RAMÓN GALÁN GONZÁLEZ

Transcripción

1 RAMÓN GALÁN GONZÁLEZ

2 INTRODUCCIÓN. Sabemos que la mecanización de la división no es el principal problema que presenta esta operación, ni es el aspecto prioritario que debemos otorgarle ya que existen otros como son el propio concepto de división y su aplicación a la resolución de problemas. Sin embargo, observamos con frecuencia que existen numerosos alumnos que presentan dificultades para el aprendizaje de la mecanización de esta operación. Igualmente podemos observar que a menudo no se tiene en cuenta los distintos gradientes de dificultad que presenta esta mecanización, de tal forma que el proceso enseñanza-aprendizaje sólo se limita a contemplar los casos de dividir entre una, dos, tres o más cifras. Por todo esto, se pretende ofertar un material didáctico sencillo, sin grandes pretensiones, pero que puede resultar muy útil y práctico para resolver situaciones concretas en relación a este aprendizaje, tanto a nivel de grupo como a nivel individual, con aquellos alumnos que, por unas circunstancias u otras, lo necesiten. Finalmente, aquí no vamos a considerar la utilización de otros recursos materiales ni la utilización de estrategias de aprendizajes puesto que las divisiones que aquí se ofertan están relacionadas en función de un incremento de dificultad y se muestran independientes de estrategias y recursos a utilizar. Ramón Galán González 2

3 CONSIDERACIONES GENERALES. Esencialmente la mecanización de la división consta de tres operaciones sucesivas y cíclicas: dividir, multiplicar y restar. De forma que, cuando un alumno realiza en su libreta una división, cada una de estas operaciones tiene lugar en un espacio diferente y en una determinada dirección y el alumno debe ser consciente de ello. Por esto, desde el punto de vista espacial, debemos considerar dos partes: la izquierda y la derecha. Tomemos como ejemplo la división: De forma que: Parte Parte izquierda derecha - La operación de dividir se efectúa de izquierda a derecha. - La operación de multiplicar se efectúa en la parte derecha y de abajo a arriba. - La operación de restar se efectúa en la parte izquierda y de abajo a arriba. Dividir Restar Multiplicar 7 6 Se considera necesario que el alumno vaya expresando oralmente cada una de estas tres operaciones. De este modo y siguiendo con el ejemplo: - 55 dividido entre 8; a por 8; 48 - De 48 a 55; faltan 7 Ramón Galán González 3

4 Es importante igualmente que el alumno compruebe que el resto obtenido es menor que el divisor, tanto si finaliza la división como si procede a bajar la cifra siguiente. Teniendo en cuenta que tanto la multiplicación como la operación de restar intervienen en la mecanización de la división, es necesario asegurarnos que el alumno tiene dominio tanto de las tablas de multiplicar como de la resta. Por otra parte, es fácil comprobar si un alumno tiene, o no tiene, dominio de las tablas de multiplicar. Sin embargo, no sucede lo mismo con la operación de restar, sobre todo cuando ésta tiene lugar entre dos números situados en decenas diferentes. Podemos comprobar que en muchos casos, los alumnos no calculan sino cuentan, utilizando para ello los dedos de las manos. Por tal motivo, es fundamental que el alumno aprenda una estrategia de cálculo que le permita realizar de forma rápida y sencilla este tipo de resta. Se propone la siguiente estrategia. Supongamos y siguiendo con el ejemplo, que el alumno debe calcular la diferencia entre el número 48 y el 55. Procederá siempre a restar como cálculo de las unidades que le faltan a un número para llegar a otro y nunca como acción de quitar. En nuestro caso: - De 48 a 50, faltan 2. - De 50 a 55, faltan 5. - Por lo tanto, de 48 a 55, faltarán 7. Es decir el alumno transformará la resta: en la suma: De forma esquemática sería: 55 Faltan 5 50 Faltan 7 Faltan 2 48 Ramón Galán González 4

5 Por último, es conveniente tener en cuenta que siempre se divide entre una cifra, entre la primera o la de orden superior. Esto es, el hecho de que el divisor de una división sea un número de una, dos, tres o más cifras, afecta únicamente al número de multiplicaciones y restas que tiene que efectuar el alumno. Desde este punto de vista, todas las divisiones son de una cifra. Ramón Galán González 5

6 1. DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS NATURALES SIENDO EL DIVISOR UN NÚMERO DE UNA SOLA CIFRA División exacta, siendo el dividendo y el cociente un número de una sola cifra Es la división de menor nivel de dificultad. Puede resolverse, incluso, sin que el alumno domine las tablas de multiplicar. Puede realizarse en términos reales o gráficamente y proceder posteriormente a la fase numérica ya que no supone ninguna equivalencia numérica entre órdenes de unidades. Ramón Galán González 6

