Olimpiadas Matemáticas. Universidad de Antioquia Soluciones Prueba Clasificatoria 2015 Nivel 2: 8-9

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1 Olimpiadas Matemáticas Universidad de Antioquia Soluciones Prueba Clasificatoria 2015 Nivel 2: 8-9 AVISO: Los textos aquí publicados son responsabilidad total de sus creadores. Estos son materiales en construcción. Errores y/o comentarios por favor comunicarlos a: 1

2 Solución pregunta 1: Prueba: El número total de alumnos es = 88, dado que queremos subir el mismo número de alumnos en cada bus entonces lo que debemos hacer es dos grupos con igual número de alumnos, esto es, grupos con 44 alumnos cada uno. De esta manera, si el primer bus tiene 57 alumnos, de este modo el número de alumnos que debemos pasar del primer bus al segundo es = 13. La opción correcta será la B. Solución pregunta 2: Prueba: Las condiciones dadas en el enunciado son: 1. El carrito blanco (B) llegó antes que el rojo (R) y que el café (C). 2. El carrito azul (A) llegó después que el café y antes del rojo. Por la condición 2 tenemos lo siguiente el carrito C llegó primero que el carrito A y además que el carrito A llegó primero que el carrito R, así el orden de llegada para estos tres carritos es C,A,R. Finalmente por la condición 1 tenemos que el carrito B llegó primero que el carrito C, luego el orden de llegada para estos dos carritos es B, C, de esta manera el orden final de llegada para los cuatro carritos es: B,C,A,R. La opicón correcta será la C. Solución pregunta 3: Prueba: Dado que dentro de cada caja verde hay 3 azules y tenemos 9 cajas verdes entonces hay 9 grupos de cajas azules cada uno con 3 cajas, por lo tanto se tienen 9 3 = 27 cajas azules, de esta manera el número total de cajas contando las cajas azules, verdes y la caja roja es = 37. La opción correcta es la C. Solución pregunta 4: Prueba: Una de las tantas maneras de obtener el número de formas en que puedo construir el número 2015 siguiendo las fechas es la siguiente: 1

3 El número de flechas que parten de 2 es 2 así puedo formar por lo menos 2 veces el número, a saber el 2015 horizontal y el 2015 vertical Ahora tomando el 0 en el 2015 horizontal tenemos que de el parten 2 flechas. Una de ellas pertenece al 2015 horizontal asi que esta ya fue contada antes. La otra no pertence al 2015 horizontal ni vertical, asi pues tenemos un nuevo En suma llevamos Aplicando este mismo raciocinio para el 1 en el 2015 horizontal tenemos un nuevo 2015, para así obtener en total 4. De manera análoga si nos situamos en el cero del 2015 vertical tenemos que de él parten 2 flechas, pero una de ellas hace parte del 2015 vertical, así pues tenemos un 2015 más, para un total de 5. Ahora si consideramos el 1 vertical obtenemos un nuevo 2015 para un total de 6 formas diferentes de obtener el número 2015 siguiendo las flechas Finalmente si tenemos encuenta el 1 del centro, es decir, el 1 que no pertenece al 2015 vertical ni horizontal, notamos que del parten dos flechas, estas dos flechas forman dos nuevos 2015, obteniendo así el 2015 de 8 formas distintas. 2

4 El número 5 no aporta nuevas formas ya que este es el último dígito. La opción correcta será la 8. Solución pregunta 5: Prueba: La mejor manera de dar respuesta a esta pregunta es la de tabular organizadamente la información dada en el enunciado de la siguente manera Actividad / Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Agosto Deportes X X X Exposiciones X X X Encuentros X X X Seminarios X X Visitas X X Notemos ahora que el único mes donde solo se realiza una actividad es el mes de Abril, en los restantes se realizan dos, así pues debe ser Abril el mes en que a la administradora le sobra dinero. Así la única opción correcta es la D. Solución pregunta 6: Prueba: Sabemos que para todo número x mayor a 1, x > x, de esta manera se tiene que x > x x x ( xx) > ( xx) x x ( x)x > x(x) 1 > 1 x x Además que como x > 1, entonces x > 1. Luego, por un argumento similar al anterior tenemos que 1 < 1, por tanto x > 1. Finalmente tenemos que x x 1 < x x(1) < x(x) x < x 2. 3

