Unidad 1 LÓGICA Y CONJUNTOS

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1 Unidad 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 1.1. Proposiciones, clases y valor de verdad 1.2. Operadores lógicos Negación 1.4. Conjunción 1.5. Disyunción inclusiva y exclusiva Condicional Bicondicional 1.8. ormas proposicionales Tautología, contradicción y contingencia Implicación lógica Equivalencia lógica Clases de conjuntos Operaciones entre conjuntos Unión entre conjuntos Intersección entre conjuntos Complemento de un conjunto Diferencia entre conjuntos Diferencia simétrica

2 Introducción. Todos estamos familiarizados con la idea de que algunas personas poseen una mentalidad lógica mientras que otras no. No siempre resulta sencillo seguir razonamientos o argumentos extensos para obtener conclusiones válidas. Nosotros trabajamos con argumentos dentro de la lógica aristotélica, donde todo argumento debe ser o verdadero o falso, no existe una tercera posibilidad. Para poder manejar y operar entre estos argumentos, el lenguaje usual puede resultar ambiguo respecto a la validez de los argumentos. La frase: Pon el sobre que te sobre, sobre la mesa, sugiere que la palabra sobre tiene tres diferentes significados en la misma oración. Por ello, se necesita de un lenguaje que sea más preciso: la lógica simbólica. Su propósito consiste en establecer un nuevo lenguaje, el cual se pueda utilizar para simplificar el análisis de argumentos lógicos complicados. La lógica simbólica es la rama de las matemáticas que nos permite reconocer la validez de una argumentación, así como también nos proporciona las herramientas de razonamiento necesarias para elaborar demostraciones irrefutables y convincentes. Una parte importante de las matemáticas son las definiciones, éstas en general no responden a la pregunta qué es?, sino a la pregunta qué características tiene? Además, las definiciones tienen una parte conceptual ( qué significa?) y una parte operativa ( cómo se trabaja?). Leibniz fue el primero en concebir este planteamiento, cuando a la edad de 14 años intentó reformar la lógica clásica. En 1666, deseaba crear un método general en el cual todas las verdades de la razón serían reducidas a una especie de cálculos, llamando a la lógica simbólica característica universal. El sueño de Leibniz no se realizó hasta que Boole separó los símbolos presentes en las operaciones matemáticas, de los conceptos sobre los cuales operaban y estableció un sistema factible y sencillo de lógica simbólica. En 1854, Boole expuso sus ideas en su obra An Investigation of the Laws of Thought (Investigación de las Leyes del Pensamiento). Desgraciadamente, este trabajo no recibió buena aceptación, y no fue sino hasta que los ingleses Bertrand Russell ( ) y Alfred North Whitehead ( ) utilizaron la lógica simbólica en su obra Principia Mathematica (1902), que el mundo de la matemática dio importancia a las ideas propuestas inicialmente por Leibniz alrededor de 250 años antes. El álgebra booleana constituye un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Es usada ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras; y, sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas.

3 Proposición. Una proposición es una unidad semántica que, o sólo es verdadera o sólo es falsa. Ejemplos: 5 es un número primo = 21. Todos los números enteros son positivos. icente Rocafuerte fue Presidente del Ecuador. Las oraciones anteriormente expuestas son proposiciones, ya que son verdaderas o falsas. Todas ellas pueden ser calificadas con precisión y sin ambigüedades o subjetivismo. Usualmente, las primeras letras del alfabeto español en minúscula se usan para representar proposiciones. Ejemplo: Representación simbólica de proposiciones. 5 es un número primo puede ser representada por la letra a, de la forma: a: 5 es un número primo. Ejemplos: Oraciones que no son proposiciones. Lava el auto, por favor. Hola, cómo estás? Apúrate! La conceptualización cambia lo absurdo en azul. x +5 = 9. Mañana se acabará el mundo! Las primeras cuatro oraciones no son proposiciones porque no se puede establecer su valor de verdad. Generalmente las oraciones imperativas, exclamativas e interrogativas no son proposiciones. El quinto enunciado no es una proposición, ya que el valor de x no es preciso y por lo tanto no se puede establecer su valor de verdad. La sexta oración no es una proposición porque su valor de verdad no se puede determinar. alor de erdad. El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Éste puede ser verdadero o falso. Usualmente al valor verdadero se lo asocia con: 1,, T, True; mientras que el valor falso se lo asocia con: 0,, alse. Se podría utilizar cualquiera de ellas, pero

4 la convención a seguir en el texto será el uso de 0 y 1, tomando como referencia el sistema de numeración binario. En el ejemplo podemos observar que el valor de verdad de la segunda proposición es ERDADERO, mientras que el valor de verdad de la tercera proposición es ALSO. erdad y falsedad pueden considerarse simplemente como los valores lógicos de la unidad semántica descriptiva con sentido completo. Ese valor es lo que más nos interesa sobre una proposición. Tabla de erdad. Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una proposición. Las tablas de verdad sirven para mostrar los valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lógicas. Ejemplo: Construcción de tablas de verdad. La cantidad de combinaciones (filas de la tabla de verdad) depende de la cantidad de proposiciones presentes en la expresión lógica. Operadores Lógicos. En nuestro lenguaje común usamos frecuentemente proposiciones más complejas, no tan simples o elementales. Ejemplo: Proposiciones que no son simples. No te encontré en tu casa. ui al banco y estaba cerrado. Tengo una moneda de cinco centavos o una de diez centavos. El carro de Juan o es azul o es negro. Si me gano la lotería, entonces me compro una casa. Estudio en la ESPOCH si y sólo si me esfuerzo. Surge entonces la necesidad de definir los nexos de estas proposiciones a los cuales se denominan conectores u operadores lógicos. Gramaticalmente, estos nexos, en su mayoría, son denominados partes invariables de la oración.

