Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Análisis: Derivadas Tema 6. Derivadas 1. Derivada de una función en un punto

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1 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas Tma 6 Drivadas Drivada d ua fució u puto Tasa d variació d ua fució S llama tasa d variació mdia d ua fució f (), l itrvalo [a, b], al valor d la prsió: f( b) f( a) Tvm[ a, b] b a Est cocit da la mdia d cambio d f () al pasar la variabl d a a b (Pud llamars tambié vlocidad mdia d cambio o icrmto mdio, ) Si l itrvalo [a, b] s ac muy pquño, lo qu s cosigu cuado b a, o acido b a + co 0, s abla d tasa d variació istatáa, qu s dfi como sigu: f( a+ ) f( a) f( a+ ) f( a) Tvi( a) lim ( Tvm[ a, a + ] ) lim lim 0 0 a+ a 0 Ejmplo: a) La tasa d variació mdia d la fució f( ) los itrvalos [, ] y [, ] val: f( ) f( ) 8 Tvm[, ] ; ( ) f() f() 8 0 Tvm[, ] b) La tasa d variació mdia d la fució f( ) los itrvalos [, + ] val: f( + ) f() ( + ) ( + ) 0 + Tvm[, + ] + + Tvm, + Tvm, + ; Si, [ ] [ ] Si 0,, Tvm[ ] Tvm[ ] Si 0,0, Tvm[ ] Tvm[ ] Si 0, Tvm[ ] Tvi ( ), +,, + 0,,, +,,0 + 0,0,0, + () lim + 0 c) Etr Jaé y Cádiz ay 60 km por carrtra Si s viaja automóvil, partido d Jaé a las 8 y llgado a Cádiz a las, la vlocidad mdia a sido d 90 km/ La vlocidad mdia coicid co la tasa d variació mdia (La gráfica adjuta idica la distacia rcorrida fució dl timpo) Auqu la vlocidad mdia a sido d 90 km/ dtrmiados momtos la vlocidad a sido mayor o mor; icluso a abido ua parada d mdia ora La mayor o mor pdit d la curva idica la vlocidad aproimada cada priodo d timpo (La vlocidad mdia las dos primras oras a sido d 0 km/; la primra ora s rcorriro 00 km; la ª, 0 km) La tasa d vlocidad istatáa s la vlocidad qu marca l cutakilómtros cada istat wwwmatmaticasjmmmcom

2 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas Dfiició d drivada Ua fució f () s drivabl l puto a si ist l límit: f ( a + ) f ( a) lím 0 Est límit s dota por f (a), y ist cuado rsulta u úmro ral fiito La drivada s l límit d u cocit d dos catidads ifiitsimals El umrador mid la variació d la variabl dpdit (la f () ) cuado la variabl idpdit (la ) pasa d a a a + El cocit mid la tasa d variació mdia d ua variabl rspcto a la otra Cuado s impo qu 0 s stá calculado s la tasa d variació istatáa d la fució f () u puto dtrmiado Esto s, qué l pasa a f () cuado varía los alrddors d u puto a f( a+ ) f( a) E l dibujo, la tasa d variació mdia l itrvalo [a, a + ] s ta α, qu da la pdit d la rcta scat, la qu corta a la curva los puto P y Q Cuado 0, l puto Q s acrca cada vz a P Esto ac qu la scat pas por dos putos cada vz más próimos, asta cofudirs co la rcta tagt Ejmplo: Dada la fució f ( ) +, su drivada l puto s f ( + ) f () f () lím 0 Como f ( + ) ( + ) + ( + ) + y f ( ), s tdrá: + f () lím lím 0 0 ( ) lím lím( ) 0 0 Lugo, f ( ) (Est úmro idica qu l puto, la fució stá dcrcido la proporció a : la razó qu prsa la rlació tr ambas variabls val ) Itrprtació gométrica d la drivada La drivada, f (a), s u úmro qu da l valor d la pdit d la rcta tagt a la curva f () l puto P ( a, f ( a)) Como la cuació d ua rcta s y m +, si la pdit m f (a) ; lugo la rcta s y f ( a ) + Si admás la rcta pasa por P ( a, f ( a)), s cumpl qu f( a) f ( a) a+ Rstado ambas igualdads s obti la cuació d dica rcta tagt, qu s: y f ( a) f ( a)( a) wwwmatmaticasjmmmcom

3 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas Obsrvacios: ) La tagt a ua curva u puto s la rcta qu mjor aproima a la curva s puto ) La drivada da la pdit d la rcta tagt (La pdit d ua rcta idica lo qu la variabl y aumta (si s positiva) o dismiuy (si s gativa) por cada icrmto uitario d la variabl ) La drivada pud variar d u puto a otro, pus la rcta tagt forma águlos distitos al dslizars sobr ua curva Ejmplo: La rcta tagt a la fució f ( ) + l puto d abscisa, srá: y f () f ()( ) Y como f ( ) y f ( ), s obti: y ( ) y + 9 Drivabilidad, cotiuidad y drivadas latrals Para qu ua fució sa drivabl u puto so prcisas dos codicios: ) Qu la fució sa cotiua dico puto ) Qu las drivadas latrals ista y coicida s puto Drivadas latrals f ( a + ) f ( a) Izquirda: f ( a ) lím 0 + f ( a + ) f ( a) Drca: f ( a ) lím La drivada, f (a), ist cuado f ( a ) f ( a ) Gométricamt sigifica qu la tagt a la curva l puto ( a, f ( a)) s la misma tato si s traza por la izquirda como por la drca Las drivadas latrals o coicid los putos agulosos, los picos d las fucios Por tato, sos putos o ist la drivada Esta codició s particularmt importat las fucios dfiidas a trozos Para sas fucios rsulta obligado studiar las drivadas latrals los putos d sparació d los distitos trozos Drivabilidad implica cotiuidad Si f () s drivabl a f () s cotiua a Comprobar qu st rsultado s cirto s rlativamt scillo, pus si f () s drivabl f ( a + ) f ( a) a, tocs ist lím 0 D la istcia d s límit ay qu dducir qu la fució s cotiua; sto s, qu: lím f ( ) f ( a) ; o lo qu s lo mismo, qu lím( f ( ) f ( a) ) 0 a Para llo, s ac Por tato: lím a a + a, y s obsrva qu si a, tocs 0; y al rvés ( f ( ) f ( a) ) lím( f ( a + ) f ( a) ) 0 ( f ( a + ) f ( a) ) lím 0 ( f ( a + ) f ( a) ) lím lím f ( a) 0 0 lím f ( ) f ( a) 0 0 a E coscucia, si la fució s drivabl a s dduc qu s cotiua a wwwmatmaticasjmmmcom