5 Racapitulando tenemos: 1. 1 x > 1 x 2. x > 1 x 3. x > x 4. x 2 > x Así al ordenar el conjunto de términos de mayor a menor tenemos x 2, x, 1 x,, 1. Así la x x opción correcta es la E. Solución pregunta 7: Prueba: Lo primero que debemos notar es que el número de cuadritos blancos solo aumenta en las figuras pares, por ejemplo, la figura 2 tiene 2 cuadritos blancos y la figura 3 también tiene 2 dos cuadritos blancos, pero la figura 4 tiene 6, cuadritos blancos. De la misma forma se puede notar que el número de cuadritos negros solo aumenta en las figura impares. Lo siguiente a notar es que el número de cuadritos que se le adicionan a una figura para obtener una nueva es exactamente el número de la nueva figura. Por ejemplo, a la figura 2 se le adicionarón 3 cuadritos para obtener la figura 3, a la figura 3 se le adicionarón 4 cuadritos para la figura 4 y así sucesivamente.(ver figura). De esta manera de la figura 13 a la 14 aumentaron 14 cuadritos blancos y de la 14 a la 15 NO aumentaron cuadritos blancos pues 15 es impar, ahora de la figura 1 a la 2 aumentaron dos cuadritos blancos, de la 2 a la 3 no aumentaron cuadritos blancos, de la 3 a la 4 aumentaron 4 cuadritos blancos y asi sucesivamente. Por lo tanto el número de cuadritos blancos en la figura 15 es la suma de los números pares que estan entre 1 y 15, esto es, = 56. Así la opción correcta será la E. Solución pregunta 8: 4

6 Prueba: Un litro de jugo contiene 20 % de pulpa de fruta, esto es, la quinta parte de un litro de jugo es pulpa de fruta y para calcular dicho porcentaje en 4 litros de composicíon de agua y jugo, utilizando una regla de tres simple (observando que las cantidades son directamente proporcionales) tenemos: 4L 100 % ( ) 1 5 L X Así la opción correcta es la A. Solución pregunta 9: X = (100 %)( 1 5 L) = 5 % 4L 4L 100 % ( ) 1 5 L X Prueba: Dado que el diámetro AB mide 15 centímetros y la diagonal CD del rectángulo inscrito en el círculo es un diámetro tenemos que CD mide 15 centímetros:(ver figura) La diagonal CD esta compuesta por 4 diagonales de rectángulos pequeños, como estos rectángulos son iguales dichas diagonales son iguales, así la diagonal de un rectángulo pequeño mide 15 4 = 3,75. Observando la figura podemos ver que el perímetro de la figura sombreada esta formado por diagonales de rectángulos pequeños, las cuales son iguales. Más aún está formado por 8 diagonales de rectángulos pequeños, entonces el perímetro de la figura sombreada es 8 (3,75) = 30. Así la opción correcta es la E. 5

7 Solución pregunta 10: Prueba: Consideraremos todas las medidas en centimetros, así 20 metros serán considerados como 2000 centímetros. Ahora debido a que solo disponemos de la parte inicial del panel calculemos cuantos centímetros de varita utiliza. Como se ve en el enunciado cada pieza utiliza 45 centímetros de varita y la parte inicial del panel tiene cuatro piezas por lo tanto utiliza 4 45 = 180 centímetros de varita. Encontrar el diseño final del panel se reduce a dividir: 2000 = Esto significa que juntaremos 11 piezas como la inicial y restará saber la figura que corresponde a los 20 centímetros más de varita siguiendo el patrón de comportamiento del diseño. Como la parte inicial del panel termina en: entonces al adicionar dos varitas de 10 centimetros el panel termina en: lo que nos da la opción B. Solución pregunta 11: Prueba: Los ángulos del triángulo grande son x, 2b + a, 2a + b. Los ángulos del triángulo pequeño son 100, 2b, 2a. Dado que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180 grados, tenemos para el triángulo grande 6