5 Negación. Sea a una proposición, la negación de a, representada simbólicamente por a, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: Tabla de erdad de la Negación. Este operador lógico cambia el valor de verdad de una proposición: si a es una proposición verdadera, a es falsa; si a es una proposición falsa, a es verdadera. La negación se presenta con los términos gramaticales: no, ni, no es verdad que, no es cierto que. Ejemplos: Negación de proposiciones. Si se tiene la proposición: a: Tengo un billete de cinco dólares. La negación de a es: a: No tengo un billete de cinco dólares. Si se tiene la proposición: a: No quiero hacer el viaje. La negación de a es: a: Quiero hacer el viaje. Conjunción. Sean a y b proposiciones, la conjunción entre a y b, representada simbólicamente por a b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: Tabla de erdad de la Conjunción. Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposición resultante será verdadera solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero. En español, la conjunción copulativa se presenta con los términos gramaticales: y, pero, mas, y signos de puntuación como: la coma, el punto, y el punto y coma.

6 Ejemplos: Conjunción de proposiciones. Si se tienen las proposiciones: a: Obtengo buenas notas. b: Gano una beca. La conjunción entre a y b es: a b: Obtengo buenas notas y gano una beca. Si se tienen las proposiciones: a: Trabajo mucho. b: Recibo un bajo sueldo. La conjunción entre a y b se puede expresar como: a b: Trabajo mucho pero recibo un bajo sueldo. Disyunción. Sean a y b proposiciones, la disyunción entre a y b, representada simbólicamente por a b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: Tabla de erdad de la Disyunción. Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso. En español, la disyunción se presenta con el término gramatical o. Ejemplo: Disyunción de proposiciones. Si se tienen las proposiciones: a: Tengo un libro de Trigonometría. b: Tengo un libro de Álgebra. La disyunción entre a y b es: a b: Tengo un libro de Trigonometría o uno de Álgebra. Como se podrá notar en este ejemplo, existe la posibilidad de poseer ambos libros, razón por la cual esta disyunción recibe el nombre de disyunción inclusiva.

7 Disyunción Exclusiva. Sean a y b proposiciones, la disyunción exclusiva entre a y b, representada simbólicamente por a b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: Tabla de erdad de la Disyunción Exclusiva. Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposición resultante será verdadera cuando solamente una de ellas sea verdadera. En español, la disyunción exclusiva se presenta con el término gramatical o, o sólo, o solamente, o..., o.... La disyunción exclusiva puede expresarse como: Ejemplo: Disyunción exclusiva de proposiciones. Si se tienen las proposiciones: a: Estoy en Quito. b: Estoy en Guayaquil. La disyunción exclusiva entre a y b es: : O estoy en Quito o estoy en Guayaquil. Condicional. Sean a y b proposiciones, la condicional entre a y b, representada simbólicamente por a b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: Tabla de erdad de la Condicional.

8 Este operador lógico también se denomina enunciación hipotética o implicación. En la proposición a b, a es el antecedente, hipótesis o premisa; b es el consecuente, conclusión o tesis; y la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad del antecedente sea verdadero y el valor de verdad del consecuente sea falso. En español, la proposición a b se puede encontrar con los siguientes términos gramaticales: si a, entonces b, a sólo si b, a solamente si b, b si a, si a, b, b con la condición de que a, b cuando a, b siempre que a, b cada vez que a, b ya que a, b debido a que a, b puesto que a, b porque a, se tiene b si se tiene a, sólo si b, a, b, pues a, cuando a, b, los a son b, a implica b, o cualquier expresión que denote causa y efecto. Ejemplo: Condicional de proposiciones. Si se tienen las proposiciones: a: Juan gana el concurso. b: Juan dona $ La condicional entre a y b es: a b: Si Juan gana el concurso, dona $ Parafraseando la condicional, tenemos: Juan gana el concurso sólo si dona $ Juan dona $ si gana el concurso. Si Juan gana el concurso, entonces dona $ Juan dona $ puesto que gana el concurso. Juan dona $ debido a que gana el concurso. Juan dona $ siempre que gane el concurso. Cuando Juan gane el concurso, dona $ Juan dona $ porque gana el concurso. En base a este ejemplo, nos podemos preguntar: cuándo se quebrantará la promesa de Juan? Esto será únicamente cuando Juan gane el concurso y no done el dinero. Existen otras proposiciones relacionadas con la condicional a b, las cuales se denominan: recíproca, inversa y contrarrecíproca (o contrapositiva). La Recíproca, es representada simbólicamente por: b a. La Inversa, es representada simbólicamente por: a b. La Contrarrecíproca, es representada simbólicamente por: b a. Ejemplo ariaciones de la condicional. A partir de la proposición: Si es un automóvil, entonces es un medio de transporte.

