a Debido a que esta función no es integrable analíticamente, es necesario utilizar métodos numéricos para estimar el valor de P.

Transcripción

1 5 7 INTEGRACIÓN NUMÉRICA Introducios este cpítulo edinte un prole de interés práctico en el que el odelo teático resultnte es l evlución de un integrl. El ojetivo es evlur nuéricente un integrl y estir l precisión del resultdo. Prole. L siguiente función es fundentl en estudios estdísticos y se denoin función de densidd de l distriución Norl Estándr: Est función perite clculr l proilidd, P, que z f(z) = e l vrile Z pued tor lgún vlor en un intervlo [, ] π según l siguiente definición: z R P( Z ) = f (z)dz Deido que est función no es integrle nlíticente, es necesrio utilizr étodos nuéricos pr estir el vlor de P. Se f un función integrle, definid en un intervlo cerrdo y cotdo [, ] con < R. Es de interés clculr el vlor de A: A = f()d En generl y dos situciones en ls que son útiles los étodos nuéricos: ) El integrl eiste pero es uy difícil o no se puede evlur nlíticente. ) Únicente se conocen puntos de f() pero se requiere clculr en for proid el integrl dejo de l curv descrit por los puntos ddos En os csos se trt de sustituir f() por lgun función ás siple, siendo iportnte deás estir l precisión del resultdo otenido. 7. Fóruls de Newton-Cotes El enfoque ásico pr otener fóruls de integrción nuéric consiste en proir l función ser integrd por el polinoio de interpolción. Ls fóruls sí otenids se denoinn de Newton-Cotes. Si los puntos están espcidos regulrente, se puede usr el conocido polinoio de diferencis finits o de Newton y pr estir el error se incluye el térino del error del polinoio de interpolción: f() = p n (s) + E n (s), s = p n (s) = f + f s +! f s(s-) +! f s(s-)(s-) +.+ n! n f s(s-)(s-)...(s-n+) s E n (s) = n+ n+ f (n+) (z), << n El uso de polinoios de diferente grdo pr proir f gener diferentes fóruls de integrción. 7.. Fórul de los trpecios Est fórul us coo proición pr f un polinoio de prier grdo, es decir un rect: f() p (s) = f + f s En generl, l proición edinte un sol rect en el intervlo [, ] tendrí poc precisión, por lo que conviene dividir el intervlo [, ] en su-intervlos y colocr en cd uno, un rect cuyos etreos coinciden con f().

2 55 L figur geoétric en cd intervlo es un trpecio. Se A i el áre del trpecio i y se T i el error de trunciento respectivo, es decir l diferenci entre el áre dejo de f() y el áre de cd trpecio i,,,,,. El áre se puede proir con: A = f()d A + A + A A = Ai Mientrs que el error de trunciento totl será: T = T + T + T T Entonces si no y puntos singulres ni discontinuiddes en el intervlo [, ], es clro que T A i A Por siplicidd se usrán puntos regulrente espcidos un distnci A = f()d p (s)d + p (s)d +. + p (s)d A A + A A : cntidd de frnjs espcids regulrente en, siendo = Aproición del integrl con el áre de trpecios Pr otener l fórul es suficiente encontrr el vlor del áre de un trpecio y luego etender este resultdo ls deás, coo se indic continución. Áre del prier trpecio: A = p (s)d = Medinte ls sustituciones: s = ( )/ = S = = S = d = ds A = (f + f s)d (f + fs)ds = [ f s + f s ] = [f + (f f )] A = [f + f ], es l conocid fórul de l geoetrí pr el áre de un trpecio El resultdo nterior se etiende directente los restntes intervlos:

