Sistemas de Varias Partículas.

Transcripción

1 Capítulo 6 Sstemas de Varas Partículas. Al estudar los sstemas con varas partículas surgen varos elementos adconales, como son los enlaces o lgaduras entre puntos, tanto nternos al sstema como externos, y las fuerzas nterores. Uno de los casos más representatvos es el de los sstemas rígdos, con enlaces de dstanca constante entre partículas. En prncpo, la aplcacón de las leyes de Newton se hará realzando la suma para todas las partículas, obtenendo así leyes globales en funcón de las magntudes cnétcas resultantes o suma para todo el sstema. A la hora de obtener estas resultantes convendrá tener en cuenta las nteraccones entre partículas del sstema. Un caso especal es el prncpo del momento cnétco, que de manera estrcta no se deduce de las leyes de Newton, sno que son necesaras hpótess adconales. Este prncpo es debdo a Euler. Adconalmente, ntroducremos los métodos de trabajos vrtuales, de gran potenca para plantear las ecuacones de la estátca o de la dnámca drectamente para el conjunto del sstema Morfología de los Sstemas Antes de desarrollar los prncpos y teoremas fundamentales, es convenente nr prmero algunos conceptos y elementos báscos que se emplearán en el estudo de los sstemas de varas partículas Sstema mecánco Se llama así a un conjunto de varas partículas, de número fnto o nfnto, de las cuales queremos estudar su movmento. En el estudo de un sstema mecánco se prescnde pues de otras característcas físcas como la carga eléctrca, color, temperatura,... En el capítulo 2 se estudó el tpo de sstema más smple, reducdo a una sola partícula, mentras que en el capítulo 5 se analzaron sstemas formados 6.1

2 6.2 Capítulo 6. SISTEMAS DE VARIAS PARTíCULAS. por 2 ó 3 partículas bajo fuerzas centrales. Los cuerpos que observamos a smple vsta están formados por un gran número de partículas, macroscópcas, atómcas o subatómcas. Sólo en certos casos es válda la smplfcacón que supone el modelo de la masa puntual. En otros casos, por el contraro, será necesaro consderar el sstema como formado por varas partículas. Se llama confguracón de un sstema a la poscón de cada una de sus partículas en un nstante dado. Para nr la confguracón se necesta un determnado número de parámetros, según el sstema de que se trate. Por ejemplo, una partícula lbre precsa tres parámetros: las coordenadas cartesanas, (x, y, z). Un sstema de n partículas lbres queda ndo por 3n parámetros. Sn embargo, s exsten lgaduras que restrnjan el movmento, el número de parámetros precso para nr la confguracón será menor. Se denomnan grados de lbertad de un sstema al conjunto mínmo de parámetros necesaro para nr unívocamente la confguracón del msmo, y que puedan vararse de manera ndependente (es decr, sn ecuacones de lgadura) Fuerzas Las fuerzas ejercdas sobre las partículas de un sstema son las causantes de la varacón del movmento de las msmas. Podemos clasfcarlas atendendo a varos crteros: Exterores, s son ejercdas por agentes externos al sstema, o nterores en caso contraro. En este últmo caso, tanto la accón como la reaccón se producen sobre partículas del propo sstema. Actvas o Reactvas, según que actúen motu propro, o ben como respuesta a un movmento determnado que ntentan mpedr, en cuyo caso sólo se dan cuando exste la tendenca a este movmento. Estas últmas se llaman tambén fuerzas de enlace. F. externa F. externa F. nternas Fgura 6.1: Tpos de fuerzas en un sstema Reaccón Reaccón

3 Aptdo Morfología de los Sstemas Enlaces La exstenca de enlaces o lgaduras mpone restrccones al movmento de las partículas, reducendo el número de grados de lbertad con respecto al caso en que todas las partículas fuesen lbres. El número de grados de lbertad se verá reducdo, respecto del caso sn lgaduras, por el número de ecuacones de enlace ndependentes. Los enlaces se pueden clasfcar, según dversos crteros, en: Exterores, para las lgaduras con puntos externos, e nterores, para las lgaduras entre puntos del msmo sstema. Lsos (no dspatvos) y rugosos (dspatvos), atendendo a que las fuerzas de enlace dspen o no energía para los movmentos permtdos por los msmos (fgura 6.2). Se entende que para que tenga sentdo hablar de enlace lso o rugoso, éste debe permtr algún movmento, pues en caso de restrccón total no cabe esta clasfcacón. Holónomos y Anholónomos. Se consderan holónomos cuando es posble expresar la condcón de lgadura medante una relacón entre las poscones de las partículas y el tempo exclusvamente: Φ(r 1, r 2,..., r n, t) = 0. (6.1) A su vez, los enlaces holónomos se denomnan esclerónomos s no dependen del tempo, y reónomos en caso contaro (fgura 6.3). Los enlaces anholónomos son en general todos aquellos que no son holónomos, no pudendo expresarse medante ecuacones del tpo (6.1). El caso más usual de enlace anholónomo es aquél que depende tambén de la velocdad, medante relacones del tpo: Φ(r, ṙ, t) = 0. (6.2) El caso más sencllo es el de expresones lneales en ṙ, del tpo: Φ = N a ṙ + b = 0 =1 pudendo ser a y b funcones de la poscón (a = a (r ), b = b(r )) Unlaterales y blaterales. Los unlaterales se nen medante desgualdades, por ejemplo (fgura 6.4): z 0, mplcando restrccón en un sentdo tan sólo. Por el contraro, los blaterales mplcan restrccón en ambos sentdos.

4 6.4 Capítulo 6. SISTEMAS DE VARIAS PARTíCULAS. R Fgura 6.2: Enlaces lso y rugoso; para el movmento permtdo por el enlace (deslzamento horzontal) la reaccón lsa no realza trabajo, mentras que en el caso rugoso sí. R y y (x A, y A ) = (α, β) A (x A, y A ) = (α + vt, β) A v x x Fgura 6.3: Enlaces holónomos; a) esclerónomo (no depende del tempo), b) reónomo (dependente del tempo o enlace móvl). Ejemplo 6.1: Enlaces nternos de un sóldo rígdo, consderado como un medo contnuo. La hpótess de medo contnuo mplca que es nfntamente subdvsble, constando de un conjunto nfnto de partículas. En prncpo, esto conllevaría asmsmo nfntos grados de lbertad. Sn embargo, las lgaduras nternas del sóldo oblgan a que se mantenga constante la dstanca entre dos partículas cualesquera; a su vez, esto da lugar a nfntas coaccones. El número de grados de lbertad no se puede obtener pues drectamente, ya que resultaría ndetermnado ( ). Para determnar el número de grados de lbertad del sóldo podemos basarnos en la descrpcón que sgue de su movmento. Elegmos una partícula A cualquera (fgura 6.5); su poscón estará nda por tres parámetros: sus tres coordenadas cartesanas, (x A, y A, z A ).