9 La Recíproca sería: Si es un medio de transporte, entonces es un automóvil. La Inversa sería: Si no es un automóvil, entonces no es un medio de transporte. La Contrarrecíproca sería: Si no es un medio de transporte, entonces no es un automóvil. Cabe anotar que una proposición puede ser reemplazada por su contrarrecíproca sin que se afecte su valor de verdad, lo cual no se cumple con la recíproca o la inversa. A continuación se verifica este hecho en el siguiente ejemplo. Ejemplo: ariaciones de la condicional. A partir de la proposición: Si un número es divisible para 6, entonces es divisible para 3. La Recíproca sería: Si un número es divisible para 3, entonces es divisible para 6. La Inversa sería: Si un número no es divisible para 6, entonces no es divisible para 3. La Contrarrecíproca sería: Si un número no es divisible para 3, entonces no es divisible para 6. Relacionadas a la enunciación hipotética, surgen las nociones de condición necesaria y condición suficiente, y puede afirmarse con propiedad que mucha gente tiene integrada estas nociones a su lenguaje cotidiano Ejemplo: Condiciones necesarias y suficientes. Las siguientes proposiciones son verdaderas: Si n es divisible para 16, n es divisible para 2. Si n es divisible para 8, n es divisible para 2. Si n es divisible para 16, n es divisible para 8. Parafraseando las proposiciones anteriores, se tiene: n es divisible para 16 es condición suficiente para que n sea divisible para 2. n es divisible para 2 es condición necesaria para que n sea divisible para 8. n es divisible para 8 es condición necesaria para que n sea divisible para 16.

10 Cuando la proposición a b es verdadera, se puede parafrasear de la siguiente manera: basta a para que b, se necesita b para a, para que suceda a, es necesario que suceda b, b con la condición de que a. Ejemplo: Identificación de condiciones necesarias y suficientes. Si consideramos que la siguiente proposición es verdadera: Si estudias, aprobarás el curso. Podemos afirmar que es suficiente estudiar para aprobar el curso. Así mismo, es necesario aprobar el curso como consecuencia de haber estudiado. Ejemplo: Identificación de condiciones necesarias y suficientes. Si ahora suponemos que la siguiente proposición es verdadera: Aceptaré el trabajo con la condición de que me traten bien. Podemos afirmar que es suficiente que me traten bien para aceptar el trabajo. Por otra parte, es necesario aceptar el trabajo como consecuencia de que me traten bien. Bicondicional. Sean a y b proposiciones, la bicondicional entre a y b, representada simbólicamente por a b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: Tabla de erdad de la Bicondicional. Este operador lógico también se denomina doble implicación. La proposición a b será verdadera cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean iguales. También se puede observar que la proposición a b será falsa cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean diferentes. En español, la proposición a b se puede encontrar con los siguientes términos gramaticales: a si y sólo si b, a si y solamente si b, a implica b y b implica a, a cuando y sólo cuando b.

11 Ejemplo: Bicondicional de proposiciones. Dadas las proposiciones: a: Un triángulo es equilátero. b: Un triángulo es equiángulo. La bicondicional entre a y b es: a b: Un triángulo es equilátero si y sólo si es equiángulo. Proposiciones simples y compuestas. Proposiciones simples son aquellas que no poseen operador lógico alguno. Las proposiciones compuestas están formadas por otras proposiciones y operadores lógicos. Ejemplo: Traducción al lenguaje simbólico. Traduzca al lenguaje simbólico la proposición: Si la seguridad privada es efectiva, disminuyen los índices de asalto en la ciudad y el turismo se desarrolla. Los índices de asalto no disminuyen, pero la seguridad privada es efectiva. Entonces, el turismo no se desarrolla. Solución: Se pueden identificar las siguientes proposiciones simples: a: La seguridad privada es efectiva. b: Los índices de asalto disminuyen en la ciudad. c: El turismo se desarrolla. Los operadores lógicos que se encuentran presentes en esta proposición compuesta son la condicional, la conjunción y la negación. La traducción es: Ejemplo: Determinación de valores de verdad. Bajo la suposición de que los valores de verdad de las proposiciones Simples: a, b, c y d son respectivamente 0, 0, 1, 1, indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones compuestas:

12 Solución: El valor de verdad de esta proposición es falso. El valor de verdad de esta proposición es verdadero. ormas Proposicionales Se denominan formas proposicionales a las estructuras constituidas por variables proposicionales y los operadores lógicos que las relacionan. Estas formas proposicionales se representan con las letras mayúsculas del alfabeto español A, B, C Observaciones Las formas proposicionales no tienen valor de verdad conocido y, por lo tanto, no serán consideradas proposiciones. Si cada variable proposicional es reemplazada por una proposición simple o compuesta, la forma proposicional se convierte en una proposición. Si reemplazamos a las variables proposicionales por proposiciones verdaderas o falsas, el número de proposiciones que se generan es, siendo n el número de variables proposicionales. Las formas proposicionales pueden ser conectadas con operadores lógicos para formar nuevas formas proposicionales. Dadas A y B, los símbolos: Representan nuevas formas proposicionales. Ejemplo: Tabla de verdad de una forma proposicional. Dada la siguiente forma proposicional:

13 Debido a la presencia de las 3 variables proposicionales p, q y r, existirán proposiciones posibles en la tabla de verdad de A. Cuando las variables proposicionales p, q y r toman los valores de verdad 1, 0 y 1, respectivamente, se puede apreciar que la proposición resultante es verdadera. SIGNOS DE PUNTUACIÓN, AGRUPACIÓN Y ORDEN DE LOS OPERADORES O CONECTIOS LÓGICOS Los signos de agrupación más conocidos tenemos: el paréntesis, corchete y llaves ( ); [ ] ; Estos signos reemplazan a los signos gramaticales: punto (.), la coma (,), el punto y como (;), y los dos puntos (:). Los signos de agrupación se usan en lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicos más complejos con el fin de evitar la ambigüedad de las fórmulas: 1. Si las proposiciones tienen el mismo tipo de operador o conectivo lógico, se debe colocar los paréntesis de izquierda a derecha así: p q r = (p q) r p q r s = [(p q) r ] s p q r s = [(p q) r] s 2. Si no hay signos de puntuación ni paréntesis se debe considerar el siguiente orden de menor a mayor jerarquía de los operadores y de izquierda a derecha, para ubicar los paréntesis.,,,, Ejemplos: p q r = (p q) r p q r v s = (p q) (r v s ) p q r s = (p q) (r s)

