TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R

Transcripción

1 TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. Concepto de función. Definición Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R f() que a cada número le hace corresponder otro valor f(). Definición Se llama dominio de una función f (lo denotaremos por Dom f) al conjunto de valores para los que está bien definida f() : Domf = { R : f() R}. f : Domf R R : f(). Ejemplo f() = Domf = { R : > } =, + ) = f() = Domf = { R : } = R { } Imagen o rango o recorrido de f valores que toma f : =\ R + Imf = {f() : Domf}. Sea f : Domf R R Se dice que es: Par si f( ) = f() Domf. Impar si f( ) = f() Domf. Periódica si T > : f( + T ) = f() Domf. (Representación) Gráfica de f al conjunto de puntos {(, f()) R : Domf}. Funciones elementales Funciones polinómicas: p : R R : p() = a + a + a a n n donde a i R i =,,,..., n. Domp = R Caso n = Recta y a La recta y = a + a

2 Caso n = Parábola p() = a + b + c Puede tener hasta dos puntos de corte con el eje OX. y A, B = b ± b 4ac a puntos de corte con el eje OX A V V = ( b a, p( b B a )) Vértice Funciones racionales: f() = p() con p y q funciones polinómicas. q() Domf = { R : q() } = R { R : q() = }. Función eponencial: f() = a, a R a >, R. Domf = R. Propiedades: a r+s = a r a s, (a r ) s = a r s, (a b) r = a r b r Si, y R, < y : a < a y cuando a > (creciente). a > a y cuando a < (decreciente)

3 Nota: la representación de funciones inversas respecto de la composición (intercambiar papeles de las variables e y) tiene simetría respecto la bisectriz del primer cuadrante: y y = y = y = Simetría respecto la bisectriz Función logarítmica (a >, a ): f : R + R : f() = log a log a = y a y = inversa eponencial. Domf = { R : > } Propiedades: log a =, log a a =, log a ( y) = log a + log a y, log a ( m ) = m log a, log a y = log a log a y. a > y < < y log a < log a y. (función creciente) a < y < < y log a > log a y. (función decreciente) log()

4 Funciones trigonométricas f() = sen Domf = R, Imf = [, ], π periódica. sin() f() = cos Domf = R, Imf = [, ], π periódica. cos() (sen ) + (cos ) =. 4

5 Función tangente: f() = tg = sen cos Domf = R { π + kπ : k Z}, Imf = R, π periódica. tan() Otras funciones destacables: Funciones inversas Límites de funciones: cosec = sen, sec = cos, cotg = tg. arcsen, arccos, arctg. Definición Sean f : D R R y D. Decimos que l R es el ite de f cuando tiende a, y lo denotamos f() = l si El ite, si eiste, es único. ε > δ : D con < < δ f() l ε. Analogámente se pueden definir los ites: f() = + M > δ > : D con < < δ f() > M. f() = M > δ > : D con < < δ f() < M. 5

6 Ejemplo Análogamente, + = +. f() = l ε > M > : D con M < f() l < ε. f() = l ε > M > : D con < M f() l < ε. Ejemplo + = =. A veces no podemos asegurar la eistencia de ite en torno a un punto, pero sí estudiar los ites laterales (por la derecha e izquierda respectivamente): + f() = l ε > δ : D con < < δ f() l ε. f() = l ε > δ : D con < < δ f() l ε. Teorema Dada f D R R se cumple que f() eiste y vale l R si y solo si eisten los ites laterales + f() y f() y tienen el mismo valor. El resultado, leído de forma negativa, dice que si los ites laterales no coinciden, no eiste ite de la función en ese punto. Teorema Sean f, g : D R R tales que eisten f() = l, g() = l. Entonces eisten los siguientes ites: [f() ± g()] = l ± l, f() g() = l l, Si l f() g() = l l. Funciones continuas Definición Sea f : D R R y D. Se dice que f es continua en cuando Esto equivale a decir que f() = f( ). ε >, δ > : < δ f() f( ) < ε. Igual que los ites laterales, podemos hablar de continuidad por la derecha e izquierda en : f es continua en lo es a derecha e izquierda en. f() = f( ), f() = f( ). + Dado A D, se dice que f es continua en A si lo es en todo punto de A. Si A = [a, b], entendemos que continuidad en a (resp. b) es por la izquierda (resp. derecha). 6