4 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas 6 Cotiuidad o implica drivabilidad Si f () s cotiua a f () s drivabl a La cotiuidad s ua codició csaria, pro o suficit, d drivabilidad Para comprobar st rsultado basta co dar u cotrajmplo El más scillo s cosidrar la fució f ( ), qu s cotiua 0 pro o drivabl, si < 0 E fcto, f( ), si 0 Su gráfica s la adjuta Las drivadas latrals l puto 0 val: f( ) f(0) + f( ) f(0) f (0 ) lím lím : f (0 ) lím lím Como so difrts, la fució f ( ) o s drivabl 0 Ejmplos: +, a) La fució f ( ) s cotiua y drivabl l + 9 > puto dod s u las fucios a trozos, Esto implica qu s pud pasar d ua fució a otra si cambios bruscos (Rcurda qu y + 9 s la rcta tagt a f ( ) + ) +, < 0 b) La fució f ( ) s cotiua 0, pro o + 0 s drivabl s puto Gráficamt s v qu l puto 0 la fució ac u cambio brusco, ti u pico Si s calcula las drivadas latrals 0 s ti: Por la izquirda: ( ) (0) ( ) f f + f (0 ) lím lím lím Por la drca: + f( ) f(0) ( + ) f (0 ) lím lím lím c) Si s cosidra la fució cuya gráfica s la adjuta, s cumpl: E : o s cotiua o s drivabl E 0: s cotiua, pro o s drivabl (o coicid las drivadas latrals) Hay u pico E : s cotiua y drivabl (las drivadas latrals so iguals; s l jmplo a) d arriba) E : o s cotiua i drivabl (Si s dfiis f () la fució sría cotiua y drivabl E los dmás putos d su domiio s drivabl wwwmatmaticasjmmmcom

5 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas 7 Fució drivada El cálculo dl valor d la drivada d ua fució u puto a ig la rsolució d u límit, mucos casos gorroso Si, admás, para ua misma fució ay csidad d calcular su drivada distitos putos sta dificultad s acrcita La mara d simplificar l procso s allar, d ua vz, otra fució gérica qu dé l valor d la drivada cualquir puto co sólo sustituir lla Esta fució rcib l ombr d fució drivada Dfiició La fució drivada d ua fució f () s ua uva fució qu asocia a cada úmro ral su drivada S dota por f () y s dfi así: f ( + ) f ( ) f ( ) lím 0 df ( ) dy Si y f (), s scrib y f ( ) Tambié s frcut scribir f ( ) o y d d Drivada d alguas fucios Para obtr la fució drivada d cualquir fució covi sguir l procso siguit: ) Dada y f (), allar f ( + ) ) Hallar y simplificar la difrcia f ( + ) f ( ) f ( + ) f ( ) ) Escribir y simplificar l cocit f ( + ) f ( ) ) Rsolvr l límit f ( ) lím E l cálculo d st límit sul star la 0 dificultad mayor Para las fucios usuals ist ua sri d fórmulas qu da su fució drivada Más adlat s dará ua brv tabla co las más frcuts Aquí, para qu s aprci l método a sguir (y quizás la dificultad d llo) s obtdrá las rlacioadas co las fucios poliómicas Drivada d la fució costat: f( ) c ) y f( ) c f( + ) c ) f( + ) f( ) c c 0 f( + ) f( ) 0 ) y ) f ( ) lím lím 0 Por tato, si: f( ) c f ( ) Gométricamt: la tasa d variació (la pdit) d la rcta y c s 0 Drivada d la fució lial: f( ) ) f( ) f( + ) + ) f( + ) f( ) + f( + ) f( ) ) y ) f ( ) lím lím Por tato, si: f( ) f ( ) 0 0 Gométricamt: la tasa d variació (la pdit) d la rcta y s wwwmatmaticasjmmmcom

6 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas 8 Drivada d ua fució cuadrática: La fució drivada d ) S calcula f ( + ) : f ( ) + f ( ) + pud obtrs así: f ( + ) ( + ) + ( + ) ) S alla f ( + ) f ( ) : f ( + ) f ( ) ( + ) + + f ( + ) f ( ) + + ) S forma l cocit: ) S rsulv l límit: + + ( + + ) f ( ) lím lím lím Por tato, si f ( ) + f ( ) + Si aora s dsa allar la drivada cualquir puto, basta co sustituir Así: f ( 0) 0 + ; f ( ) ( ) + 0 ; f ( ) ( ) + Esos úmros da, la pdit m d las rctas tagts los putos d abscisa 0, y, rspctivamt ( ) + Drivada d la fució y f ( ) ( ) ) f ( + ) ( + ) (Esta prsió s obti! utilizado la fórmula d la potcia d u biomio) ( ) ) f ( + ) f ( ) ( + ) + + +! ( ) f ( + ) f ( ) ( ) )! + + +! f ( + ) f ( ) ( ) ) f ( ) lím lím ! Por tato, si: f ( ) f ( ) Esta rgla s válida para cualquir valor d, positivo, gativo, fraccioario Ejmplo: 7 6 a) Si f ( ) f ( ) Si f( ) f ( ) 7 b) Si f ( ) f ( ) c) Si f ( ) f ( ) f ( ) / d) Si f ( ) f ( ) f ( ) ( ) / wwwmatmaticasjmmmcom

