=, una sucesión de intervalos cerrados. f x una función continua en el punto x = x0. = 0, el teorema queda demostrado. Si ( )

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1 CONTINUIDAD DE FUNCIONES. TEOREMAS FUNDAMENTALES. Cuando una función es continua en un intervalo cerrado [ a, ] y en un extremo es positiva y en otro negativa, la intuición indica que, en algún punto intermedio c, a < c <, su valor dee ser cero; es decir, su gráfica deerá cortar al eje de ascisas en algún punto entre a y. La situación queda aún más clara si la expresamos gráficamente: Teorema de Bolzano: Sea f ( x ) una función continua en un intervalo cerrado [ a, ] y tal que el signo de ( ) signo de f ( ), es decir f ( a) f ( ) < 0, entonces existe, al menos, un punto c ( a, ) f ( c ) = 0. f a es distinto del tal que La demostración de este teorema no es tan evidente como su justificación intuitiva y para llevarla a cao nos apoyaremos en un axioma de los números reales y en una propiedad de las funciones continuas: Axioma de Cantor: Sea I = [ a, ], I = [ a, ], I [ a, ] =, una sucesión de intervalos cerrados encajados cada uno en el anterior, es decir, I I I3 In tales que la sucesión de sus longitudes n an tiende a cero. Entonces, existe un único punto, c, común a todos ellos, es decir, c = I. n n N f x una función continua en el punto x = x0 y tal que Propiedad de las funciones continuas: Sea ( ) f ( x0 ) 0, entonces existe un entorno del punto x 0, ( x0 δ, x0 δ ) mismo signo que f ( x 0 ). Es decir, δ 0 / f ( x) f ( x0 ) 0, x ( x0 δ, x0 δ ) Demostración del teorema: +, en el que la función tiene el > > +. Supongamos que f ( a ) < 0 y f ( ) > 0 (para f ( a ) > 0 y f ( ) < 0, se procedería de igual forma). Sea c el punto medio de [ a, ]. Si f ( c ) = 0, el teorema queda demostrado. Si ( ) los intervalos [ a, c ] o [, ] [ a, ] a ese intervalo. Sea c el punto medio de [ a, ]. Si f ( c ) = 0 antes, en uno de los intervalos [ a, c ] o [, ] signo. Llamamos [, ] modo. f c 0, en uno de c, el valor de la función en los extremos tendrá diferente signo. Llamamos, el teorema queda demostrado. En caso contrario, como c, el valor de la función en los extremos tendrá diferente a a ese intervalo. Tomamos su punto medio, 3 c, y razonamos de nuevo del mismo jlmat.es Continuidad de funciones. Pag.

2 Continuando con ese proceso pueden ocurrir dos cosas, o ien en alguna etapa uno de los puntos medios, c, verifica f ( c ) = 0 m m, en cuyo caso hemos demostrado el teorema, o ien, hemos construido una sucesión de intervalos cerrados, encajados, [ a, ] [ a, ] [ a, ] [ a, ] tales que, en cada 3 3 uno, el valor de la función en los extremos tiene signos distintos. Como cada intervalo de la sucesión tiene a longitud la mitad del anterior, la sucesión de sus longitudes tiende a cero. Ahora, por el Axioma de n Cantor, podemos asegurar la existencia de un punto c común a todos ellos. Si fuese f ( c ) > 0, por la propiedad de las funciones continuas, existiría un entorno ( c δ, c δ ) + donde la función sería siempre positiva. Como dentro de ese entorno hay infinitos intervalos de la sucesión anterior (porque sus longitudes tendían a cero y c está en todos ellos) en cuyos extremos la función camia de signo, con lo que llegamos a una contradicción; luego, la posiilidad f ( c ) > 0 no puede darse. Por la misma razón, tampoco puede ocurrir f ( c ) < 0. Por tanto f ( c ) = 0, como queríamos demostrar. Teorema de Daroux, o del valor intermedio: Sea f ( x ) una función continua en un intervalo cerrado [ a, ] y tal que f ( a) f ( ), entonces la función f ( x ) toma todos los valores comprendidos entre f ( a ) y f ( ), al menos una vez, en el intervalo ( a, ). Queremos proar que para todo u entre f ( a ) y f ( ) existe un c ( a, ) tal que ( ) f c = u. jlmat.es Continuidad de funciones. Pag.