7 Ejemplo f() = es continua en todo R. f() = { sen si, si = es continua en todo R. f() = { si, si = no es continua en =. Las funciones elementales vistas antes (polinomiales, racionales, eponenciales, logarítmicas y trigonométricas) son continuas en sus dominios de definición. Álgebra de funciones continuas. Composición Teorema Sean f, g : D R R funciones continuas en D. Entonces f ± g y f g son continuas en. Si g( ), también lo es f g. Teorema Sean f : D R R, g : E R R tales que f( D) E. Si f es continua en S y g es continua en f( ), entonces la función compuesta g f es continua en. La función compuesta g f : S R R : (g f)() = g(f()). Ejemplo En general g f f g. Sean f() =, g() = +. g(f()) = +, f(g()) = ( + ). Definición LLamamos función inversa o recíproca respecto de la composición de una función dada f : D R y notamos f, a una función f : f( D) R tal que y f( D) f (y) = con f() = y. Se cumple entonces que (f f )() = D, (f f)(y) = y y f( D). Discontinuidad Definición Decimos que f es discontinua en si no es continua en. Los posibles motivos: Domf. f(). f() f( ). Clasificación de discontinuidades: a) Discontinuidad evitable: f() (un valor finito) pero Dos ejemplos: f() = { si, si =. g() = +. 7 { f( ), f() f( ). b) Discontinuidad de salto (finito): f() que notaremos f( + + ), y f() que notaremos f( ) pero son distintos. (Al valor f( + ) f( ) se le llama salto de la función f en ). si >, f() = si =, si <.

8 c) Discontinuidad de salto infinito: cuando alguno de los ites laterales (o ambos) valen ±. Ejemplos: f() =, g() =. d) Discontinuidad esencial: f(). { sen Por ejemplo, f() = si, si =. Maimos y mınimos Definición Sea f : D R R. Se dice que f tiene un máimo absoluto en c D (resp. mínimo) si f() f(c) para todo S (resp. f() f(c)). Se dice que tiene un máimo (resp. mínimo) relativo o local en c S cuando eiste δ > tal que f() f(c) (resp. f() f(c)) para todo (c δ, c + δ). En general hablamos de etremos para referirnos a máimos y mínimos. Teorema [Weierstrass] Sea f : [a, b] R continua. Entonces alcanza máimo y mínimo absolutos. [Bolzano] f : [a, b] R continua y con signo distinto en los etremos f(a) y f(b), entonces c (a, b) tal que f(c) =. [Darbou, valores intermedios] f : [a, b] R continua. Entonces f alcanza todos los valores comprendidos entre su máimo y su mínimo. Funciones monótonas: Definición Sea f : D R R. f creciente si, y D : < y f() f(y). f decreciente si, y D : < y f() f(y). f estrictamente creciente si, y D : < y f() < f(y). f estrictamente decreciente si, y D : < y f() > f(y). En general, decimos f monótona si cumple alguno de los casos anteriores. 8

9 Concepto de derivada. Definición Sea f : D R R, a (b, c) D. Decimos que f es derivable en a si eiste: f() f(a) R. a a Dicho valor se denota como f (a), se llama derivada de f en a y también se puede escribir como donde = a + h h f(a + h) f(a), h Nota Para que la derivada eista tiene que eistir el ite, es decir, deben eistir los ites laterales y coincidir. Definición Una función f se dice derivable en A si lo es en todo punto a A. Ejemplo a) f() = es derivable en a = y su derivada vale f () = 4, ya que: f f( + h) f() ( + h) () = = h h h h b) f() = no es derivable en a =, pues pero h + 4h = = (h + 4) = 4. h h h f +() h h = = h + h h + h = f () h h = = h h h h =. Luego eisten las derivadas laterales, pero los ites no coinciden. Entonces, la función valor absoluto no es derivable en a =. c) f() = /3 no es derivable en a =, ya que: f h /3 /3 () = = h h h = + h/3 luego no se trata de un número real. En este caso, se dice que la función tiene derivada + en a =. Definición(Función derivada). Sean f : D R R y T = { D / f posee derivada en }. La función: T f () R se llama función derivada primera de f y se representa por f. Análogamente se pueden definir las derivadas sucesivas: f = (f ), f = (f ), f iv) = (f ),... 9