14 3. Si la proposición compuesta está escrita con paréntesis, la ubicación de éstos nos indicará cuál es el operador predominante: Ejemplos: p q r = (p q) v r Es un esquema disyuntivo p q r v s = (p q) ( r v s ) Es un esquema condicional p q r s = (p q) (r s ) Es un esquema bicondicional. 4. Si un esquema molecular no lleva los signos de agrupación, se puede indicar cuál es el operador predominante así: 1) Conjunción p r s (p r) s 2) Condicional p q s ) Condicional p q r ) Condicional r p q ) Conjunción r p q ) Disyunción r q t ) Disyunción q p s ) Disyunción q p s ) Disyunción q r s ) Condicional q r s ) Negación p r ) Condicional p r ) Negación t s Dadas las siguientes proposiciones matemáticas, incluir los paréntesis. 1. Disyunción x 0 x > y y = z x 0 ( x > y y = z) 2. condicional x = 0 x > y y z condicional x = 0 x 0 y z condicional x > y x y y > z conjunción x = 0 x > 0 y= condicional x = y y = z x= z conjunción x = y y = z y z En la proposición compuesta: p ( q r ) el conector principal es. En la proposición compuesta: p q el conector principal es En la proposición compuesta: p ( p r) el conector principal es En la proposición compuesta: [ ( p q) (r s)] el conector principal es Como podemos darnos cuenta, que los signos de puntuación permiten, entre otras cosas, identificar en una proposición compuesta el CONECTOR DOMINANTE O CONECTOR PRINCIPAL O EL DE MAYOR JERARQUÍA

15 Debemos recordar que un esquema molecular es la combinación de las variables, operadores lógicos y los signos de agrupación. CÁLCULO PROPOSICIONAL ALORES DE ERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS Hay dos formas de establecer los valores de verdad: 1. Por medio de las tablas de verdad Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad de una proposición compuesta y depende de las proposiciones simples y de los operadores que contengan. Es posible que no se conozca un valor de verdad específico para cada proposición; es este caso es necesario elaborar una tabla de verdad que nos indique todas las diferentes combinaciones de valores de verdad que pueden presentarse. Las posibilidades de combinar valores de verdad dependen del número de proposiciones dadas. Para una proposición (n = 1), tenemos 2 1 = 2 combinaciones Para dos proposiciones (n = 2), tenemos 2 2 = 4 combinaciones Para tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8 combinaciones Para n proposiciones tenemos 2 n combinaciones Ejemplo: dado el siguiente esquema molecular, construir su tabla de valores de verdad: Pasos para construir la tabla: ( p q) (p r) 1. Determinamos sus valores de verdad 2 3 = 8 combinaciones 2. Determinamos las combinaciones (Tome en cuenta, que =1 y also=0): p q R

16 3. Adjuntamos a éste cuadro el esquema molecular y colocamos debajo de cada una de la variables sus valores de verdad : P q r ( p q ) ( p r ) (4) (5) (6) 4. Aplicamos la conjunción de: ( p q ) 5. Aplicamos la condicional ( p r ) 6. Aplicamos la bicondicional ( p q ) ( p r ) El operador de mayor jerarquía es el que determina los valores de verdad del esquema molecular. Ejercicios: Sabiendo que p es falsa, q es verdadera y r es falso, hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas por medio de la tabla de verdad. a) (p q) (p q) b) p (q r) c) q ( p q) d) ( p q) (p r) e) ( q ) (q r) f) (r r) r

17 Ejercicios 1. Si el valor de verdad de la proposición: q p, es falsa, Cuál será el valor de verdad de: q p. 2. Completar con o, cada una de las siguientes proposiciones, justificar la respuesta: a. Se sabe que p q es verdadera. Por lo tanto el valor de verdad de p q es: b. Se sabe que p q es falsa. Por lo tanto, el valor de verdad de p q es: c. Se sabe que p q es falsa. Por lo tanto, el valor de vedad de p q es: d. Se sabe que p es falsa y p q es verdadera. Por lo tanto, p q es: e. Se sabe que q y r es verdadera. Por lo tanto q ( p r) es: Escribir simbólicamente las proposiciones siguientes y encontrar el valor de verdad por el diagrama del árbol: a. 2 es número par y 21 es múltiplo de 3, ó 5 es la raíz cuadrada de 10 b. Si el m.c.m. de 12 y 15 es 60 y 3 es el cuadrado de 9, entonces, estudio o juego ajedrez. Tautología, Contradicción, Contingencia. Dada la estructura lógica de una forma proposicional: Si se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una TAUTOLOGÍA.

18 Si se tienen solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una CONTRADICCIÓN. Si se tienen algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una CONTINGENCIA. Partiendo de estas definiciones, la forma proposicional A del ejemplo anterior constituye una contingencia, mientras que la forma proposicional B: p p es una tautología; y, la forma proposicional C: pʌ p es una contradicción. Observe: Implicación lógica. Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A implica lógicamente a B, denotado por, si y sólo si A B es una tautología. CONTINGENTES Cuando en su resultado hay por lo menos una verdad y una falsedad Ejemplo: dado el siguiente esquema: ( p q) (p r) p Q r ( p q ) ( p r ) El esquema es contingente TAUTOLOGÍA. Es una proposición que siempre es verdadera, independientemente del valor lógico de las proposiciones simples que la componen. Se puede decir también que un esquema es un tautológico cuando los valores de verdad del operador principal son todos verdaderos.