7 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas 9 Rglas d drivació para las opracios co fucios Cuado las fucios o aparzca su forma más simpl o cuado itrvga más d ua fució s aplicará las siguits propidads Drivada d ua costat por ua fució: F ( ) k f ( ) F ( ) kf ( ) kf ( ) ( ) ( ) Ejmplos: a) Si y k c) Si y y k b) Si y d) Si y y y ( ) y 7 7 Drivada d ua suma o difrcia d fucios: F ( ) f ( ) ± g( ) F( ) f( ) ± g( ) f ( ) ± g ( ) ( ) ( ) Ejmplos: a) Si f ( ) y b) Si y + g( ) 6 ( f( ) g ( )) ( ) ( 6 ) + + y ( f g) )( ) f ( ) g( ) ( ) ( ) + + Drivada d u producto d fucios: F ( ) F ( ) f( ) g ( ) f ( g ) ( ) + f( g ) ( ) Ejmplo: Si f ( ) + y g ( ) + ( f ( ) g( ) ) (8 ) ( + ) + ( + ) ( ) Si s multiplica ats las dos fucios y s driva dspués, s obti: 6 f ( ) g( ) ( + ) ( + ) ( f ( ) g( ) ) Naturalmt, l rsultado s l mismo Drivada d u cocit d fucios: f ( ) f( ) f ( ) g( ) f( ) g ( ) F ( ) ( F( ) ) g( ) g ( ) g ( ) Ejmplo: a) Si ( ) + (6 ) ( ) ( + ) y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) Si f( ) f ( ) y ( ) wwwmatmaticasjmmmcom

8 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas 0 Drivada d la ivrsa d ua fució: F ( ) ( ) f f ( ) f ( ) F( ) f( ) ( f( )) ( ) Ejmplo: (6 ) Para la fució f ( ) + s tdrá: f( ) + ( + ) Evidtmt, sta fució tambié s podría drivar como u cocit Así: ( ) y ( 6 ) ( 6 ) y ( + ) ( + ) Obsrvació: Salvo qu s idiqu prsamt o s csario oprar los domiadors 6 Drivada d la fució compusta: F ( ) f ( g( )) F ( ) f( g ( ) f ( g ( )) g ( ) Ejmplo: a) Si f( ) f ( ) 6 y ( ) ( ) g ( ), s tdrá: 0 f ( g ( )) 6 ( g ( )) ; y g ( ) ( ) ( ) Aplicado la fórmula ( F ( )) ( f( g ( )) f ( g ( )) g ( ) : 6 F ( ) 6 ( g ( )) g ( ) F ( ) g ( ) b) Si f( ) y g ( ) F ( ) f( g ( )) + g ( ) + Su drivada srá: g ( ) ( g ( ) + ) g ( ) g ( ) F ( ) g ( ) + Como g ( ) F ( ) ( ) g ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) + F ( ) 8 0 ( 0+ ) Gralmt, si s posibl, covi acr ats la composició d fucios y drivar dspués Así: g ( ) ( ) F ( ) f( g ( )) F( ) g ( ) ( ) Drivado: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 0 F ( ) ( 0+ ) ( 0+ ) wwwmatmaticasjmmmcom

9 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas Fórmula d la fució drivada d las fucios usuals Drivada d potcias y raícs So dos casos particulars d fucios compustas: ( ) Sus drivadas so: ( f ( ) ( ) y ) y f ( ) y f ( ) y f( ) f ( ) ; y f ( ) f ( ) y ( f ( ) ) f ( ) El caso particular d la raíz cuadrada s: y f () y f ( ) Obsrvació: Las raícs pud cosidrars como potcias d pot racioal Por tato, para allar la drivada d ua raíz pud utilizars la fórmula d la drivada d ua y / fució potcial Así, si f ( ) ( f ( ) ) / y ( f ( ) ) f ( ) Ejmplos: a) Para ( ) b) Si F( ) + F ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6 ) F( ) F( ) ( ) F ( ) ( ) 8 ( ) 8 ( ) Naturalmt, si s driva como u cocit l rsultado s l mismo (Compruébalo) ( ) + c) Si F ( ) + F ( ) + + Si s scrib ( ) ( + ) / / F ( ) + ( F ( ) ) + Drivada d las fucios logarítmicas Logaritmo bas a: f ( ) log a f ( ) log a f ( ) Para la fució compusta: y log a f ( ) y log a f ( ) Logaritmo priao: f ( ) l, co > 0 f ( ) f ( ) Para la fució compusta: y l f ( ) y f ( ) Ejmplos: a) y log ( + ) y log + 8 c) y l( ) y 6 + y log + y l y b) y log ( ) d) ( ) wwwmatmaticasjmmmcom

10 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas Drivada d las fucios pocials Epocial d bas a: f ( ) a f ( ) a l a Para la fució compusta: f () f ( ) y a, a > 0 y f ( ) a l a Epocial d bas : f ( ) Para la fució compusta: f () y f ( ) y f ( ) f ( ) Ejmplos: a) y 0 y 0 l0 b) y y ( ) l c) Si y y (6 ) d) y y Potcial-pocial S aplica cuado la variabl aparc tato la bas como l pot d ua potcia: g ( F ( ) f ( ) ( ) ) El caso más scillo s F ( ) Para allar su drivada s aplica logaritmos y dspués s driva Así: F ( ) l F( ) l l l + F ( ) F( ) ( l + ) ) F( ) F ( ) l + Para l caso gral l procdimito s l mismo Tomado logaritmos priaos ambos g ( ) mimbros d la fució F ( ) ( f ( ) ), quda: g ( ) ( f ( ) ) l F ( ) l l F ( ) g( ) l f ( ) Drivado mimbro a mimbro s ti: F ( ) f ( ) g ( ) l f ( ) + g( ) F( ) f ( ) Dspjado: g( ) f ( ) F ( ) F( ) g ( ) l f ( ) + f ( ) g ( ) g F ( ) f ( ) g ( ) l f ( ) + g( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) Ejmplo: () Para drivar la fució f ( ) ( + ) s ac lo siguit: () ) S aplica logaritmos: l f ( ) l( + ) l ( ) ( ) l( + ) f ) S driva ambos lados d la igualdad: f ( ) 6 6 l( + ) + ( ) f ( ) f ( ) ( ) l + + ( ) f ( ) f ( ) ( + ) l( + ) + ( ) + wwwmatmaticasjmmmcom