5 Aptdo Morfología de los Sstemas Fgura 6.4: Enlace unlateral, que permte el movmento vertcal en un sólo sentdo. Una segunda partícula B, al estar oblgada a mantener la dstanca AB, vendrá nda por dos parámetros adconales (por ejemplo dos ángulos en esfércas respecto de A: ϕ B, λ B ). Defnda la poscón de las dos partículas A y B, una tercera partícula C precsa de un únco parámetro más para nr su poscón, por ejemplo, el ángulo de gro alrededor del eje AB, θ C. Cualquer otra partícula del sóldo tene ya nda su poscón al estar ndas A, B y C. Por tanto no aportan grados de lbertad adconales. C (+1 g.d.l.) A (3 g.d.l.) B (+2 g.d.l.) Fgura 6.5: Grados de lbertad del sóldo rígdo. Su movmento queda determnado por el del trángulo rígdo ABC, con = 6 g.d.l. Así, el número de grados de lbertad de un sóldo rígdo es = 6. Exsten múltples maneras de elegr estos 6 g.d.l., aunque la descomposcón usual es tomar las tres coordenadas de su centro de masas, y tres ángulos o parámetros que nan la orentacón del sóldo, como los ángulos de Euler (se verán en el capítulo 8). Es posble tambén escoger otros conjuntos de parámetros, según convenga en cada caso. Ejemplo 6.2: Dsco vertcal de rado a, rodando sn deslzar sobre un plano horzontal, de forma que se mantenga vertcal en todo nstante, admtendo pvotamento lbre. Sea el plano horzontal Oxy (fgura 6.6). Denomnamos (x, y, z) a las coordenadas del centro del dsco, ψ al ángulo que forma el eje del dsco (perpendcular al msmo por su centro) con la horzontal, θ al ángulo que forma este msmo eje con la dreccón Ox del plano horzontal, y ϕ al ángulo grado por el dsco alrededor de su propo eje.

6 6.6 Capítulo 6. SISTEMAS DE VARIAS PARTíCULAS. z x θ 6 a ϕ y y 2 ϕa θ x Fgura 6.6: Movmento de un dsco vertcal rodando sn deslzar sobre un plano. La velocdad del centro del dsco vertcal tene las componentes ( ϕa sen θ, ϕa cos θ) sobre las dreccones horzontales x e y. Los enlaces son cuatro: dos holónomos, z = a (altura constante del centro del dsco), ψ = 0 y dos no holónomos, (dsco vertcal), ẋ = ϕa sen θ ẏ = ϕa cos θ. En un caso general en que θ(t) no sea constante, éstas últmas relacones no se pueden ntegrar, sendo por tanto enlaces anholónomos. El sstema queda ndo por cuatro parámetros (x, y, θ, ϕ) y dos ecuacones de lgadura ndependentes, es decr, tene 6 4 = 2 grados de lbertad. En el caso partcular en que fuese θ = cte., el dsco rodaría apoyado sobre una línea recta, dentro de un plano vertcal fjo. Tomando el eje Ox según la dreccón θ = 0, resulta ϕa = ẋ x = ϕa. La ecuacón es ntegrable y el enlace sería anholónomo sólo en aparenca. Fgura 6.7: Dsco rodando con θ = cte; el movmento equvale al movmento plano de rodadura sobre una recta, con la lgadura holónoma x = ϕa. a 6 ϕ x

7 Aptdo Morfología de los Sstemas 6.7 Ejemplo 6.3: Esfera rodando sobre sn deslzar sobre un plano, con pvotamento lbre. z Fgura 6.8: Componentes de la velocdad de rotacón de una esfera rodando sn deslzar sobre un plano horzontal, según el tredro móvl Oxyz. x ϕ ψ O θ y Tomamos unos ejes móvles (Oxyz), de forma que O es el centro de la esfera, Oz es un eje vertcal, mentras que Ox y Oy pvotan con la esfera mantenéndose horzontales en todo momento. Por otra parte, consderamos tambén el tredro fjo (O XY Z), en el que podemos expresar las coordenadas del centro de la esfera (X O, Y O, Z O ). El ángulo grado por pvotamento (alrededor de Oz) lo llamaremos ψ. Denomnamos ϕ y θ respectvamente a las componentes de la velocdad de rotacón de la esfera según los ejes Ox y Oy. Fgura 6.9: Proyeccones de la velocdad del centro de la esfera en el plano horzontal. Y ẋ O = θa ẏ O = ϕa ψ O O X Los enlaces son: Z O = a Ẋ O = ϕa sen ψ + θa cos ψ Ẏ O = ϕa cos ψ + θa sen ψ (holónomo) (anholónomo) (anholónomo)

8 6.8 Capítulo 6. SISTEMAS DE VARIAS PARTíCULAS. La esfera posee por tanto 6 3 = 3 grados de lbertad, con dos enlaces anholónomos Prncpos y Teoremas de la Dnámca de Newton-Euler Prncpo de la Cantdad de Movmento Consderamos un sstema formado por un número fnto de partículas, {m, = 1,... N}. m m j F j= F j F j Fgura 6.10: Fuerzas nternas centrales entre dos partículas m y m j del sstema. Aplcando el prncpo de la cantdad de movmento (2. a ley de Newton) a cada partícula m del sstema, sendo F la resultante de todas las fuerzas sobre dcha partícula, F = d dt (m v ). (6.3) Descompondremos las fuerzas en nternas y externas al sstema: F = F ext + F nt ; las fuerzas nternas sobre la partícula, F nt, son el resultado de las accones del resto de las partículas j : F nt = j F j, donde la nomenclatura F j ndca la accón de m j sobre m. Por la ley de accón y reaccón ó 3. a ley de Newton, F j = F j (fgura 6.10). Así, al sumar las ecuacones (6.3) para todas las partículas del sstema, las fuerzas nternas se anulan dos a dos, resultando: N =1 F ext + N =1 j F j } {{ } =0 = N =1 ( ) d dt m v.

9 Aptdo Prncpos y Teoremas de la Dnámca de Newton-Euler 6.9 Llamando F = N =1 F ext = N =1 F (resultante de fuerzas externas sobre el sstema), y P = N =1 m v (cantdad de movmento del sstema), resulta la expresón: F = d dt P. (6.4) Expresón que se puede consderar como prncpo básco de la dnámca de sstemas, enuncándose como sgue: La dervada respecto del tempo de la cantdad de movmento del sstema es gual a la resultante de las fuerzas exterores. Podemos obtener otra expresón equvalente para esta ecuacón a partr del movmento del centro de masas G. Se ne éste como: N =1 r G = m r M, (6.5) Sendo M = m, masa total del sstema. m r G G O Fgura 6.11: Centro de masas G de un sstema de varas partículas. Dervando (6.5) se obtene: [ N ] d N m r = m v = P dt =1 =1 = Mv G, (6.6) donde v G = dr G /dt es la velocdad del centro de masas. Susttuyendo en (6.4), y llamando a G = d 2 r G /dt 2 a la aceleracón del msmo, se llega a: F = Ma G (6.7) Este resultado se denomna teorema del movmento del centro de masa, consttuyendo una expresón alternatva para la ecuacón (6.4). Se lee de la sguente manera:

