si x 0 ( 1) es discontinua en x=2. Calcula b. tiene una solución comprendida entre 1 y 2. Por qué?. x 1 x si x (
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- Mario Acosta Hernández
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1 ANÁLISIS MATEMÁTICO Continuidad y drivabilidad d funcions si = 0 - Estudia la continuidad d la función f ( ) = si o sn si (, π / ) si π / < 0 - Dtrmina los valors d a y d b para qu sa continua la función: f ( ) = + si 0 a + b si > - Estudia la continuidad d la función f() = a ( ) 4 4- La función f() = s discontinua n = Calcula b + b Dmustra qu la cuación + = 0 tin alguna solución n [, ] 6- Supóngas qu f s continua n todos los númros rals cpto n =6 Si g() = para qué valors d pud asgurars la continuidad d f o g? / π 4 si π / 7- Calcular a y b para qu sa la continua la función f ( ) = a sn + b si π / < π / cos si > π / + n 8- La función f() = tin discontinuidad vitabl n = Halla m y n y todas sus + m 4 discontinuidads La cuación = 5 tin una solución comprndida ntr y or qué? - Dmuéstrs qu las gráficas d las funcions f ( ) = y g( ) = s cortan n un punto > 0 0- Dibuja una función acotada n [, ], qu f()>0, f()<0 y no ista un c (, ) tal qu f(c)=0 - Sa f() = + Dmostrar qu ista al mnos un punto a (, ) tal qu f(a) = 5 - Estudia la continuidad d la función f() = / + / a( ) si 0 - Dtrmina a y b para qu la función f ( ) = b + si 0 < < 5 sa continua / si Sindo f ( ) = a) s continua n l intrvalo (, )? b) s acotada n dicho intrvalo? c) s contradic l torma d Wirstrass? 5- Estudia la continuidad d la función f() = y compruba qu n l orign tin una discontinuidad + tg vitabl Rdfin la función para qu sa continua n l 0 6- a) Si f s una función continua n un punto a, y g s discontinua n dicho punto pud sr f+g continua n a? b) Da un jmplo d una función discontinua n todos los puntos d [ 0, ] y tal qu su valor absoluto sa continua n todo l intrvalo
2 7- Estúdis, sgún los valors d los númros rals α y β, la continuidad d la función f dfinida por: f + α ) = + β ( / si 0 si = 0 8- Si f() s una función continua para todo valor d, y s sab qu - f(-) y f(), dmostrar qu ist un punto a [ -, ] con la propidad d qu f(a) = a 9- Da un jmplo d una función continua n un punto n l qu toma l valor 0 y qu sa positiva n un ntorno d dicho punto cptuando él mismo / Dada la función dfinida por f(0)=7 y f() = si 0 / + 6 a) Dtrmina los puntos n qu f s continua b) Dmustra qu ist un punto dl intrvalo abirto (, 4 ) n l qu f toma l valor - S considra la función f() = - + Utilizando l torma d Bolzano, calcula un ntro a qu vrifiqu f(c) =0 para algún c ( a, a+) ln( + sn ) si < 0 - Dtrmina los valors d a y d b para qu sa drivabl la función f ( ) = + a + b si 0 - Avrigua si la función - s drivabl n = 4- Dada una función f s sab qu s continua y qu istn dos númros a y b tals qu : f() = cos si s ngativo f() = a + si stá ntr 0 y Calcula a y b, y avrigua si s drivabl n 0 y n f() = b/ si s mayor qu 5- La rcta d cuación y = 6 + a s tangnt a la curva f() = b n l punto ( 0, f(0) ) Hálls a y b b + 6- Sa la función f() = + b +c + Calcula b y c sabindo qu n los puntos d abscisa 0 y la tangnt a la gráfica s horizontal 7- En qué punto d la curva y = ln la tangnt s paralla a la curda qu un los puntos d abscisa y 8- Utiliza l torma d Roll para dmostrar qu, cualquira qu sa l valor d m, la cuación m = 0 no tin dos solucions rals 9- Sa a un nº ral positivo La tangnt a la gráfica d la función y = ln n l punto (a,ln a) corta al j d ordnadas n l punto Si Q s l punto d intrscción dl j OY con la rcta y = ln a, pruba qu la distancia ntr y Q s una constant Justifica qu si f ( ) = + ( ) cos ntoncs f '( ) tin al mnos una raíz n ( 0, ) - Sa f () = + + m una función dond m s un nº natural : Eista algún valor c qu vrificando f(c) = 0? ud habr dos valors a y b tals qu f(a) = f(b)? Justifica las rspustas - Sa f una función ral dfinida n todo R S conocn sobr f los siguints datos: s drivabl n =- s discontinua n =0 s drivabl n (, ) f() = 7, f(4) = 5 y f(5) = 7 Razona si las siguints afirmacions son vrdadras o falsas a) f s continua n - b) f s drivabl n 0 c) En [0, 5] alcanza un máimo y un mínimo d) En algún punto ntr y 5 la drivada val 0 ) En algún punto ntr 4 y 5 la drivada val
