2. CONJUNTOS NUMÉRICOS

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1 1. TEORÍA DE CONJUNTOS CONCEPTO DE PERTENENCIA: " " Se el cojuto A {, b} A b A c A CONCEPTO DE SUBCONJUNTO: " " A B [ x A x B, x ] A, A A A, A CONJUNTOS ESPECIALES Cojuto Vcío: { } { } {0} Cojuto Uiverso: "U" Es quel formdo por todos los elemetos ivolucrdos e el problem. Cojuto Poteci: "P(A)" Es el formdo por todos los subcojutos del cojuto A. # P(A) ; : º de elmetos de A. OPERACIONES UNIÓN: A B {x / x A x B} INTERSECCIÓN: A B {x / x A x B} A B A B A A B A y B so disjutos. DIFERENCIA: A - B {x / x A x B} COMPLEMENTO: Ac {x / x A x U} (A Ac) U (A Ac) c U ; Uc ; Ac U - A. CONJUNTOS NUMÉRICOS DIAGRAMA DE CONJUNTOS IN: Nturles Q*: Irrcioles INo: Crdiles IR: Reles Z: Eteros I: Imgirios Q: Rcioles C: Complejos

2 Z IR INo IN Q Q * C I IN INo Z Q IR C Q Q* ; Q Q* IR IR I ; IR I C Ddo u cojuto A, se defie Ac como complemeto de A l cojuto de elmetos del uiverso que o perteece A. NÚMEROS ENTEROS CONJUNTO Z l l l l l Z - + IN Z Z Z {0} Z+ CONSECUTIVIDAD NUMÉRICA l l l tecesor sucesor eteros cosecutivos PARIDAD E IMPARIDAD Números Pres: So de l form: ; Z l l l l l - +

3 Números Impres: So de l form: - 1; Z l l l l l Números Primos: U úmero p > 1 se llm primo si es divisible sólo por 1 y por p. Alguos primos coocidos: NOTA: El cero o se defie como pr i como impr. El 1 o es primo. PRIORIDAD DE OPERACIONES 1º Potecis º Multiplicció y/o divisió º Sum y/o rest Clculr el M.C.M. etre 6, 9 y 1. Se reliz divisioes sucesivs por los fctores primos hst logrr u 1 e cd colum M.C.M. 6 Se reliz divisioes sucesivs por sólo los fctores primos que divid todos los úmeros. Esto se reliz sucesivmete hst logrr e ls colums úmeros primos etre sí Primos etre sí. M.C.D. 6 NÚMEROS RACIONALES DEFINICIÓN Q {x : umerdor b : deomidor x : cuociete b / b Z, b 0}

4 Frccioes Comues Propi Impropi Número Mixto Rcioles Decimles Fiito Periódico Semiperiódico AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN Amplificció: b b co IN Simplificció: b b co IN - Comprció de frccioes 5, 4 7 7? 4 5 1> 0 5 > Igulció de deomidores ( o más frccioes) Se ls siguietes frccioes: 5 7, 11 14, 9 56 M.C.M. etre 7, 14 y 56 es 56; luego, mplificdo teemos: ,, > > OPERATORIA CON FRACCIONES

5 Sum y Rest: c d± b c ± b d b d Multiplicció: c c b d b d Divisió: c d d : b d b c b c Deciml Fiito: , ; 5, Deciml Periódico: ,... 01, ; , 9 9 Deciml Semiperiódico: , , , POTENCIAS DEFINICIÓN K veces PROPIEDADES Y EJEMPLOS

6 m + m ( ) x x x m m 5 4 : 0 x x x 0 1, ( ) ( ) 0 y 1 y b b 6 : b 0 b ( ) ( ) ( b ) m m m ( x ) : 6 1 x POTENCIAS DE < , 4 K 4 01 ceros 0 1 > K 0 ceros APLICACIÓN DE LAS POTENCIAS DE , , , 4, 10 SIGNO DE UNA POTENCIA PAR IMPAR POSITIVO SIGNO DE Ejemplo : ; (-) (-) (-) 4 RAÍCES DEFINICIÓN ; m 0 PROPIEDADES m m

7 b b b b b 0 b b m m ÁLGEBRA TÉRMINO ALGEBRAICO x xb; ; ;K y EXPRESIÓN ALGEBRAICA xb+ x y Clsificció: i. Moomio: x b ii. Poliomio: Biomio : x b + Triomio: x b + - xb Sum y Rest: x + (8x - 5xy) x + 8x - 5xy 11x - 5xy Multiplicció: ( b + b) ( 1 ) b 1 b + b 1 b b b + b Productos Notbles: i. Cudrdo de biomio: ( x ± y) x ± xy + y ii. Sum por difereci: ( x + y) ( x y) x y iii. Biomio por biomio: ( x + ) ( x + b) x + ( + bx ) + b