7 1. 1. Realiza las siguientes divisiones: Ramón Galán González 7

8 1. 2. División exacta, siendo el dividendo un número de dos cifras y el cociente uno de una sola cifra Supone un incremento de dificultad en el sentido que el dividendo es un número de dos cifras y, por lo tanto, su realización supone una equivalencia numérica puesto que al no poder dividir las cifras de las decenas entre las cifras de las unidades del divisor hay que transformar las decenas en unidades. Para resolverlas en un determinado espacio de tiempo necesita el alumno tener un dominio de las tablas de multiplicar ya que puede considerarse este tipo de división como la operación de multiplicar en términos reversibles. Este tipo de divisiones puede utilizarse como un excelente ejercicio complementario encaminado a memorizar de las tablas de multiplicar. Ramón Galán González 8

9 1. 2. Realiza las siguientes divisiones: Ramón Galán González 9

10 1. 3. División inexacta, siendo el dividendo un número de dos cifras y el cociente de una sola cifra Supone otro incremento de dificultad ya que ha de realizarse mediante dos operaciones: una multiplicación y una resta, no siendo necesaria esta última operación en el punto anterior 2. Aparece por primera vez un valor en el resto distinto de cero y, por lo tanto, no existe ningún número natural en el cociente que al multiplicarlo por el divisor nos dé el dividendo, por ello, será necesario hallar un número que multiplicado por el divisor más se acerque al número del dividendo pero sin pasarse (división entera por defecto). Ramón Galán González 10

11 1. 3. Realiza las siguientes divisiones: Ramón Galán González 11

12 1. 4. Dividendo y cociente de dos cifras y siendo exacta tanto al dividir las cifras de las decenas como al dividir las cifras de las unidades Supone el inicio del proceso de separar cifras en el dividendo y, por consiguiente, ahora la división no puede realizarse mediante una única división sino mediante dos divisiones exactas sucesivas. Igualmente supone el paso de bajar la cifra siguiente. Ramón Galán González 12

13 1. 4. Realiza las siguientes divisiones: Ramón Galán González 13

14 1. 5. División formada por un dividendo y un cociente de dos cifras e inexacta, bien al dividir las cifras de las decenas, bien al dividir las cifras de las unidades Supone con respecto a la anterior que después de cada multiplicación se tiene que efectuar una operación de restar. El número a dividir en la segunda división (26 entre 7) es el resultado de la composición de las decenas que sobraron en la primera división y las cifras de las unidades, cosa que no ocurría en la división correspondiente al punto 1.4. lo que le confiere un nuevo gradiente de dificultad. Ramón Galán González 14

15 1. 5. Realiza las siguientes divisiones: Ramón Galán González 15

16 1. 6. División formada por un dividendo y un cociente de tres cifras En este caso, el nuevo gradiente de dificultad es un gradiente cuantitativo puesto que es una división de las mismas características que las del punto anterior, es decir, es simplemente más larga ya que contempla la división de las centenas en el dividendo. Ramón Galán González 16

17 1. 6. Realiza las siguientes divisiones: Ramón Galán González 17

18 1. 7. División formada por un dividendo de tres cifras y un cociente de dos cifras En este caso, el nuevo gradiente de dificultad radica en el hecho que al ser la cifra de las centenas del dividendo menor que la cifra del número del divisor, el alumno se verá obligado a separar dos cifras en el dividendo en lugar de una. Ramón Galán González 18

19 1. 7. Realiza las siguientes divisiones: Ramón Galán González 19

20 1. 8. División formada por un dividendo de tres cifras y un cociente de dos cifras, siendo la última, las unidades, igual a cero o también Supone un caso específico de división del punto anterior y esto es lo que le confiere el nuevo incremento de dificultad. Puede optarse por poner un cero en el cociente y considerar la división terminada (división de la izquierda) o bien, poner un cero en el cociente, multiplicar y restar: cero por siete es igual a cero, hasta llegar a cinco faltan cinco (división de la derecha). Ramón Galán González 20

21 1. 8. Realiza las siguientes divisiones: Ramón Galán González 21

22 1. 9. División formada por un dividendo de cuatro cifras y un cociente de tres o cuatro cifras En este punto, el alumno ya divide un número natural entre otro número natural menor que 10, prácticamente sin limitación de cifras. El aumento de cifras en el dividendo, y con el consiguiente mismo aumento de cifras en el cociente, no le añaden ya una nueva dificultad. Ramón Galán González 22