19 Ejemplo: Si p y q son proporciones simples distintas, demuestre mediante tablas de certeza que el siguiente esquema proposicional es una tautología. (p q) (p q) p q ( p q ) ( p q ) Es un esquema tautológico CONTRADICCIÓN.- Es cuando en el resultado todos los valores de verdad son falsos o Un esquema A es una contradicción si no A ( A), es una contradicción cuando todos los valores del operador de mayor jerarquía son falsos. Indeterminación: es la sentencia que ni es verdadera ni falsa. Ejemplo: Dado el siguiente esquema molecular: ( p q) r [ r ( p q ), Determinar si se trata de una contradicción: P q r ( p q ) r [ r ( p q ) Podemos observar en el ejemplo anterior que no se trata de una contradicción; pero si es un es un esquema contingente. OBSERACIÓN: A la tautología se la simboliza con la letra T A la idea de tautología se la relaciona con el conjunto universal A la contradicción se la simboliza con la letra C A la contradicción se la relaciona con el conjunto vacío. La negación de una tautología es una contradicción La negación de una contradicción es una tautología.

20 EJERCICIOS Comprobar por medio de una tabla de verdad que las siguientes esquemas compuestas son tautologías, contingentes o contradictorios 1. p p 2. (p q) ( q p) 3. ( p q ) ( q r )] ( p r) 4. [p ( p q ) q 5. ( p q) ( q p) Ejemplo: Implicación Lógica. La forma proposicional tautológica:, se puede traducir al lenguaje común como si se tiene p, de cualquier manera q se seguirá teniendo p. Ejemplo: Implicación Lógica. La forma proposicional tautológica: se puede traducir al lenguaje común como si cada vez que se tiene p se tiene q y cada vez que se tiene q se tiene r, entonces cada vez que se tiene p se tiene r. Se lo representa por el símbolo, no es un conectivo lógico, es un signo de relación Se dice que un esquema A implica a otro esquema B, cuando al unirlos por la condicional nos da una tautología. Simbólicamente se lo representa así: A B. Si la proposición compuesta A implica a la proposición compuesta B, entonces B se deduce necesariamente de A, o también se dice que B se infiere lógicamente de A.

21 Ejemplo: Demostrar que el esquema A implica a B A: p q B: p q Luego unimos con la condicional y construimos la tabla: p q p q p q p q p q Como el resultado es una tautología, se ha demostrado que A implica a B. Nota: la relación de implicación no es recíproca. Equivalencia lógica. Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A es equivalente lógicamente a B, denotado por, si y sólo si es una tautología. Cuando se requiere sustituir una estructura por otra que sea equivalente, alternativamente el símbolo se lo reemplaza por. Ejemplo: Equivalencia Lógica. La forma proposicional, se puede traducir al lenguaje común como cada vez que se tiene p, se tiene q, y es lógicamente equivalente a cuando no se tiene q, entonces no se tiene p. EQUIALENCIAS LÓGICAS Se lo representa por pero no es un operador lógico. Decimos que dos proposiciones compuestas P y Q son equivalente, sí al unir las dos con la bicondicional nos da una tautología, es decir que P y Q tienen los mismos valores de verdad en su operador principal. Simbólicamente se escribe así: P Q ó P Q Se lee P es equivalente a Q ó Q es equivalente a P. Si no son equivalentes se los escribe así: P Q

22 Si P y Q son equivalentes, entonces Q se deduce válidamente a partir P, y a la vez también P se deduce necesariamente a partir de Q. Para demostrar que una proposición compuesta es equivalente a otra, se lo puede hacer por medio de las tablas de verdad o por medio de las leyes y reglas de inferencia que veremos a continuación. A los esquemas moleculares compuestos se los representa con las letras mayúsculas A, B, C,.. etc. ó con P, Q, R, etc. Ejemplos: Determinar si las proposiciones siguientes son equivalentes, por medio de la tabla de verdad: A: Si Pedro aprobó el curso preuniversitario, entonces ingresó a la UNL. Simbólicamente: p q B: No es el caso que: Pedro apruebe el curso preuniversitario y no ingrese a la UNL Simbólicamente : ( p q ) Luego demostramos que: p q ( p q ) Seguidamente para demostrar que estos dos esquemas son equivalentes, los unimos con la bicondicional así: ( p q ) ( p q ) y construimos una tabla de verdad: p q ( p q ) ( p q ) Dado que el resultado de la tabla es una tautología, las proposiciones A y B son equivalentes. Otro Ejemplo: P: q p ; Q: ( q p ) p q ( q p ) ( q p ) Aquí observamos que la columna 1 y 3 de los operadores principales de las proposiciones P y Q son iguales, por lo tanto son equivalentes.