10 6.10 Capítulo 6. SISTEMAS DE VARIAS PARTíCULAS. Se puede estudar el movmento del Centro de Masas G de un sstema como s fuera una partícula, concentrando toda la masa del sstema, sometda a la resultante de fuerzas exterores sobre el sstema. Como corolaro se puede deducr el teorema de conservacón correspondente: s F = N =1 F ext = 0 P = N m v = Mv G = cte (6.8) S la resultante de las fuerzas exterores sobre el sstema es nula, la cantdad de movmento del sstema se conserva, por lo que el centro de masas sgue un movmento rectlíneo y unforme. La condcón de conservacón se cumple obvamente para un sstema aslado, o en cualquer otro que aún sn estar aslado esté sometdo a un conjunto de fuerzas con resultante nula. A estos efectos convene recordar lo estudado para el sstema bnaro en el apartado Prncpo del Momento Cnétco La ecuacón de balance del momento cnétco (2.4) aplcada a una partícula m del sstema se expresa como: =1 M O = d dt H O, (6.9) donde M O = r F, y H O = r m v ( no sumado). S sumamos (6.9) para todo el sstema, realzando la descomposcón habtual entre fuerzas nternas y externas: N M O = =1 N =1 r F ext + F nt {( }} ){ N r F j =1 =j (6.10) Admtremos que se cumple la ley de accón y reaccón con su enuncado más fuerte: no sólo son F j y F j guales y opuestas, sno que supondremos que son fuerzas centrales, sguendo la msma recta de accón que une m con m j : F j = F j (r j ) r j r r j Entonces, para dos partículas cualesquera: (r j = r j r ). (6.11) r F j + r j ( F j ) = (r r j ) F j = 0 (, j no sumados)

11 Aptdo Prncpos y Teoremas de la Dnámca de Newton-Euler 6.11 O F ext m j r j F j F j m Fgura 6.12: Fuerzas nternas y externas sobre dos partículas cualesquera del sstema. De esta forma, la suma de los momentos de las fuerzas nterores en (6.10) se anula, al cancelarse dos a dos los sumandos. Defnendo el momento cnétco del sstema respecto a O: H O = H O = r m v y el momento de las fuerzas exterores respecto de O: M O = M O = r F ext se obtene fnalmente: M O = d dt H O (6.12) Esta expresón, que llamaremos tambén ecuacón de balance del momento cnétco, se puede consderar como prncpo básco de la dnámca de sstemas, con el sguente enuncado: El momento de las fuerzas exterores de un sstema respecto de un punto O fjo es gual a la dervada respecto del tempo del momento cnétco del sstema respecto del msmo punto. Como corolaro, cuando M O = 0, se obtene el teorema de conservacón correspondente: M O = 0 H O = cte. (6.13) La constanca de H O puede ocurrr en los casos sguentes: Sstema aslado, sobre el que no actúa nnguna fuerza exteror. El momento cnétco del sstema respecto de cualquer punto se conserva. Fuerzas centrales (todas drgdas haca un msmo punto fjo), en cuyo caso se conserva el momento cnétco respecto del centro de fuerzas, aunque no necesaramente respecto de otros puntos dstntos.

12 6.12 Capítulo 6. SISTEMAS DE VARIAS PARTíCULAS. En lo anteror se ha admtdo que las fuerzas nternas son todas centrales (6.11). Las nteraccones de tpo gravtatoro o electrostátco cumplen muy aproxmadamente esta condcón, pero otro tpo de fuerzas como las electrodnámcas no la cumplen necesaramente. De hecho, en sstemas con cargas eléctrcas móvles, se puede volar la ley de accón y reaccón, tanto en su enuncado fuerte (fuerzas centrales) como en su enuncado más débl. En el caso de un sóldo las nteraccones entre partículas se deben a fuerzas de contacto, de naturaleza compleja, que tampoco resulta evdente que deban ser centrales. Sn embargo, en los casos en los que exstan fuerzas nternas del tpo menconado, generalmente se puede encontrar una generalzacón de P ó de H O que verfca los teoremas de conservacón enuncados. Por lo tanto, en lo que sgue supondremos que, ndependentemente de la naturaleza de las fuerzas nternas, se verfca el prncpo del momento cnétco expresado por (6.12). Puesto que esta afrmacón se postula como base de partda, es más apropado referrse a ella como prncpo que como teorema. Convene realzar una aclaracón mportante, prevnendo del grave error que resultaría de confundr en (6.12) la resultante de los momentos, M O = r F ext, con el momento de la resultante, que s suponemos a ésta aplcada en G, sería r G ( F ) ext M O. De caer en esta confusón, se llegaría a contradccones tan graves como que un sstema sometdo a un par de fuerzas (que tene resultante nula) no se movería. Momento cnétco en un punto cualquera Q. Tanto el momento cnétco de un sstema como el momento de las fuerzas tenen la naturaleza de campos de momentos, es decr, conocdos el momento en un determnado punto de referenca y la resultante, se puede expresar el momento en cualquer otro punto a partr de la ecuacón característca del campo de momentos, con una expresón análoga a la (4.10) del campo de velocdades del sóldo. En efecto, calculemos el momento cnétco en un punto cualquera Q, no necesaramente fjo, ndo por el vector poscón r Q. La resultante del campo de vectores es en este caso P = Mv G. Operando, H Q = (r r Q ) m v = ( ) r m v r Q m v }{{} P =Mv G = H O + P r Q. (6.14) La expresón anteror es generalzable para dos puntos (P, Q) cualesquera, H Q = H P + P r P Q. Análogamente, para el momento de las fuerzas las expresones son M Q = M O + F r Q = M P + F r P Q.

13 Aptdo Prncpos y Teoremas de la Dnámca de Newton-Euler 6.13 Sn embargo, sería un grave error aplcar la ecuacón de balance del momento cnétco (6.12) en un punto cualquera; esta ecuacón sólo es válda s O es un punto fjo 1, ya que la deduccón anteror se hzo basada en que consttuye el orgen de un sstema de referenca nercal. En efecto, s dervamos H Q dado por la expresón (6.14): d dt H Q = d dt H O + dp dt r Q + P v Q = M O + F r Q + P v Q = M Q + Mv G v Q. Comprobamos que en la ecuacón de balance aparece un térmno corrector Mv G v Q que no tene porqué anularse en un caso general. Una excepcón mportante es el caso del centro de masas, como se verá más adelante (apartado 6.3) Teorema de la Energía Cnétca La ecuacón de la energía cnétca (2.6) aplcada a cada partícula m expresa: ( ) 1 dw = F dr = d 2 m v 2 ( no sumado) Al gual que en los casos anterores, para obtener las magntudes cnétcas del sstema conjunto, sumamos para todas las partículas del msmo: T = [ ] 1 2 m v 2 1 dt = d 2 m v 2 obtenéndose: dw = F dr = F (ext) } {{ } dw ext dt = dw dr + F j dr. =j } {{ } dw nt En las ecuacones de la cantdad de movmento (6.4) y del momento cnétco (6.12), el efecto de las fuerzas nterores desaparecía al sumar para todo el sstema. Sn embargo, en un caso general el trabajo debdo a las fuerzas nterores no se anula: dw nt = 0. 1 El sgnfcado de fjo en esta expresón se debe entender en el sentdo de la transformacón de Galleo; cualquer punto que pueda ser el orgen de un sstema nercal podrá ser consderado fjo. S se trata de un punto con velocdad no nula, pero que se mantene constante, todo lo dcho es váldo, pero referendo las velocdades para el cálculo de (6.9) a un sstema con orgen en dcho punto.