11 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas Otros casos d drivació logarítmica Aplicar las propidads d los logaritmos sul simplificar los cálculos d la drivada Rcurda sas propidads: lo g ( ( ) ( )) f g log ( f( ) ) + log ( g ( )) ; log ( f( ) ) log ( f( ) ) ( ) log f log ( ) log ( ) g ( ) ( f ) ( g) ; f( ) g ( ) Por tato, si ay qu drivar, s tdrá: log log ( f( ) ) log ( g ( )) Ejmplos: + a) Si ay qu drivar f ( ) l, aplicado la propidad atrior: + f ( ) l l( + ) l( ) l( + ) l f ( ) b) Para drivar la fució f ( ) l( + + ) s pud acr lo siguit: f ( ) l( + + ) l( + + ) Drivado: f ( ) Drivada d las fucios trigoométricas Las rglas d drivació d las fucios trigoométricas s obti aplicado las fórmulas trigoométricas y las propidads d la drivada d las opracios co fucios Fució so: f ( ) s f ( ) cos Para la fució compusta s ti: y s f ( ) y f ( )cos f ( ) Ejmplos: a) f( ) si ( ) f ( ) cos( ) ( ) 8 co s( ) b) f ( ) si f ( ) cos cos Fució coso: f ( ) cos f ( ) s Para la fució compusta: y cos f ( ) y f ( ) s f ( ) Ejmplo: a) f( ) cos( + ) f ( ) si( ) ( ) co ( s ) co ( s ) b) f( ) cos( ) f ( ) si( ) ( ) co ( s ) ( 0 ) wwwmatmaticasjmmmcom

12 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas Fució tagt: y ta y + ta cos Estas fórmulas pud obtrs tido cuta qu: si cos cos si ( si ) cos + si f ( ) ta f ( ) cos cos cos cos f ( ) Para la fució compusta: y ta f( ) y cos f ( ) Ejmplos: a) y ta(7 ) y ( ) c) ( ) + ta (7 ) 7 b) y ta f ( ) si si f ( ) si cos d) ) y l cos y ( si ) ta cos y ( ta ) si f ( ) + cos y f) y si ( l ) y cos ( l ) 7 Drivada d las fucios trigoométricas ivrsas Rcurda l sigificado d stas fucios : y arcs s y; y arccos cos y; y arcta ta y (Estas fucios ti poco itrés para las Cicias Socials) Fució arcoso: f ( ) arcs f ( ) f ( ) Para la fució compusta: y arcs f ( ) y ( f ( )) Fució arcocoso: f ( ) arccos f ( ) f ( ) Para la fució compusta: y arccos f ( ) y ( f ( )) Fució arcotagt : f( ) arcta f ( ) + f ( ) Para la fució compusta: y arcta f( ) y + ( f ( )) Ejmplos: a) y arcs ( ) b) y arccos( ) c) y arcta ( ) y ( ) y ( ) + y + ( + ) + + wwwmatmaticasjmmmcom

13 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas 8 Tabla d la drivada d las fucios usuals Rsumido todo lo atrior pud formars la siguit tabla E lla: c,, a y so úmros; dsiga la variabl idpdit y o f rprsta fucios d TABLA DE FUNCIONES DERIVADAS Fució simpl Drivada Fució compusta Drivada y c y 0 y y y, R y a y, a > 0 y a l a y y ( f ( )), y ( f ( )) f ( ) f ( ) y y f () y f ( ) f () f ( ) y a, a > 0 y f ( ) a l a y y f () y f ( ) y f ( ) f ( ) y log a y log a y log a f ( ) y log a f ( ) y l f ( ) y y l f ( ) y f ( ) y s y cos y s f ( ) y f ( )cos f ( ) y cos y s y cos f ( ) y f ( ) s f ( ) y ta y + ta taf ( ) y f ( ) + ta f ( ) cos y arcs y f ( ) y arcs f ( ) y ( f ( )) y arccos y f ( ) y arccos f ( ) y ( f ( )) y arcta f ( ) y y arcta f( ) y + + ( f ( )) y ( ) 9 Drivadas sucsivas A la fució drivada d f () s l llama drivada sguda; s scrib f () D mara aáloga s pud dfiir la drivada trcra: f (), qu s la drivada d la drivada sguda Y tambié la drivada d ord : f ) ( ) ) A la drivada d ord s l llama drivada ésima; y s scrib f ( ) Ejmplos: a) f ( ) + f ( ) + La drivada sguda s f ( ) b) f( ) f ( ) f ( ) 0 f ( ) 60 f ) ( ) 0 f ) ( ) 0 f 6) ( ) 0 ) c) f( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Si s scrib: f( ) f ( ) f ( ) ( ) wwwmatmaticasjmmmcom

14 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas 6 0 Ejrcicios d drivació A cotiuació s propo y driva alguas fucios (Procura drivar por tu cuta ats d vr la solució) f ( ) ( + )( ) ( ) ( + )( ) + ( + )( ) f ( ) Drivada primra y sguda d: f ( ) f ( ) ( ) ( ) La drivada sguda s: 6 ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) f( ) ( ) 6 f( ) f ( ) 0 y 7 + y 7 + y a) y y l l 8 b) y y ( ) + 0, + 0, 7 y + y ( + ) l 0, 8 Drivada primra y sguda d: f( ) f ( ) + + ( ) La drivada sguda s: f ( ) ( + ) + ( + ) ( + + ) + 9 a) y l( + ) y b) y log( + ) y + 6 log + 0 y l( ( )( ) ) l( ) + l( ) y + Drivada primra y sguda d: f( ) l ( ) f ( ) l ( ) + l ( ) + f ( ) l ( ) + + l ( ) + f( ) cos f( ) si si ( ) ( ) ( ) ( ) y si ( ) y cos( ) cos( ) y si y cos + b) y si ( + ) y cos( ) a) ( + ) ( ) y si( ) y si( ) cos( ) 0si( ) cos( ) 6 y s + cos tag y cos s ( + tag ) 7 a) y cos ( ) y cos si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) y cos ( ) y cos( ) si( ) ( ) 8 y ta( ) y ta( ) + ( + ta ( ) ) + wwwmatmaticasjmmmcom