23 También las proposiciones P y Q son equivalentes porque al unirlas con la bicondicional nos dio una tautología. Ejercicios: Demostrar que los siguientes esquemas moleculares son equivalentes a) [ p ( q r ) ] [ ( p q ) ( p r ) b) p ( q r ) ] ( p q ) ( p r ) c) ( p ( q r) (p q ) r d) (p (q r) (p q) r e) ( p q ) ( p q ) f) ( p q ) ( p q ) LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL. En lógica, las tautologías son conocidas con el nombre de leyes o principios lógicos. A continuación anotamos las principales leyes que vamos a utilizarlos en el futuro y que usted de familiarizarse: L- 1: Leyes de Idempotencia para y para Si p es una proposición simple o compuesta, entonces: a. (p p) p b. (p p) p Según estas leyes, las proporciones ( p p) o (p p) pueden sustituirse por p. L 2: Leyes de Identidad para y para Si p es una proposición simple o compuesta, entonces: a) p ( ) ( ); es decir, cuando formamos la disyunción de una proporción p, cuyo valor de verdad es desconocido, con otra cuyo valor de verdad de ( ), el resultado es ( ), ya que la disyunción es ( ) cuando al menos una de las proposiciones dadas es verdadera. b) p ( ) p; es decir, el valor de verdad de la disyunción de una proposición p, cuyo valor de verdad no conocemos, con otra cuyo valor de verdad es ( ), depende del valor de p. c) p ( ) p; en este caso el análisis es similar a la parte b), teniendo en cuenta que aquí el conector es

24 d) p ( ) ( ); el análisis es similar al de la parte a), teniendo en cuenta aquí que el conector es L- 3: Leyes Conmutativas y para Si p y q son proposiciones, entonces: a) ( p q ) ( q p ) b) (p q ) (q p), es decir, dos proporciones conectadas con pueden escribirse en cualquier orden. L - 4: Leyes Asociativas Si p, q,, son proposiciones cualesquiera, entonces: g) ( p ( q r) (p q ) r h) (p (q r) (p q) r L 5: Leyes Distributivas: Si p, q, r son proposiciones cualesquiera, entonces. i) [ p ( q r ) ] [ ( p q ) ( p r ) j) p ( q r ) ] ( p q ) ( p r ) Estas leyes son similares a las que conocemos en el álgebra para la suma y la multiplicación. Recordemos que: 4( x + y ) = (4x) + ( 4y) L 6: Ley de la Doble Negación: Si p es una proposición simple cualquiera, entonces: ( p ) p Al negar dos veces una proposición obtenemos una afirmación. L 7: Ley del Tercer Excluido: Si p es una proposición cualesquiera, entonces: ( p p) ( ) Esta propiedad establece que independientemente del valor de verdad que tenga p, la proposición: (p p) siempre es verdadera. Por tanto, en un esquema lógico complejo podemos reemplazar (p p), (q q), (r r), (a b) (a b), etc., por ( ). L 8: Ley de Contradicción: Si p es una proposición cualesquiera, entonces: ( p p ) ( ) Esquemas como (p p), (q q), (r r) pueden remplazarse por ()

25 L 9: Leyes de De Morgan: Si p, q son proposiciones simples o compuestas, entonces: k) ( p q ) ( p q ) l) ( p q ) ( p q ) Estas leyes nos indican cómo negar una disyunción y una conjunción. La parte: a) establece que para negar una conjunción es necesario cambiar la conjunción por disyunción ( por ) y negar las proposiciones dadas. La parte b) establece que para negar una disyunción debemos cambiar la disyunción por la conjunción (la por ) y negar las proposiciones dadas. Ejemplo: Negar la proposición: 7 es un número primo y 30 es divisible por 5. Solución: Cambiamos y por o y negamos las proposiciones simples que forman el enunciado, así: 7 no es un número primo o 30 no es divisible por 5. L 10: Ley de la condicional: Usando tablas de verdad podemos verificar que: p q equivale a p q. La proposición p q es una abreviación de la proposición p q; es decir: ( p q ) ( p q) NOTA: Son muchos los esquemas lógicos que ofrecen alguna complejidad y pueden simplificarse utilizando esta definición alterna del condicional. Ejemplo: Escribamos sin condicional las proposiciones siguientes: a. ( p q) r b. p ( q ) c. p q SOLUCIÓN: a. (p q ) r ] ( p q ) r b. p ( q r ) ] p ( q r ) c. ( p q ) ( p ) q p ( q )

26 Ejemplo: Escribamos una proposición equivalente a: Si X es par entonces x es divisible por 2 SOLUCIÓN: Usando la definición alterna de la implicación tenemos: x no es par o x no es divisible por 2 Ejemplo: Comprobemos que ( p q) ( p q) SOLUCIÓN: Elaboramos la tabla de verdad: P q p ( p q) ( p q) (1) (3) (2) L- 11 Ley de la Bicondicional. p q ( p q ) ( q p ) L- 12 Conjunción Negativa. p q p q L-13 Disyunción Exclusiva. p q ( p q ) ( p q ) Ejercicios: Demuestre las leyes mediante el uso de las tablas de verdad. APLICACIONES DE LAS LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL Las leyes nos pueden servir para demostrar que un esquema es equivalente a otro, también podemos utilizar en la simplificación de proposiciones etc. Ejemplo: Probemos que ( p q ) p q )] SOLUCIÓN: 1. ( P Q ) ( p ) q Definición alterna de implicación 2. ( p) ( q ) Ley de De Morgan para 3. p ( q) Ley de la Doble Negación Luego: ( p q ) p ( q)