14 6.14 Capítulo 6. SISTEMAS DE VARIAS PARTíCULAS. Merece la pena analzar de forma detallada el trabajo de las fuerzas nterores comprender mejor el sgnfcado de la observacón anteror. Sean dos partículas cualesquera del sstema, m y m j, stuadas ncalmente en A y B (fgura 6.13). Suponemos que al cabo de un movmento elemental arbtraro están stuadas en dos puntos cualesquera A y B. Podemos descomponer el movmento elemental total en: m j B (T ) F j F j m A B (R) Fgura 6.13: Descomposcón de un movmento elemental general en traslacón, rotacón y estramento. A B (E) B 1. Traslacón (T ) pasando A a A y B a B : dr T = dr T j dw T = F j dr T + ( F j ) dr T = 0 2. Rotacón (R) alrededor de A, en el plano ndo por A B B, quedando fjo m y pasando m j a B : dr R j = dtω (r j r ) ; dr R = 0 dw R = F j dr R j = F j [dtω (r j r )] = 0 donde se ha supuesto que F j lleva la dreccón de (r j r ), es decr, se trata de fuerzas centrales. 3. Estramento (E), quedando fja m y pasando fnalmente m j a B : dr E j ; dr E = 0, dw E = F j dr E j 0. En resumen, los movmentos de traslacón y rotacón son movmentos de sóldo rígdo y no producen trabajo de las fuerzas nterores. Por el contraro, las ormacones nternas (dstorsones o estramentos), que no corresponden a movmentos de sóldo rígdo, sí producen un trabajo neto de las fuerzas nterores. En ntva, se puede escrbr: dt = dw = dw nt + dw ext (6.15)

15 Aptdo Prncpos y Teoremas de la Dnámca de Newton-Euler 6.15 La varacón de la energía cnétca conjunta de un sstema es gual al trabajo realzado por las fuerzas, tanto nternas como externas. La consderacón del trabajo de las fuerzas nterores es mprescndble para el cálculo de estructuras y la mecánca de los medos contnuos ormables, en los que la ormacón vene gobernada por la energía nterna de ormacón acumulada. Los métodos y teoremas energétcos proporconan algunos de los procedmentos más potentes de cálculo en este caso. S todas las fuerzas (tanto externas como nternas) provenen de un potencal ndependente del tempo, se verfcará: dw = F dr = dv, deducéndose entonces de (6.15) el teorema de conservacón de la energía: dt + dv = 0 E = T + V = cte. (6.16) Convene recalcar que en esta ecuacón la energía potencal V corresponde al la Energía Potencal Total, dervándose de ella tanto las fuerzas nterores como las exterores. Como ejemplo, en el caso de las estructuras o de los medos elástcos ormables, V debe nclur tanto el potencal de las cargas externas aplcadas como la energía de ormacón debda a las fuerzas nterores. S las fuerzas nternas en el sstema son centrales en el sentdo de (6.11), según se vó en el apartado 5.2.1, provenen de un potencal expresado por (5.12): V j (r j ) = F j (ρ) dρ; F j = V j. (6.17) r Es posble demostrar en este caso que el potencal conjunto de las fuerzas nterores es V nt = V j. (6.18) (La lmtacón j > srve para no sumar dos veces el potencal de nteraccón entre cada dos partículas.) De esta forma la ecuacón (6.15) se converte en j> d(t + V nt ) = dw ext. En este caso, s se trata de un sstema aslado se verfcaría E = T + V nt = cte. (6.19) Ejemplo 6.4: Potencal de fuerzas nternas de un sstema de partículas dscretas, con atraccón lneal en funcón de la dstanca entre cada dos partículas.

16 6.16 Capítulo 6. SISTEMAS DE VARIAS PARTíCULAS. Se trata de fuerzas análogas a resortes lneales deales nterpuestos entre cada dos partículas, sguendo el esquema de fuerzas centrales. Suponendo en prmer lugar que la constante de todos estos resortes es la msma, el potencal de uno de ellos es V j = 1 2 kr2 j, sendo r j la dstanca entre la pareja de puntos (, j). Tenendo en cuenta que r j / r = r j /r j, la fuerza ejercda sobre por j se obtene sguendo (6.17): F j = V j r = kr j. La energía potencal total para todo el sstema, según (6.18), es V nt = j> 1 2 kr2 j. Un caso partcular sería aquél en que las constantes de atraccón entre cada dos partículas son proporconales al producto de las masas, F j = αm m j r j. Sumando todas las fuerzas nternas sobre una partícula dada, F = j αm m j (r j r ) = αm M(r G r ) sendo M = k m k la masa total. Se obtene por tanto una fuerza de atraccón de cada partícula haca el centro de masas del conjunto. El movmento de cada partícula relatvo a dcho centro de masas sería una órbta elíptca con centro en él (ver apartado 3.2). Es trval comprobar que la suma de todas las fuerzas nterores dadas por la anteror expresón se anula. Ejemplo 6.5: Energía potencal de ormacón para fuerzas elástcas en una barra recta, como medo contnuo, de longtud L, seccón transversal A y módulo de elastcdad E. Denomnamos x a la coordenada según la barra, x [0, L] (fgura 6.14). Suponemos que cada punto de la barra puede sufrr desplazamentos axales, ndos por u(x). S magnamos una rebanada de la barra, entre dos puntos x y x+dx, el desplazamento relatvo entre ambas caras será (u+du) u = du. Se denomna ormacón untara ε = du dx. Esta ormacón provoca en el materal una fuerza nterna recuperadora,

17 Aptdo Prncpos y Teoremas de la Dnámca de Newton-Euler 6.17 dx x Aσ L Aσ Fgura 6.14: Barra recta contnua sometda a ormacón axal y tensones nternas σ F nt, que se opone a la msma. La magntud de dcha fuerza por undad de área se denomna tensón, σ = F nt A. En un materal elástco lneal, se admte que la tensón depende lnealmente de la ormacón, σ = Eε, sendo E denomnado módulo de elastcdad o módulo de Young. Llamemos du al trabajo realzado por las tensones para alcanzar una ormacón ε en una rebanada Adx. Éste se calcula ntegrando a lo largo del proceso de ormacón de la msma, varando el desplazamento relatvo entre ambas caras desde 0 hasta du. Para un ncremento nfntesmal del msmo, δ(du), el trabajo elemental es y en funcón de ε puede escrbrse δ(du) = F nt δ(du) = EεAδ(du) δ(du) = EεA δ ( ) du dx = Eε δε Adx. dx Llamando a la densdad de energía potencal de las fuerzas nterores por undad de volumen V = 1 du A dx resulta δ V = Eεδε. Integrando a lo largo del proceso de ormacón de la rebanada, V = ε 0 Eε δε V = 1 2 Eε2. Para el conjunto de la barra, ntegramos a lo largo de la msma, V nt = L 0 V (x)a dx = L Eε2 A dx. En el caso partcular de que la ormacón sea homogénea, ε(x) = L/L (cte.), resulta V nt = 1 2 Eε2 AL = 1 EA 2 L ( L)2, es decr, la barra se comportaría como un resorte de constante equvalente EA/L.