10 Interpretación geométrica de la derivada Si f es derivable en a, f (a) es un número real que coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva y = f() en el punto (a, f(a)). 4 función y = 3 tangente en el punto (, ), y =.5.5 recta normal en el punto (, ), y = (3 )/ Definición Si f es derivable en a y f (a), entonces la pendiente de la recta tangente en el punto (a, f(a)) es f (a), y la pendiente de la recta normal es f (a). y f(a) = f (a) ( a) es la recta tangente a y = f() en el punto (a, f(a)). y f(a) = f ( a) (a) es la recta normal a y = f() en el punto (a, f(a)). Nota Si f (a) =, entonces la recta tangente es horizontal. Si f (a) = ±, entonces la recta tangente es vertical. Teorema Si f es derivable en a, entonces f es continua en a. Nota El recíproco no es cierto, es decir, una función continua en un punto no tiene por qué ser derivable en ese punto. Ejemplo: f() = en a =.

11 Álgebra de derivadas Teorema Sean f, g : D R R dos funciones derivables en a. Entonces, se verifica:. f ± g es derivable en a, siendo (f ± g) (a) = f (a) ± g (a). Si λ R, entonces λ f es derivable, siendo: (λ f) (a) = λ f (a) 3. f g es derivable en a, siendo: (f g) (a) = f (a) g(a) + f(a) g (a) ) (a) = f (a) g(a) f(a) g (a) 4. Si g (a), f g es derivable en a, siendo: ( f g (g(a)) Derivadas de las funciones elementales Derivadas de funciones elementales Regla de la cadena Potencia ( n ) = n n (f() n ) = nf() n f () Eponenciales ( (e ) = e ) e f() = e f() f () ( (a ) = a (ln a) ) a f() = (ln a)a f() f () Logarítmicas (ln ) =, > (ln f()) = f() f () (log a ()) = (log ln a a f()) = ln a f() f () Trigonométricas (sen) = cos (cos ) = sen (tan ) = + (tan ) = (cos ) (cotan) = ( + (cotan) ) = (sen) (senf()) = f () cos f() (cos f()) = f () senf() (tan f()) = [ + (tan f()) ] f () (cotanf()) = [ + (cotanf()) ] f () Inversas trigonométricas (arcsen) =, si < (arcsenf()) = f () f() (arccos) =, si < (arc cos f()) = f () f() (arctan) = + (arctan f()) = f () + f() (arccotan) = (arccotanf()) = f () + + (f())

12 Teorema(Regla de la cadena). Sean f : D R R, g : T R R tales que f( D) T. Si f es derivable en a D y g es derivable en f(a) T, entonces g f es derivable en a, y además, (g f) (a) = g (f(a)) f (a) Ejemplo Calcular la derivada de la función f() = ( ) 4. f() = 4 ( ) 3. (3 + ) Cálculo de etremos absolutos Teorema Sea f : D R R, derivable en a D con f (a) > (respectivamente, f (a) < ) entonces f es estrictamente creciente localmente en a ( o estrictamente decreciente localmente en a). Teorema (Condición necesaria de etremo). Si f : D R R es derivable en a (b, c) D y f tiene un máimo o un mínimo relativo en = a, entonces f (a) =. Nota El recíproco no es cierto. Consideremos, por ejemplo, la función f() = 3, donde f () = 3, f () =. Pero f no tiene ni máimo ni mínimo en =, siendo su representación gráfica: Nota La condición necesaria de etremo relativo nos proporciona un método para calcular los máimos y mínimos relativos de una función f. Sin embargo, no todos los puntos de Dom(f) que verifican dicha condición son etremos relativos de f.

