Derivabilidad. Cálculo de Derivadas. 1 o Bach. Ciencias Dpto Matemáticas. 6. Derivar

Transcripción

1 Derivabilidad Sea f una función y a Dom(f). Definimos derivada de f en = a al siguiente límite cuando eiste y es finito f (a) = lím h 0 f(a+h) f(a) h Cálculo de Derivadas 1. Derivar una potencia 2. Derivar una suma a) y = 2 b) y = C c) y = 2 d) y = 20 a) y = b) y = c) y = d) y = Derivar un producto a) y = (3+5)( 2 3) b) y = ( )(2 2 3) c) y = ( +6 2 )( 3 +1) d) y = ( )(6 2 3) 4. Derivar un cociente a) y = 1 b) y = c) y = d) y = Derivadas trascendentes a) y = sen b) y = sen+cos c) y = cos 1+tan d) y = tan 1+sen e) y = ln f) y = (2+ln)cos g) y = ln 1+e h) y = e 1+sen 6. Derivar a) y = 1 +1 b) y = sen c) y = 1 2 d) y = e) y = sen f) y = sen 2 g) y = cos h) y = cos 4 i) y = 1+sen j) y = 4 1+sen k) y = 1 2 l) y = 7. Derivar 2 sen a) y = Ln b) y = Ln (+2) c) y = Ln 2 d) y = Ln 2 e) y = (1+5 3 ) 5 f) y = (sen + 2 ) 3 Ln sen g) y = Ln 2 h) y = e i) y = cos 3 2 k) y = 2 e 2 8. Derivar las funciones: a) y = + 3 b) y = 1 c) y = 2 d) y = e) y = log f) y = sen cos 9. Derivar las funciones: a) y = sen b) y = cos 2 c) y = tan(2+3) d) y = e 3 5 j) y = l) y = 2 +sen 2 2 Fco Javier Glez Ortiz 36 i.e.s el Astillero

2 e) y = f) y = ln 10. Derivar las funciones: a) y = 3+2sen cos b) y = c) y = 3 (+6) 2 d) y = 3 2 e) y = 3 ( 1) 2 f) y = sen 11. Derivar las funciones: a) y = 6 5 b) y = c) y = d) y = (2 1) 4 e) y = (3 2 +2) 5 f) y = ( 1) 4 5 g) y = ( 2) 3 (+1) 3 h) y = i) y = j) y = k) y = 3 l) y = 6 5 m) y = Derivar las funciones: a) y = sen b) y = c) y = lne d) y = ln 3 e) y = ln 3 ( 1) 2 f) y = lntan Derivar las funciones: a) y = sen(2+ 2 ) 3 b) y = e cos(2+1) c) y = ln 3 sen d) y = lnsen 3 e) y = lnsen 3 f) y = ln 3 tan Derivar las funciones: a) y = 3 sen 1 b) y = ln(1 e ) c) y = sen d) y = ln2 e) y = e 1 f) y = ln 3 tan 15. Derivar las funciones: a) y = b) y = +4 c) y = d) y = 5 e) y = f) y = g) y = e h) y = e i) y = 2 +3 j) y = e Fco Javier Glez Ortiz 37 i.e.s el Astillero

3 k) y = (2+10)e l) y = ln( 2 +5). 16. Derivar las funciones: +1 a) y = ln +3 b) y = e +3 c) y = d) y = ln(2 +5) Derivar las funciones: a) y = sen b) y = 4(sen ) c) y = (sen ) cos d) y = tan e) y = (cos) f) y = (ln) cos 18. Derivar las funciones: a) y = cot( 3 +1) 2 b) y = ln sen 2 2 c) y = (1+sen ) 3 d) y = 3 sen 2 (1 ) e) y = (1 2) 3 (tan) 2 sen +cos f) y = 3 g) y = (ln ) 3 ( ) 5 2 sen 3 h) y = a i) y = 3 2 (1 ) 2 j) y = 10 sen Fco Javier Glez Ortiz 38 i.e.s el Astillero