15 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas 7 Ida d difrcial d ua fució Como s idicó atriormt, la cuació d la rcta tagt a la curva y f (), l puto P ( a, f ( a)), vi dada por y f ( a) f ( a)( a) Esta rcta, cuya pdit s f (a), s la fució lial qu mjor aproima a f () u toro dl puto a S llama difrcial d f () l puto a al producto f ( a) d Esto s, dy df ( a) f ( a) d E gral, si y f () dy df ( ) f ( ) d Ejmplos: a) Para y + dy ( + 6 ) d b) Si y l dy d c) Si cost d si tdt Cuatitativamt, la difrcial da la difrcia d los valors qu toma la rcta tagt los putos a y a + a + d ( gral, putos: y + d) Gométricamt, la difrcial s l icrmto sobr la rcta tagt Como pud vrs l triágulo PQR d la figura adjuta: RQ dy ta α f ( a) dy f ( a) d PQ d Parc vidt qu si d s u valor pquño, tambié srá pquño l valor d dy, y más pquña aú, la difrcia tr l valor sobr la curva f () y l valor sobr la rcta tagt (E la figura s idica sa difrcia co l ombr d rror) Esto prmit cocluir qu, u toro dl puto a, la fució y f () y la rcta tagt, y f ( a) + f ( a)( a), toma valors aproimados: [ y f ()] [ y f ( a) + f ( a)( a) ] Esto s, acido a+ : f ( a + ) f ( a) + f ( a), para pquño Ejmplo: Para allar la cuació d la tagt a la curva y l puto d abscisa, s procd así: y y si, y(), y () / Lugo, la tagt s: y ( ) y + Por tato, l puto, la fució y pud aproimars por la rcta y + Así, la raíz cuadrada d,,,, +,0 Obsrvació: Lo qu s ac s utilizar ua fució lial, fácil d majar, para calcular ua raíz cuadrada wwwmatmaticasjmmmcom

16 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas 8 El cocpto d margialidad Ecoomía (ua aplicació d la difrcial) Si s dsiga por C ( ) la fució d cost total por la producció d uidads d u dtrmiado producto, cab prgutars por l cost adicioal qu supo la fabricació d ua uidad más d producto Esto s, cuáto val C ( + ) C ( )? Como s a visto más arriba, gral f ( a + ) f ( a) + f ( a) Si s cambia f( ) por C, ( ) a por y por, quda: C ( + ) C ( ) + C ( ) C ( ) C ( + ) C ( ) Lugo, l cost d la uidad + vi dado, aproimadamt, por l valor d C ( ) (La difrcia la difrcial d los costs s d ( C( ) ) C ( ) d ; si d, tocs dc ( ( )) C ( ) ) A C ( ) s l llama cost margial y dsiga l icrmto aproimado d la fució d costs al producir ua uidad más Por tato, s l cost d la última uidad producida, la uidad +, cuado ya s a fabricado Est cost s variabl: dpd dl valor d, dl úmro qu uidads qu s aya producido atriormt Aálogamt, si I( ) y B ( ) so las fucios d igrsos y d bficio obtidos por la vta d uidads d u producto, sus drivadas I ( ) y B ( ) da l igrso y l bficio margial Esto s, l igrso o bficio (variabl) por la vta d la uidad + d dico producto E los trs casos, C ( ), I ( ) y B ( ) coicid, aproimadamt, co l cost tra csario para producir la uidad +, y co l igrso o bficio adicioal al vdr la uidad + : so aproimacios por drivadas Ejmplos: a) Si la fució d costs vi dada por C ( ) 0, uidads motarias (um), s ti: El cost d fabricar 0 uidads s C (0) 0, um El cost d fabricar uidads s C () 0, ,8 um, El cost adicioal (acto) por la fabricació d la uidad º s la rsta: C() C(0) 7,8 68,8 um El cost margial (aproimado) qu supo pasar d fabricar 0 uidads a fabricar, s C (0), la drivada l puto 0 Como C ( ) 0, 0 + C (0) 0, 0 0 +,80 um Es vidt qu la aproimació s bastat bua: s comt u rror d 0,0 um Obsérvs qu l cálculo, cualquir ivl d producció, s bastat scillo: o ay qu acr la rsta C ( + ) C ( ) ; basta co calcular C ( ) ) Así, por jmplo, l cost margial qu supo fabricar la uidad º s C (0), um b) Si la fució d igrsos para s mismo producto s I( ) 00, tocs la fució B ( ) I ( ) C ( ) 00 0, , d bficios srá ( ) La fució d igrso margial s I ( ) 00 I (0) 60 um La fució d bficio margial s B ( ), B (0), um Naturalmt B ( ) I ( ) C ( ) y, por tato, l bficio margial por la fabricació y vta d uidad º s B (0) I (0) C (0) 60,80, u m wwwmatmaticasjmmmcom

17 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas 9 6 Drivabilidad d las fucios dfiidas a trozos Como s idicó atriormt, la rlació tr drivabilidad y cotiuidad s la siguit: si f () s drivabl a f () s cotiua a Pro, l rcíproco o s cirto: si f () s cotiua a f () s drivabl a Esta rlació ig qu para comprobar la drivabilidad d ua fució l puto a sa csarios dos pasos: ) Comprobar qu la fució s cotiua s puto Por tato, los límits latrals db sr iguals a f( a ) Esto s: lím f ( ) lím f ( ) f ( a) + a a ) Comprobar qu las drivadas latrals so iguals: f ( a ) f ( a + ) Esto s: lím f ( ) lím f ( ) + a a El studio d drivabilidad db acrs para las fucios dfiidas a trozos los putos d uió d los distitos itrvalos d dfiició (E los dmás putos d dfiició s sigu los critrios grals) Ejmplos:, si 0 a) La fució f ( ) s cotiua y drivabl 0 0 si > 0 Cotiua: lím f ( ) lím 0 y lím f ( ) lím 0 0 Coicid Drivabl:, si < 0 S ac f ( ), f ( ) (s a cluido 0) 0 si > 0 Como lím f ( ) lím 0 y lím f ( ) lím 0 0 La fució s drivabl , si 0 b) La fució f ( ) s discotiua 0 si > 0 Por tato o pud sr drivabl s puto c) La fució f( ) drivabl s puto Cotiua: + < ( ) lím f ( ) lím + y s cotiua, pro o s lím f ( ) lím Coicid + + Drivabl: +, si < f ( ) si ( > ) Como las drivadas latrals o coicid, la fució o s drivabl 0 Obsrva qu la fució ti u pico ( ) + ; lím f ( ) lím + + wwwmatmaticasjmmmcom