13 Aplicación: Búsqueda de máimos y mínimos de una función continua. Si f : [a, b] R es una función continua, sabemos que má f() y mín [a,b] Entonces, buscaremos dichos puntos entre los siguientes: a) etremos del intervalo: a, b, b) puntos (a, b) en los que f no es derivable, c) puntos en los que f () =. [a,b] f( Se calculan las imágenes de estos puntos y en el (los) punto (puntos) con imagen mayor, f alcanza el valor máimo absoluto. En el (los) punto (puntos) con imagen menor, f alcanza el valor mínimo absoluto. ) Ejemplo Estudio de los etremos de la función f : [, 4] R, definida por: f() = { si [, ], si (, 4], cuya gráfica es la siguiente: Puede comprobarse que f es continua en [, 4]. Estudiamos cada uno de los puntos: a) Etremos del intervalo:, 4, donde f() =, f(4) =. b) Puntos en los que la función no es derivable: f es derivable en [, ) (, 4]. Veamos qué ocurre en el punto =. f +() f( + h) f() ( + h) = = =. h + h h + h f () = f( + h) f() h h = ( + h) ( + h) h h = h h h h = h ( h ) =. Como f () f +(), entonces f no es derivable en =. Luego calculamos f() =. 3

14 c) Puntos en los que (, 4) donde f () =. { si (, ), f () = si (, 4). Los puntos (, 4) no pueden tener derivada primera nula. Resolvemos la ecuación = = (, ) Luego calculamos f() =. Comparando las imágenes de los puntos calculados, obtenemos que el valor máimo absoluto de f en [, 4] es y se alcanza en = 4, y el valor mínimo absoluto de f en [, 4] es y se alcanza en los puntos = y =. Monotonía de la función Teorema Sea f : [a, b] R continua en [a, b] y derivable en (a, b). a) Si f () > (a, b), entonces f es estrictamente creciente en (a, b). b) Si f () < (a, b), entonces f es estrictamente decreciente en (a, b). Teorema Sea f : [a, b] R continua en [a, b]. Supongamos que f es derivable en (a, b) y tal que f (c) = con c (a, b). a) Si eiste δ > tal que (c δ, c + δ) (a, b) y f () > (c δ, c) y f () < (c, c + δ), entonces f tiene un máimo relativo en c. b) Si eiste δ > tal que (c δ, c + δ) (a, b) y f () < (c δ, c) y f () > (c, c + δ), entonces f tiene un mínimo relativo en c. Teorema Sea f : [a, b] R continua en [a, b]. Supongamos que f es derivable en (a, b) salvo quizás un punto c (a, b). a) Si eiste δ > tal que (c δ, c + δ) (a, b) y f () > (c δ, c) y f () < (c, c + δ), entonces f tiene un máimo relativo en c. b) Si eiste δ > tal que (c δ, c + δ) (a, b) y f () < (c δ, c) y f () > (c, c + δ), entonces f tiene un mínimo relativo en c. Nota Este resultado se puede usar para determinar la eistencia de etremos relativos en puntos en los que la función no es derivable. Regla de L Hôpital Teorema(Regla de L Hôpital). Sean f y g dos funciones tales que: i) a f() = a g() =, ii) eiste un entorno (a δ, a + δ) del punto a en el que f y g están definidas, iii) g no se anula en (a δ, a + δ)\{a}. f () Entonces, si a g = l (finito o infinito) también () eiste a f() g() = l. 4

15 Nota. El Teorema es válido para a + y a. En esos casos, hay que aplicar el Teorema en los entornos (a, a+δ) y (a δ, a) respectivamente.. El Teorema es válido para, + y. En estos casos, las hipótesis son que f y g eistan en > M, > M y < M, respectivamente; y que g no se anule en > M, > M y < M, respectivamente. 3. El Teorema es válido si f() = y g() =. a, a, 4. Si f() = y a, f() g() escribiéndolo de la forma: a, 5. Si f() = = a, Para ello, se escribe: g() =, entonces se puede intentar aplicar el Teorema de L Hôpital al cálculo de a, f() g() = f() g() o f() g() = g(). f() g(), entonces se puede usar el Teorema para hallar a, f() g() = g() f(). f() g() (f() g()) =. a, 6. Para las indeterminaciones,,, se epresa f() g() = e g() ln(f()) y se aplica al eponente las observaciones anteriores. f () 7. En el caso en que a g () también fuese indeterminado del tipo, se puede usar de nuevo el Teorema de L Hôpital siempre que f y g verifiquen las 3 hipótesis de dicho teorema. Ejemplo Calcular los siguientes ites: = ( ) 3 6 = 4 = 6 6 = 3. + (arctg π ) (arctg π ) = = + arctg π + = = + + = + + = Nota De la no eistencia de f () g () no se implica nada sobre f() g(). 5