3 - Si f si ( ) =, compruba si vrifica l torma d Lagrang n l intrvalo [ -, 0 ] si < 0 calculando n caso afirmativo l o los puntos a los qu hac rfrncia l citado torma si 4- Sa la función f ( ) = si < < Esboza una gráfica d f y studia la continuidad y la + si drivabilidad d f n [-, ] 4 cos lnsn 5- Calcula : lim 0 ; lim 0 ; lim tg 0 ; lim sn ; 0 + lntg sn( ) tg sn ( ) + lim ; lim 0 ; lim 0 ; lim ; lim + sn sn ln 0 sn ln( ) sn( ) lim ln( ) sn( ) ; lim ; Calcúlns los valors d λ 0 para los cuals lim = cos ( λ) ( lim 0 ) 6- S considra la función = 0 a) Dmustra qu tin al mnos una solución ral b) Utilizando l torma d Roll o algún otro torma, dmustra qu sólo tin una solución 7- Dada la función f() = n sn /, si 0 y f(0) = 0, sindo n un númro natural S pid: a) Dmustra qu f s drivabl n = 0 para n = b) Dmustra qu f no s drivabl n = 0 para n = 8- S considra la función f() = S pud aplicar l torma d Roll a la función f n l intrvalo [-, ]? sn a 9- Dada la función: f ( ) = + + b, dtrmina a y b para qu l límit d f() cuando tind a cro sa cro 40- Dada la función f ( ) = ( + ), calcula: asíntotas, máimos y mínimos 4- Calcula las asíntotas horizontals y vrticals d la función + 5 f ( ) = 9 4- Calcula los máimos y los mínimos d la función y = - 4- Estudia la concavidad y convidad d la función f ( ) = ( ) 44 Dada la función y =, dtrminar su dominio d dfinición y sus intrvalos d crciminto, así como las asíntotas y los puntos d inflión d la gráfica
4 45 Dada la curva y = mínimos rlativos 46 Dada la función y = + + +, dtrminar su dominio d dfinición sus asíntotas y sus máimos y + +, dtrminar su dominio, sus asíntotas y sus máimos y mínimos rlativos 47 Dada la función ( ) f ( ) = studia su dominio d dfinición, trmos, asíntotas y rprséntala 4 48 S pud aplicar l torma d Cauchy a las funcions : f() = + + y g() = - - n l intrvalo [ -, ]? En caso afirmativo dtrmina l punto n l qu s vrifica 49 Dmostrar qu la cuación + a = 0 qu sa l valor d a, no pud tnr n l intrvalo [ ] más d una raíz cualquira 50 Dadas las funcions f ( ) = ( ) y g( ) = ( + ) cos, dmostrar qu ist al mnos un punto a n l, intrvalo [ 0,π ] n l cual f ( a) = g( a) π 5 robar qu ist un númro ral c con 0 < c < tal qu sn c = cos c 6 5 robar qu la función f() = + no vrifica l torma d Roll n l intrvalo [ -, 0 ] Justificar l motivo 5 Una función drivabl n todo R vrifica: f(0) = - f() = 6 ruba qu ist un pto c n (0, ) tal qu f '( c) = 4 Si admás tin drivada continua y f '(0) = 0 probar qu8 hay un punto n (0, ) n l qu la drivada d f toma l valor 54 Estudiar los intrvalos d crciminto y dcrciminto d la función 4 +, y dducir qu la cuación 4 + = 0 sólo tin dos solucions rals 55 Sa una función drivabl qu vrifiqu la condición f ()< para todo ral Razonar si pudn istir dos valors distintos a y b vrificando f(a) = a y f(b) = b 56 Dada la función f() = + a +b + c : a) Hallar a, b y c para qu la función admita un trmo rlativo n =, un punto d inflión n = 0, sindo f ()= 5 b) ara los valors antriors d a, b y c halla los trmos rlativos d la función, y los valors máimo y mínimo d dicha función n l intrvalo [ -, 5 ] 57 Dada la función f() = + cos s pid:, a) Encontrar una función g() d la forma m + n tal qu g(0) = f(0) y g() = f(), y dmostrar qu ist un punto t n l intrvalo (0,) con la propidad d qu f'(t) = g'(t) c) Enuncia l rsultado tórico utilizado n l apartado a) 58 Sobr la curva d cuación y = - + s toma un punto cualquira d abscisa a a) Comprobar qu, salvo un caso cpcional d a, ist otro punto sobr la curva d manra qu las tangnts a la misma n sos dos puntos son parallas b)el valor cpcional a qu punto corrspond n la gráfica? Razonar la rspusta 59 Sa la función y = a) Estúdis su monotonía, trmos rlativos y asíntotas b) Calcúls l ára d la rgión plana comprndida ntr la gráfica d la función y las rctas = y = - 4