3 56 A A + A +. + A = [f + f ] + [f + f ] [f - + f ] A [f + f + f f - + f ] Definición: Fórul de los trpecios A [f + f + f f - + f ] = - [f + fi + f ], es l cntidd de trpecios. Ejeplo. L siguiente función no es integrle nlíticente. f() = sen(), Use l fórul de los trpecios con =, pr otener un respuest proid del integrl: A = f()d A [f + f + f + f + f ], = = =.5 =.5 [f() + f(.5) + f() + f(.5) + f()] =.55 Sin ergo, es necesrio poder contestr un pregunt fundentl: Cuál es l precisión del resultdo clculdo? 7.. Error de trunciento en l fórul de los trpecios Es necesrio estir el error en el resultdo otenido con los étodos nuéricos Error l proir f() edinte p () en el prier su-intervlo: s E (s) = f () (z ), <z < Cálculo del áre correspondiente l error en el uso del polinoio pr proir f T = E (s)d = s f () (z )d = () s(s ) f (z )d Usndo ls sustituciones nteriores: s = ( )/ = S = = S = d = ds T = s(s )f ''(z )ds, Con el teore del vlor edio pr integrles, puesto que s(s-), no ci de signo en el intervlo [,], se puede scr del integrl l función f evlud en lgún punto z desconocido, en el iso intervlo. T = f (z ) s(s )ds, <z < Luego de integrr, se otiene T = - f (z ), <z < Este resultdo se etiende los su-intervlos en l integrción T = T + T + + T

4 57 T = - f (z ) - f (z ) -. - f (z ) T = - [ f (z ) + f (z ) +. + f (z )] T = - f (z), siendo z lgún vlor en el intervlo (, ) Medinte l sustitución =, l fórul se puede epresr de l siguiente for Definición. Fórul del error de trunciento en l fórul de los trpecios T = ( ) f (z), z Est fórul se utiliz pr cotr el error de trunciento. Siendo z desconocido, pr cotr el error se puede usr un criterio conservdor tondo el yor vlor de f (z), z. Este criterio no proporcion un edid uy precis pr el error y su plicción puede ser un prole ás coplicdo que l is integrción, por lo cul se puede intentr usr coo criterio pr estir el error, l definición de convergenci indicd l inicio de est sección, siepre que f se un función integrle: Sen A = A A i ' A, A i ' = A dos proiciones sucesivs con y i ' trpecios, ' > Entonces, se puede estir el error de trunciento soluto del resultdo con: T A - A ' Mientrs que el error de trunciento reltivo se puede estir con: t A A ' A ' Hy que tener l precución de no usr vlores uy grndes pr por el efecto del error de redondeo cuuldo en ls operciones ritétics y que pudier desejorr l precisión en el resultdo. En cso de conocer únicente puntos de f, l no disponer de ás inforción pr estir el error de trunciento, un criterio siple puede ser tor el yor vlor de ls segunds diferencis finits coo un proición pr l segund derivd en l fórul del error, siepre que no cien significtivente: T = - ( ) f (z), z fi f (z) T - (-) ( ) Est fórul tién pudier usrse pr estir el error de trunciento en el cso de que f() se conozc eplícitente y y sido especificdo. Hrí que tulr ls diferencis finits pr los puntos usdos en l integrción nuéric y estir el error con l fórul nterior.

5 58 Ejeplo. Estie cuntos trpecios deen usrse pr integrr f() = sen() en el intervlo [,] de tl ner que l respuest teng el error soluto enor. Se requiere que error de trunciento cupl l condición: T <. ( ) f (z) <. Siendo el vlor de z desconocido se dee usr el áio vlor de f (z) = -sen(z), <z< f (z) = ( ) () <. De donde <.6 <.5 <.5 Entonces > ( )/.5 > 8.6 = 8 trpecios Ejeplo. Estie cuntos trpecios deen usrse pr integrr f() = sen() en el intervlo [,] de tl ner que l respuest teng el error soluto enor. Se requiere que error de trunciento cupl l condición: T <. ( ) f (z) <. Siendo el vlor de z desconocido se dee usr el áio vlor de cos(z) sen(z) f ''(z) = zsen(z), < z < z z Prole desido coplicdo pr estir el yor vlor de l derivd y cotr el error. En est situción, se puede estir el error coprndo resultdos con vlores sucesivos de st que l diferenci se suficienteente pequeñ. Pr los cálculos conviene instruentr un función en MATLAB. En este ejeplo no se pueden tulr ls diferencis finits pr estir f''() con f() pues no está especificdo Ejeplo. Estie el error de trunciento en l integrción de f() = sen(), con l fórul de los trpecios con = En este cso, se tuln los cinco puntos de f() pr estir el error, proindo l derivd con l diferenci finit respectiv: f f f T - (-) ( ) = (-) (.59) =.57

