= se cumplen todas las igualdades: Por tanto, una solución del sistema se puede considerar como un vector ( s s s s )

Transcripción

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Todo problem cuyo eucdo somete úmeros descoocdos vrs codcoes, es susceptble de ser epresdo por medo de gulddes o desgulddes que form u sstem de ecucoes o ecucoes. De hí l mportc de decdr de mer sstemátc cuáts solucoes tee u sstem y cómo hllrls tods. El objetvo geerl de este tem es dscutr y resolver sstems de ecucoes leles hcedo bstrccó del tpo de problems que org su pltemeto. Los csos más secllos (dos ecucoes co dos cógts y tres ecucoes co tres cógts) y se h estuddo e cursos terores. Aquí, como plccó del álgebr lel trtdo co terordd (espcos vectorles, mtrces y determtes), lzremos el cso geerl: u úmero culquer de ecucoes co u úmero culquer de cógts. Prmero defremos co clrdd el leguje que se v utlzr e este tem: coefcetes, térmos depedetes, cógts, solucó del sstem, dscusó y resolucó del sstem. Defcó: Se deom sstem de m ecucoes leles co cógts u cojuto de epresoes lgebrcs de l form: b b b b m m m m m dode (,,,, ) so ls cógts, los (,,,, m ; j,,,, ) coefcetes y los b (,,,, m) j so los so los térmos depedetes. Los coefcetes y los térmos depedetes so úmeros reles ( j, b ) R R. Resolver u sstem de ecucoes leles es ecotrr vlores reles pr ls cógts que verfque tods ls ecucoes del sstem l vez. Cd cojuto de vlores reles que stsfce tods ls ecucoes se llm solucó del sstem. Etoces, u solucó del sstem so úmeros reles ( ) sustturlos por ls (,,,, ) s, s, s,, s, s R tles que l se cumple tods ls gulddes: s + s + s + + s b s + s + s + + s b s + s + s + + s b s + s + s + + s b m m m m m Por tto, u solucó del sstem se puede cosderr como u vector ( s s s s ) espco vectorl R.,,,, del Sstems de ecucoes leles. Pg.

2 Tpos de sstems L clsfccó de los sstems se hce tededo l estec de solucoes: Sstem comptble: o tee solucó Sstem comptble determdo: tee solucó úc Sstem comptble: tee solucó Sstem comptble determdo: tee fts solucoes Notcó mtrcl y otcó vectorl Los coocmetos dqurdos sobre mtrces fclt l escrtur y el mejo de los sstems de ecucoes leles. Ddo u sstem: b b b b m m m m m podemos escrbrlo: b b b m m m m b m dode A m m m m es l mtrz de coefcetes, X y b b B b b m. El sstem puede escrbrse de form más smple como A X B. U mtrz que tedrá relevc es A b b b m m m m b m que se llm mtrz mpld. El sstem tmbé puede epresrse e form vectorl: A + A + A + + A B, dode b b A ; A ; A ; ; A ; B b b m m m m m Sstems de ecucoes leles. Pg.

3 E est otcó, ls solucoes de u sstem so los vectores de l form (,,,, ) que verfque l epresó A s + A s + A s + + A s B. Ejemplo: Ddo el sstem: , e form mtrcl será: 8 vectorl S s s s s 8 7 del sstem, y que verfc: ( ) ( ) ( ) ( ) R. El vector ( ) y e form S,,, R es solucó Defcó: Dos sstems de ecucoes leles so equvletes s tod solucó del prmero es solucó del segudo y vcevers. Defcó: Decmos que u ecucó es combcó lel de ls ecucoes de u sstem s se obtee como resultdo de sumr ls ecucoes del msmo, prevmete multplcds por u úmero rel. Teorem fudmetl de equvlec S e u sstem de ecucoes leles se susttuye l ecucó -ésm por u combcó lel de dch ecucó y ls demás ecucoes del sstem, sempre que el coefcete que multplque dch ecucó -ésm se dstto de cero, el sstem resultte es equvlete l prmero. Corolro S e u sstem de ecucoes se suprme u ecucó que es combcó lel de ls resttes, el sstem obtedo es equvlete l ddo. Los resultdos terores permte r trsformdo u sstem e otros equvletes cuys solucoes pued obteerse co más fcldd. Método de elmcó de Guss-Jord Este método, bsdo e el teorem y corolro terores, cosste e llegr u sstem esclodo trsformdo l mtrz mpld A e u mtrz esclod por fls. Los sguetes ejemplos eplc detlldmete el proceso segur. Ejemplo : + Resolver el sstem Sstems de ecucoes leles. Pg.

