DERIVABILIDAD. 1+x 2. para x [1, 3]

Transcripción

1 1 DERIVABILIDAD 1. Definir derivada y derivadas laterales de una función en un punto. Probar que la función f es derivable en =1 y que la derivada lateral por la derecha en =0 es infinito. para [0, 1) 1+ 2 para [1, 3] 2. Hallar la derivada enésima de las funciones: a) e 3+1 b) g() = ln (2 + 4) 3. Un cohete describe un movimiento rectilíneo ascendente, de manera que la altura que alcanza el cohete en función del tiempo es epresada por la función h(t) = 2t 2 + t Realiza el cohete un movimiento uniformemente acelerado? 4. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función Determinar si la función posee puntos donde alcance valores máimos o mínimos locales. 6. Demostrar que: a) es derivable en R b) g() = es derivable en 0 = 0, 5 7. La velocidad de reacción de dos productos químicos depende del tiempo que están en contacto según la epresión: v(t) = 3t t 3. Estudiar la variación de la velocidad de reacción. 8. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función: 2 para < 0 si 1 2 para [0, 4] g() = 2 si ( 1, 0) 2 4 para > 4 3 si > 0 h() = 2 sen 1 si 0 0 si = 0 i() = La carga y descarga de un condensador eperimental está representada por la función f(). Comprobar si el condensador admite carga máima. e 1 si 1 e +1 si > 1

2 2 10. Estudiar si la función f posee máimos o mínimos locales: 1 si 0 2 si = Dada la función 3 9, decir si la ecuación f () = 0 tiene solución y a qué intervalo pertenecería (sin hacer la derivada). 12. Sea f la función definida por ( 1) 1. a) Puede aplicarse el teorema de Rolle a f en el intervalo [0,2]?. b) Y a la función f? c) Es simétrica la gráfica de f con respecto a algún punto?. 13. Sea f la función definida en [0, ) por 2 + a si 0 < b si 1 < c si 3 < Contesta razonadamente a las siguientes preguntas: a) Es f continua en todo el intervalo [0, ) para a=4, b=5 y c=-4? b) Es f derivable en todo el intervalo [0, ) para a=1, b=2 y c=3? 14. Sean f y g las funciones definidas por a + b 2 + 4, y g() = c 3. Calcula los valores de a, b, c R, de modo que las gráficas de f y g se corten en el punto (1,1) y sean tangentes en él. 15. Es aplicable el teorema de Rolle a la función 1 en el intervalo [0, 2]. 16. Es aplicable el teorema de Rolle a la función f() en el intervalo [ 0 5, 0 25]? Cumple 3 ( 1) 2 el teorema de Rolle en [0,2]?. 18. Enunciar el teorema de Rolle e interpretarlo geométricamente. Se puede aplicar a 4 2 en [2,6]?. 19. Comprobar si las funciones f y g cumplen el teorema de Cauchy en el intervalo correspondiente y, en su caso, obtener el número c. a) 3 y g() = + 3 en [0,2] b) y g() = en [1,4] 20. Sin calcular la derivada de ( + 1)( + 2), determinar cuántas raíces tiene f () = 0 y obtener los intervalos a los que pertenecen.

3 3 21. Calcular p, m y n para que la función f() cumpla el teorema de Rolle en [-1,5] y aplicarlo. 2 + p si [ 1, 3] m + n si [3, 5] 22. Enunciar el teorema del valor medio del cálculo diferencial. Aplicar este teorema para calcular un valor aproimado de Calcular a y b para que la función f() cumpla el teorema del valor medio en [-3,2] y aplicarlo a si b si > Utilizar el teorema de Rolle y el TVM para probar que la ecuación = 0 tiene una y sólo una solución entre los números reales positivos. Y lo mismo para probar que si a y b son números positivos, la ecuación 3 + a 2 b = 0 tiene una y sólo una solución entre los números reales positivos. 25. Demostrar que la ecuación = 0 no puede tener dos raíces reales distintas en (0,1). 26. La función ln ( 2 + 1), cumple las condiciones del teorema de Rolle en [0,3]?. 27. Si ( 2) 2, probar que la ecuación f () = 0 posee al menos una raíz en el intervalo (0,2), sin calcular la derivada. 28. Se considera la parábola y = 2 2, determinar el punto de la misma en el que la tangente a la parábola sea paralela a la recta que une los puntos A(1,2) y B(2,8). 29. Determinar los puntos de la curva y = en los cuáles la tangente es paralela a la recta y = En el segmento de la parábola f() comprendido entre los puntos A(1,1) y B(3,0), hallar un punto cuya tangente sea paralela a la cuerda. 31. Dada la función f(), se pide: a) Dibujar la gráfica en [0,2]. b) Probar que f verifica las condiciones del teorema del valor medio en [0,2] y obtener los valores medios aludidos en el teorema. 32. Dada la función 2 4. Se pide: si 1 1 si > 1 a) Dígase razonadamente en qué puntos f es derivable y en qué puntos no lo es.