5 60 a) Calcúlns los intrvalos d crciminto y dcrciminto d la función puntos d inflión y asíntotas b) Esbócs la gráfica d f y calcúls f ( ) d f ( ) =, sus trmos rlativos, 6- Aplicando l torma d Lagrang d los incrmntos finitos, dmuéstrs qu para > 0 s vrifica: arctg() arctg( ) < + ln( + ), > 0 6- Estúdis la drivabilidad d f ( ) =, sus intrvalos d crciminto y dcrciminto y sus, 0 puntos d inflión Esbócs su gráfica Calcúls l ára dlimitada por la gráfica d f () y las rctas =, =, y = 0 6- Sa (a, sn a) un punto d la gráfica d la función f ( ) = sn( ) n l intrvalo [ 0,π ] Sa r la rcta tangnt a dicha gráfica n l punto y A l ára d la rgión dtrminada por las rctas r, = 0, = π, y = 0 Calcúls l punto para l cual l ára A s mínima (Nota: ud asumirs, sin dmostrar, qu la rcta r s mantin por ncima dl j 0X ntr 0 y π ) 64- Sa f ( ) = + ln( ), ( 0, ) a) Estúdins los intrvalos d crciminto y dcrciminto d f y sus asíntotas b) ruébs qu f tin un punto d inflión n l intrvalo, y sbócs la gráfica d f 65- Una vntana románica consist n un rctángulo coronado por un smicírculo Encontrar las dimnsions d la vntana d ára máima si su prímtro s d 0m 66- Hallar l radio y la amplitud qu dbrá tnr un sctor circular d 4 m d prímtro para qu su ára sa máima 67- S considra l triángulo d vértics (0, 0), (, 0) (, y), sindo y positivos, y la lips d cuación + y = Haya y para qu l ára d dicho triángulo sa máima 68- Un bot cilíndrico ha d tnr capacidad para 00 cm Calcula sus dimnsions para qu sa mínima la cantidad (suprfici) d chapa utilizada n su fabricación 69- S considran las rctas dl plano, con pndint ngativa, qu pasando por l punto (, ) cortan al j OX n un punto A y al j OY n un punto B Dtrminar d ntr todas llas la qu hac mínima la suma OA + OB 70- Calcula las dimnsions d una página d un libro para obtnr la mayor conomía d papl, si la part scrita ha d ocupar 400 cm, los márgns suprior infrior han d sr d cm, y los latrals d cm 7- Dos posts d y 8 m d altura distan ntr sí 0m S dsa tndr un cabl unindo un punto dl sulo ntr los dos posts con los trmos d stos En qué posición db situars l punto dl sulo para qu la longitud total dl cabl sa mínima? 7- Calcula las dimnsions dl rctángulo d mayor ára qu pud inscribirs n un triángulo isóscls d prímtro 5 cm si l lado dsigual mid 5 cm 7- Calcula l cilindro y l cono d mayor volumn qu pudn inscribirs n una sfra d radio unidad 74- Sa AB un diámtro d la circunfrncia d radio unidad, BD la rcta tangnt a la circunfrncia, un punto d la circunfrncia, D la prpndicular a BD y A una curda Dtrminar las coordnadas (, y ) dl punto para qu l ára dl trapcio ABD sa máima 75- Una pista d atltismo consist n dos smicírculos adosados a los lados opustos d un rctángulo Si l prímtro d la pista s d 400 m 5