23 1. 9. Realiza las siguientes divisiones: Ramón Galán González 23

24 División formada por un dividendo de cuatro cifras y un cociente de tres cifras, siendo las decenas del cociente igual a cero. O también De nuevo supone un caso específico de división del punto anterior. Según se haya procedido en el punto 1.8. determinará uno de los dos procedimientos a seguir. Ramón Galán González 24

25 Realiza las siguientes divisiones: Ramón Galán González 25

26 División formada por un dividendo de cuatro o más cifras y un cociente con las centenas y decenas igual a cero O también Es un caso más acentuado del punto anterior. Hay que conseguir que el alumno aprenda que tiene que bajar sucesivamente cifras del dividendo hasta configurar un número que sea mayor que el divisor (división de arriba). La división de abajo no necesita de este aprendizaje puesto que se realiza mediante divisiones sucesivas efectuando las tres operaciones necesarias: división, multiplicación y resta. Ramón Galán González 26

27 Realiza las siguientes divisiones: Ramón Galán González 27

28 División de dos números naturales siendo el divisor un número de una sola cifra En este punto el alumno debe ser capaz de realizar todo tipo de divisiones de dos números naturales siendo el divisor un número menor que diez, es decir, ya no se establece ninguna limitación. En este punto el objetivo estaría superado. Ramón Galán González 28

29 Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 29

30 II. DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS NATURALES SIENDO EL DIVISOR UN NÚMERO DE DOS CIFRA. II. 1. Divisiones formadas por un dividendo de dos cifras y un cociente de una cifra, sin llevarse y exactas Es la división más sencilla ya que: - El resto es igual a cero. - Al ser las decenas del dividendo mayor que las del divisor, no es necesario separar dos cifras para hallar el número del cociente. - Las restas que hay que efectuar después de cada multiplicación son restas sin llevarse. - Al ser las restas sin llevarse no hay que proceder a ningún tanteo a la hora de hallar el número del cociente, cosa que sucederá cuando la cifra de las unidades del divisor sea claramente mayor que la cifra de las decenas. - Por último, tampoco supone bajar la cifra siguiente del dividendo. Ramón Galán González 30

31 II. 1. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 31

32 II.2. Divisiones formadas por un dividendo de dos cifras y un cociente de una cifra, sin llevarse e inexactas Supone con respecto a la anterior un mínimo incremento de dificultad al existir un resto distinto de cero. Los demás gradientes de dificultad permanecen inalterables. Ramón Galán González 32

33 II. 2. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 33

34 II.3. Divisiones formadas por un dividendo de tres cifras y un cociente de una cifra, sin llevarse e inexactas El nuevo gradiente de dificultad con respecto a las dos anteriores viene dado por el hecho de separar dos cifras en el dividendo a la hora de hallar el número del cociente ya que la cifra de las centenas del dividendo es menor que la cifra de las decenas del divisor. Ramón Galán González 34

35 II. 3. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 35

36 II. 4. Divisiones formadas por un dividendo de dos cifras y un cociente de una cifra, llevándose pero sin tanteo al hallar la cifra del cociente Supone un gran incremento en el sentido que aparece por primera vez la resta llevándose. Sin embargo aún no se contempla la dificultad de que al añadir a la segunda multiplicación las cifras que nos llevábamos, nos pasemos de la primera cifra del dividendo y, por lo tanto, vernos en la necesidad de disminuir la cifra del cociente. Ramón Galán González 36

37 II. 4. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 37

38 II. 5. Divisiones formadas por un dividendo de tres cifras y un cociente de una cifra, llevándose pero sin tanteo al hallar la cifra del cociente En esta división se conjugan al mismo tiempo los tres gradientes de dificultad ya superados en los puntos anteriores: - Existencia de un resto distinto de cero. - Separar dos cifras en el dividendo para hallar la cifra del cociente. - Restar llevándose. Ramón Galán González 38

39 II. 5. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 39

40 II. 6. Divisiones formadas por un dividendo de tres cifras y un cociente de dos cifras, llevándose pero sin tanteo al hallar la cifra del cociente En este caso la operación se realiza mediante dos divisiones sucesivas y, por lo tanto, el alumno tiene que saber qué cifras del dividendo se utilizan en la primera división y cuál es la que hay que añadir al primer resto para efectuar después la segunda división. Ramón Galán González 40