18 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas 0 6 Drivabilidad d fucios dfiidas a trozos Casos co parámtros E st cotto sul platars jrcicios como los qu sigu: Ejrcicio + < Qué l valor db tr a para qu la fució f( ) sa drivabl? a Solució: La fució stá dfiida mdiat dos fucios poliómicas, qu so drivabls simpr Por tato, l úico puto dudoso s E s puto ay qu dtrmiar l valor o valors d a qu la fució sa cotiua Dspués ay qu vr si s drivabl o o Cotiuidad: lím f ( ) lím lím f ( ) lím a a ( ) + y ( ) + + Coicid cuado a a Por tato, la fució dada s cotiua si a (Aora ay qu studiar si la fució s drivabl para s valor) Drivabilidad: +, si < f ( ) ( ) si > lím f ( ) lím + ; lím f ( ) lím + + Como las drivadas latrals so iguals, la fució s drivabl cuado a Ejrcicio a +, < Sa f( ) Halla los valors d a y b para qu f () sa drivabl l b + +, puto Solució: Cotiuidad: lím f ( ) lím a a 9 lím f ( ) lím b + + b + ( + ) + ; ( ) + + Por tato, la fució srá cotiua cuado a+ 9 b+ [] Drivabilidad: a+, si < f ( ) Las drivadas latrals db sr iguals:, si > + lím f ( ) lím ( a + ) a + 6 ; lím f ( ) lím a + 6 [] Db cumplirs las dos codicios a la vz: a+ 9 b+ y a + 6 D a + 6 a 6 Sustituydo []: + 9 b + b +, < Por tato, la fució drivabl (y todo R) s: ( ) f + +, wwwmatmaticasjmmmcom

19 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas Problmas Propustos Drivada d ua fució u puto Calcula la tasa d variació mdia d: a) f( ) +, l itrvalo [, ] b) g ( ) +, l itrvalo [, ] c) ( ) +, l itrvalo [, ] Calcula, aplicado la dfiició, la drivada d: a) f( ) +, l puto b) g ( ) +, l puto c) ( ) +, cualquir puto Utilizado la dfiició, calcula la drivada d f ( ) l puto + Utilizado la dfiició, alla la drivada d la fució f ( ) l puto Compruba, mdiat las rglas d drivació qu tu rsultado s corrcto Aplicado la dfiició, studia si la fució puto 6 Aplicado la dfiició, studia si la fució +, f ( ) s drivabl l + 9 > +, < 0 f ( ) s drivabl 0 +, 0 7 E qué putos o so drivabls las fucios: a) f ( ) + b) f ( ) c) E cada caso idica l porqué f ( ) + 8 U studio sobr la ficicia d los trabajadors d ua factoría a dtrmiado qu l promdio d pizas producidas por trabajador vi dado por la fució Pt ( ) t+ t t, sido t las oras trascurridas a partir dl comizo d la jorada a) Qué mdia d pizas produc u trabajador la sguda y trcra oras? b) Cuál s la tasa d producció d u trabajador a las oras d comzar la jorada? 9 La tmpratura ( C) d u rfrsco, oras dspués d sr itroducido u frigorífico, 0 + vi dada por T ( ) 8 + Halla: a) Su tmpratura cuado 0, y b) La tasa d variació mdia d la tmpratura tr 0 y c) La tasa d variació istatáa d la tmpratura cuado y wwwmatmaticasjmmmcom

20 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas 0 El fcto d ua astsia t oras dspués d sr admiistrada vi dada por la prsió, 6 t At () (co 0 t ) 6 Halla: a) El cambio mdio dl fcto durat la primra ora b) El cambio mdio l itrvalo d timpo [, +] c) La variació dl fcto l istat t Drivabilidad d fucios dfiidas a trozos Compruba qu la fució, si 0 f ( ), s drivabl todo R l( + ), si > 0 +, < 0 Compruba qu la fució f ( ) s cotiua y drivabl todo + +, 0 R Haz u sbozo d su gráfica dado valors +, 0 Estudia la drivabilidad d la fució f ( ) si, > 0 Dtrmia los putos los qu o so drivabls las fucios: a) f ( ) + b) f ( ) Casos co parámtros a si Dada la fució f ( ) alla: si > a a) El valor o valors d a para qu f sa cotiua b) El valor o valors d a para qu f sa drivabl 6 Qué valor ay qu asigar a a para qu la fució 0? a, f ( ) +, si 0 si > 0 sa drivabl a( + ) si 0 7 Halla l valor d a qu ac qu la fució f ( ) sa drivabl ( ) si > 0 todo R Para l valor allado az u sbozo d su gráfica l itrvalo [, ] 8 Dmustra qu la fució si si 0 f ( ) s drivabl toda la rcta ral a si > 0 9 Halla l valor d a para qu cos si 0 f( ) + a si > 0 sa drivabl todo R wwwmatmaticasjmmmcom

21 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas + a + b si < 0 Dada la fució f ( ) : si a) Pará qué valors d a y b s cotiua? b) Pará qué valors d a y b s drivabl? Dtrmia los valors d a y b para qu la fució drivabl l puto 0 Dtrmia los valors d a y b para qu la fució drivabl 0 + si 0 f ( ) sa a + b si > 0 + si( a) si 0 f ( ) sa a + b + b si > 0 (Slctividad 0) S cosidra la fució ral d variabl ral dfiida por: a si f ( ) b si > Calcúls a, b para qu f sa cotiua y drivabl Cálculo d drivadas Driva las siguits fucios Simplifica l rsultado y calcula cada caso f (), si ist a) f ( ) ( + )( ) b) f( ) c) f ( ) l + Driva las siguits fucios Simplifica l rsultado y calcula cada caso f (), si ist a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) si( + ) cos( π) 6 Driva las siguits fucios a) f( ) b) f( ) ( + ) c) ( ) f( ) ( ) 7 Driva las siguits fucios a) f( ) ( + ) b) f( ) c) ( ) l( + ) si f 8 Halla la drivada d las siguits fucios: a) f( ) l ( ) b) f( ) l ( + ) c) f ( ) l + d) f ( ) l + wwwmatmaticasjmmmcom