27 Ejemplo: Probemos que la proposición ( p q) p es una tautología. SOLUCIÓN: 1. ( p q ) p ] ( p q ) p Definición alterna de 2. ( p q) p Ley de De Morgan para 3. ( p p ) ( q) Ley Asociativa de la 4. ( ) ( q ) Ley del Tercer excluido 5. ( ) Ley Idéntica de la Por lo tanto, al ser ( p q ) p ( ), concluimos que es una tautología. Ejemplos: Probemos que la proposición [ ( p q) ( q)] ( p) es una tautología. Probemos que la siguiente proposición es una contradicción: [ p q ) ( p q ) ] [ ( p q ) ( p q ) Elaborar la tabla de verdad de las siguientes proposiciones y decir en cada caso si se trata de una tautología, una contradicción o una determinación. a) ( p q) ( p q ) b) ( p q) ( p q) c) p ( q r ) d) p ( p q) e) ( p q ) ( p q) f) ( p q ) p g) ( q r ) ( q r) h) ( r r ) r Los siguientes ejercicios deben resolverse aplicando las Leyes del Álgebra proposicional y no por tablas de verdad.- Probar que las proposiciones siguientes son tautologías: a) [ q ( p q ) ] ( p ) b) [ ( p q ) q ] ( p ) c) [ ( p ( q r ) ] [ ( p q ) r ] d) [ p ( p q ) ] q e) p ( p q ) Simplificar las siguientes proposiciones utilizando leyes: a) p q ) ( p q ) b) p ( p q ) c) m ( m n ) d) [ t ( m t ) e) ( p q ) ( p q ) ]

28 CONJUNTOS Conjunto. Un conjunto es una colección, reunión o agrupación de objetos que poseen una característica o propiedad común bien definida. Para establecer si un objeto pertenece o no a un conjunto, debe verificarse que posea la característica o propiedad declarada por el conjunto. De aquí que es importante que esta característica no sea ambigua. Los conjuntos usualmente se denotan con letras mayúsculas del alfabeto español. Ejemplo: Conjuntos. Algunas agrupaciones que representan conjuntos son: Los números enteros. Los habitantes de la Luna. Los animales en extinción. Los números primos. Los paquetes de software. Los operadores de telefonía celular. Todas estas agrupaciones poseen una característica que puede ser verificable con precisión. Para decir que x es un elemento del conjunto A, escribiremos x A. Para decir que x no está en A, escribiremos x A. La descripción de un conjunto se puede realizar de las siguientes maneras: Por COMPRENSIÓN, para referirnos a alguna característica de los elementos. Por EXTENSIÓN o TABULACIÓN, cuando se listan todos los elementos. Por medio de DIAGRAMAS DE ENN, cuando se desea representarlo gráficamente. Ejemplo: Descripción de conjuntos. Por COMPRENSIÓN: A = {x/x es consonante de la palabra amistad} Por EXTENSIÓN o TABULACIÓN: A = {d, m, s, t} Por DIAGRAMAS DE ENN: Note que: d A b A

29 Para algunas operaciones que se realizan entre conjuntos, es de mucha utilidad conocer la cantidad de elementos que posee el conjunto. Dicha cantidad recibe el nombre de cardinalidad, la cual se define a continuación. Cardinalidad. Es la cantidad de elementos de un conjunto A. Se denota por el símbolo N(A). Ejemplo: Cardinalidad de conjuntos. A = {x/x es un dígito impar en el sistema de numeración decimal} N(A) = 5, porque A = {1, 3, 5, 7, 9} Conjuntos relevantes Sea A un conjunto, se pueden dar los siguientes casos: A es ACÍO si no tiene elementos. El símbolo que se utiliza para representar al conjunto vacío es. N(A) = 0 A es UNITARIO si tiene un único elemento. N(A) = 1 A es INITO si tiene una cantidad finita de elementos. A es ININITO si no tiene una cantidad finita de elementos. A es REERENCIAL o UNIERSO cuando contiene todos los elementos que deseen considerarse en un problema, discurso o tema, sin pretender contener todo lo que no interesa al problema. El símbolo que se utiliza para representar a este conjunto es Re o U. Ejemplo: Conjuntos relevantes. Conjunto ACÍO: A = {x/x es un número par e impar a la vez} Conjunto UNITARIO: A = {*} Conjunto INITO: A = {x/x es habitante del Ecuador} Conjunto ININITO: A = {x/x es número entero} Conjunto REERENCIAL o UNIERSO: A = {x/x es una letra del alfabeto español}

30 Cuantificadores. Hasta ahora hemos considerado solamente la inferencia lógica de la estructura de proposiciones que son clasificadas como verdaderas o falsas. Sin embargo, en matemáticas se pueden considerar tres tipos de frases o expresiones: 1) erdaderas, 2) alsas y 3) Indistintas o abiertas. A continuación se proporcionan ejemplos de cada uno de estos tipos: 1. Expresiones que son proposiciones verdaderas = 8 2 < 6 2. Expresiones que son proposiciones falsas = 10 2 > 6 3. Expresiones indistintas o abiertas 5x + 3y = 8 2x < 6 emos que estas expresiones indistintas o abiertas pueden ser verdaderas o falsas, dependiendo de las sustituciones que se hagan para x o y Se desea aplicar ahora el estudio de la lógica a las expresiones abiertas. Para este fin, debemos restringir o cuantificar la variable, diciendo que la expresión es verdadera para todos o algunos de sus valores posibles. De aquí que, se hace necesario contar con una simbología especial, que permita obtener proposiciones a partir de expresiones abiertas. A continuación se definirán los denominados cuantificadores, los cuales permitirán lograr este propósito. Cuantificador Universal. Cualquier expresión de la forma: para todo, todo, para cada, cada, constituye en el lenguaje formal un cuantificador universal y se simboliza por medio de. Cuantificador Existencial. Cualquier expresión de la forma: existe, algún, algunos, por lo menos uno, basta que uno, constituye en el lenguaje formal un cuantificador existencial y se simboliza por medio de. Ejemplo: Cuantificadores. x, 2x + 3x = 5x Se lee Para todo número x se cumple que 2x + 3x = 5x. x, 2x + 2 = 4 Se lee Existe al menos un número x, para el cual 2x + 2=4.