4 Cosdermos l mtrz mpld socd l sstem, seprdo por u líe vertcl l colum de térmos depedetes de ls resttes colums que costtuye l mtrz de coefcetes. Esto os permte hcer trsformcoes e ls dos mtrces smultáemete. A 5 Buscmos obteer u e el prmer elemeto de l prmer colum, e este ejemplo o es ecesr gu trsformcó puesto que es. Deotmos por F, F, F, ls fls de l mtrz. 0 0 F F + F F 6F + F F 5F + F Volvemos l sstem que se correspode co l últm mtrz obted que es u sstem esclodo equvlete l prmero y cuy solucó es medt: Se trt, por tto, de u sstem comptble determdo. Ejemplo : Resolver el sstem Escrbmos l mtrz mpld del sstem y procurmos teer u e el lugr fl, colum Itercmbmos F y F 8 Procedemos del msmo modo que e el ejemplo teror: F F + F F F + F F F + F El sstem resolver qued: Sstems de ecucoes leles. Pg.

5 λ λ λ λ El sstem tee fts solucoes que se hll ddo vlores reles l prámetro λ ; por tto el sstem es comptble determdo. Ejemplo : Resolver el sstem Escrbmos l mtrz mpld del sstem y procurmos teer u e el lugr fl, colum Itercmbmos F F + F F yf Escrbmos el sstem correspodete l últm mtrz y qued: , vemos que este sstem es comptble. REGLA DE CRAMER Defcó: Se dce que u sstem de ecucoes leles es u sstem de Crmer s tee el msmo úmero de ecucoes que de cógts y el determte de l mtrz de coefcetes es dstto de cero. m Sstem de Crmer A 0 Teorem: Todo sstem de Crmer tee solucó úc y el vlor de cd cógt se obtee dvdedo por el determte de l mtrz de coefcetes, el determte que result de susttur e dch mtrz l colum correspodete los coefcetes de es cógt por l colum que form los térmos depedetes. Esto es, e el sguete sstem de Crmer: b b b b el vlor de l cógt es: Sstems de ecucoes leles. Pg. 5

6 b b b b dode los térmos depedetes está colocdos e l colum. Demostrcó: E el sstem de Crmer del teorem teemos: b b A, X, B b b y el sstem se escrbe e form mtrcl: A X B. Como A 0, este A y multplcdo l guldd teror, l zquerd, por A, se obtee: A A X A B I X A B X A B, esto e form de mtrces es: Ab + Ab + Ab + + Ab A A A A A b Ab + Ab + Ab + + Ab A A A A b A A A A A b Ab + Ab + Ab + + Ab A A A A A A b Ab + Ab + Ab + + Ab A Y se obtee que Ab + A b + A b + + A b A, pr,,,,. El determte colum b b desrrollmos porlcolum b Ab + A b + Ab + + A b b Sstems de ecucoes leles. Pg. 6

7 Por tto podemos escrbr b b b b A y el teorem qued demostrdo. Utlcemos l regl de Crmer pr resolver el ejemplo, borddo terormete por el método de Guss-Jord. + Resolver el sstem Clculmos el vlor del determte de l mtrz de coefcetes m A 5 A 5 0 5, estmos te u sstem de Crmer. Aplcmos l regl de Crmer pr obteer l úc solucó de este sstem: ; ; TEOREMA DE ROUCHÉ FRÖBENIUS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS Ahor estudremos el cso más geerl de sstems de ecucoes leles y obtedremos l codcó de comptbldd, crteros de clsfccó y u método geerl de resolucó. Todo ello se bs e el sguete teorem. Teorem de Rouché-Fröbeus L codcó ecesr y sufcete pr que u sstem de ecucoes leles teg solucó es que l mtrz de coefcetes y l mtrz mpld teg gul rgo: Rg ( A) Rg ( A). S el rgo de mbs mtrces es gul l úmero de cógts, l solucó es úc. S el rgo es meor que el úmero de cógts, hy fts solucoes. Resumedo: úmero de cógts ( ) ( ) ( ) ( ) < ( ) < ( ) ( ( ) + ( )) Rg A Rg A Sstem comptble determdo Rg A Rg A Sstem comptble determdo Rg A Rg A Sstemcomptble estecsosólo puedeserrg A Rg A Demostrcó: Cosdermos u sstem de ecucoes leles co cógts escrto e form vectorl: A + A + A + + A B Sstems de ecucoes leles. Pg. 7