18 6.18 Capítulo 6. SISTEMAS DE VARIAS PARTíCULAS Teorema del Vral Los tres prncpos anterores (cantdad de movmento, momento cnétco y energía cnétca) establecen el balance de las magntudes medante ecuacones dferencales en el tempo. En contraste con éstos, el teorema del vral no se expresa como una ecuacón dferencal, sno como una relacón entre valores medos a lo largo del tempo. Comenzamos por nr una funcón escalar G, característca del movmento en un nstante dado: G = p r donde p = m v, y el sumatoro se extende a todas las partículas del sstema. Dervando esta expresón respecto del tempo: dg dt = ṗ r + p v = F r + 2T Calculemos ahora la meda temporal de esta dervada, que denotaremos por una raya superpuesta, dg/dt. Para ello ntegramos sobre un ntervalo [0, τ] y dvdmos por la duracón del msmo: dg dt = 1 τ τ 0 dg G(τ) G(0) dt = = dt τ F r + 2T. Supongamos ahora que el movmento es peródco, sendo τ el período del msmo. Se cumplrá entonces G(0) = G(τ), por lo que resulta: T = 1 F r 2 }{{} Vral del sstema (6.20) La expresón a la derecha del sgno = se denomna vral. Por lo tanto, la ecuacón anteror se lee: Para un movmento peródco, la meda de la energía cnétca sobre un perodo es gual al vral del sstema. Es posble generalzar este resultado para un movmento que no sea peródco, con tal de que esté acotado. En efecto, en este caso la meda temporal dg dt G(τ) G(0) =, τ al tener G un valor acotado, tende a cero para valores de τ sufcentemente grandes. En este caso, se cumplrá la relacón (6.20) de manera aproxmada, sendo exacta en el límte.

19 Aptdo El Sstema del Centro de Masas 6.19 Como ejemplo, podemos aplcar el teorema del vral al caso de una partícula sometda a la acccón gravtatora. El vral es en este caso: 1 F r = 1 [ GMm ] r = r 2 2 V y aplcando (6.20): T = 1 2 V. En efecto, según vmos en el capítulo 5, aplcando las ecuacones (5.19) y (5.22) para la órbta elíptca se obtene 2 : T = GMm 2a V = GMm r T = E V = GMm 2a + GMm a = GMm 2a V = GMm ; a + GMm ; r = 1 2 V, c.q.d El Sstema del Centro de Masas El sstema del centro de masas (S.C.M.) se ne como un sstema de referenca cuyo orgen está en el centro de masas G y que no expermenta rotacón. S se caracterza medante un tredro de coordenadas cartesanas, las dreccones de las msmas serán fjas y paralelas al sstema nercal de partda (fgura 6.15). ρ G r r G (S.C.M.) O (I) Fgura 6.15: El sstema de referenca del centro de masas (S.C.M.), con orgen en G y ejes paralelos al sstema nercal (I). Las expresones de poscón, velocdad y aceleracón relatvos al S.C.M. son respectvamente ρ = r r G, ν = v v G, α = a a G. 2 La meda temporal de 1/r en una órbta gravtatora elíptca resulta ser, desarrollando la ntegral correspondente, la nversa del semeje mayor, 1/r = 1/a. Sn embargo, s la meda de r resulta r = a(1 + e 2 /2) (consultar nota 3 al pe de la págna 5.12).

20 6.20 Capítulo 6. SISTEMAS DE VARIAS PARTíCULAS. Para obtener ν y α en estas expresones, se ha dervado drectamente de manera sucesva la expresón de ρ, sn resultar necesaro emplear el térmno complementaro de dervacón Ω ρ establecdo en la ecuacón (4.6). Esto se debe a que por su ncón el S.C.M. no gra (Ω = 0) anulándose entonces dcho térmno. Sn embargo, debe quedar claro que, aunque el S.C.M. no gre, en un caso general puede tener aceleracón de traslacón (a G 0), y que por lo tanto, no se trata de un sstema nercal 3. A pesar de esto, su uso posee ventajas notables, ya que como veremos a contnuacón, se sguen cumplendo los prncpos del momento cnétco y de la energía cnétca, exactamente como s se tratase de un sstema nercal. El prncpo de la cantdad de movmento queda reducdo a una gualdad trval Cantdad de movmento En el S.C.M., la expresón de la cantdad de movmento P es: P SCM = m ν = ( ) m v m v G = 0, }{{} = M donde se ha empleado (6.6). Así, resulta la expresón trval: Momento cnétco P SCM = 0 El momento cnétco en un punto cualquera vene dado por la expresón (6.14). Aplcando esta ecuacón al centro de masas G: H G = H O r G Mv G. (6.21) Convene resaltar que en esta expresón del momento cnétco se emplean velocdades absolutas. Sn embargo, para calcular el momento cnétco relatvo al S.C.M., además de tomar momentos respecto de G, debemos emplear tambén las velocdades ν relatvas al S.C.M.: H SCM G = (r r G ) m (v v G ) = r m v r m v G r G m v +r G Mv G }{{}}{{}}{{} H O r G Mv G r G Mv G = H O r G Mv G. 3 Una excepcón a esto sería el caso de un sstema aslado, en el que G se mueve con velocdad rectlínea y unforme, ver ecuacón (6.8).

21 Aptdo El Sstema del Centro de Masas 6.21 Observamos pues que ambas expresones resultan ser déntcas: H SCM G = H G. Por tanto, a la hora de tomar momentos en G, no nos preocuparemos de este aspecto y escrbremos smplemente H G. Convene advertr que esto no sucede en otros puntos dstntos de G. Dervando (6.21) respecto del tempo: pero luego: d dt H G = d dt H O v G Mv }{{ G r } G Ma G = M }{{} O r G F =0 F M G = (r r G ) F ext = M O r G ( F ext ) } {{ } F d dt H G = M G (6.22) Es decr, se verfca la ecuacón del Momento Cnétco (6.12) respecto del orgen G del S.C.M., exactamente gual que s fuese nercal. Por lo tanto, contnuando con la dscusón realzada al fnal del apartado 6.2.2, para aplcar la ecuacón de balance del momento cnétco (6.12), se debe tomar momentos ben respecto de un punto fjo O, o ben respecto del centro de masas G del sstema; En este últmo caso, las velocdades pueden ser las absolutas respecto de un sstema nercal, o las relatvas al S.C.M., ya que según hemos vsto ambas dan déntco resultado. Por el contraro, s empleamos un punto Q cualquera, que no concda necesaramente con G n sea fjo, dervando la fórmula (6.14) resulta: d dt H Q = d dt (H O r Q Mv G ) = M O r Q Ma G v }{{} Q Mv G M Q Es decr: d dt H Q = M Q v Q Mv G. (6.23) Es necesaro pues añadr un térmno complementaro v Q Mv G respecto de las ecuacones (6.12) ó (6.22). Por tanto, s se toman momentos respecto de otro punto Q, sólo se verfcará la ecuacón de balance del momento cnétco (6.12) cuando se cumpla una de las condcones sguentes: s el punto Q tene velocdad nula, v Q = 0; s el punto Q concde con G, o por lo menos, su velocdad es paralela a la de G: v Q v G.,