31 Como el lector podrá apreciar, estas dos expresiones sí pueden ser calificadas como verdaderas o falsas, lo cual las convierte en proposiciones de acuerdo a la definición. emos que en el caso de una expresión abierta con cuantificadores, se sugiere o se supone algún conjunto referencial, del cual se obtienen los valores posibles de la variable. Subconjunto. El conjunto A es subconjunto de B si y sólo si los elementos de A están contenidos en B. Simbólicamente, este concepto se representa por: Si A es subconjunto de B (A B) pero B no es subconjunto de A (B A), se dice que A es SUBCONJUNTO PROPIO de B, lo cual se representa por: La proposición (x ) es falsa, porque no existen elementos que pertenezcan al conjunto vacío. Adicionalmente, la proposición 0 p es siempre verdadera, sin importar el valor de verdad de la proposición p, con lo que podemos concluir que: [(x ) (x A)] 1, es decir que A. El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. Si realizáramos un análisis similar, podríamos concluir también que todo conjunto es subconjunto de sí mismo: A A. Conjunto Potencia. Dado un conjunto A, su conjunto potencia es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles de A. El símbolo que se utiliza para este conjunto es P(A). P(A) ={B/B A} La cardinalidad del conjunto potencia de A se denota como N(P(A)) y es igual a 2 N(A) Ejemplo: Conjunto Potencia. A partir de este resultado, las siguientes proposiciones son verdaderas:

32 Ejemplo: Conjunto Potencia. Dado el conjunto B = {1, {*, }}, construya P(B). Solución: Los subconjuntos posibles de B son:, {1}, {{*, Entonces P(B) = {, {1}, {{*, }}, B}. Observe que N(P(B)) = = 4. }}, B Relaciones entre conjuntos Usando las definiciones y las propiedades de la lógica proposicional, se tiene: (A = B) x[(x A) (x B)] Conjuntos disjuntos e intersecantes. Los conjuntos A y B son DISJUNTOS si y sólo si A y B no tienen elementos en común. Los conjuntos A y B son INTERSECANTES si y sólo si A y B tienen al menos un elemento común. Operaciones entre conjuntos. Es posible realizar operaciones entre conjuntos para formar otros nuevos. Las operaciones más utilizadas son: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complementación. Unión entre conjuntos. La unión entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Se denota por A B y se define como: A B = {x/(x A) (x B)} Propiedades: Diagrama de enn de la Unión entre Conjuntos.

33 Intersección entre conjuntos. La intersección entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. Se denota por AB y se define como: A B = {x/(x A) (x B)} Propiedades: Diagrama de enn de la Intersección entre Conjuntos. Diferencia entre conjuntos. La diferencia entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B. Se denota por A-B y se define como: A-B = {x/(x A)ʌ (x B)} Propiedades: Diagrama de enn de la Diferencia Simétrica entre Conjuntos. Complementación de conjuntos. La complementación de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A. Se denota por y se define como:

34 = {x/(x Re) ʌ (x A)} Ejemplo: Sean: Diagrama de enn de la Complementación de Conjuntos. U = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8} A = {1, 3, 4, 7, 8} = {2, 5, 6} Gráficamente: Propiedades: Propiedades de las operaciones entre conjuntos. Las operaciones entre conjuntos y algunas de sus más importantes propiedades se incluyen en las denominadas Leyes del Álgebra de Conjuntos. A continuación se presentan las de uso más frecuente: Leyes de las Operaciones undamentales Unión e Intersección.

35 Diferencia Simétrica ( ).- Se llama diferencia simétrica de los conjuntos A y B, al conjunto de elementos de A y B, excepto los que pertenecen a la intersección. Esto es, que pertenecen a A o a B. A B = {x/x x A y x B} v {x/x x B y x A} NOTA: Puede decirse también que a b es el conjunto de todos los elementos de a que no pertenecen al conjunto a b. En otras palabras a b es el conjunto formado por los elementos exclusivos de a o de b. Gráficamente:

36 1.- Tabule los siguientes conjuntos a) { } Ejercicios de Conjuntos. b) { } c) { } d) { } 2.- Determina los valores de x para que estos conjuntos sean unitarios. { } { } { } { } { } { } { } { } 3.- Si { } { } { } Gráfica y determina: a) Q (R P) b) (Q P ) (R P ) b) c) (Q P )ʼ R d) P (R P )ʼ e) Q (R-P) f) (Q P ) - (R P ) f) g) (R U P )ʼ Q h) P (Q P )ʼ 4.- En un aula de 20 alumnos, 13 hacen deporte, 3 solamente pintan, 5 hacen deporte y pintan. Cuántos alumnos no hacen deporte ni pintan? 5.- De un grupo de alumnos, 18 practican karate y natación, 32 practican sólo natación y 23 sólo karate. Si 16 no practican estos deportes, Cuántos alumnos son? 6.- De un grupo de alumnos, 18 practican karate y natación, 32 practican sólo natación y 23 sólo karate. Si 16 no practican estos deportes, Cuántos alumnos son? 7.- De un grupo de alumnos de primer grado, a 90 les gusta la comunicación, a 120 les gusta la matemática y a 35 ambos cursos. A cuántos les gusta solo uno de estos dos cursos?