6 59 Ejeplo. Ddos los puntos de un función f: (.,.8), (.,.6), (.,.), (.,.8), (.5,.9) Clcule el áre A dejo de f proindo edinte cutro trpecios y estie el error en el resultdo otenido. A =. [.8 + (.6) + (.) + (.8) +.9] =.5 Al no disponer de ás inforción, se usrán ls diferencis finits pr estir el error f f f T - (-) ( ) = (.5-.) (.7) =. Esto indicrí que solente podeos tener confinz en el prier decil 7.. Instruentción coputcionl de l fórul de los trpecios Si se quiere integrr dejo de un función dd en for eplícit, conviene definir un función de MATLAB pr evlur el integrl dejndo coo dto el núero de trpecios. Los resultdos clculdos pueden usrse coo criterio pr estir el error de trunciento. En l siguiente instruentción dee suinistrrse l función f (definid en for siólic y en forto inline), el intervlo de integrción, y l cntidd de frnjs o trpecios function trpecios(f,,, ) =(-)/; s=; for : - s=s + f( + i*); end /*(f() + *s + f()); Ejeplo. Pror l función est función pr integrl f()=sen(), >> sys ; >> f = sin(); >> t = trpecios(inline(f),,, 5) t =.97 Se puede pror con ás trpecios pr ejorr l proición >> t = trpecios(inline(f),,, 5) t =.5958 >> t = trpecios(inline(f),,, 5) t =.6 Copre con el vlor ecto que proporcion MATLAB >> t = evl(int(f,,)) t =.66

7 6 Los resultdos tienden ci el vlor ecto edid que se increent el núero de trpecios. Estos resultdos pueden usrse coo criterio pr deterinr l precisión de l proición. Ejeplo. L siguiente función no es integrle nlíticente: S = sen()d Use l fórul de los trpecios pr otener l respuest proid y estir el error. >> sys >> f=sqrt()*sin(); >> ezplot(f,[,]),grid on >> r=trpecios(inline(f),,,).5 >> r=trpecios(inline(f),,,).5 >> r=trpecios(inline(f),,,).56 >> r=trpecios(inline(f),,,5).56 / sin() El últio resultdo tiene cutro deciles que no cin y se pueden considerr correctos. 7.. Fórul de Sipson Est fórul us coo proición pr f un polinoio de segundo grdo, o práol: f() p (s) = f + f s + f s(s-) L integrción se reliz dividiendo el intervlo de integrción [, ], en suintervlos, incluyendo tres puntos en cd uno pr colocr un práol. Por siplicidd se usrán puntos regulrente espcidos un distnci A = f()d p (s)d + p (s)d +. + p (s)d A A + A +. + A / El áre de dos intervlos consecutivos es proid edinte el áre dejo de práols. Los puntos son nuerdos,,...,, Siendo dee ser un núero pr. Así, l cntidd de práols es /. =(-)/

8 6 Pr otener l fórul se dee encontrr el vlor del áre pr un práol: A = p (s)d = Medinte ls sustituciones: s = ( )/ = s = = s = d = ds A = [f + fss + fs(s )] d (f + fs + fs(s )ds Luego de integrr, sustituir ls diferencis finits y siplificr se tiene A = [f + f + f ] es el áre dejo de l práol en l prier frnj Por lo tnto, iendo / frnjs, el áre totl es l su: A = A + A +. + A / Después de sustituir y siplificr se otiene l fórul de integrción Definición. Fórul de Sipson (fórul de ls práols) A = [f + f + f + f f - + f - + f ] es un práetro pr l fórul (dee ser un núero pr) 7..5 Error de trunciento en l fórul de Sipson Del nálisis del error se otiene T = 8 ( ) f() (z), <z< Est fórul se puede usr pr cotr el error de trunciento. Bjo cierts considerciones y si se conoce, se puede estir l derivd con l diferenci finit correspondiente: f () fi (z), T (-) 8 Ejeplo Ddos los puntos de un función f: (.,.8), (.,.6), (.,.), (.,.8), (.5,.9) Clcule el áre dejo de f edinte un proición con práols. Aproición del áre edinte práols L su del áre dejo de ls dos práols, con l fórul nterior: A = [f + f + f + f + f ]