8 y para el triángulo pequeño x + (2b + a) + (2a + b) = 180 x + (2a + 2b) + (a + b) = 180 x + 2(a + b) + (a + b) = 180 x + 3(a + b) = 180 (1) (2a + 2b) = (a + b) = 180 despejando a + b de esa última ecuación tenemos 2(a + b) = a + b = 80 2 = 40 reemplazando a + b en la ecuación (1) y despejando x tenemos x + 3(40) = 180 x = 180 de donde x = = 60. Así la opción correcta es la D. Solución pregunta 12: Prueba: Las hipótesis del problema son: 1. El futbolista no tiene hermanas ni hermanos y es el más joven de los amigos 2. Tabárez es mayor que el ciclista y está casado con la hermana de Acevedo De la hipótesis 2 tenemos que Tabárez no es el más joven de los amigos y así no será el futbolista. De nuevo por la hipótesis 2 tenemos que Acevedo no es el futbolista ya que tiene una hermana y de esta manera Holguín debe ser el futbolista. Por otro lado, Tabárez es mayor que el ciclista entonces Tabárez no es el ciclista y por consiguiente Acevedo será el ciclista y Tabárez el beisbolista. En definitiva, lo que podemos afirmar es que Acevedo es ciclista. Deporte / Deportista Tabárez Acevedo Holguín Futbol X X Beisbol X X Ciclismo X X 7

9 Así la opción correcta será la E. Solución pregunta 13: Prueba: El área superficial del cubo grande sin remover ningún cubo pequeño es la suma de las área de cada cara del cubo. Como el cubo tiene lado 3 el área de una cara es 9, luego la suma de las áreas de cada cara es 6 9 = 54. Un cubo pequeño tiene lado 1, luego cada cara tiene área 1. Al remover los cubos pequeños que corresponden a los centros de cada cara del cubo grande, hemos extraído 6 caras de área 1, así en total tenemos 6 centímetros menos de área superficial. Y dado que el cubo del centro no aporta nada a el área superfical del cubo grande tenemos que el área superficial del cubo grande removiendo los cubos pequeños es 54 6 = 48. Así la opción correcta será la C. Solución pregunta 14: Prueba: Para dar la respuesta correcta debemos tener encuenta la opciones dadas, es decir, la respuesta será obtenida a partir de la lectura consciente de las opciones y no solo con la información dada en el enunciado. Para esto analizamos cada opción y la contrastamos con la información en el enunciado. Ahora, posterior a este análisis vemos que la opción C afirma que 6 es la nota más alta del examen, pero esto es evidentemente falso pues el diagrama de barras nos muestra que algunos alumnos sacaron 10, en el examen. De esta manera la opción C es la correcta. OBSERVACIÓN: Problemas relacionados a la lectura de gráficos son, en egneral solucionados con esta estrategia. Esto muestra la importancia de leer bien los enunciados, ya que acertar la respuesta dependerá más de la comprensión de la lectura que de los conocimientos matemáticos. Solución pregunta 15: Prueba: Las condiciones dadas en el enunciado sobre la comunidad de 300 personas son: personas son mayores de 20 años son mujeres mujeres son mayores de 20 años. Por la condición (1) el conjunto de menores de 20 años tiene = 190 personas, por la condición (2) y (3) el conjunto de mujeres menores de 20 tiene = 70 mujeres, luego el conjunto de hombres menores de 20 años tiene = 120 hombres. La opción correcta será la B. Solución pregunta 16: Prueba: Para una mejor visualización rotemos el triángulo como se muestra en la figura. 8

