12 Áreas. y volúmenes. 1. Área de figuras planas

Transcripción

1 Áres y volúmenes. Áre de figurs plns Hll mentlmente ls áres de un cudrdo de 7 m de ldo y de un rectángulo de 9 m de lrgo y 5 m de lto. Áre del cudrdo: 49 m Áre del rectángulo: 45 m P I E N S A Y C C U L A Clcul el áre de un triángulo cuyos ldos miden 7 m, 8 m y m 8 Clcul mentlmente el áre de un rombo cuys digonles miden 8 cm y 0 cm D = 0 cm 7 d = 8 cm Se plic l fórmul de Herón: Perímetro = 8 m p = 4 A = p(p )(p b)(p c) A = = 4,5 m D d A = 8 0 A = = 40 cm 4 Clcul mentlmente el áre de un romboide en el que l bse mide m y l ltur tiene 5 m = 5 m b = m Clcul el áre de un trpecio en el que ls bses miden 5,4 cm y,5 cm y l ltur tiene 4,6 cm b =,5 cm = 4,6 cm B = 5,4 cm A P L I C E O R Í A A = b A = 5 = 60 m B+ b A = 5,4 +,5 A = 4,6 = = 0,47 cm 0 SOLUCIONARIO

2 5 Clcul el áre de un hexágono regulr cuyo ldo mide 6 m 6 Clcul l longitud de un circunferenci cuyo rdio mide 5 cm 6 m m 6 m R = 5 cm Aplicndo el teorem de Pitágors se hll l potem. = 6 = 7 = 5, m P A = A = 6 6 5, : = 9,6 m Longitud: L = πr L = π 5 =,4 cm 8 9 Clcul l longitud de un rco de 4,6 cm de rdio y cuy mplitud es de 0 Clcul el áre de un sector circulr de,5 m de rdio y cuy mplitud es de 76,5 0 R = 4,6 cm 76,5 R =,5 m Longitud: πr L = nº 60 π 4,6 L = 0 = 60 = 9,6 cm πr A = nº 60 π,5 A = 76,5 = 60 = 68,68 m 7 Clcul el áre de un círculo cuyo rdio mide,7 m 0 Clcul el áre de un coron circulr cuyos rdios miden: R = 6,7 m y r = 5,5 m R =,7 m A = πr A = π,7 = 4,0 m R = 6,7 m r = 5,5 m A = π(r r ) A = π(6,7 5,5 ) = 45,99 m. Áre y volumen de cuerpos en el espcio P I E N S A Y C C U L A ) Clcul mentlmente el áre y el volumen de un cubo de m de rist. b) Clcul mentlmente el áre y el volumen de un prlelepípedo u ortoedro de 5, 4 y m de rists. ) 6 = 54 m b) ( ) = 94 m m Volumen: = 7 m m Volumen: 5 4 = 60 m m 4 m 5 m UNIDAD. ÁREAS Y VOLÚMENES

3 Clcul mentlmente el áre y el volumen de un cubo de 5 m de rist. Clcul el áre y el volumen de un cilindro recto cuy bse mide 7,5 m de rdio y cuy ltur es el doble del rdio de l bse. H = 5 m = 5 m Clcul el áre y el volumen de un ortoedro cuys rists miden 8,5 cm, 7,4 cm y 5, cm R = 7,5 m A = 6 A = 6 5 = 50 m Volumen: V = V = 5 = 5 m = πr = π 7,5 = 76,7 m = πrh = π 7,5 5 = 706,86 m = + = 76, ,86 = = 060,8 m V= H V = 76,7 5 = 650,65 m 4 5 Clcul el áre y el volumen de un prism cudrngulr en el que l rist de l bse mide 6 m y su ltur es de m H = m l = 6 m Clcul el áre y el volumen de un prism hexgonl en el que l rist de l bse mide m y su ltur es de 5 m l = m H = 5 m A P L I C E O R Í A = l = 6 = 6 m = 4l H = 4 6 = 64 m = + = = 6 m V = H V = 6 = 96 m = 6 = 08 = 0,9 m P = = 6 0,9 : = 74,04 m = 6l H = 6 5 = 800 m = + = 74, = 548,08 m V = H V = 74,04 5 = 9 5 m m 6 m m c = 5, cm = 8,5 cm b = 7,4 cm A = (b + c + bc) A = (8,5 7,4 + 8,5 5, + 7,4 5,) = 9,6 cm Volumen: V = bc V = 8,5 7,4 5, = 7,08 cm 6 El depósito de gsoil de un sistem de clefcción tiene form de ortoedro, cuys dimensiones en metros son,5 m 0,75 m,8 m. Clcul cuánto cuest llenrlo si cd litro de gsoil cuest 0,55. Si l clefcción consume uniformemente todo el gsoil en 0 dís, cuánto se gst dirimente en clefcción? =,5 m c =,8 m b = 0,75 m Cuest:,5 0,75, ,55 = =,75 st dirimente:,75 : 0 = 9,8 SOLUCIONARIO