41 II. 6. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 41

42 II. 7. Divisiones formadas por un dividendo de cuatro cifras y un cociente de dos cifras, llevándose pero sin tanteo al hallar la cifra del cociente Aquí el alumno debe tener en cuenta lo expuesto en el punto anterior y además considerar que al ser la primera cifra del dividendo (unidades de millar) más pequeña que las cifras de las decenas del divisor, de las cuales, las dos primeras se emplearán para hallar la primera cifra del cociente. Ramón Galán González 42

43 II. 7. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 43

44 II. 8. Divisiones formadas por un dividendo de tres cifras y un cociente de una cifra, llevándose y con tanteo al hallar la cifra del cociente Se introduce el siguiente gradiente de dificultad que consiste en que al añadir a la segunda multiplicación las cifras que nos llevábamos de la resta anterior nos pasamos de las cifras del dividendo. Es decir, a la hora de hallar el número en el cociente, el alumno habrá de tener en cuenta las unidades que hay que sumar a la multiplicación para no pasarse. Es conveniente introducir esta nueva dificultad de forma gradual. Ramón Galán González 44

45 II. 8. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 45

46 II. 9. Divisiones formadas por un dividendo de cuatro cifras y un cociente de dos cifras, llevándose y con tanteo al hallar la cifra del cociente En esta división se conjugan al mismo tiempo todos los gradientes de dificultad superados en puntos anteriores: - Existencia de un resto distinto de cero. - Separar dos cifras en el dividendo para hallar el número del cociente. - Restar llevándose. - Tener en cuenta las cifras a sumar al resultado de multiplicar para no pasarse - Bajar la cifra siguiente del dividendo con el fin de proseguir la división. Ramón Galán González 46

47 II. 9. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 47

48 II. 10. Divisiones formadas por un dividendo de cuatro o cinco cifras y un cociente de tres, siendo la última cifra del cociente igual a cero O también: Supone un caso específico de división del punto anterior y esto es lo que le confiere el nuevo incremento de dificultad. Puede optarse por poner un cero en el cociente y considerar la división terminada (división de arriba) o bien por poner un cero en el cociente, multiplicar y restar (división de abajo). Ramón Galán González 48

49 II. 10. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 49

50 II. 11. Divisiones formadas por un dividendo de cuatro o cinco cifras y un cociente de tres, siendo la cifra de las decenas del cociente igual a cero O también: De nuevo supone un caso específico de división del punto anterior. Hay que conseguir que el alumno aprenda que tiene que bajar sucesivamente cifras del dividendo hasta configurar un número que sea mayor que el divisor (división de arriba). La división de abajo no necesita de esta consideración puesto que se realiza mediante divisiones sucesivas efectuando las tres operaciones necesarias: división, multiplicación y resta. Ramón Galán González 50

51 II. 11. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 51

52 II. 12. Divisiones formadas por un dividendo de cuatro o cinco cifras y un cociente de tres, siendo la cifra de las decenas del divisor claramente superior a la cifra de las decenas Es una de las divisiones de máxima dificultad, toda vez que tiene que tantear de manera sucesiva y descendente para hallar las cifras del cociente. Es decir, tiene que efectuar mentalmente todo el proceso de la división (división, multiplicación, suma y resta) si no quiere estar borrando de manera continua al comprobar que se pasa. Ramón Galán González 52

53 II. 12. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 53

54 II. 13. Divisiones formadas por dos números naturales siendo el divisor un número de dos cifras En este punto el alumno es capaz de realizar todo tipo de divisiones de dos números naturales siendo el divisor un número menor que cien, es decir, ya no se establece ninguna limitación. El objetivo programado estaría superado. Ramón Galán González 54

55 II. 13. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 55

56 III. DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS NATURALES SIENDO EL DIVISOR UN NÚMERO DE TRES CIFRAS. III. 1. Divisiones formadas por un dividendo de tres cifras y un cociente de una cifra. Sin llevarse Puede considerarse como el tipo de división más sencilla dentro de esta categoría, ya que: - Al ser las centenas del dividendo mayor que las del divisor, no es necesario separar dos cifras para hallar el número del cociente. - Las restas que hay que efectuar después de cada multiplicación son restas sin llevarse. - Al ser las restas sin llevarse no hay que proceder a ningún tanteo a la hora de hallar el número del cociente, cosa que sucederá cuando la cifra de las decenas del divisor sea claramente mayor que las cifras de las centenas. - Por último, tampoco supone bajar la cifra siguiente del dividendo. Ramón Galán González 56