4 19. Hallar las derivadas 1. y = ( 2 1)e 2 2. y = ( 2 1)e 1/ 3. y = sen 2 (1+e 2 ) 4. y = 3+cosπ sen3π 5. y = e e 6. y = ln 2 cos) 7. y = cos 2 ( 2 +1) 8. y = lntan(+1) 9. y = sen2 (2+1) cos(1 ) 10. y = sen ln(1 3) 11. y = tan 3 (5) 12. ( ) y = arcsen ( )y = arctan +1 tan 14. y = arcsen y = ( )y = 17. y = tan(tan)+tan y = +cos y = 3 5 ln 20. y = sen 5 ln arctan 21. y = cos ( 22. y = tan 1 ) 3 8ln 23. y = e4 sen 24. y = 8 sen 25. y = cos y = ( 8 e 5 ) y = ln(e 4 5sen 4) 28. y = cos + cos 29. y = (5 tan 3 8ln) y = e4 sen 31. y = 3 5 ln 32. y = sen 5 ( ln ) 33. y = 2 sen +tan10 Fco Javier Glez Ortiz 39 i.e.s el Astillero

5 Recta Tangente Continuidad y Derivabilidad 20. Hallar la ecuación de la tangente a la curva, en el punto que se indica: a) y = en = 2. b) y = cos en = π/2. c) y = ln en = 1. a) y = 5( 2) b) y = π/2 c) y = 1 e ( 1) 19. Hallar la tangente a y = cuya pendiente sea igual a 2. y +2 = 2(+1) 20. Hallar la tangente a y = +1 en = 0. y 1 = Hallar las tangentes a y = 3 3 que sean paralelas a la recta 6 y +10 = 0. y = 6( 3) y = 6(+ 3) 22. Hallar las tangentes a y = 4 2 en los puntos de corte con el eje de abcisas. y = 4( 2) y = 4(+2) 23. Hallar los puntos de tangente horizontal de y = 4 2. = Hallar los puntos de tangente horizontal de y = (3, 28);( 1,4) 25. En qué puntos la tangente a y = 3 4 tiene pendiente igual a 8?. (2,0)( 2,0) 39. Hallar la derivada en el punto indicado: a) 4+ 2 en el punto = 0 b) 4+ 2 en el punto = 1 c) +3 en = 1 d) +3 en = 0 e) en = 3 y en = Estudiar la continuidad y la derivabilidad de: 0 < < 1 1 en cualquier punto real. 41. Calcular a y b para que f sea derivable.: { 3 0 a+b Sea la función 3 : a) Estudiar la derivabilidad de f. b) Dibujar las gráficas de f y f. 43. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de: { 0 1 = Determinar el valor de las constantes m y n para que la función f definida por: { 2 +n < 1 m+2 1 sea continua y derivable en = Se considera la función f : [1, ) R definida por + 1 Calcular, de manera razonada, su función derivada en = a. 46. Hallar los valores de a y b para los que la función: { 1 y = +2 1 a 2 +b > 1 sea derivable en = 1. Fco Javier Glez Ortiz 40 i.e.s el Astillero

6 47. Hallar a y b para que f() sea una función derivable 1 0 a+ 2 0 < 1 1+b 1 < 48. Hallar a y b para que f() sea una función derivable en = 0 { a(1+) < 0 b (**) Hallar la derivada de la función { < 50. Hallar m y n para que la función sea continua en = 1 m n < 1 5 = 1 2m+n 1 < c) f (1 + ) = Define una función a trozos que cumpla: a) f (1 ) = 1 b) f (1 + ) = 1 c) No sea derivable en = Sea la función: 1 cos 0 a+ 2 0 < 1 1+b ln 1 < a) Hallar a y b para que f() sea una función derivable b) Hallar la ecuación de la tangente de f() en el punto = 1 2. a) a = 0;b = 2; b) y 1 4 = 1 2 Hallar la derivada en = Sea la función, < < a) Representar la función. b) Hallar las raíces. c) Continuidad y derivabilidad 52. Determinar el valor de c y d para que { e 0 c 2 +d > 0 tenga tangente en el punto (0,1). c;d que lo cumplan 53. Define una función a trozos que cumpla: a) Sea continua en el punto (1,2). b) f (1 ) = 2 Soluciones 39. a) 0 b) 1 c) 1 d) 1 e) 40. f (0) = 0 f (1) 41. a = 1;b = f (3) 43. Discontinua en = m = 2/2;m = a = 1/2;b = 5/ No eisten valores de a y b que lo cumplan 48. a = 1/2;b = 1/2 49. f (2) y sin embargo f (2 ) = f (2 + ) 50. m = 2; n = 3; f (1) 51. Raíces 1 2 y 2. Discontinua en = 4;No derivable en = 0 y = 4 Fco Javier Glez Ortiz 41 i.e.s el Astillero