4 . Áre y volumen de pirámides y conos ) Tienes un recipiente vcío en form de prism y otro en form de pirámide, con l mism bse y l mism ltur. Compr l fórmul del volumen del prism con l de l pirámide, y clcul cuánts veces tienes que llenr de sl l pirámide y echrl en el prism pr llenrlo. b)tienes un recipiente vcío en form de cilindro y otro en form de cono, con l mism bse y l mism ltur. Compr l fórmul del volumen del cilindro con l del cono, y clcul cuánts veces tienes que llenr de sl el cono y echrl en el cilindro pr llenrlo. P I E N S A Y C C U L A ) Tres veces. b) Tres veces. 7 Clcul el áre y el volumen de un pirámide cudrngulr cuy bse tiene 7 m de rist y cuy ltur mide 5 m 8 A P L I C E O R Í A Clcul el áre y el volumen de un cono recto en el que el rdio de l bse mide,5 m y l ltur es el triple de dicho rdio. = l = 7 = 49 m Tenemos que hllr l potem de l pirámide plicndo el teorem de Pitágors. = πr = π,5 = 8,48 m Tenemos que hllr l genertriz plicndo el teorem de Pitágors. H = 5 m H = 5 m h H = 0,5 m H = 0,5 m,5 m,5 m l = 7 m R =,5 m h = 5 +,5 = 7,5 = 5,40 m l h = 4 = 4 7 5,4 : = 5,6 m = + = ,6 = 64,6 m V = H V = 49 5 : = 45 m = 0,5 +,5 =,5 =,07 m = πr = π,5,07 =,7 m = + = 8,48 +,7 = 60, m V = H V = 8,48 0,5 : = 4,68 m UNIDAD. ÁREAS Y VOLÚMENES

5 9 Clcul el áre y el volumen de un pirámide hexgonl cuy bse tiene un rist de 8 m y cuy ltur es de m Tenemos que hllr l potem de l bse plicndo el teorem de Pitágors. H = m l = 8 m 0 Un tiend de cmpñ tiene form de cono recto; el rdio de l bse mide,5 m y l ltur es de m. El metro cudrdo de suelo cuest 5,y el resto, 7 el metro cudrdo. Cuánto cuest el mteril pr construirl? = πr = π,5 = 7,07 m Tenemos que hllr l genertriz plicndo el teorem de Pitágors. 8 m l = 8 m 4 m = 8 4 = 48 = 6,9 m P = = 6 8 6,9 : = 66, m Tenemos que hllr l potem de l pirámide plicndo el teorem de Pitágors. H = m h H = m R =,5 m =,5 + =,5 =,5 m = πr = π,5,5 = 5,79 m Coste: 7, ,79 7 = 6,58 H = m l = 8 m h = + 6,9 = 577,0 = 4,0 m l h = 6 = 6 8 4,0 : = 576,48 m = + = 66, + 576,48 = 74,8 m V = H V = 66, : = 75, m R =,5 m 6,9 m 4 SOLUCIONARIO

6 4. Áre y volumen de troncos y esfer Aplicndo mentlmente ls fórmuls del volumen: ) Clcul el volumen de los siguientes cuerpos en función de R: cilindro, cono y semiesfer. P I E N S A Y C C U L A R R R R R R b) El volumen de uno de los cuerpos es igul l sum de los volúmenes de los otros dos. Cuál es l relción? ) Volumen del cilindro: πr Volumen del cono: πr Volumen de l semiesfer: πr b) Volumen del cilindro = Volumen del cono + Volumen de l semiesfer. Clcul el áre y el volumen de un tronco de pirámide cudrngulr sbiendo que l rist de l bse myor mide 6 m; l rist de l bse menor, m; y l ltur, 0 m A P L I C E O R Í A Tenemos que hllr l potem del tronco de pirámide plicndo el teorem de Pitágors: l = m = l = 6 = 56 m = l = = 44 m H = 0 m l = 6 m 6 m 8 m h m H = 0 m h m h = 0 + = 404 = 0,0 m l + l = 4 h 6 + = 4 0, = 5,6 m = + + = ,6 = 55,6 m V = ( + + ) H V = ( ) 0 : = 946,67 m UNIDAD. ÁREAS Y VOLÚMENES 5