22 6.22 Capítulo 6. SISTEMAS DE VARIAS PARTíCULAS. Tambén podríamos haber calculado H SQ Q empleando las velocdades en el Sstema Q (S.Q.), ndo de forma análoga al S.C.M. como una referenca con orgen en Q y ejes de dreccones fjas: H SQ Q = (r r Q ) m (v v Q ) = H O r G Mv Q r Q Mv G + r Q Mv Q = H Q + (r Q r G ) Mv Q. Observamos en prmer lugar que H SQ Q H Q. Dervando, d dt HSQ Q = d dt H Q + d dt [(r Q r G ) Mv Q ] = M Q v Q Mv G + (v Q v G ) Mv Q + (r Q r G ) Ma Q = M Q + (r Q r G ) Ma Q (6.24) Vemos que tampoco se cumple en este caso la ecuacón de balance del momento cnétco (6.12), debdo al térmno complementaro (r Q r G ) Ma Q, que sólo se anula s se verfca una de las condcones sguentes: s el punto Q concde con G: r Q = r G ; s el S.Q. es nercal: a Q = 0 (en este caso no basta que sea v Q = 0, Q debe ser un punto fjo, es decr, que esté constantemente en reposo); s, sn ser el S.Q. nercal, la aceleracón de Q está drgda haca G: (r Q r G ) a Q. Como resultado de la dscusón anteror se extrae una recomendacón mportante a efectos práctcos: no convene nunca aplcar la ecuacón del momento cnétco (6.12) en puntos que no sean o ben fjos, o ben el centro de masas. La razón es que los térmnos correctores que habría que manejar en otro caso no tenen una nterpretacón físca clara, sendo muy fácl que den lugar a confusones. A estos efectos es mportante destacar que no es lo msmo un punto fjo que un punto que tenga velocdad nula en un nstante (en este últmo caso el punto puede tener aceleracón no nula, con lo que el térmno corrector en (6.24) sería no nulo). Otra posble fuente de error es confundr la velocdad de un punto ndo por un crtero geométrco (velocdad de sucesón), con la velocdad del punto del sóldo que concde con él en un nstante dado 4. 4 Esto últmo ocurre a menudo cuando se toman momentos respecto del punto de contacto de dos sóldos, como en la rodadura de un dsco sobre una recta. El punto de contacto

23 Aptdo El Sstema del Centro de Masas Energía cnétca Calculamos prmero la relacón entre las meddas de la energía cnétca T (absoluta) y T SCM (relatva al S.C.M.): es decr: T = 1 2 m v 2 = 1 2 m (v G + ν ) (v G + ν ) ( = 1 2 m ν 2 + }{{} = T SCM m ν ) } {{ } =0 v G m v 2 G, T = 1 2 Mv2 G + T SCM (Teorema de Köng) (6.25) La energía cnétca del sstema se puede descomponer por tanto en la suma de la de una partícula con toda la masa M que se movera con G, más la energía cnétca relatva al S.C.M. El prmer sumando se puede nterpretar como el debdo al movmento de traslacón del sstema, mentras que el segundo corresponde al movmento relatvo al centro de masa. S se calcula lo msmo respecto al S.Q., resulta T = T SQ 1 2 Mv2 Q + Mv Q v G expresón que se reduce a la anteror para Q G. Volvemos a advertr al gual que ya se hzo para el momento cnétco, para evtar posbles errores en la aplcacón del teorema de Köng, de la nconvenenca de aplcar esta últma reduccón a un punto Q dstnto de G. Tomando una varacón elemental (dferencal) de T SCM, dt SCM = m (α dt) ν = m α dρ Pero: luego F = m a = m (α + a G ) m α = F m a G, dt SCM = F dρ ( m dρ ) a G = F dρ. }{{}}{{} =0 = dw SCM entre ambos se traslada sobre la recta al rodar el dsco, por lo que su velocdad no es nula; sn embargo, es el centro nstantáneo de rotacón en cada nstante, por lo que la velocdad del punto del dsco stuado sobre él en cada nstante sí será nula. Por ejemplo, para un sóldo plano que rueda sn deslzar sobre una recta, el momento cnétco relatvo al punto del sóldo que está sobre el centro de rodadura es H Q = I Q Ω, sendo I Q el momento de nerca. No se cumple, salvo en algunos casos partculares, la ecuacón M Q = (d/dt)h Q = I Q Ω, por ser Q un punto cuya velocdad es nstantáneamente nula pero que tene aceleracón no nula

24 6.24 Capítulo 6. SISTEMAS DE VARIAS PARTíCULAS. Por lo tanto dt SCM = dw SCM, es decr, se cumple tambén la ecuacón de la energía cnétca (6.15) en el sstema del centro de masa, a pesar de que no sea nercal Constantes del Movmento en Sstemas Aslados En un sstema aslado, todas las fuerzas exterores desaparecen. Resumendo los dferentes resultados presentados en apartados anterores (veánse las ecuacones (6.8), (6.7), (6.19), (6.25), (6.22)), es posble establecer 10 ntegrales o constantes del movmento: P = Mv G = cte. r G (t) P M t = r G(0) E = T + V nt = 1 2 Mv2 G + T SCM + V nt Conserv. cantdad de movmento Th. movmento del C.M. Conserv. energía H O = H G + r G P Conserv. momento cnétco (6.26) Las magntudes {P, r G (0), E, H O } consttuyen las dez constantes cláscas del movmento del sstema de N partículas aslado. Es posble demostrar 5 que estas dez constantes provenen de la nvaranca de las leyes de la mecánca ante las transformacones más generales que converten un sstema nercal en otro nercal, es decr, que mantenen nvarantes las leyes de la mecánca: Rotacón R : r r = Rr, asocada a la conservacón de H O. Al ser R ortogonal 6 (R T = R 1 ), este tensor de rotacón depende sólo de tres parámetros. Traslacón a : r r = r + a, asocada a la conservacón de P. Transformacón de Galleo 7 w : r r = r + wt, asocada al Th. del movmento del centro de masa. Traslacón de tempo s : t t = t + s, asocada a la conservacón de la energía E. 5 Ver p. ej. F. Scheck: Mechancs from Newton s Laws to Determnstc Chaos, (2. a ed.), Sprnger-Verlag, Berln (1990); apartados 1.12 y En el apartado se dscuten las rotacones rígdas y se analza la propedad de ortogonaldad para las msmas. 7 Una versón más smplfcada de esta transformacón se presentó en el apartado 1.3.