3 Trataremos el caso f ( a) < f ( ), seguiríamos el mismo razonamiento para f ( a) > f ( ). Sea u un número cualquiera comprendido entre f ( a ) y f ( ), f ( a) < u < f ( ). Consideremos la función g ( x) = f ( x) u, que es continua en [ a, ] por serlo f ( x ) y que verifica g ( a) = f ( a) u < 0 y g ( ) = f ( ) u > 0. Por el teorema de Bolzano, existe al menos un punto c ( a, ) tal que g ( c ) = 0, es decir, f ( c) = u, como queríamos demostrar. Continuidad de las funciones inversas. Si f ( x ) es una función continua en un intervalo cerrado [, ] podríamos asegurar la continuidad de continuidad de funciones como: n x, arcsenx, arctgx,. a y tal que existe su función inversa f, f? La solución de esta cuestión nos ayudaría a decidir sore la Comencemos recordando que las funciones continuas que tienen inversa son las inyectivas, es decir, funciones que cumplen que dos puntos de su dominio no tienen imágenes iguales, o dicho de otra forma: ( ),, ( ) ( ); ( ) ( ) f x esinyectiva x x Domf f x f x y si f x = f x x = x. Veamos ahora un teorema que nos ayudará a decidir si una función continua es inyectiva. Teorema (de caracterización de las funciones continuas inyectivas): Sea f ( x ) una función continua en un intervalo cerrado [ a, ]. Entonces f ( x ) es inyectiva ( ) estrictamente monótona (creciente o decreciente). Si ( ) f x es estrictamente monótona, para cada pareja de puntos x x el caso de ser monótona creciente, o f ( x ) f ( x ) tanto, la función f ( x ) es inyectiva. Recíprocamente, si f ( x ) es inyectiva en [, ] f x es <, se verificará f ( x ) f ( x ) < en > en el caso de ser monótona decreciente, y, por lo a, y x x < son dos puntos cualesquiera de [, ] entonces f ( x ) f ( x ), y, por lo tanto, f ( x ) < f ( x ) o f ( x ) f ( x ) concretar, que f ( x) < f ( x ); de igual modo se haría si fuese f ( x ) > f ( x ). x < c < x. Si su imagen, ( ) Sea c un punto intermedio entre x y x, f ( x ) < f ( x ) < f ( c), cualquier valor p, f ( x ) p f ( c) s ( x, c ) y s ( ) c, x f ( x ) es inyectiva. Por lo tanto esa condición no puede verificarse. a, >. Supongamos, por f c, verificara la condición < < tendría, al menos, dos antiimágenes (por el teorema del valor intermedio de Daroux) lo cual no es posile porque Por la misma razón, f ( c ) no puede verificar f ( c) < f ( x ) < f ( x ). En consecuencia, dee suceder que f ( x ) < f ( c) < f ( x ) y, por tanto, f es estrictamente monótona (creciente en este caso concreto). jlmat.es Continuidad de funciones. Pag. 3

4 Teorema (continuidad de la función inversa): Sea f una función continua e inyectiva en un intervalo cerrado [ a, ]. Entonces, su función inversa, es tamién continua en el conjunto imagen de f. Al ser f una función continua e inyectiva, por el teorema anterior, es estrictamente monótona. Supongamos, para concretar, que f es creciente, entonces, la función inversa, f, f, es iunívoca entre f ( a ), f ( ) y [ a, ]. Sea p un punto cualquiera entre f ( a ) y f ( ), y sea c f ( p ) entorno de c, ( c ε, c + ε ), le corresponde iunívocamente por f un intervalo ( p δ, p δ ) Tomando δ = mín ( δ, δ ), el entorno ( p δ, p δ ) continuidad: si y ( p δ, p δ ) f ( y ) ( c ε, c ε ) Con una adecuada modificación, el razonamiento pruea tamién que f ( a ) y por la izquierda en ( ) Teorema: f. =. A cualquier +. + ya verifica la condición requerida para la f es continua por la derecha en Sea f una función estrictamente monótona en un intervalo cerrado [ a, ] y iunívoca con ( ), ( ) f a f inversa,, si es creciente, o con f ( ), f ( a ) f, son funciones continuas. Analizaremos sólo el caso en que f sea estrictamente creciente., si es decreciente. Entonces, tanto f como su Veamos que f es continua. Sea c ( a, ) ( f ( c) ε, f ( c) + ε ) le corresponde por f un intervalo ( c δ, c δ ) δ = mín ( δ, δ ), el entorno ( c δ, c δ ) x0 ( c δ, c δ ) f ( x0 ) ( f ( c) ε, f ( c) ε ), como f es iunívoca y creciente, a cualquier entorno +. Tomando + ya verifica la condición requerida para la continuidad: si + +. De forma similar se demuestra la continuidad por la derecha en a y por la izquierda en. Y, ahora, la continuidad de f se deduce del teorema anterior. Acotación de funciones: Definición: Sea f una función definida en un conjunto A. f x s Se dice que f está acotada superiormente en A cuando existe un número s tal que ( ), x A. Esto equivale a decir que el conjunto imagen de f, como conjunto numérico, está acotado superiormente y que s es una cota superior. A la menor de las cotas superiores se la llama supremo de f y se denota por sup( f ). jlmat.es Continuidad de funciones. Pag. 4