7 Clcul el áre y el volumen de un tronco de cono sbiendo que el rdio de l bse myor mide 7 m; el de l bse menor, 4 m; y l ltur, m = π R = π 7 = 5,94 m = π r = π 4 = 50,7 m Tenemos que hllr l genertriz del tronco de cono plicndo el teorem de Pitágors: r = 4 m Clcul el áre y el volumen de un esfer cuyo rdio mide 7,5 m R = 7,5 cm A = 4πR A = 4π 7,5 = 706,86 m 4 V = πr V = 4 : π 7,5 = 767,5 m H = m H = m m R = 7 m m = + = 0 =,40 m = π(r + r) = π (7 + 4),4 = 9,96 m = + + = 5, ,7 + 9,96 = 598,7 m V = ( + + ) H V = (5, ,7 + 5,94 50,7 ) : = = 07, m 5. L esfer y el globo terráqueo Sbiendo que un metro es l diezmillonésim prte del cudrnte de un meridino terrestre, y suponiendo que el globo terráqueo es un esfer perfect, clcul l longitud de un meridino y l longitud del Ecudor. Expréslo en kilómetros. Longitud de cd uno: = m = km Ecudor P I E N S A Y C C U L A Meridino 6 SOLUCIONARIO

8 4 Expres de form proximd en grdos y minutos l longitud y l ltitud de: ) Sevill b) Orense c) Cstellón d) Albcete L Coruñ Vizcy uipúzco F R A N C I A Asturis Cntbri Lugo Pontevedr León Álv Nvrr Burgos Orense Huesc Plenci L Rioj eron Zmor Lérid Vlldolid Brcelon Sori Zrgoz Segovi Trrgon Slmnc udljr Teruel Ávil Mdrid Cstellón Cáceres Toledo Cuenc 4 N 40 N 8 N 6 N 9 N 8 N 0 O P O R T U 8 O Bdjoz Vlenci Córdob Alicnte Jén Murci Huelv Sevill rnd Almerí Málg Cádiz Cnris 6 O 8 O 6 O 4 O 4 O Ciudd Rel O Albcete 0 E 4 E O 0 E Bleres 4 N 40 N 8 N 6 N km 5 6 Si l longitud del Ecudor es de unos km, clcul l distnci que se recorre sobre el Ecudor l vnzr en longitud : 60 =, km Busc en el mp ls ciuddes cuys coordends geográfics son ls siguientes: ) 8 O 6 50 N b) 4 O 40 4 N c) 4 5 O 6 4 N d) 5 4 O 4 6 N ) Almerí. b) Mdrid. c) Málg. d) León. A P L I C E O R Í A ) Sevill(6 O, 7 0 N) b) Orense(8 O, 4 0 N) c) Cstellón(0 O, 40 N) d) Albcete( O, 9 N) 7 Si l longitud de un meridino es de unos km, clcul l distnci que se recorre sobre un meridino l vnzr en ltitud : 60 =, km 8 Clcul de form proximd l distnci que hy entre ls locliddes de Dos Hermns (Sevill) y Avilés (Asturis) si ls coordends geográfics de mbs locliddes son más o menos ls siguientes: Dos Hermns: 5 55 O, 7 7 N Avilés: 5 55 O, 4 N = 6 6 = 6, : 60 6,7 = 696,67 km UNIDAD. ÁREAS Y VOLÚMENES 7

9 Ejercicios y problems. Áre de figurs plns Clcul el áre de un círculo de 7, m de rdio. 9 Clcul mentlmente el áre de un triángulo cuy bse mide 7 cm y cuy ltur es de 5 cm b = 7 cm = 5 cm b A = 7 5 A = = 7,5 cm R = 7, m A = πr A = π 7, = 64, m 0 Clcul mentlmente el áre de un cudrdo cuyo ldo mide 0,6 m Clcul mentlmente el áre de un rectángulo que mide l mitd de lto que de lrgo y cuy ltur es de 5 m l = 0,6 m b = 0 m = 5 m A = l A = 0,6 = 0,6 m A = b A = 0 5 = 50 m. Áre y volumen de cuerpos en el espcio 4 5 Clcul mentlmente el áre y el volumen de un cubo de 4 m de rist. = 4 m Clcul mentlmente el áre y el volumen de un ortoedro cuys rists miden 0 m, 8 m y m A = 6 A = 6 4 = 96 m Volumen: V = V = 4 = 64 m c = m Clcul el áre de un trpecio rectángulo cuys bses miden 7,5 cm y 6,4 cm, y el ldo perpendiculr ls bses mide 5, cm = 0 m b = 8 m = 5, cm b = 6,4 cm B = 7,5 cm B+ b A = 7,5 + 6,4 A = 5, = 6,84 cm A = (b + c + bc) A = ( ) = m Volumen: V = bc V = 0 8 = 60 m 8 SOLUCIONARIO