10 Luego tomemos el punto medio del segmento AD, denotemos este por F. Como AD = 2DB, entonces tenemos que AF = FD = DB. Además el triángulo ABC es equilátero, luego se debe dar que AE = DB. En consecuencia AE = AF. Nuevamente utilizando el hecho de que el triángulo ABC es equilátero tenemos que el triángulo AEF es semejante al triángulo ABC, así AEF es un triángulo equiĺatero. Finalmente trazando la altura h del triángulo AEF tenemos que esta coincide con la altura del triángulo AED, dado que AEF y ABC son semejantes. Ahora AE = AC 3 podemos concluir que h = h, donde h es la altura del triángulo ABC. 3 De las hipótesis del problema tenemos que AD = 2AB y que el área del triángulo ABC es cm 2, es decir, (AB)(h) = 162. Así, el área del triángulo AED corresponde a 2 (AD)(h ) = 2 ( ) ( ) 2AB h (AB)(h) = = = 36 ( ) 2 (162) 9 En definitiva, el área del cuadril tero será el área del triángulo ABC menos el área del triángulo AED, es decir, = 126 cm 2. Así, la opción correcta es la A. 9

11 Solución pregunta 17: Prueba: Primero hagamos una tabla que contenga todas las factorizaciones de 60 como producto de dos números, para las cuales importa el orden de los factores. Factorización Factor 1 Factor x x x x x x x x x x x x Notemos ahora que las factorizaciones 20 3 y 12 5 coinciden cuando sumamos sus factores y cuando los restamos, asi pues se debe tener a = 20, más aún se debe tener que b = 3, c = 12, d = 5. Así la opción correcta es la B. Solución pregunta 18: Prueba: El menor número de tres dígitos es 100, dado que 100 = 4 25 Ahora el menor número de 4 dígitos es 1000 y dado que 1000 = 4 250, se sigue que el mayor número de n tal que 4n tiene tres dígitos es 249. De esta manera la cantidad de enteros positivos tales que 4n son números de 3 cifras son todos los que se encuentran entre 25 y 250, esto es, tiene tres digitos es = 225. La opción correcta será la D. Solución pregunta 19: Prueba: Consideremos los siguientes rectángulos: los rectángulos (1), (2), (3) tiene áreas 14, 10, 35 respectivamente. Ahora formemos un rectángulo pegando los rectangulos (1), (2) y (3) de modo que tenga lado (a + b + c). El área de este rectángulo es 10

12 (a + b + c) 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2bc + c 2 = 2(14) + 2(35) + 2(10) + a 2 + b 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 Para hallar el valor de a 2, b 2, c 2, tenemos que De manera analoga tenemos que Luego el área del último cuadrado es (ab)(ca) = = 490 a 2 (bc) = 490 a 2 (10) = 490 a 2 = = 49 b 2 = 4 c 2 = 25 (a + b + c) 2 = = 196 por tanto el lado del cuadrado es (a + b + c) = 196 = 14. Así la opción correcta es la C. Solución pregunta 20: Prueba: Veamos bajo qué condiciones a b = a + b + ab es un número par. 1. si a y b son pares se tiene que a b = a + b + ab es par pues la suma de dos números pares es un número par y el producto de dos números pares es un número par. 2. si a es par y b impar entonces a b = a + b + ab es un número impar pues el producto ab será par y al sumarle a tenemos que a + ab es par y al sumarle b tenemos que a + b + ab es impar pues b es impar. 3. si a es impar y b es par, de manera análoga al caso anterior se tiene que a b = a + b + ab es impar 4. si a y b son impar entonces el producto ab es impar, al sumarle el número b tenemos que b + ab es par y al sumar el número a tenemos que a + b + ab es impar, pues a impar y b + ab es par. De la condiciones anteriores tenemos que la única forma de que a b = a + b + ab sea par es cuando a y b son pares. El número de elementos pares del conjunto A es 50, de esta manera el número de parejas (a, b) con a y b en A que hacen que a b = a + b + ab sea par es 50 2 pues para cada coordenada de la pareja (a, b) tenemos 50 posibles números. La opción correcta será la D. 11