9 6 A =. (.8 + (.6) + (.) + (.8) +.9) =. Este resultdo es proidente igul l áre dejo de f. Estir el error en el resultdo otenido Al no disponer de ás inforción, se usrán ls diferencis finits pr estir el error f f f f f T = 8 ( ) f() (z), <z< T - (-) 8 = (.5-.) (.) =. 8 Esto indicrí que podeos tener confinz en l respuest st el tercer decil. Resultdo ejor que el otenido con l Regl de los Trpecios Ejeplo. Si f es un función diferencile en el intervlo [,], l longitud del rco de l curv f() en ese intervlo se puede clculr con el integrl S = + [f '()] d Clculr l longitud del rco de l curv f()=sen(), [, ] usndo práols ( = ) S = + [f '()] d Longitud del rco: (no se puede evlur nlíticente) s = g()d = + cos ()d = = =.5 S = [f + f + f + f + f ] S =.5 [g() + g(.5) + g() + g(.5) + g()] S =.5 Estir el error en el resultdo nterior Ddo que está especificdo, se us un proición de diferencis finits pr l derivd en l fórul del error de trunciento T = 8 ( ) f() (z), <z< f f f f f T - (-) 8 ( )= (-) (.8) =.6 8 Es un cot proid pr el error de trunciento

10 Instruentción coputcionl de l fórul de Sipson L función reciirá l función f definid en for siólic, el intervlo de integrción, y l cntidd de frnjs function sipson(f,,, ) =(-)/; s=; for :- s=s+*(od(i,)+)*f(+i*); %Sur los térinos con coeficientes,,,,..., end r=/*(f() + s + f()); Ejeplo. Integrr f() = + cos (), con l fórul de Sipson itertivente st que el error de trunciento se enor que. >> sys >> f = sqrt(+(cos())^); >> r=sipson(inline(f),,,).5 >> r=sipson(inline(f),,,8).56 >> r=sipson(inline(f),,,).57 >> r=sipson(inline(f),,,6) Error de trunciento vs. Error de redondeo En ls fóruls de integrción nuéric se oserv que el error de trunciento depende de Fórul de los Trpecios: T = ( ) f (z) = O( ) Fórul de Sipson: T = 8 ( ) f() (z) = O( ) Adeás = Entonces, pr s fóruls, cundo T Está clro que l fórul de Sipson converge ás rápido, supuesto que < Por otr prte, l evlur cd operción ritétic se puede introducir un error de redondeo R i si no se conservn todos los dígitos deciles en los cálculos nuéricos. L su de estos errores es el error de redondeo cuuldo R. Mientrs ás sus se relicen, yor es l cntidd de térinos que cuuln error de redondeo. R = R + R + R +. + R Estos errores de redondeo pueden tener signos diferentes y nulrse, pero tién puede ocurrir que tengn igul signo, por lo tnto el vlor puede crecer Siendo =, cundo R puede crecer

11 6 En conclusión, pr prevenir el creciiento de R, es preferile usr fóruls que no requiern que se uy grnde pr otener el resultdo con un precisión requerid. Este es el otivo pr preferir l fórul de Sipson sore l fórul de los Trpecios. Ejeplo. Encontrr el áre entre f() = + cos(+), y g()=e sen(), que incluy el áre entre ls intersecciones de f y g en el prier cudrnte. Use l Regl de Sipson, =. >> sys >> f=+*cos(+); >> g=ep()*sin(); >> ezplot(f,[,.5]),grid on >> old on >> ezplot(g,[,.5]) 8 e p( ) s ( ) Se utiliz un étodo nuérico pr clculr ls intersecciones: Finlente se integr: >> =f - g; >> =iseccion(inline(),,.5,.) =.7 >> =iseccion(inline(),,.,.) =.7 >> s=sipson(inline(),,,) s = 6.59 Coprción con el vlor que proporcion l function int de MATLAB >> r=evl(int(,,)) 6.59