10 6 Clcul el áre y el volumen del prism pentgonl del siguiente dibujo: 9 cm,75 cm l = 4 cm H = 9 cm Apotem de l bse =,75 cm 4 cm P = = 5 4,75 : = 7,5 cm = 5l H = = 80 cm = + = 7, = 5 cm V = H V = 7,5 9 = 47,5 cm P = = 5,8,6 : = h = 4,80 cm Tenemos que hllr l potem de l pirámide plicndo el teorem de Pitágors.,6 cm h =,6 + 9,5 = 97,06 = 9,85 m l h = 5 = 5,8 9,85 : = 9,58 cm = + = 4,8 + 9,58 = 8,8 cm V = H V = 4,8 9,5 : = 78,5 cm H = 9,5 cm 7 Clcul el áre y el volumen de un cilindro recto en el que el rdio de l bse mide,5 m y cuy ltur es de 7,6 m 9 Clcul el áre y el volumen de un cono recto en el que el rdio de l bse mide 4,5 m y cuy ltur es de 5,6 m H = 7,6 m R =,5 m = πr = π,5 = 490,87 m = πrh = π,5 7,6 = 67,70 m = + = 490, ,7 = = 49,44 m V= H V = 490,87 7,6 = 548, m = πr = π 4,5 = 5 944,68 m Tenemos que hllr l genertriz plicndo el teorem de Pitágors. H = 5,6 m. Áre y volumen de pirámides y conos 8 Clcul el áre y el volumen de l pirámide pentgonl del siguiente dibujo: 9,5 cm,6 cm l =,8 cm H = 9,5 cm Apotem de l bse =,6 cm,8 cm R = 4,5 m 4,5 m = 4,5 + 5,6 = 7 667,6 =,9 m = πr = π 4,5,9 = 8 64,75 m = + = 5 944, ,75 = 4 09,4 m V = H V = 5 944,68 5,6 : = 48 88,94 m UNIDAD. ÁREAS Y VOLÚMENES 9

11 Ejercicios y problems 4. Áre y volumen de troncos y esfer 40 Clcul el áre y el volumen de un tronco de pirámide cudrngulr sbiendo que l rist de l bse myor mide 5 cm; l rist de l bse menor, 9 cm; y l ltur, 0 cm = l = 5 = 5 cm = l = 9 = 8 cm Tenemos que hllr l potem del tronco de pirámide plicndo el teorem de Pitágors: H = 0 cm l = 5 cm l = 9 cm h cm Tenemos que hllr l genertriz del tronco de cono plicndo el teorem de Pitágors: r = m H = 7 m = 7 + = 5 = 7,8 m = π(r + r) = π (4 + ) 7,8 = 7, m = + + = 50,7 +,57 + 7, = 00,06 m V = ( + + ) H V = (50,7 +, ,7,57 ) 7 : = = 05,8 m m R = 4 m H = 7 m m h = 0 + = 09 = 0,44 m l + l A L = 4 h = 4 0,44 = 50, cm = + + = , = 807, cm V = ( + + ) H V = ( ) 0 : = 470 m 4 Clcul el áre y el volumen de un tronco de cono sbiendo que el rdio de l bse myor mide 4 m, el de l bse menor es l mitd y l ltur es 7 m = πr = π 4 = 50,7 m = πr = π =,57 m 4 4 Clcul el áre y el volumen de un esfer cuyo rdio mide 5,5 cm R = 5,5 cm A = 4πR A = 4π 5,5 = 46,6 cm V = 4/ πr V = 4 : π 5,5 = 606, cm Ls dimensiones en centímetros de un crtón de leche de un litro son 9,5 6,4 6,5. Si lo construyésemos de form esféric, cuántos centímetros cudrdos de crtón horrrímos? Áre del crtón de leche: (9,5 6,4 + 9,5 6,5 + 6,4 6,5) = 646, cm Rdio de un esfer de volumen litro. 4πR / = R = 4π R = = 0,6 dm = 6, cm 4π Áre de l esfer de un litro: A = 4π 6, = 48,05 cm Ahorrrímos: 646, 48,05 = 6,5 cm 0 SOLUCIONARIO