57 III. 1. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 57

58 III. 2. Divisiones formadas por un dividendo de cuatro cifras y un cociente de una cifra, llevándose pero sin tanteo al hallar la cifra del cociente Supone, con respecto a la división anterior, la incorporación de los siguientes gradientes de dificultad: - Al ser la primera cifra del dividendo (unidades de millar) menor que la cifra de las centenas del divisor hay que separar las dos primeras cifras del dividendo para hallar la cifra del cociente. - Las restas que hay que efectuar después de cada multiplicación son ahora restas llevándose. - Sin embargo aún no es necesario ni tantear a la hora de hallar el número del cociente ni bajar la cifra siguiente del dividendo. Ramón Galán González 58

59 III. 2. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 59

60 III. 3. Divisiones formadas por un dividendo de cinco cifras y un cociente de dos cifras, llevándose pero sin tanteo al hallar las cifras del cociente Presenta las mismas características que la anterior pero con el gradiente añadido de bajar la cifra siguiente. Por lo tanto, ha de realizarse mediante dos divisiones consecutivas. Ramón Galán González 60

61 III. 3. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 61

62 III. 4. Divisiones formadas por un cociente de una cifra, llevándose y con tanteo al hallar la cifra del cociente Se incorpora el gradiente de mayor dificultad. A la hora de hallar el número del cociente, tiene que tantear de manera sucesiva y descendente. Es decir, tiene que efectuar mentalmente todo el proceso de la división si no quiere estar borrando de manera continua al comprobar que se pasa. Ramón Galán González 62

63 III. 4. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 63

64 III. 5. Divisiones formadas por un cociente de dos cifras, llevándose y con tanteo al hallar las cifras del cociente En este tipo de divisiones se conjugan al mismo tiempo todos los gradientes de dificultad superados en puntos anteriores: - Separar dos cifras en el dividendo para hallar el número del cociente. - Restar llevándose. - Tener en cuenta las cifras a sumar al resultado de multiplicar para no pasarse. - Bajar la cifra siguiente del dividendo con el fin de proseguir la división. Ramón Galán González 64

65 III. 5. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 65

66 III. 6. Divisiones formadas por un cociente de tres cifras, llevándose y con tanteo al hallar las cifras del cociente Presenta las mismas características de la división anterior, simplemente que es más larga. Ramón Galán González 66

67 III. 6. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 67

68 III. 7. Divisiones formadas por un cociente de dos o tres cifras, siendo la última cifra de éste igual a cero O también: Supone un caso específico de división del punto anterior y esto es lo que le confiere el nuevo incremento de dificultad. Puede optarse por poner un cero en el cociente y considerar la división terminada (división de arriba) o bien por poner un cero en el cociente, multiplicar y restar sucesivamente (división de abajo). Ramón Galán González 68

69 III. 7. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 69

70 III. 8. Divisiones formadas por un cociente de tres cifras, con cero en las decenas O también: De nuevo supone un caso específico de división del punto anterior. Hay que conseguir que el alumno aprenda que tiene que bajar sucesivamente cifras del dividendo hasta configurar un número que sea mayor que el divisor (división de arriba). La división de abajo no necesita de esta consideración puesto que se realiza mediante divisiones sucesivas efectuando las tres operaciones necesarias: división, multiplicación y resta. Ramón Galán González 70

71 III. 8. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 71

72 III. 9. División formada por dos números naturales siendo el divisor un número de tres cifras En este punto, el alumno es capaz de realizar todo tipo de divisiones de dos números naturales, siendo el divisor un número menor que 1.000, es decir, ya no se establece ninguna limitación. El objetivo programado estaría superado. Ramón Galán González 72

73 III. 9. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 73

74 IV. DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS NATURALES SIENDO EL DIVISOR UN NÚMERO DE MAS DE TRES CIFRAS. En este apartado no es necesario considerar los sucesivos gradientes de dificultad observados en los apartados anteriores, toda vez que el alumno que sabe dividir entre tres cifras, sabe dividir entre cualquier número de más de tres cifras. Por lo tanto, cada tipo de división aquí expuesta sólo supone un aumento cuantitativo, que no cualitativo. Por este motivo, se obvia todo análisis de las divisiones que a continuación se ofrecen. Por último, hay que considerar que la realización de este tipo de divisiones únicamente tiene sentido para reforzar la mecanización de la división ya que rara vez surge la necesidad de su aplicación para la resolución de problemas y, por otra parte, no es conveniente prodigarlas dado que puede producir tedio y aburrimiento en el alumno. Ramón Galán González 74

75 IV. 1. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 75

76 IV. 2. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 76

77 IV. 3. Realiza las siguientes divisiones Ramón Galán González 77