6 calcular las dimnsions d la misma qu hacn máima l ára dl rctángulo 76- Hallar sobr la rcta + y = 0 un punto con la propidad d qu la suma d las distancias al orign y al j OX sa mínima 77- S quir dividir un alambr d unidads d longitud n dos parts para construir un triángulo quilátro y una circunfrncia, d forma qu la suma dl ára dl triángulo y dl círculo corrspondint sa mínima Dtrmina las longituds d ambas parts 78- Estudia y rprsnta gráficamnt las funcions : y = ; y = ; y = ln ; 4 y = ; y = ; y = ; ln y = ; y = ; y = ln ; y = + sn; y = ; y = cos 79- Calcula : a d + 4 g 0 ln b d sn cos d i d d c ln d d cos d + j d k d l d + + d f m + d 80- Dada la función f ( ) = a) Calcula f ( ) d b) Razona si f ( ) d rprsnta l ára qu la ( ) curva f() dtrmina con l j OX,=,= 8- Halla l ára comprndida ntr las parábolas y = y = 4 8- Calcula ln d / t 8- S considra la función f()= ( t ) dt Estudia su concavidad y su convidad (no intnts calcular 0 una primitiva) 84- S considra la función f ( ) = + Calcula los puntos n qu f alcanza sus trmos rlativos Calcula b f ( ) d sindo b l punto n l qu f alcanza l máimo Calcula l ára ncrrada por la rcta y = +, y la parábola y = Calcula una primitiva d la función f() = sn C D 87- S considra la función f ( ) =, présala d la forma A + B + + y calcula + f ( ) d + si Dada la función f ( ) =, avrigua si s drivabl n 0, y calcula l ára ncrrada por la si > 0 función y las rctas y=0, = - y = 89- Las funcions f() = + y g() = - dtrminan dos rcintos acotados n l primr cuadrant Calcula l ára d los dos rcintos 90- Dada la función y = - 4, calcula sus trmos y l ára ncrrada por la gráfica d la función, la rcta = y los js cartsianos 6
7 y 9- Halla l ára d la lips + =, y l volumn dl sólido ngndrado al girar dicha lips alrddor dl 4 j OX 9- Calcula l ára limitada por las funcions f() =, g() = - y las rctas =, = 9- Calcula l ára limitada por la curva y = y l j OX si 94- Dtrmina a y b para qu sa continua la función f ( ) = a + b si < 0 y para sos valors, calcula + si > 0 f ( ) d 95- Hallar l ára dl rcinto plano limitado por l j OY, la curva y = cos y la tangnt a la misma n l punto d abscisa = π/4 96- S tin una parábola d cuación y =, y sobr lla un punto d abscisa a>0 S considra l triángulo d vértics O(0,0), l punto y l punto A d cort d la tangnt a la parábola n con l j OX Hallar la razón d las áras d las dos rgions n qu tal triángulo quda dividido por la gráfica d la parábola 97- La parábola d cuación y = dtrmina con l j OX un rcinto acotado Hallar una rcta qu pasando por l punto ( 0, 0 ) divida a dicho rcinto n dos parts d igual ára 98- Calcular l ára qu ncirra la gráfica d la función f ( ) = con l j OX y las rctas d cuacions : + = y = Sa f ( ) = + a + b + c Dtrmínns a, b y c d modo qu f () tnga un trmo rlativo n = 0, la rcta tangnt a la gráfica d f () n = sa paralla a la rcta y 4 = 0, y l ára comprndida por la gráfica d f (), l j OX y las rctas = 0, =, sa igual a 00- Hálls l ára dl rcinto limitado por las gráficas d las funcions y =, y =, y = 0- Sa la función f( ) = a) Hallar los intrvalos d crciminto y dcrciminto, los d concavidad y convidad, los puntos d inflión y las asíntotas Esbozar su gráfica ( puntos) b) Calcular l ára d la rgión limitada por dicha gráfica y las rctas = 4, = 0- Sa la función f ( ) = + a) Hallar los intrvalos d crciminto y dcrciminto, los trmos rlativos, los intrvalos d concavidad y convidad y las asíntotas Esbozar su gráfica ( puntos) b) Dmostrar qu ist algún númro ral c tal qu c + c = 4 0- Hallar a y b para qu la función a + ln f ( ) = b sn ( π ) si si si > 0 = 0 < 0 sa continua n todo R 04- Sa f la función dada por f ( ) = a) Calcular los intrvalos d crciminto y dcrciminto, los trmos rlativos y las asíntotas d f b) Dtrminar l númro d solucions d la cuación ( ) = f n l intrvalo [,] 05- Dtrminar n qué puntos d la gráfica d la función y = + +, la rcta tangnt a la misma s paralla a la rcta y = Calcular l ára dl rcinto limitado por la curva d cuación y = ln, l j OX y las rctas = y = 7 0
8 07- Sa la función f ( ) = S pid hallar: + 4 a) Los intrvalos d crciminto y dcrciminto d f, los máimos y mínimos rlativos y las asíntotas Esbozar su gráfica b) El ára d la rgión limitada por la gráfica d f, l j OX y las rctas =, = 8
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