22 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas 9 Halla la drivada d las siguits fucios: / / a) f( ) b) f( ) c) f( ) d) / + f( ) 0 Dada f ( ), alla los valors d f () y f () ( ) Halla los putos los qu s aula las drivadas primra y sguda d ( ) f ( ) + Halla l valor d las drivadas primra y sguda d + g( ) ( ) l puto a) Halla los putos los qu aula la drivada d b) Halla los putos los qu s positiva la drivada d f( ) ( + ) f( ) c) Halla los putos los qu s gativa la drivada d f( ) l ( ) + + Driva las siguits fucios simplificado l rsultado Calcula, si s posibl, su valor l puto 0: a) f ( ) b) f ( ) cos c) f ( ) ( ) d) f ( ) l( + ) Driva, simplificado los rsultados, las siguits fucios: a) f ( ) b) ( ) ( ) c) f ( ) l( ) cos f ( ) 6 Driva las siguits fucios Simplifica l rsultado cuado s puda; calcula todos los casos f ( ), si ist a) + ( ) f b) f ( ) ( ) c) + f ( ) si 7 Driva las siguits fucios Simplifica l rsultado y calcula cada caso f (), si ist a) f ( ) b) f( ) c) ( ) f ( ) si + cos π f d) ( ) ( ) 8 Halla la fució drivada d cada ua d las siguits fucios: a) y b) ( ) ) y tag ( + ) f) f ( ) cos c) f ( ) ( cos ) d) y tag ( + ) ) y arcsi y tag ( + ) g) y arcsi wwwmatmaticasjmmmcom

23 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas i) y 9 j) m) y arcta ) Tagt a ua curva y arcsi k) y o) y l( 6 + ) arcta y 6 l) y arccos( + ) p) y arcta 9 Halla y rprsta gráficamt la rcta tagt a f( ) l puto 0, 0 Halla la cuació d la rcta tagt a cada ua d las curvas siguits los putos qu s idica: a) f ( ) + l puto b) y l puto d abscisa + 6 c) f ( ) l puto d abscisa d) f ( ) l puto + + ) ( ) f ( ) l l puto d abscisa f l puto f) ( ) Halla la cuació d la rcta tagt a f ( ) l puto (0, f(0)) La curva d cuació y y la rcta y + b so tagts l puto Cuál db sr l valor d b? Halla la cuació d la parábola y + b + c qu s tagt a la rcta y l puto (, ) Dtrmia los putos d la curva y + los cuals la rcta tagt s paralla y 9 + Halla las cuacios d las rctas tagts sos putos Dtrmia l valor d p para qu la rcta tagt a la curva abscisa, pas por l orig d coordadas p y, l puto d 6 Halla la cuació d la rcta tagt a la curva l f( ) l puto d abscisa 7 Halla la cuació d la rcta tagt a la gráfica d la fució d abscisa 0 f( ) l puto 8 Halla l valor d para qu la rcta d cuació y + s tagt a f( ) + l puto d abscisa 9 La rcta tagt a la curva puto d tagcia? y ti pdit y pasa por l puto (0, ) Cuál s l wwwmatmaticasjmmmcom

24 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas 6 Difrcial d ua fució 0 Halla la difrcial d cada ua d las siguits fucios: a) y + b) y c) u cos d) u + Cuál s l icrmto (la variació aproimada) d cada ua d las siguits fucios cuado, partido d, la variabl s icrmta 0,? f ( ) l b) f ( ) c) f ( ) a) ( ) Tido cuta qu 6 8, utilizado la difrcial d la fució f ( ), alla l valor aproimado d 6 Aplicacios a la coomía El cost d fabricació d uidads d u dtrmiado producto vi dado por la fució C ( ) 0, uidads motarias (um) Si todas las uidads producidas s vd a u prcio ( um) dado por p ( ) 0,, calcula: a) El cost margial por la producció d la décima uidad b) El icrmto acto por la producció d la décima uidad c) La fució d igrsos y d bficios d) El igrso y bficio margial por la vta d la décima uidad La gaacia aual d ua mprsa s Gt ( ) + t+ t, t años, cotado dsd l d ro d 00 a) A qué ritmo staba aumtado la gaacia a pricipios d 0? b) E qué porctaj? El bficio d ua multiacioal vi dado por la prsió B ( ) 0, +,8 8, millos d uros; sido los años trascurridos dsd comizos d 00 S pid: a) Cuáto fu la tasa d crcimito mdio dl bficio durat los años 0 y 0? b) Cuáto valía sa tasa al comzar l año 07? Qué porctaj d crcimito supuso? c) E qué momto l bficio dja d crcr? 6 La fució d cost total d u dtrmiado producto s C ( ) , 0 + 0, 00 (uidads motarias: um) Halla: a) La fució d cost mdio uitario Cuáto custa fabricar 00 pizas? A cuáto sal cada ua? b) La fució d cost margial c) El cost margial d la uidad úmro 0 Compra l rsultado co l cost uitario cuato s fabrica 00 pizas; comta la difrcia 7 Cotsta a las mismas prgutas para la fució C ( ) + 00 wwwmatmaticasjmmmcom