25 Aptdo Trabajos Vrtuales 6.25 Un planteamento smlar se puede realzar a partr de la funcón Lagrangana en dnámca analítca, cuestón que se descrbrá en el apartado Trabajos Vrtuales Los prncpos y teoremas generales expuestos en los apartados 6.2 y 6.3 provenen drectamente de las leyes de Newton, aunque deben reconocerse tambén algunas contrbucones clave debdas a Euler, como el prncpo del momento cnétco. Por este motvo los métodos asocados se suelen denomnar de Newton-Euler. En este apartado se presentan los prncpos y métodos basados en desplazamentos o trabajos vrtuales. Sería posble postular estos prncpos báscos de manera ndependente a los prncpos de Newton-Euler, pudendo servr de base para construr sobre ellos toda la mecánca. A dferenca de las leyes de Newton, formulan drectamente las ecuacones para la estátca o la dnámca de manera conjunta para todo un sstema, y no partícula a partícula, por lo que revsten un especal nterés para el estudo de sstemas de varas partículas. Comenzaremos por nr el concepto de Desplazamentos vrtuales. En un sstema de N partículas, se denomna así a un conjunto de desplazamentos nfntesmales arbtraros de cada partícula del sstema, {δr ( = 1,... N)}. En contraposcón a los desplazamentos nfntesmales reales, {dr ( = 1,... N)}, los desplazamentos vrtuales son una entelequa, que nos servrá para formular el prncpo de los trabajos vrtuales; se trata de desplazamentos fctcos, nventados, que tenen lugar en un nstante dado (congelado) de tempo. Por el contraro, los desplazamentos nfntesmales reales {dr } se producen en el movmento real, durante un ntervalo dt, y se pueden expresar como dferencal de las funcones que nen el movmento, {r }. Aunque en prncpo {δr } son completamente arbtraros (pudendo volar ncluso los enlaces del sstema), en la práctca emplearemos desplazamentos vrtuales compatbles con los enlaces en la mayoría de los casos. Imagnemos en prmer lugar un sstema en equlbro, condcón que queda expresada por ṙ = r = 0, ( = 1,... N). Al ser la aceleracón nula, la fuerza total sobre cada partícula debe ser nula; descomponendo ésta como suma de las fuerzas actvas (f ) y reactvas (R ), F = f + R = 0 =,... N. (6.27) El trabajo vrtual realzado por las fuerzas F para cualquer conjunto de desplazamentos vrtuales {δr } es, por tanto, tambén nulo: δw = F δr = 0 {δr }. (6.28) La equvalenca entre estas dos expresones funcona tambén en sentdo nverso: s se verfca la gualdad (6.28), se ha de verfcar a su vez (6.27). Para

26 6.26 Capítulo 6. SISTEMAS DE VARIAS PARTíCULAS. demostrar esto bastaría r tomando sucesvos conjuntos de desplazamentos vrtuales, con una únca componente no nula; la gualdad (6.28) oblgaría a la nuldad de la componente de la fuerza correspondente; al verfcarse esta ecuacón {δr }, se deduce que todas las componentes de las fuerzas han de ser nulas. Por tanto, la ecuacón (6.28), enuncada para {δr } arbtraros, es condcón necesara y sufcente para el equlbro. Aunque se podría tomar este enuncado, con {δr } arbtraros, como expresón del Prncpo de los Trabajos Vrtuales, no se suele hacer así por la escasa utldad que tene un planteamento tan general. Es preferble formularlo en funcón de desplazamentos vrtuales compatbles, como se descrbe a contnuacón El Prncpo de los Trabajos Vrtuales Sea un sstema con enlaces lsos (recordamos la ncón realzada en el apartado 6.1 como aquellos en que las fuerzas de enlace no realzan trabajo para los desplazamentos permtdos por los enlaces), y un conjunto de desplazamentos vrtuales {δr }, compatble con los enlaces. Al expresar el trabajo vrtual, el térmno de las fuerzas de enlace se anula: δw = f δr + R δr = 0, {δr } comp. }{{} =0 Por tanto el trabajo vrtual δw se puede calcular a partr úncamente de las fuerzas actvas (f ), elmnando las fuerzas reactvas del cómputo del msmo. El prncpo de los trabajos vrtuales reza entonces: En un sstema materal sometdo a enlaces lsos, es condcón necesara y sufcente para el equlbro que el trabajo de las fuerzas aplcadas para cualquer conjunto de desplazamentos vrtuales compatbles con los enlaces sea nulo: δw = f δr = 0, {δr } comp. (6.29) Observacones: Es nmedato comprobar que (6.29) se cumple necesaramente s se verfca (6.27), es decr, se trata de una condcón necesara para el equlbro en el sentdo de Newton. Sn embargo, la sufcenca para garantzar el equlbro no se puede deducr drectamente, como ocurría en el caso de {δr } arbtraras (6.28).

27 Aptdo Trabajos Vrtuales 6.27 Para una fuerza total F sobre un punto dado, se verfca que F δr = 0, (no sumado); sn embargo, para la fuerza actva correspondente f en general es f δr 0. Es decr, los térmnos ndvduales del trabajo vrtual de las fuerzas actvas no tenen porqué anularse, aunque la suma sí es sempre nula ( f δr = 0). Las fuerzas actvas f deben nclur tanto las externas como las nternas, que en un caso general sí realzan trabajo vrtual. Por el contraro, f excluyen a las fuerzas de reaccón, que no desarrollan trabajo vrtual. Estas observacones justfcan la consderacón del enuncado anteror (6.29) como prncpo, que se postula sn necesdad de demostracón. A pesar de esto convene menconar que es posble encontrar algunas demostracones 8 que ncden en la equvalenca del prncpo de los trabajos vrtuales con la estátca. Por últmo, convene notar que la ventaja del prncpo de los trabajos vrtuales es que plantea las condcones para el equlbro global del sstema, sn emplear las reaccones de los enlaces lsos, que no hace falta calcular en nngún momento. Tambén pueden tratarse problemas con enlaces no lsos, agregando a la expresón (6.29) el trabajo vrtual correspondente a las reaccones de los enlaces no lsos, como s se tratase de fuerzas actvas. Dcho de otra forma, las úncas fuerzas de reaccón que se elmnan de la expresón general del trabajo vrtual son las de los enlaces lsos El Prncpo de D Alembert Este prncpo extende el de los trabajos vrtuales a la dnámca. Partmos para ello de la segunda ley de Newton para una partícula cualquera del sstema: F = m r = 1,... N. Pasando las fuerzas de nerca ( m r ) al lado zquerdo del sgno gual, resulta una expresón del equlbro dnámco, análoga a (6.27): F m r = 0 = 1,... N. (6.30) Aplcamos ahora el prncpo de los trabajos vrtuales al sstema de fuerzas nulo F m r, anulándose, al gual que antes, el trabajo de las fuerzas de reaccón, bajo la hpótess de enlaces lsos. Resulta entonces el enuncado sguente del Prncpo de D Alembert: En un sstema materal sometdo a enlaces lsos, la evolucón dnámca del sstema está determnada, como condcón necesara y sufcente, por la anulacón en todo nstante del trabajo de las 8 por ejemplo, Appell y Dauthevlle, en Précs de Mecanque Ratonelle