12 5. L esfer y el globo terráqueo 44 Expres de form proximd l longitud y l ltitud de Vlenci y Zrgoz. L Coruñ Vizcy uipúzco F R A N C I A Asturis Cntbri Lugo Pontevedr León Álv Nvrr Burgos Orense Huesc Plenci L Rioj eron Zmor Lérid Vlldolid Brcelon Sori Zrgoz Segovi Trrgon Slmnc udljr Teruel Ávil Mdrid Cstellón 4 N 40 N 8 N 6 N 9 N 8 N 0 O Vlenci(0 O, 9 0 N) Zrgoz( O, 4 0 N) P O R T U 8 O Huelv Cáceres Bdjoz Cnris 6 O Sevill Toledo Córdob Málg Cádiz 8 O 6 O 4 O 4 O Ciudd Rel Jén rnd O Cuenc Albcete Almerí 0 Vlenci Alicnte Murci O 0 E E 4 E Bleres 4 N 40 N 8 N 6 N km Busc en el mp ls ciuddes cuys coordends geográfics son ls siguientes: ) 5 O 9 N b) E 4 N c) 8 9 O 4 6 N d) 47 O 7 46 N ) Albcete. b) Brcelon. c) Pontevedr. d) Jén. Clcul l distnci que hy entre ls locliddes de Crmon (Sevill) y Aller (Asturis) si ls coordends geográfics de mbs locliddes son: Crmon: 5 8 O, 4 0 N Aller: 5 8 O, 7 8 N = 5 4 = 5, : 60 5,7 = 6, km Pr mplir 47 Clcul el áre de un trpecio isósceles en el que ls bses miden 0 cm y 4 cm y los otros dos ldos tienen 5 cm cd uno. 48 Clcul el áre del siguiente pentágono: l =, cm Hy que plicr el teorem de Pitágors pr clculr l ltur. b = 4 cm P A = =,60 cm 5 cm 5,,6 A = = 9, cm B = 0 cm = 5 = 6 = 4 cm B + b A = A = 4 = 8 m cm 49 Clcul l longitud de un rco cuyo rdio mide 5,4 cm y cuy mplitud es de R = 5,4 cm πr L = nº 60 π 5,4 L = 95 = 60 = 8,95 cm UNIDAD. ÁREAS Y VOLÚMENES

13 Ejercicios y problems 50 Clcul el áre del segmento circulr coloredo de zul en l siguiente figur: R = 5 m A = (b + c + bc) A = (4,5,7 + 4,5,56 +,7,56) = 6,6 m Volumen: V = b c V = 4,5,7,56 =, m A segmento = A sector A triángulo πr b A segmento = nº 60 π A = 90 = 7, m 60 5 Clcul el áre de un trpecio circulr de rdios R = 8,4 m y r = 6,5 m, y de mplitud 4 4 R = 8,4 m r = 6,5 m π(r r ) A = nº 60 π(8,4 6,5 ) A = 4 = 60 = 0,6 m 54 Clcul el áre y el volumen de un ortoedro sbiendo que sus rists formn un progresión geométric decreciente de rzón / y que l rist myor mide 5 m = 5 m A = (b + c + bc) A = (5,5 + 5,5 +,5,5) = 4,75 m Volumen: V = b c V = 5,5,5 = 5,6 m c =,5 m b =,5 m 5 5 Clcul l rist de un cubo de 85 m de áre redondendo el resultdo dos decimles. Clcul el áre y el volumen del siguiente ortoedro: = 4,5 m = 6 = 85 m Arist: = 85 : 6 =,76 m c =,56 m b =,7 m 55 A un trro de miel que tiene form cilíndric queremos ponerle un etiquet que lo rodee completmente. El diámetro del trro mide 9 cm y l ltur de l etiquet es de 5 cm. Clcul el áre de l etiquet. H = 5 cm R = 4,5 cm = πr H = π 4,5 5 = = 4,7 cm SOLUCIONARIO

14 56 Clcul el áre y el volumen de un pirámide heptgonl en l que l rist de l bse mide cm; l potem,,08 cm; y l ltur, cm P = 7,08 = = 4,56 cm Tenemos que hllr l potem de l pirámide plicndo el teorem de Pitágors. 57 l = cm H = cm h =,08 + = 5, =,9 cm l h = 7 = 7,9 : = 78, cm = + = 4, , = 9,89 cm V = H V = 4,56 : = 5,9 cm Clcul el áre y el volumen de un cono recto en el que el diámetro de l bse es igul l ltur que mide 0 m = πr = π 5 = 78,54 m Tenemos que hllr l genertriz plicndo el teorem de Pitágors. h,08 cm = = 5 =,8 m = πr = π 5,8 = 75,6 m = + = 78, ,6 = 54,6 m V = H V = 78,54 0 : = 6,8 m Clcul el rdio de un esfer de volumen litro. Un esfer de 4 cm de diámetro está inscrit en un cilindro. Cuál es l ltur del cilindro? Altur del cilindro = diámetro de l esfer = 4 cm Con clculdor 60 R = 6, cm Clcul l longitud de un circunferenci cuyo rdio es de,85 cm 4 V = πr 4πR V = = R = 4π R = = 0,6 dm = 6, cm 4π R H = 0 m R = 5 m H = 0 m 5 m R =,85 cm Longitud: L = πr L = π,85 = 4,9 cm UNIDAD. ÁREAS Y VOLÚMENES

