Cambio de Variables en las Integrales Dobles

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Carlos Montoya González
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1 E.E.I. CÁLCULO II Y ECUACIONES DIFEENCIALES Curso 20-2 Clse 3 (7 fe. 202) Cmio de Vriles en ls Integrles Doles. Ejemplo: Áre de l elipse. 2. Cmio de Vriles I. Punto de ist de l trnsformción. 3. Cmio de Vriles II. Punto de ist geométrico. 4. Oserción: Dirección de l trnsformción cálculo del determinnte jcoino. 5. Ejemplo. 6. esumen de los tres psos pr relizr un cmio de rile: Elemento de áre, Integrndo, Límites de integrción. Ejemplo: Áre de l elipse. Pr entender l cle del cmio de riles mos empezr con un ejemplo mu sencillo: Supongmos que queremos clculr el áre de un elipse. Consideremos l elipse de semiejes. Su ecución es: x + =. Est elipse encierr un región cuos puntos erificn x + pple un de ls forms de clculr su áre es clculr l integrl dole dx d. ( x ) 2 +( ) 2 pple Se puede clculr est integrl expresándol como integrles iterds en coordends crtesins eso es un ejercicio que deéis de ser hcer, pero es no es l form más sencill de clculrl. L form más sencill de clculrl es usr un cmio de riles que trnsforme l región de integrción (un elipse) en un círculo pr luego integrr en coordends polres. Fijos que l ecución de un elipse es csi como l de un circunferenci de rdio. De hecho un elipse de semiejes es un circunferenci de rdio que h sido estird por un fctor igul en l dirección del eje x por un fctor igul en l dirección del eje. Esto sugiere que utilizemos el cmio de riles u = x, =. En términos de u l ecución de l elipse es u = El círculo unitrio en plno u!. Pr cmir de riles en nuestr integrl tenemos que clculr dx = du, d = d; entonces el elemento de áre se conierte en dx d = du d nuestr integrl se conierte en: dx d = ( x ) 2 +( ) 2 pple u pple hor es fácil integrr usndo coordends polres. du d = du d u pple En relidd, l integrl que nos prece en este cso no hrí flt ni clculrl porque represent el áre del círculo unitrio semos que el áre del círculo unitrio es igul. Por tnto, podemos poner directmente que el áre de l elipse es igul.

2 Fijros que el rzonmiento nterior sire pr simplificr tmién culquier integrl dole sore un región que se un elipse que otendrímos: f (x, ) dx d = f (u, ) du d ( x ) 2 +( ) 2 pple u pple hemos reducido nuestr integrl un que se puede psr fácilmente coordends polres. 2 Cmio de Vriles I. Punto de ist de l trnsformción. 2. Cso Linel. El ejemplo de l elipse es mu sencillo porque en él ls dos riles se trnformn de form independiente el cmio de riles se reduce dos cmios de rile independientes. En generl, l cos no es tn sencill porque un trnsformción de coordends puede mezclr ls coordends de form que no puedn trtrse seprdmente. Por otro ldo, el ejemplo de l elipse tiene l irtud de mostrrnos que l cle de un cmio de riles es el hecho de que l trnsformción de ls riles iejs ls nues produce cmios de escl que ltern ls áres. En otrs plrs, l trnsformción conierte un región de áre A en otr región con áre A 0 6= A. Por ejemplo, en el cso nterior tenímos A = A 0 o equilentemente dx d = du d. En generl tendremos A = ka 0, donde k es el fctor por el que se multiplicn ls áres l plicr l trnsformción, de form que tendremos dx d = k du d. Vmos er hor un ejemplo, todí stnte sencillo, pero que muestr el efecto de l mezcl de riles el cmio de ls áres. Supongmos que en ciert integrl dole, d A, decidimos relizr el siguiente cmio de rile: u = 3x 2, = x +. Puede her ris rzones por ls que nos interese este cmio. Tl ez l región de integrción se mucho más fácil de expresr en términos de u (cso en que l región esté comprendid entre dos curs de niel de l función u(x, ) dos curs de niel de (x, )) se con este cmio de riles se simplificn los límites de integrción, o tl ez l rzón por l que interese ese cmio es simplemente que l hcerlo se simplific el integrndo. Culquier que se l rzón, lo que necesitmos erigur es cuál es el fctor por el que se multiplicn ls áres l relizr el cmio. L form más sencill de clculr ese fctor es er l relción que h entre un elemento de áre A el elemento de áre A 0 en el que A se trnsform l plicr el cmio de coordends. Si A es un rectángulo con un értice en el origen de ldos x,, como el cmio de coordends en este ejemplo es un trnsformción linel, este elemento se trnsform en el prlelogrmo determindo por los ectores imágenes de (x, 0) (0, ) que son: ( u(x, 0) = 3x (x, 0) = x ( u(0, ) = 2 (0, ) = A u x T A' Tu u El áre de l región resultnte es igul l lor soluto del determinnte de l mtriz cus columns son esos dos ectores: 3x 2, x 2