28 6.28 Capítulo 6. SISTEMAS DE VARIAS PARTíCULAS. fuerzas aplcadas más el trabajo de las fuerzas de nerca para cualquer conjunto de desplazamentos vrtuales compatbles con los enlaces: f δr }{{} δw m r δr = 0, {δr } comp. (6.31) Observacones: Es nmedato comprobar que la condcón enuncada (6.31) es necesara, a partr de (6.30). Sn embargo, no es sencllo demostrar la sufcenca con carácter general. Para una partícula dada será en general (f m r ) δr 0, es decr que el sumando ndvdual del trabajo vrtual no se anula necesaramente, aunque la suma extendda a todo el sstema sí se anula sempre. Aplca la msma observacón realzada arrba para el P.T.V. sobre la naturaleza de las fuerzas f. En consecuenca, el prncpo de D Alembert (6.31) debe consderarse como un prncpo básco de la dnámca, alternatvo a las leyes de Newton y a los prncpos de Newton-Euler para dnámca de sstemas. Como caso partcular, el Prncpo de D Alembert da lugar al Prncpo de los Trabajos Vrtuales. Al gual que en el prncpo de los trabajos vrtuales, el prncpo de D Alembert permte expresar la dnámca global del sstema en forma compacta, elmnando las fuerzas de reaccón de los enlaces lsos. Cuando lo que se busca es precsamente calcular el valor de alguna reaccón, es posble realzarlo medante trabajos vrtuales empleando un truco. Para ello, se consdera este vínculo lberado y la fuerza de reaccón como una fuerza actva normal, que tendría el efecto precsamente del vínculo. esto nos permte tomar δr vulnerando el vínculo. De esta manera, la reaccón correspondente sí realza trabajo vrtual, y la expresón de los trabajos vrtuales (6.29) ó (6.31) permte calcular al fnal dcha reaccón. La mportanca de los métodos basados en los trabajos vrtuales radca en que permten obtener formulacones práctcas muy generales para la estátca o la dnámca de sstemas con varas partículas (ecuacones de Lagrange, apartado 7.2). Asmsmo son la base de métodos numércos, muy extenddos en la práctca, para la resolucón de problemas con numerosos grados de lbertad, como el método de los elementos fntos. Estos métodos son de una gran mportanca en la mecánca computaconal y en el cálculo de las estructuras.

29 Aptdo Dnámca en Sstemas no Inercales Dnámca en Sstemas no Inercales. Las leyes de Newton son váldas en los sstemas de referenca denomnados nercales. Se postula, al formularlas, la exstenca al menos de un tal sstema nercal; por el prncpo de relatvdad de Galleo (apartado 1.3), sabemos que cualquer otro sstema de referenca que tenga un movmento unforme y rectlíneo respecto del prmero tambén será nercal. En ocasones llamamos al sstema nercal fjo, aunque este adjetvo no se emplea con su sgnfcado estrcto, sno como contraposcón al carácter general de un sstema móvl, no nercal. Los sstemas de referenca que posean, ben aceleracón lneal de su orgen (a O 0), ben rotacón (Ω 0), no serán nercales. En ellos no se cumplen las leyes de Newton, por lo que no será posble, por ejemplo, aplcar a cada partícula la ecuacón F = ma, s la medcón de la aceleracón la realza un observador lgado al sstema móvl. Sn embargo, es posble estudar la dnámca de estos sstemas aplcando certos térmnos correctores, lo que puede tener nterés práctco en algunos casos. De este tema tratamos a contnuacón Dnámca de la Partícula Sea una partícula observada desde dos sstemas de referenca dstntos: (S) (Qxyz), nercal, y (S ) (Ox y z ), no nercal: x z z P y ρ r O x r O y Q Fgura 6.16: Coordenadas de la partícula en sstemas de referenca nercal (Qxyz) y no nercal (Ox y z ). Recordemos las relacones entre poscón (4.7), velocdad (4.8) y aceleracón (4.9) en ambos sstemas: r = r O + ρ, v = v O + Ω ρ +v }{{} rel, v arr a = a O + Ω ρ + Ω (Ω ρ) + 2Ω v }{{} rel +a }{{} rel, a arr a cor donde (r, v, a) son meddas que denomnaremos absolutas (más precsamente, relatvas a (S)), mentras que (ρ, v rel, a rel ) son relatvas a (S ).

30 6.30 Capítulo 6. SISTEMAS DE VARIAS PARTíCULAS. El térmno de arrastre es el que corresponde al movmento del sóldo rígdo, es decr, el que tendría la partícula sn movmento relatvo a (S ). En el campo de velocdades es el únco térmno complementaro que aparece. En cambo, para las aceleracones aparece otro térmno adconal denomnado aceleracón de Corols. Expresando el prncpo de la cantdad de movmento (con aceleracones absolutas, por supuesto): F = ma = m(a arr + a cor + a rel ); para expresarlo en funcón de las observacones relatvas a (S ) es necesaro pasar los térmnos complementaros a la zquerda: F ma arr ma cor = ma rel. (6.32) Por tanto, para aplcar la ecuacón de balance del prncpo, es necesaro añadr a las fuerzas realmente actuantes F unas fuerzas de nerca fctcas ( ma arr ) y ( ma cor ), denomnadas fuerzas de arrastre y de Corols respectvamente. Desarrollando su expresón, comprobamos que la fuerza de arrastre es una funcón de punto, es decr, depende de ρ además de otros parámetros que puedan nr el movmento del sstema móvl (a O, Ω, Ω): F arr = m[a O + Ω ρ + Ω (Ω ρ)] = mf(ρ, a O, Ω, Ω). Bajo certas condcones, la fuerza de arrastre se puede expresar como el gradente de un determnado campo escalar y, por tanto, resulta una fuerza conservatva. Por ejemplo, s se verfca que Ω = 0, F arr = m[a O Ω 2 ρ + (Ω ρ)ω]; multplcando escalarmente por dρ obtenemos el trabajo elemental de esta fuerza; s suponemos además que a O es constante, comprobamos que es una dferencal exacta: F arr dρ = ma O dρ + mω 2 ρ dρ m(ω ρ)(ω dρ) = d[ ma O ρ + m 2 Ω2 ρ 2 m 2 (Ω ρ)2 ]; la funcón potencal de la que derva es un campo escalar constante, V (ρ), por lo que la fuerza es conservatva: sendo F arr dρ = dv, V (ρ) = ma O ρ m 2 Ω2 ρ 2 + m 2 (Ω ρ)2. Por el contraro, la fuerza de Corols no tene una nterpretacón clara, al depender, no sólo de la poscón ρ, sno tambén de la velocdad relatva v rel.

31 Aptdo Dnámca en Sstemas no Inercales Dnámca de Sstemas de varas Partículas Para un sstema formado por un conjunto de partículas, el estudo en una referenca no nercal deberá hacerse aplcando las fuerzas fctcas (6.32) descrtas en el apartado anteror a cada una de sus partículas. Al ser las expresones de estas fuerzas lneales en ρ y v rel, parece lógco esperar que su resultante tenga tambén una expresón senclla, en funcón del movmento del centro de masas G. m ρ G ρ G O Fgura 6.17: Sstema de varas partículas en una referenca no nercal; la poscón de cada partícula es ρ. Supongamos un sstema de N partículas {m }, sendo: M = Mρ G = m La resultante de las fuerzas de arrastre es: F arr = m (a arr ) = [Ma O + Ω m ρ m ρ + Ω (Ω m ρ )] = [Ma O + M Ω ρ G + MΩ (Ω ρ G )], y la resultante de las fuerzas de Corols: F cor = m [2Ω (v rel ) ] = [M 2Ω (v G ) rel ] Expresones que resultan de utldad para aplcar la ecuacón de la cantdad de movmento y determnar la poscón del centro de masa. Sn embargo, las expresones de la ecuacón del momento cnétco no son lneales en ρ y, por tanto, no resultan tan útles. Volveremos esto más adelante para el caso del sóldo rígdo (capítulo 9) Ejes Lgados a la Superfce de la Terra Un sstema muy aproxmadamente nercal sería uno con orgen en el centro del Sol y dreccones de los ejes fjas según las galaxas más lejanas. Este sstema es adecuado para observacones astronómcas.