15 Ejercicios y problems 6 Clcul el áre de un coron circulr cuyos rdios son R = 5, m y r = 4,7 m R = 5, m r = 4,7 m A = π(r r ) A = π(5, 4,7 ) = = 8,85 m 64 Clcul el áre y el volumen de un pirámide hexgonl en el que l rist de l bse mide 7,4 m y l ltur tiene 7,9 m Tenemos que hllr l potem de l bse plicndo el teorem de Pitágors. 7,4 m 7,4 m 6 Clcul el áre de un sector circulr cuyo rdio mide 0,8 m y cuy mplitud es de R = 0,8 m πr A = nº 60 π 0,8 A = 57 = 60 = 59,8 m,7 m = 7,4,7 = 4,07 = 6,4 m P = 6 7,4 6,4 = = 4, m Tenemos que hllr l potem de l pirámide plicndo el teorem de Pitágors. 6 Clcul l rist de un cubo cuyo volumen mide m, redondendo el resultdo dos decimles. H = 7,9 m h Volumen: V = Arist: = =,6 m l = 7,4 m h = 6,4 + 7,9 = 6,5 = 9,0 m l h = 6 7,4 9,0 = 6 = 4,0 m = + = 4, + 4,0 = 564, m V = H V = 4, 7,9 : = 849,06 m = 6,4 m 4 SOLUCIONARIO

16 Problems 65 Clcul el áre del siguiente trpezoide:,4 cm,6 cm,4 cm,8 cm 4 cm 68 Clcul el rdio de l Tierr sbiendo que un cudrnte mide km πr = R = = 6 66,0 km π Tenemos que descomponerlo en dos triángulos y plicr en cd uno de ellos l fórmul de Herón: Triángulo de ldos: 4 cm;,6 cm y,8 cm Perímetro: 0,4 Semiperímetro: 5, 5,,,6,4 = 4,77 cm Triángulo de ldos:,8 cm;,4 cm y,4 cm Perímetro: 9,6 Semiperímetro: 4,8 4,8,4,4 = 4,0 cm Áre totl: 4,77 + 4,0 = 8,79 cm 69 Clcul el volumen de l siguiente piez: 6 cm 6 cm cm cm 6 cm Volumen: = 40 cm 6 cm 66 Clcul el número de vuelts que d un rued de biciclet pr recorrer km si el rdio de l biciclet mide 40 cm 70 Un silo, que es un edificio pr lmcenr cereles, tiene form de prism cudrngulr. Si l rist de l bse mide 0 m y l ltur es de 5 m, qué volumen contiene? R = 40 cm Longitud de l rued: L = πr L = π 0,4 =,5 m Nº de vuelts: 000 :,5 = 98,4 vuelts. H = 5 m Volumen: V = H V = = 500 m 67 Clcul el rdio de un plz de toros portátil que tiene de áre 45,4 m 7 l = 0 m Clcul l ltur que tiene que tener un bote de conservs de un litro, sbiendo que el diámetro de l bse mide 8 cm R = m A = πr πr = 45,4 R = 45,4/π 45,4 R = = m π H R = 4 cm Áre de l bse: = πr = π 4 = 50,7 cm V V= H H = AB H = 000 : 50,7 = 9,89 cm = = 0 cm UNIDAD. ÁREAS Y VOLÚMENES 5