16 Concavidad y conveidad Definición Una función f definida en un intervalo (a, b) se dice convea en (a, b) si, y (a, b), < y, el segmento que une los puntos (, f()) e (y, f(y)) está por encima de la gráfica de la función entre esos dos puntos f es convea en (, ) Si el segmento está por debajo, se dice que f es cóncava en (a, b) f es cóncava en (, ) Nota 8. Las funciones cóncavas y conveas no son necesariamente derivables. Definición Una función derivable en un punto a se dice que es convea (respectivamente cóncava) en a si eiste un entorno de dicho punto en el que la curva se mantiene por encima (respectivamente, por debajo) de la recta tangente a ella en el punto = a. 6

17 f es convea en (, ) f es cóncava en (, ) Definición Decimos que f tiene un punto de infleión en (a, f(a)) si f cambia en = a de cóncava a convea o de convea a cóncava f pasa de cóncava a convea en (, ) f pasa de convea a cóncava en (, ) 7

18 Representación Gráfica de Funciones En la representación gráfica de funciones, podemos seguir los siguientes pasos:. Dominio: Dom(f) = { R/ f() R}.. Simetrías: funciones pares e impares. 3. Periodicidad 4. Cortes con los ejes: a) Corte con el eje OX, es decir, puntos donde f() =, y cuyas coordenadas son (, ). b) Corte con el eje OY, es decir, es el punto de la forma (, f()), si Dom(f). 5. Regionamiento: con las abcisas donde la función se anula y aquellas donde la función no es continua se forman intervalos en los que la función eiste y tiene signo constante (es decir, zonas donde es positiva y zonas donde es negativa). 6. Asíntotas: a) Asíntotas horizontales: Son las rectas horizontales de la forma y = c, donde c = f(). ± Para conocer la posición de la curva respecto de la asíntota horizontal, tenemos que estudiar el signo de la epresión ± f() c: { >, la curva está sobre la asíntota Si f() c ± <, la curva está debajo de la asíntota Para saber si la curva corta a la asíntota horizontal o no, tenemos que resolver la ecuación: f() = c b) Asíntotas verticales: Son las rectas verticales de la forma = k, tales que k f() = ±. Generalmente, los puntos k son puntos que no pertenecen al dominio de la función f pero están cercanos al dominio. Por ejemplo, si Dom(f) = (a, b), los puntos a y b son posibles valores k. c) Asíntotas oblicuas: Son las rectas oblicuas de la forma y = m + n, donde m = f() ± y n = (f() m). ± Ahora bien, dependiendo del valor de m razonamos de la siguiente forma: ) Si m =, se trata de una rama parabólica en la dirección del eje OX (asíntota horizontal en y = ), y no se calcula n. ) Si m =, se trata de una rama parabólica en la dirección del eje OY, y no se calcula n. 3) Si m R\{}, entonces Si n R, entonces y = m + n es una asíntota oblicua. Si n =, entonces no hay asíntota oblicua (se trata de una rama parabólica en la dirección de la recta y = m). Los puntos de corte de la curva con una asíntota oblicua de la forma y = m + n se calculan resolviendo el sistema: { y = f() y = m + n 7. Crecimiento y decrecimiento: Se estudian las zonas en las que la función es creciente y las zonas en las que es decreciente. Para ello, estudiamos: los valores de Dom(f) en los que f se anula (si f () > la función es creciente, y si f () < la función es decreciente), los puntos Dom(f) para los que la derivada no eiste. Recordemos que si = k / Dom(f), entonces puede eistir una asíntota vertical en = k. 8

19 8. Máimos y mínimos: Con las herramientas estudiadas se buscan los puntos en los que se alcanzan los máimos y mínimos relativos de la función. 9. Concavidad y conveidad: Como se vió anteriormente, se estudian las zonas en las que la función es convea ( Dom(f) tales que f () > ) y las zonas en las que es cóncava ( Dom(f) tales que f () < ). Observemos que las zonas de concavidad/conveidad pueden estar separadas por: puntos Dom(f) donde f () =, puntos Dom(f) donde f no está definida, o puntos / Dom(f).. Puntos de infleión: Son los puntos en los que la función pasa de cóncava a convea o de convea a cóncava. Si f es veces derivable en su dominio, entonces se encuentran entre los puntos que verifican que f () =, PERO no todos los que verifican dicha condición son puntos de infleión. 9