8 iv. Cubo de biomio: ( x ± y) x ± x y + xy ± y v. Cudrdo de triomio: (x+y+z) x + y +z +xy+xz+yz Fctorizció: i. Scr fctor comú: 18xy xy xy ( 6y x) ii. Por grupció: x + bx + y + by x ( + b) + y ( + b) ( + b) ( x+ y) iii. Biomio por biomio: x x 10 ( x+ ) ( x 5) iv. Sum y difereci de cubos: ( )( m ) x ± y x± y x xy + y Divisió: x xy + y x y ( x + y) ( x + y) ( x + y) ( x y) x x + y y Determició del M.C.D. y M.C.M. Etre térmios lgebricos. i. M.C.D.: Equivle el fctor comú co su meor expoete. xy 5 ; 4xyz MCD... x y i. M.C.M.:Meor térmio que los cotiee todos. Todos los fctores co su myor expoete. xy 5 ; 4xyz MCM... 4xyz 5 Etre expresioes lgebrics. Aquí es recomedble fctorizr previmete ls expresioes. I. M.C.D.: ( x+ y) ;( x y ) ( x+ y) ;( x+ y) ( x y) MCD... ( x+ y)

9 ii. M.C.M.: ( x + y) ;( x y ) ( x + y) ;( x + y) ( x y) ( ) ( ) MCM... x+ y x y ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES Como ejemplo, se resolverá x 5 x x x / x 9x x x 9 x SISTEMAS DE ECUACIONES Métodos de resolució: Elimició por Reducció Elimició por Sustitució Método de elimició por reducció Ejemplo

10 x + by c dx + ey f x - y / x + y 4 Igulr los coeficietes de l vrible que se dese elimir 4x -y 6 x + y 4 (+) Sumr (restr) ls ecucioes 5x 10 Resolver l ecució resultte pr l ecució que qued 10 x 5 Reemplzr el resultdo obteido e culquier de ls dos ecucioes origiles - y Resolver l ecució resultte 4 - y y 4 - y 1 OBSERVACIÓN Ddo el sistem : x + by c dx + ey f Si e - b d 0, etoces tiee u solució. Si e - b d 0, etoces NO tiee solució o tiee ifiit solucioes. Método de elimició Ejemplo por sustitució:

11 x + by c dx + ey f x - y x + y 4 Despejr u vrible e lgu de ls dos ecucioes x 4 - y Sustituir el resultdo obteido e l otr ecució (4 - y)-y Resolver l ecució resultte Reemplzr el vlor obteido e l relció resultte l despejr l 1ª vrible 8-4y - y 8-5y 5y 8-5 y 1 x 4-1 Resolver l ecució resultte x RAZONES Y PROPORCIONES Rzó : Relció (divisió etre dos ctiddes homogées. Proporció : Iguldd de dos rzoes. b c d b c d ± b c ± d c b c d ± b b c ± d d + b b c + d c d SERIE DE RAZONES b c e K d f k

12 + c + e+ K b + d + f+ K c e k K b d f PROPORCIÓN DIRECTA X es directmete proporciol Y si: X Y K; K: costte PROPORCIÓN INVERSA X es iversmete proporciol Y si: X Y K; Kcostte PORCENTAJES El porcetje es siempre u proporció direct, % 100 TANTO POR CIENTO DE UN NÚMERO El % de T es: T 100% T 100 x T x % x 100 RELACIÓN PORCENTUAL DE DOS NÚMEROS Qué % es de T? T 100% T 100 x 100% x % x T CÁLCULO DEL TOTAL, CONOCIDO EL PORCENTAJE De qué úmero, es el b%? x 100% x 100 x 100 b % b b PORCENTAJES SUCESIVOS El p% del q% de A es x

13 p q x A PORCENTAJES ESPECIALES A 10%deA 0,1A 10 A 0%deA 0,A 5 A 5%deA 0,5A 4 A,%deA 0,A A 50%deA 0,5A A 66,6% dea 0,6A 75%deA A 0,75A 4 90%deA 9 10%A 100%deA todoa A 9A 10 00%deA eseldobledea A 500%deA 5vecesA 5A 1800%deA 18vecesA 18A PROBLEMAS DE PLANTEO CONDUCTAS Compresió del problem. Preprció de u pl: orgizrlos dtos, digrms, buscr u ptró, plter u ecució. Resolució del pl. Verificció de l respuest. U método ltertivo (trbjr hci trás). CONTENIDOS Trducció del leguje cotidio l leguje mtemático. Plter u ecució.

14 ENUNCIADOS MÁS FRECUENTES El duplo (doble) : x El triple : x El cuádruplo : 4x El cudrdo : x El cosecutivo : x + 1 (x Z) El terior : x - 1 (x Z) Tres úmeros cosecutivos: ( - 1) ; ; ( + 1) Tres pres cosecutivos: ( - ) ; ; ( + ) Tres impres cosecutivos: ( - 1) ; ( + 1) ; ( + )