17 Ejercicios y problems 7 Ls dimensiones en centímetros de un crtón de leche de un litro son: 9,5 6,4 6,5. Si lo construyésemos de form cúbic, cuántos centímetros cudrdos de crtón horrrímos? 75 Clcul el volumen de un trozo de tronco de árbol, en el que el rdio de l bse myor mide 5,9 cm; el rdio de l bse menor,,5 cm; y su ltur, 4 m Superficie del crtón: (9,5 6,4 + 9,5 6,5 + 6,4 6,5) = 646, cm Arist del cubo: = dm = dm = 0 cm Superficie del cubo: 6 0 = 600 cm Si fuese cúbico nos horrrímos: 646, 600 = 46, cm 7 Un tejdo tiene form de pirámide cudrngulr. L rist de su bse mide 5 m y l ltur es de 5 m. Si reprr un metro cudrdo cuest 8, cuánto costrá reprr todo el tejdo? Tenemos que hllr l potem de l pirámide plicndo el teorem de Pitágors. 5 m = 7,5 + 5 = 8,5 = 9,0 m = 4 5 9,0 : = 70, m Coste: 70, 8 = 4 865,4 5 m h 7,5 m 76 r =,5 H = 4 m Un cubo de bsur en form de tronco de cono tiene ls siguientes medids: rdio de l bse menor, 0 cm; rdio de l bse myor, cm; y ltur, 50 cm. Si no tiene tp, clcul su superficie y su volumen. = πr = π 0 = 4,6 cm = πr = πr = π = 45,9 cm = π 5,9 = 794, cm = πr = π,5 = 490,87 cm V = ( + + R = 5,9 ) H V = (794, + 490, , 490,87 ) 400 : = = ,75 cm = 0,5 m Tenemos que hllr l genertriz del tronco de cono plicndo el teorem de Pitágors: cm 74 En un heldo con form de cono, /5 del contenido sobresle del cucurucho. Si el rdio de l bse del cucurucho mide,5 cm y l ltur es de cm, cuántos heldos se podrán hcer con 0 litros de ms? Volumen del cucurucho: R =,5 cm V= H V = π,5 : = 78,54 cm Volumen del heldo: 78,54 ( + /5) = 94,5 cm Nº de heldos: : 94,5 = 06, heldos. H = cm H = 50 cm R = cm r = 0 cm H = 50 cm = 50 + = 504 = 50,04 cm = π(r + r) = π ( + 0) 50,04 = 458,5 cm = + = 4, ,5 = 77,68 cm V = ( + + ) H V = (4,6 + 45,9 + 4,6 45,9) 50 : = = 9 059,0 cm = 9,06 litros. 6 SOLUCIONARIO

18 77 Clcul el volumen de l siguiente piez: R = 6 cm Hy que plicr el teorem de Pitágors pr hllr l ltur. H = cm r = 5 cm m Volumen: V = H V = π(6 5 ) = 794,8 cm,5 m =,5 = 6,75 =,60 m Áre del triángulo:,6 : =,9 m Áre del segmento: 4,7,9 = 0,8 m Pr profundizr 78 Clcul el rdio de un circunferenci que mide 7,5 m de longitud. 80 Clcul el volumen de l siguiente mes: 80 cm 0 cm 40 cm 40 cm 0 cm R L = πr πr = 7,5 7,5 R = = 5,97 m π V = = cm = = 0,064 m 79 Clcul el áre del segmento circulr coloredo de mrillo en l siguiente figur: 60 R = m 8 Un piscin tiene form de prism hexgonl. L rist de su bse mide m y l ltur tiene,5 m. Cuánto costrá llenrl si el litro de gu tiene un precio de 0,0? Hy que plicr el teorem de Pitágors pr hllr l potem de l bse. m A segmento = A sector A triángulo Áre del sector: πr A = nº 60 π A = 60 = 4,7 m 60 l = m H =,5 m 6 m = 6 = 08 = 0,9 m P = = 6 0,9 : = 74,04 m V = H V = 74,04,5 = 09,4 m = litros. Coste: ,0 = 6 8,8 m UNIDAD. ÁREAS Y VOLÚMENES 7

19 Ejercicios y problems 8 Supongmos que un bote de refresco es totlmente cilíndrico y que el diámetro de l bse mide 6,5 cm. Si tiene un cpcidd de cl, cuánto medirá l ltur? 8 Clcul el volumen de l siguiente piez: 4 cm H R =,5 cm = πr = π,5 =,8 cm = = 0, dm cl = 0, litros = 0, dm V V= H H = AB H = 0, : 0, = dm = 0 cm V = π 4,5 = 75,40 cm 84 4 cm cm Clcul el volumen de l Tierr sbiendo que el rdio mide km. D el resultdo en notción científic. 4 V = πr V = 4π : =, 0 km Aplic tus competencis 85 Clcul el coste de los terrenos que hy que expropir pr hcer un utopist de 50 km con un nchur de 80 m, pgndo 5 el metro cudrdo. 87 Clcul los metros cúbicos totles de sflto que hy que echr en un utopist si tiene 50 km de longitud y dos direcciones, cd un con un nchur de 0 m. El grosor del sflto es de 5 cm Coste: = = = 0 millones de Volumen: ,05 = m 86 Hy que rebjr un montículo con form de semiesfer cuyo rdio mide 5 m. Clcul el número de vijes que tiene que hcer un cmión que llev cd vez 5 metros cúbicos. V= 4π 5 : : = 74,9 m Nº de vijes: 74,9 : 5 = vijes. 8 SOLUCIONARIO