8 ( Vemos l codcó ecesr: Supogmos que el sstem dmte solucó; se el vector ( s s s s ),,,, u solucó. Etoces, As + As + As + + As B y, por tto, l colum de l mtrz A formd por los térmos depedetes es combcó lel de ls resttes colums de l mtrz mpld, por lo cul o umet el rgo de A l ñdrl pr formr A; luego Rg ( A) Rg ( A). ) Vemos l codcó sufcete: Se Rg ( A) Rg ( A). Como mbs mtrces dfere e l colum formd por los térmos depedetes, dch colum h de ser combcó lel de ls resttes colums de A y, por cosguete, este úmeros reles s, s, s,, s tles que As + As + As + + As B. Es decr, el vector ( s s s s ),,,, es solucó del sstem. S Rg ( A) Rg ( A) k, tommos u meor de orde k dstto de cero (meor prcpl) e l mtrz A, que se puede cosderr formdo por ls k prmers fls y ls k prmers colums (y que podemos lterr coveetemete el orde de ls ecucoes y el orde de ls cógts); es decr: k k k k kk 0 Ls ( k) fls resttes so combcó lel de ls terores; luego, el sstem cl es equvlete l sguete: kk b k + k b b k k k + k + k k kk k k kk+ k+ k A ls cógts,,, k resttes, cógts secudrs. Sstems de ecucoes leles. Pg. 8 ( ) ls llmremos cógts prcples y ls ( k) cógts Podemos cosderr los térmos e dchs cógts secudrs juto co los b de ls k ecucoes depedetes del sstem cl como los térmos depedetes del sstem ( ). El sstem ( ) es, etoces, u sstem de Crmer pues tee k ecucoes co k cógts y el determte de l mtrz de coefcetes es dstto de cero; por tto, sbemos que tee solucó de l form: ( + + ) ( ) b k k k b k+ k+ k ( ) k k bk kk+ k+ k kk,,,, k k k k k kk Colum -ésm

9 S k, l colum -ésm del determte del umerdor qued reducd los térmos depedetes b, b,, b ; por tto, l solucó es úc y el sstem comptble determdo. S k <, l clculr los vlores segú l epresó teror, hy fts solucoes, cd u de ls cules está determd ddo vlores rbtrros ls ( k ) cógts secudrs,,, k +. SISTEMAS HOMOGÉNEOS Vmos plcr el teorem de Rouché-Fröbeus l dscusó y resolucó de otro tpo prtculr de sstems: los sstems homogéeos. Defcó: Se llm sstem homogéeo u sstem de ecucoes leles e el que los térmos depedetes so todos ulos: m + m + m + + m 0 E los sstems homogéeos sempre Rg ( A) Rg ( A) (l mtrz mpld l obteemos ñdedo u colum de ceros, co lo que el úmero de colums lelmete depedetes o vrí) y, por tto, sempre so comptbles. E efecto, todo sstem homogéeo dmte por lo meos l solucó 0, llmd solucó trvl. Teorem: Es codcó ecesr y sufcete pr que u sstem homogéeo teg solucó dstt de l trvl, que el rgo de l mtrz de coefcetes se meor que el úmero de cógts. Demostrcó: S e el sstem homogéeo teror Rg ( A) º decógts, segú el teorem de Rouché- Fröbeus, l solucó es úc y será l trvl, es decr: 0. Luego, pr que est más solucoes, h de ser oblgtormete Rg ( A) < º decógts. Corolro: L codcó ecesr y sufcete pr que u sstem homogéeo co gul úmero de ecucoes que de cógts teg solucó dstt de l trvl, es que el determte de l mtrz de coefcetes se ulo. L demostrcó es evdete prtr del teorem teror. Sstems de ecucoes leles. Pg. 9