5 Se dice que f está acotada inferiormente en A cuando existe un número i tal que i f ( x), x A. Esto equivale a decir que el conjunto imagen de f, como conjunto numérico, está acotado inferiormente y que i es una cota inferior. A la mayor de las cotas inferiores se la llama ínfimo de f y se denota por inf ( f ). Entonces, f está acotada en A cuando existe un número s tal que ( ) decir que f está acotada superior e inferiormente. f x s, x A. Esto equivale a Teorema de acotación: Si f es continua en [ a, ], entonces f está acotada en [, ] a. Vamos a utilizar un razonamiento análogo al que usamos para la demostración del teorema de Bolzano. Supongamos que f no está acotada en [ a, ]. Sea c el punto medio de [, ] [ a, c ] o [ c, ] la función no está acotada (pues, en caso contrario, lo estaría en el total). Llamamos [ a, ] a ese intervalo. Sea c el punto medio de [ a, ], en uno de los intervalos [, ] [ c, ] la función no está acotada. Llamamos [, ] a, en uno de los intervalos a c o a a ese intervalo. Tomamos su punto medio, 3 razonamos de nuevo del mismo modo. Continuando con ese proceso otenemos una sucesión de intervalos cerrados, encajados, [ a, ] [ a, ] [ a, ] [ a, ] tales que, en cada uno, f no está acotada. Como cada 3 3 a intervalo de la sucesión tiene longitud la mitad del anterior, la sucesión de sus longitudes tiende a n cero. Ahora, por el Axioma de Cantor, podemos asegurar la existencia de un punto c común a todos ellos. Por la ª Propiedad de las funciones continuas: Sea ( ) x, ( x δ, x δ ) entonces existe un entorno del punto 0 entorno ( c δ, c δ ) 0 0 c, y f x una función continua en el punto x = x0, +, en el que la función está acotada, existiría un + donde la función está acotada. Como dentro de ese entorno hay infinitos intervalos de la sucesión anterior (porque sus longitudes tendían a cero y c está en todos ellos) en los que la función no estaa acotada, llegamos a una contradicción, que surge de suponer que f no está acotada en [ a, ]. Por tanto, f está acotada en [ a, ], como queríamos demostrar. Definición: Sea f una función definida en un conjunto A. Si existe un punto c tal que f ( x) f ( c) x A, al valor f ( c) lo llamamos (valor) máximo asoluto de f en A, y decimos que f alcanza su máximo asoluto en el punto c. El máximo asoluto de f en A, es el máximo del conjunto imagen (como conjunto de números). Si existe un punto c tal que f ( c ) f ( x) x A, al valor ( ) f c lo llamamos (valor) mínimo asoluto de f en A, y decimos que f alcanza su mínimo asoluto en el punto c. El mínimo asoluto de f en A, es el mínimo del conjunto imagen (como conjunto de números). jlmat.es Continuidad de funciones. Pag. 5

6 Teorema del máximo de Weierstrass: Toda función f continua en un intervalo cerrado [ a, ] alcanza su máximo y su mínimo asolutos en puntos c y c, respectivamente, de dicho intervalo. Por ser f continua en [ a, ], el teorema anterior asegura su acotación y por tanto la existencia del supremo y del ínfimo de f. Sea M = sup( f ) y supongamos que f no alcanza su máximo asoluto, es decir, que no hay ningún punto x [ a, ] tal que M f ( x) Entonces, la función g ( x) = M f x ( ) =. es continua, ya que el denominador no se anula, y además es estrictamente positiva en [ a, ], puesto que será M > f ( x). Por el teorema de acotación, ( ) acotada superiormente 0 < < S M f x ( ) f x M S g x está, de donde se deduce que ( ) < x [ a, ]. Llegamos a una contradicción puesto que tendríamos una cota superior de f en [ a, ] menor que el supremo. Concluimos que la suposición es falsa y existe, al menos, un punto c tal que f ( c) = M, es decir, donde f alcanza su máximo asoluto. Del mismo modo se razona para el mínimo asoluto. jlmat.es Continuidad de funciones. Pag. 6