20 Comprueb lo que sbes Define prlelos y meridinos. Pon un ejemplo hciendo un dibujo y mrcndo vrios de ellos. Prlelos: son ls circunferencis prlels l ecudor. Meridinos: son ls circunferencis máxims que psn por los polos. Prlelo Meridino = 6 6 5, : = 9,6 m = 6 l H = = 540 m = + = 9, = 77, m 4 Clcul el volumen de un pirámide cudrngulr en l que l rist de l bse mide 5 m y cuy ltur es de 9 m Meridino de reenwich Clcul el áre de un sector circulr de 7 cm de rdio y 50 de mplitud. l = 5 m H = 9 m V = H A = 5 9 : = 75 m 50 R = 7 cm πr A = nº 60 π 7 A = 50 = 60 = 64,4 cm Clcul el áre de un prism hexgonl en el que l rist de l bse mide 6 m y cuy ltur es de 5 m Hy que plicr el teorem de Pitágors pr hllr l potem de l bse. 6 m 5 Clcul el áre de un tronco de pirámide cudrngulr en el que l rist de l bse myor mide 8 m; l de l bse menor, 5 m; y l ltur, m = l = 8 = 64 cm = l = 5 = 5 cm Tenemos que hllr l potem del tronco de pirámide plicndo el teorem de Pitágors: l = 5 m H = m h H = m h l = 8 m,5 m = 6 = 7 = 5,0 m P = 6 m m h = +,5 = 46,5 =,09 m l + l = 4 h = 4 (8 + 5) :,09 = 4,4 m = + + = ,4 = 404,4 m UNIDAD. ÁREAS Y VOLÚMENES 9

21 Comprueb lo que sbes 6 Clcul el volumen de un tronco de cono en el que el rdio de l bse myor mide 7 m; el de l bse menor, 5 m; y l ltur, m 7 Clcul l ltur que tiene que tener un bote de conservs de un litro, sbiendo que el diámetro de l bse mide 8 cm H = m r = 5 m H Áre de l bse: = πr = π 4 = 50,7 cm V V = H H = AB R = 7 m H = 000 : 50,7 = = 9,89 cm = 0 cm = πr = π 7 = 5,94 m = πr = π 5 = 78,54 m V = ( + + ) H V = (5, ,54 + 5,94 78,54 ) : = = 55,6 m 8 Clcul el volumen de un heldo con form de cono, que llen el interior del cono y del que sobresle un semiesfer en l prte superior. El rdio del cono mide,5 cm y l ltur es de 5 cm Volumen del cono: V = H V = π,5 5 : = 98,7 cm Volumen de l semiesfer: 4 V = πr : V = 4π,5 : : =,7 cm Volumen del heldo: 98,7 +,7 = 0,89 cm R = 4 cm 40 SOLUCIONARIO

22 Windows Cbri Linux/Windows eoebr Pso Pso 88 Dibuj un rectángulo cuyos ldos miden 6 cm y 4 cm, y clcul el perímetro y el áre. Bse = 6 Altur = 4 D C Perímetro = 0,00 cm Áre = 4,00 cm 89 Dibuj un pentágono regulr. Mide el ldo, l potem y el áre. Comprueb con l clculdor de CABRI l fórmul del áre. l =,4 cm A Resuelto en el libro del lumndo. Aprtdo r) D B C Áre = 0, cm =,67 cm Resultdo = 0, cm Resuelto en el libro del lumndo. Altur =,6 Bse = 5,7 A Perímetro = 6,60 cm Áre = 4,8 cm B Prctic 90 Dibuj un círculo de rdio, cm R =,0 cm Resuelto en el libro del lumndo. uárdlo como Círculo Áre = 5, cm Resultdo = 5, cm 9 Clcul el vlor de π. Pr ello, dibuj un circunferenci y un diámetro; mide el diámetro y l longitud de l circunferenci; y con l clculdor de CABRI, divide l longitud de l circunferenci entre el diámetro. eometrí dinámic: interctividd Edit l medid del rdio y modifícl. Se edit l medid del rdio. Se dibuj l circunferenci con ese rdio. Se mide el áre y se clcul el áre con l clculdor de CABRI. L =, cm D = 4, cm Resultdo =,4 Resuelto en el libro del lumndo. 9 Dibuj un cubo y su desrrollo plno. Clcul el áre y el volumen. l = cm Áre = 4 cm Áre del cubo = 4 cm Volumen = 8 cm 9 Internet. Abre l web: y elige Mtemátics, curso y tem. UNIDAD. ÁREAS Y VOLÚMENES 4