 de su dominio se define la diferencial de la función en ese punto y para un incremento arbitrario de la variable x = x x 0 como df(x 0 ) = f (x 0 ) x. Se escribe normalmente como df(x) = f (x)dx ya que dx = x x y x = 1. Si consideramos la expresión f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim x x0 x x 0 a x 0 podemos poner en puntos x muy próximos f (x 0 ) f(x) f(x 0) x x 0 o bien f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Esta última expresión constituye una aproximación a la función f(x) para puntos cercanos a x 0 aproximación lineal local de f en x 0. Tanto mejor aproximación cuanto menor sea la distancia entre x y x 0. El término que da esta aproximación, es decir, la cantidad que hay que sumar a f(x 0 ) para obtener una aproximación de f(x) es precisamente la diferencial de f(x) en x 0 para un incremento x de la variable independiente. Observación Nótese que f(x) = f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) = df(x), o bien y dy, para pequeños incrementos x de la variable x (figura 13). Fig.11 El siguiente teorema está estrechamente relacionado con estas cuestiones. Teorema del valor medio Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b) entonces existe al menos un punto c comprendido entre a y b tal que se puede escribir f(x) en forma exacta (ver figura 12), f(b) = f(a) + f (c)(b a). Observación En particular si x 0 y x son puntos de [a, b] existirá un c entre los dos puntos tal que f(x) = f(x 0 ) + f (c)(x x 0 ), (1) es decir, el valor de la función en el punto x se puede escribir como suma del valor en otro punto x 0 más un término complementario.

7 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 13 Fig.12 Fórmula de Taylor La expresión (1) del apartado anterior se puede generalizar para funciones n veces derivables con continuidad en el intervalo [a, b] que tienen derivada de orden n + 1 en (a, b). En tal caso se puede escribir: f(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + f (n+1) (c) n! (n + 1)! (x x 0) n+1 (2) donde x 0 < c < x. Es decir, se expresa el valor de la función en un punto x por un polinomio en potencias de x x 0 más un término complementario. Observación La expresión (1) es entonces un caso particular de la expresión (2) cuando n = 0, es decir, cuando sólo se exige derivabilidad de primer orden de la función f. Hallar el polinomio de Taylor de sen x en el punto x 0 = 0. Calculamos el valor de f(x) = sen x y de sus derivadas sucesivas hasta orden cinco en x 0 = 0. f(0) = sen(0) = 0, f (0) = cos(0) = 1, f (0) = sen(0) = 0, f (0) = cos(0) = 1, f (iv) (0) = sen(0) = 0, f (v) (0) = cos(0) = 1. Llevando estos resultados a la expresión (2) se tiene sen x = x x3 3! + x5 5! + Resto La figura 13 muestra la gráfica de los polinomios de Taylor de grado uno, tres y cinco en el punto x 0 = 0 para la función f(x) = sen x(= x x3 3! + x5 5! + ). Fig.13

8 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 14 Extremos relativos Sea f : D R R. Un punto x 0 D es un mínimo local (respect. máximo local) de f si f(x) f(x 0 ) (respect. f(x) f(x 0 )) cerca del punto. El punto x 0 se llama extremo local o extremo relativo. Puntos críticos Un punto x 0 es un punto crítico de f si f (x 0 ) = 0. Si f : D R R es diferenciable la condición necesaria de extremo local en x 0 es que x 0 sea punto crítico. Observación Un punto crítico puede no ser extremo local, se le llama un punto de inflexión. Condición suficiente de extremo Un punto crítico es un máximo (respect. mínimo) de una función f si la primera derivada que no se anula en ese punto es de orden par y es negativa (respect. positiva) en ese punto. Si la primera derivada que no se anula es de orden impar, la función carece de extremos en ese punto. En una reacción autocatalítica una substancia A se convierte en otra B de modo que B cataliza su propia formación. Suponiendo que la velocidad de reacción es proporcional a la cantidad x de B y también a la cantidad restante de A en el tiempo t, se quiere determinar para qué valor particular de x es máxima la velocidad de reacción. Llamando a a la cantidad inicial de substancia A se tiene v(x) = dx dt = kx(a x) (k constante positiva), La primera derivada de la velocidad es v (x) = k(a 2x) que se anula para x = a/2 y corresponde a un máximo, ya que ( v a ) = 2k < 0. 2 EJERCICIOS 1 Hallar los siguientes límites x 2 2x + 1 (a) lim x 1 x 2 + 2x 3, (b) lim x 0 x 2 + sen x 2x + x, (c) lim x x 0 x x. 2 Discutir la continuidad de las siguientes funciones (a) f(x) = x2 + 1 x 4 + 1, (b) f(x) = x 6 3x 2 x + 7, (c) f(x) = x 3 + 3x. 3 Demostrar que la función sen x + 2x + 1 = 0 tiene al menos una raíz real en el intervalo [ 1, 0]. 4 Calcular las derivadas de las siguientes funciones (a) f(x) = x + 1 x, (b) f(x) = x + 3 x + 1, 1 3x (c) f(x) = 1 + 3x.

9 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 15 5 Una bola se mueve en línea recta según la ecuación x(t) = t 16t 2, donde x se mide en metros y t en segundos. Hallar su aceleración (derivada segunda de x respecto de t) al cabo de 5 segundos. 6 Utilizar la diferencial de la función f(x) = x para calcular Hallar el polinomio de Taylor de las siguientes funciones en x 0 = 0 f(x) = xe x2 (grado 7), f(x) = sen x 2 (grado 10), f(x) = cos 3x (grado 5). 8 Calcular el seno de 10 y el coseno de 10 con un error, en ambos casos, inferior a Hallar los extremos relativos de la siguientes funciones (a) f(x) = x 2/3 (1 x) 2/3, (b) f(x) = x2, (c) f(x) = x + 2 cos x. 1 + x3 10 Sabiendo que la potencia suministrada por una pila de Volta es W = RI 2, siendo R la resistencia del circuito, I = E/(R + r) la intensidad de la corriente que produce, E su fuerza electromotriz y r la resistencia interior de la pila, hallar la R para que la potencia W sea máxima.

10 Métodos Matemáticos (Curso ) Grado en Óptica y Optometría 16 De Modelos matemáticos en las ciencias experimentales de Mariano J. Valderrama Bonet.

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