Matemáticas I Grado de Administración y Dirección de Empresas Examen de Febrero Curso 2011/ ?

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1 Matemáticas I Grado de Administración y Dirección de Empresas Examen de Febrero Curso 011/1 1) (1 punto) Dado el subespacio vectorial,,,,,,,,,,, a) Obtener la dimensión, unas ecuaciones implícitas, unas ecuaciones paramétricas y una base de F. b) Pertenece el vector (1,1,1,1) al subespacio F? Razonar la respuesta. Solución: Nos dan un sistema generador de F, por tanto para obtener una base tendremos que eliminar los vectores linealmente dependientes: 0 1 1? í: 1 1,,,,,,, Por lo que dim(f)=. Para calcular las ecuaciones paramétricas tengamos en cuenta que cualquier vector de F se podrá expresar como combinación lineal de la base:: é,,, 1,0, 1,1 0,1,1,0,,,, Para calcular las ecuaciones implícitas, y dado que en las ecuaciones paramétricas tenemos que sustituyendo en las otras dos ecuaciones paramétricas tenemos que í también podríamos haber calculado las ecuaciones implícitas de la siguiente forma: í El vector,,, porque no veriica las primera ecuación implícita Matemáticas I GADE Página 1

2 Matemáticas I Grado de Administración y Dirección de Empresas Examen de Febrero Curso 011/1 ) ( puntos) Dada la matriz a) Calcular sus autovalores. b) Calcular una base del subespacio de autovectores asociado a cada autovalor. c) Es diagonalizable la matriz A? Razonar la respuesta. En caso afirmativo calcular la matriz de paso y la matriz diagonal semejante a A Solución: a) ª b) Vamos a calcular los autovectores asociados a 4, es decir, vamos a calcular 4 4,, 4 4 í ó ó ó í Por tanto las ecuaciones paramétricas de 4 : 5, por lo que una base de sería,,,,, y 4 Matemáticas I GADE Página

3 Matemáticas I Grado de Administración y Dirección de Empresas Examen de Febrero Curso 011/1 Vamos a calcular los autovectores asociados a, es decir, vamos a calcular 4,, í ó í Por tanto las ecuaciones paramétricas de : 0 por lo que una base de sería,, y 1 c) 4 Del primer apartado sabemos que los autovalores de A son : 1 y del segundo sabemos que. í í á, Observación: La matriz P y D no son únicas, de hecho para la misma matriz D propuesta también se podría tomar como matriz de paso Matemáticas I GADE Página 3

4 Matemáticas I Grado de Administración y Dirección de Empresas Examen de Febrero Curso 011/1 3) (1.5 puntos) Dada la forma cuadrática,, : a) Obtener, si es posible, la expresión diagonal de Jacobi de q. b) Clasificar q sin restringir. c) Clasificar q restringida al subespacio,,. d) Qué tienen en común la expresión diagonal de Jacobi y la expresión diagonal de autovalores de una misma forma cuadrática?. Razona la respuesta. Solución: a),, : Como 0 0, podemos calcular la forma diagonal de Jacobi que es:,, 1 1 1,, b) Según la forma diagonal de Jacobi, q es SEMIDEFINIDA POSITIVA porque su forma diagonal tiene términos positivos y nulos. También podíamos haber clasificado utilizando el criterio de menores angulares, que se basa en la forma diagonal de Jacobi, concretamente, 0, 0 y 0 por tanto es semidefinida positiva (caso (5)) c) Para clasificar q restringida a E, calculamos sus ecuaciones paramétricas.,, ,, ó,,, (Caso 1) 1 1 d) Ambas expresiones diagonales tienen el mismo número de coeficientes positivos, negativos y nulos en base a la ley de inercia de Sylvester. Matemáticas I GADE Página 4

5 Matemáticas I Grado de Administración y Dirección de Empresas Examen de Febrero Curso 011/1 4) Dada la función,,. a) Obtener el dominio de la función f. b) Obtener el vector gradiente de f en un punto genérico. c) Determinar el dominio del vector gradiente de f, y si es posible, el vector gradiente de f en los puntos,,,, d) Obtener las siguientes derivadas parciales de segundo orden: (x,y,z), (x,y,z) y (x,y,z) Solución,,, í:,, 0 b) Para calcular el gradiente calculamos las derivadas de primer orden:,, 1 1,, 1 3,, 3,, 1,, 3,,,, c) Para calcular el dominio del vector gradiente, además de exigir que existan las derivadas parciales, debemos exigir que el punto pertenezca al dominio de f, por tanto como para que el punto esté en el dominio estamos exigiendo que 0, ya se cumple que 0 para que se pueda sustituir en el gradiente, por tanto el dominio del vector gradiente coincide con el dominio de f, es decir:,, 0, 1,0 ya que por lo que no es posible calcular el gradiente en este punto. Sin embargo 1,1, 1 por tanto,, Matemáticas I GADE Página 5

6 Matemáticas I Grado de Administración y Dirección de Empresas Examen de Febrero Curso 011/1 d),,,,, 4,,,,, ,,,,, é í ó, :,,,, ,, Matemáticas I GADE Página 6

7 Matemáticas I Grado de Administración y Dirección de Empresas Examen de Febrero Curso 011/1 5) (1.5 puntos).,,,,. Solución 5, Por tanto el denominador tiene dos raíces reales simples, descomponiendo f en fracciones simples: b) Segundo teorema fundamental del Cálculo Integral (Regla de Barrow) Sea, integrable en,, si :, es una primitiva de f en,, entonces 1,0 1,0 1,0 : , 1 á, á á 1 : 5 lim 6 0 lim lim , Matemáticas I GADE Página 7

8 Matemáticas I Grado de Administración y Dirección de Empresas Examen de Febrero Curso 011/1, /,, á Solución x+y=0 y=x La representación gráfica del recinto D es A B y=1 0 1,1 1 C 1,1 1 0,0. 0 Base= a) El área se puede calcular fácilmente sin más que tener en cuenta que D es un triángulo de base y altura 1, por tanto: Altura =1 También podemos calcular el área utilizando integración, que sería lo lógico si no fuese una figura conocida, en cuyo 1, lo haremos sólo para tener otra alternativa pero no sería necesario. Si fijamos x, claramente hay que tomar dos subdominios, mientras que si fijamos y sólo habría que tomar uno. Fijando x y=1 y= Matemáticas I GADE Página 8

9 Matemáticas I Grado de Administración y Dirección de Empresas Examen de Febrero Curso 011/1 Fijando y 01 x= y x=y , í,, í. Fijando y 01 é ó cosy cos cos y 1 0 cos Matemáticas I GADE Página 9

10 Matemáticas I Grado de Administración y Dirección de Empresas Examen de Febrero Curso 011/1 También lo podemos hacer fijando x, pero en este caso habría que dividir el recinto D en dos subrecintos. Fijando x ó cos Matemáticas I GADE Página 10