3 l cul es justmente l mtriz de l trnsformción linel. Así pues, A 0 es: A 0 3x 2 = det x = A = 5A. x Esto nos dice que ls áres de regiones en el plno u son cinco eces mores que ls de ls regiones correspondientes en el plno x. Dicho de otr form, du d = 5dx d, con lo cul el fctor k en este ejemplo es k = 5 por tnto pr este cmio de riles tendrímos: dx d = 5 du d f (3x 2, x + ) dx d = f (u, ) 5 du d. 2.2 Cso Generl. En el ejemplo nterior, deido l hecho de que ls ecuciones del cmio de riles son lineles, el fctor k por el que se multiplicn ls áres es constnte, es decir, no depende de ls riles u,. En el cso generl dicho fctor puede cmir de lor de un punto otro porque un trnsformción generl diltrá ls áres en uns zons ls comprimirá en otrs. Por tnto en el cso generl k será un función de u : k(u, ). Cómo podemos determinr el fctor k en esos csos?. L solución es l siguiente: Fijmos un punto (x 0, 0 ) clculmos en ese punto l proximción linel de l trnsformción, es decir, su polinomio de Tlor de primer orden. Dds ls funciones u(x, ) (x, ), pequeñs desiciones x de ls coordends x 0 e 0 producen pequeñs desiciones u, que están proximds por: u ' @ o, en form mtricil, 0 u @ x = J(x 0, 0 ) donde J(x 0, 0 ) es l mtriz jcoin de l trnsformción elud en el punto (x 0, 0 ). x En consecuenci, el fctor por el que se multiplicn ls áres cerc de (x 0, 0 ) está ddo por el lor soluto del determinnte de l mtriz jcoin. Este determinnte se denot sí que tenemos en generl: det J(x, ) = du d = det J(x, ) dx d = dx d. 3 Cmio de Vriles II. Punto de ist geométrico. Supongmos que queremos relizr el siguiente cmio de riles en un integrl dole: u = u(x, ), = (x, ) supongmos tmién que podemos inertir ess fórmuls despejndo x e como funciones de u : x = x(u, ), = (u, ). Ests funciones nos proporcionn ls ecuciones prmétrics de dos fmilis de curs que son ls curs u = cte. por un ldo ls curs = cte. por otro. Eidentemente ctú de prámetro pr ls curs u = cte. u pr ls curs = cte. 3

4 Fijdo un lor 0 de tenemos ls ecuciones prmétrics de un cur: x = x(u, 0 ), = (u, 0 ). A un incremento du del prámetro u le corresponde sore est cur un desplzmiento ddo por el dr u = V u du du Con un rzonmiento nálogo se deduce que un incremento d del prámetro sore un cur u = cte. d lugr un dr = V Estos dos desplzmientos determinn un elemento de áre que es un prlelogrmo elementl dptdo ls coordends u. Este áre elementl es igul da = kdr u dr k = det @ A du d = En consecuenci pr expresr un integrl dole como integrles iterds en ls coordends u necesitmos poner: f (x, ) da = f x(u, ), (u, ) du d. 4 Oserción: Dirección de l trnsformción cálculo del determinnte jcoino. Ls ecuciones del cmio de riles o trnsformción de coordends pueden drse se como trnsformción de ls riles x e ls u, o l reés, siendo un l trnsformción iners de l otr. Por ejemplo, en el cso de ls coordends polres podemos escriir q x = r cos r = x o, equilentemente, = r sen = rctn x Si en un punto ddo un de ls trnsformciones dilt ls áres multiplicándols por un fctor k, en ese mismo punto l trnsformción iners contre ls áres diidiéndols por el mismo fctor k, es decir, los determinntes jcoinos de un otr son inersos el uno del otro: = Esto hce que en l práctic solmente se necesrio clculr el que se más sencillo. Por ejemplo, en el cso de ls coordends polres es más sencillo clculr el jcoino de ls ecuciones x = r cos, = r sen, oteniéndose: cos r sen det J(r, ) = det = r. sen r cos Ciertmente tmién se puede clculr el jcoino de l trnsformción iners clculndo l = p 2x, etc. llegrímos 2 x 2 +2 det J(x, ) = p x = r. Osérese que estos cálculos muestrn que pr relizr en un integrl dole un cmio de riles coordends polres, tendremos que poner: lo cul coincide con lo otenido en l segund clse. dx d = det J(r, ) dr d = r dr d, 4

5 5 Ejemplo. Supongmos que queremos plicr l integrl dole el cmio de riles: u = x, = x. Z Z 0 0 x 2 dx d Primer pso: Elemento de áre: du d = 0 dx d = det x dx d = x dx d. Segundo pso: Integrndo: x 2 dx d = du d. Tercer pso: Límites de integrción: el interior: Vmos plnter ls integrles iterds con l integrl sore u en! Z?? Z?? du Clrmente, los lores mínimo máximo de = x son respectimente 0. Ahor suponemos ddo un lor fijo de. Esto signific que estmos sore un cur x = queremos ser pr qué lores de u = x los puntos de es cur están dentro de nuestr región. Pr que se menor que, l x tiene que ser mor que, pero l mismo tiempo l x tiene que ser menor que, luego el interlo pr u es: pple u pple el resultdo finl es:! Z 0 Z du d. d. 6 esumen de los tres psos pr relizr un cmio de rile: Elemento de áre, Integrndo Límites de integrción. esumiendo lo isto hst hor, los psos seguir pr relizr un cmio de riles en un integrl dole f (x, ) dx d son los siguientes: Elemento de áre: Expresr el elemento de áre dx d como det J(u, ) du d. Integrndo: Escriir el integrndo f (x, ) en términos de ls nues riles. Límites de integrción: Descriir l región de integrción en términos de ls nues riles hllr los nueos límites de integrción de ls integrles iterds. 5

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