25 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas 7 8 La fució d igrso total por la vta d uidads d u dtrmiado producto s 00 I( ) + Halla: a) La fució d igrso margial b) El igrso margial por la uidad 9 El cost d fabricació d u dtrmiado producto vi dado por la fució C ( ) 0, ( um) Si todas las uidads producidas s vd a u prcio (tambié um) dado por p ( ) 9 0, 0, calcula: a) El cost margial por la producció d la uidad vitiua b) La fució d igrsos y d bficios c) El igrso y bficio margial por la vta d la uidad vitiua 60 Cotsta a las mismas prgutas dl problma atrior, sido: ) C ( ) 0, I( ) 90 0, Uidad vigésimo quita ) C ( ) 0, y p ( ) 000 0, Uidad 0 rt 6 A itrés cotiuo, u capital C 0 s covirt al cabo d t años Ct () C 0, sido r la tasa d itrés aual ( tato por ) Si s cosidra u capital iicial d 0000 uros a u itrés dl %, alla la tasa d cambio istatáo d Ct () A qué ritmo stá crcido l capital a los 6 años, y a los 0 años? Otros problmas 6 Aplicado las propidads d los logaritmos, alla y simplifica la drivada d las fucios: a) y l( + ) b) f ( ) l c) + y l 6 Halla la drivada -ésima d las siguits fucios: a) f ( ) l b) f ( ) l( ) c) f ( ) 6 E dtrmiadas codicios ua població d mosquitos crc ajustádos a la fució 0, f( ) + 0,, dod f( ) s l úmro d mosquitos mils y l timpo días dsd l momto prst Calcula: a) La tasa d crcimito al trmiar l º, º y 6º día b) E qué momto la població stá crcido a u ritmo d dos mil mosquitos por día? Ua població d cojos s ajusta al úmro dado por la fució Pt (), t 0,t + 99 años dsd l momto prst a) Cuátos cojos ay actualmt? Y dtro d 0 años? b) A cuáto tid su úmro? c) Cuál s la tasa d crcimito aora y dtro d 0 años? Qué porctaj d crcimito rprsta dicas tasas? wwwmatmaticasjmmmcom

26 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas 8 66 Ua població d bactrias s itroduc u cultivo, sido su úmro al cabo d t ( ) oras f( t) 0 l ( t ) + + a) Cuátas bactrias ay al cabo d oras? Cuál s su tasa d crcimito s istat? b) E qué istat la vlocidad d crcimito s d bactrias/ora? 67 La ficacia d u aalgésico t oras dspués d sr admiistrado vi dada por la prsió Et ( ) cos t(0 t π) Halla: a) La variació d la ficacia (mjoría) cuado t, t y t b) El istat l qu la mjoría val 68 (Propusto Slctividad, 0) Estudios ralizados a prmitido dtrmiar qu l ivl mdio diario d moóido d carboo, CO, l air parts por milló (ppm), ua ciudad stá rlacioado co la p població p prsada mils d abitats, por la siguit prsió C ( p) + 7 La volució dl tamaño d població sta ciudad t años s stima qu stá dado por la rlació, p ( t), + 0,t mils d abitats Co qué rapidz stará variado la coctració d CO sta ciudad dtro d años? 0,000t 69 El radio s dscompo radiactivamt d acurdo co la fució r() t, sido la catidad iicial d radio y t l timpo años Calcula la vlocidad d dscomposició d 0 gramos d radio a los 0, 00 y 000 años Solucios: a) b) 0, c) a) b) / c) 0 Sí 6 No 7 a) b) 0 c) Simpr s drivabl 8 a) b) 8 9 a) ; 6,;, b),8 c),9 ºC/, 0, ºC/ 0 a) 6 b) + c) / 6 Drivabl simpr a) b) 0; a) a o a b) a 6 a 7 a 9 a 0 0 a) b a, co a arbitrario b) a y b a y b 0 b ; a a /; b a) f ( ) ( + )( ) ; b) f ( ) ; + c) f ( ) ; a) f ( ) + ( ) c) f ( ) ( + ) cos( + ) + π si( π) ( ) f ( ) + ; 0 ; o ist b) ( ) ; 0 wwwmatmaticasjmmmcom

27 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas 9 6 a) 7 a) 8 a) 9 a) 0 f ( ) f ( ) b) ( ) ( ) ( + ) f ( ) b) f ( ) b) f ( ) f ( ) c) f( ) c) + / b) ( ) / c) ( ) ( ) f ( ) c) ( + ) f + f ( ) cos + d) f ( ) ; f ( ) ; ; / ( ) ( ) / / ( + ) f ( ) d) ( + ) f ( ) ± ; 0 o ± ; a) 0 b) < 0 o > c) < 7 a) f '( ) ( + ) ; b) ( ) f '( ) cos si ; 0 c) f ( ) ( ) ; d) f ( ) ; a) f ( ) b) f ( ) ( )( ) c) f ( ) + si + 6 a) ( ) f ( ) ; o ist b) f ( ) + ( ) ( ) c) f ( ) si cos ; a) ( ) f ; o ist b) ( ) ( + ) ( ) d) f ( ) ( + ) cos( + ) + π si( π) 8 a) ( 6 ) l ; 0 6 ; 8 f ; 0 c) y b) f ( ) 6 si ( cos ) f ) y f) ( + ) ( + tag ( + ) ) ( ) ; c) ( ) ( 6 si cos d) y ) y cos ( + ) cos ( + ) g) y ) y i) y j) y k) y l) y ( ) m) y + 6 ) y 6 + o) y p) y y a) y + 9 b) y + c) y + d) y + ) y f) y wwwmatmaticasjmmmcom

28 Matmáticas Aplicadas a las Cicias Socials II Aálisis: Drivadas 0 7 y b y + (, ) y (, ) y ; y 9 p 6 y 7 y 8 9 (, ) 0 a) dy ( 6 6)d b) dy d c) du cos ( si )d d) du d + a) 0, b) 0, c) 0, 8,06 a),8 b),9 c) I( ) 0, ; B ( ) 0, + 00 d) 9,6;,8 a), b),% a) 0,8 b) 0,; 7,% c) a) c ( ) + 0, 0+ 0, 00 ; 8 por piza b) C ( ) 0,+ 0, 00 c) a) c ( ) ;,77 b) C ( ) c), a) I ( ) b) 0, a) b) 60 ) ; ) 00; ( ) I( ) 9 0,0 ; I( ) 90 0, ; I( ) 000 0, ; B ( ) 0, + 7 c) 7; B ( ) 0, ; 80,; 6, B ( ) 0, +, ; 900; 00 0,0t 6 C ( t) 00 ; 79,8 /año; 0,79 /año a) y b) f ( ) c) y + ) ( ) ( )! ) ( ) (( )! ) 6 a) f ( ) b) f ( ) c) ( ) 6 a) 0, 990 y 00 mosquitos/día b),78 6 a) 00; 00 b) 000 c),79, 79; 0,9%,,% 66 a) 8; 709 bactrias/ora b) t, 67 a) 0,9; 0,76; 0,8 b) t π/ 68 0, ppm 69 0,009, 0,007, 0,000 g/año! f ) ( ) + ( ) wwwmatmaticasjmmmcom