4 4 b) Estúdiese la eistencia de máimos y mínimos relativos y absolutos. c) Muéstrese la representación gráfica de la función. 33. Pon un ejemplo de una función f() tal que f(1)=f(3)=4, f() continua en (1,3), f() derivable en (1,3) y f () 0 (1,3). 34. Satisface la función 1 las condiciones del teorema de Rolle en [-1,1]?. Razona la respuesta. 35. La derivada de una función f tiene dos raíces. Qué puede afirmarse de las raíces de la función?. 36. Escribe una función que en el punto = 2 no sea derivable y tenga un máimo en él. 37. Una función f es continua en [-2,2] y el máimo absoluto se encuentra en un punto c ( 2, 2). Se puede afirmar que eiste recta tangente en ese punto?. Contesta razonadamente. 38. Si el término independiente de un polinomio en es igual a 3 y el valor que toma ese polinomio en = 2 es 3, probar que su derivada se anula para algún valor de ; razonar que ese valor pertenece a un cierto intervalo que se especificar. 39. Comprobar que la función y = tiene eactamente 3 puntos de intersección con el eje OX. 40. Hallar un intervalo no superior a 1/8 en el que se anule la función f(). En cuántos puntos corta su gráfica al eje de abscisas? si Comprobar si la función 2 + sen cumple el teorema del valor medio en [0, π] y, en caso afirmativo, encontrar el valor c. 42. Demuestra que = 0 no puede tener más de dos raíces reales. 43. Aplicando el teorema de Rolle, demostrar que la ecuación no puede tener más de una raíz en [-1,1], cualquiera que sea el valor de b b = La función 2 5 verifica que f(1)=f(3)=4. Sin embargo, su derivada no se anula en ningún punto entre 1 y 3. Cómo es posible?. 45. Determinar los valores máimos y mínimos de las funciones: g() = h() = i() = 1 2 j() = e k() = e

5 5 46. Sea una función f derivable en R y a R tal que f (a) = 0. Se puede asegurar que la función alcanza un valor máimo o mínimo relativo en el punto a?. Y si f es positiva o negativa?. Razonar la respuesta y mostrar algún ejemplo. 47. Calcular, mediante el teorema de Cauchy, los siguientes límites: e sen (a+) e sen a a) lím 0 sen (a + ) sen a b) lím 0 tg (a + ) tg (a ) arc tg (a + ) arc tg (a ) 48. Sea una función derivable en R y a, b y c tres puntos de R tales que a < b < c, f(a)=f(c) y f (b)=0. Se puede asegurar que f alcanza un valor máimo o mínimo relativo en el punto b?. 49. Determinar una función que sea continua y no derivable en un conjunto infinito de puntos. 50. Calcular el valor medio de 4 2 en [0,2]. 51. Demostrar aplicando el teorema del valor medio que: a) si 0 < r < s = 1 s r < ln( r s ) < r s 1 b) ln(1 + 2 ) Una función f es derivable en (a,b) y f(a)=f(b), posee máimo o mínimo dicha función?. 53. Dos rectas distintas son secantes en un único punto de la gráfica de una función. Puede ser derivable la función en dicho punto?. 54. Es derivable una función con derivadas laterales en un punto iguales?. Es derivable en un punto una función continua con derivadas laterales en ese punto?. 55. Demostrar la desigualdad ln < 1, R tal que > Dada la función 3, demostrar que eiste un punto de la gráfica cuya recta tangente es paralela a la secante que corta a la gráfica en los puntos de abscisas 0 y 2. Y escribir la ecuación de dicha tangente. 57. Demostrar que cualquier función derivable en R cuya derivada es 2 puede epresarse de la forma F () = 2 + c, dónde c es un número real. 58. Halla la derivada enésima de y = sen, y = cos, e y = a sen b, con a y b constantes. 59. Demostrar que tiene como máimo una raíz real y que la ecuación e = 1 + tiene únicamente la raíz real = Eplicar por qué la función y = cumple las hipótesis, del teorema del valor medio en [64,66] y epresa la tesis. 61. La función f() definida en [0, π], cumplirá el teorema de Rolle?. Tiene algún punto con tangente horizontal en ese intervalo?. cos

6 6 62. Un número real a es un cero del polinomio f de multiplicidad m si ( a) m g(), donde g(a) 0 a) Si f tiene m ceros en un intervalo [a,b], prueba que f tiene por lo menos m-1 ceros. b) Prueba que, en general, la derivada f (n tiene por lo menos m-n ceros en [a,b]. c) Si f n) tiene eactamente m ceros en [a,b], qué se puede decir acerca del número de ceros de f en [a,b]. 63. Halla el valor de a para que eista y sea finito [ ( lím ) ] a