Ecuaciones de primer grado y de segundo grado

Transcripción

1 Ecuaciones de primer grado y de segundo grado La forma reducida de una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad del tipo a b 0, donde a y b son números reales con a 0. Para resolverla despejamos la incógnita: b a b 0 a b a Por regla general la ecuación hay que reducirla, para ello se siguen los siguientes pasos:. Eliminar corchetes y paréntesis.. Eliminar denominadores. 3. Trasponer términos, es decir, presentar los términos en los que aparece la incógnita en uno de los miembros de la igualdad, y los términos que no tienen incógnita en el otro. 4. Reducir términos semejantes. 5. Despejar la incógnita. Ecuaciones de primer grado Matemáticas I - º Bachillerato Resolver la ecuación: Eliminamos paréntesis: Eliminamos denominadores multiplicando todos los términos por el mcm de los denominares, que es : Trasponemos términos, reducimos términos semejantes y despejamos la incógnita: Ecuaciones de segundo grado La forma reducida de una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad del tipo a b c 0 donde a, b y c son números reales con a 0 (llamados coeficientes). Para su resolución distinguiremos tres casos. Caso : b 0. En este caso la ecuación de segundo grado toma la forma a c 0. Para resolverlas se despeja y luego se etrae la raíz cuadrada para despejar finalmente la incógnita. Caso : c 0. En este caso la ecuación de segundo grado toma la forma a b 0. El proceso de resolución consiste en etraer factor común la incógnita pues ésta aparece en ambos términos. Una de las soluciones siempre es 0. La otra solución se obtiene de igualar a cero el otro factor y de resolver la correspondiente ecuación de primer grado. Caso 3 o caso general: En este caso vamos a suponer que los tres coeficientes a, b y c son todos distintos de cero. Este caso es el más general y la ecuación de segundo grado queda, en su forma reducida, así: a b c 0 La solución se obtiene de sustituir los coeficientes a, b y c en la siguiente fórmula: 4 b b ac a En general, las ecuaciones de segundo grado hay que reducirlas a uno de los tres casos anteriores, dando los pasos que se han descrito para las de primer grado. 8 ; (que no tiene solución ya que no se puede etraer la raíz cuadrada de un número negativo) Para resolver 3 5 eliminamos el paréntesis y pasamos todos los términos al primer miembro. Luego aplicamos la fórmula: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Página

2 Matemáticas I - º Bachillerato Ecuaciones bicuadradas y de grado superior a dos La forma reducida de una ecuación bicuadrada con una incógnita es de la forma 4 a b c 0. Para resolverla se aplica el cambio de variable con lo que se convierte en una de segundo grado: 4 a b c a b c 0 0 az bz c 0 Ecuaciones bicuadradas z, Ahora se resuelve esta última. Una vez despejada la incógnita z se sustituyen sus valores en el cambio z para obtener los valores de la incógnita. Una ecuación de grado superior a dos con una incógnita, se epresa de manera reducida de la forma p 0 donde p es un polinomio de grado mayor que dos. El procedimiento para resolverlas consiste en etraer las raíces del p : es raíz de p es solución de p 0 p Por tanto debemos factorizar el polinomio utilizando la regla de Ruffini. Las raíces del polinomio serán las soluciones de la ecuación. En el caso de que al factorizar el polinomio aparezca algún factor de segundo grado, tendremos que hallar las últimas soluciones de la ecuación resolviendo la correspondiente ecuación de segundo grado. Por ejemplo, para resolver la ecuación aplicamos el cambio z : z 0z 9 0. Resolvemos esta última y, una vez obtenidos los valores de z, sustituimos en el cambio para obtener los de : z Ecuaciones de grado superior a dos 9 3 z Por ejemplo, resolvamos la ecuación: Aplicamos Ruffini probando con los divisores del término independiente: Puedes comprobar que ya no eisten más raíces enteras. Por tanto la ecuación queda de la forma: Resolviendo la ecuación se obtiene las dos últimas raíces y soluciones de la ecuación original Por tanto, las soluciones de la ecuación son,, 3,, 3 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Página

3 Matemáticas I - º Bachillerato Ecuaciones irracionales y con la inco gnita en el denominador Una ecuación irracional es aquella que presenta la incógnita bajo el signo de una raíz. Habitualmente, a este nivel, la incógnita aparecerá bajo una raíz cuadrada. El procedimiento para resolver una ecuación irracional es el siguiente:. Aislamos el radical (aislar significa dejarlo solo en uno de los dos miembros de la igualdad).. Elevamos los dos miembros al cuadrado. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. Se comprueban los valores obtenidos para la incógnita en la ecuación inicial. Aquellos valores que no la cumplan no serán soluciones. En este caso la ecuación puede tomar aspectos muy distintos pero, como su nombre indica, la incógnita siempre aparece en el denominador. El procedimiento para resolverlas es el mismo que se utiliza en las de primer o segundo grado para conseguir su epresión reducida. Normalmente se multiplican todos los términos por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores para eliminar los mismos y se resuelve la ecuación resultante, que ha de adoptar alguna de las formas vistas aquí hasta ahora. Ecuaciones irracionales Resolver: 3 5 Aislamos el radical: 3 5 Elevamos los dos miembros al cuadrado: Ahora resolvemos la ecuación resultante, en este caso de º grado: Comprobamos los valores obtenidos para en la ecuación original: 8 Para 8 : Para : 3 5 Por tanto, solo es solución válida, ya que cumple la ecuación. Debemos descartar la solución 8. Ecuaciones con la incógnita en el denominador Resolver: 9 El mcm de los denominadores es. Multiplicando por el mismo todos los términos de la ecuación se eliminan los denominadores y tenemos: 9 Desarrollamos y resolvemos la ecuación resultante: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Página 3

4 Matemáticas I - º Bachillerato Sistemas de dos ecuaciones lineales y no lineales con dos inco gnitas Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se puede transforma a la forma reducida siguiente: a b y c a b y c donde a, b, c, a, b, c son números reales y, y son las incógnitas que hemos de despejar. Es de sobra conocido que eisten tres métodos para resolver este tipo de sistemas: sustitución, igualación y reducción. Se puede optar por resolver el sistema por el método que se crea más adecuado en cada caso. Eso sí, es conveniente epresar previamente el sistema en su forma reducida eliminando paréntesis y denominadores de ambas ecuaciones. En este caso alguna de las ecuaciones no es lineal, es decir, la o las incógnitas pueden ir elevadas a un eponente mayor o igual que dos, aparecer bajo el signo radical o encontrarse en el denominador de una fracción. Este tipo de sistemas se resuelven con mucha frecuencia aplicando el método de sustitución, aunque hay ocasiones en que se pueden aplicar cualquiera de los otros dos métodos. Si se opta por el método de sustitución el procedimiento más habitual es el siguiente:. Despejamos la incógnita que consideremos más fácil de aislar en la ecuación más sencilla.. Sustituimos esta incógnita en la otra ecuación. 3. Resolvemos la ecuación que nos quede, encontrando el valor o valores de una de las incógnitas. 4. Encontramos la otra incógnita a partir de la epresión que hemos hallado en el primer paso. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 3 y 3 4y 3 3 Resolver el sistema y Eliminamos paréntesis y denominadores, y epresamos el sistema en su forma reducida: 3 y y 3 30y3 4y 9 3 8y y 3 5 8y 3 Lo resolveremos por reducción. Multiplicamos la primera ecuación por 5 y la segunda ecuación por 3 : 5 50y y Sumando ambas tenemos: 74y 6 y Si multiplicamos la primera por 8 y la segunda por 0 podemos despejar la incógnita : 4 80y y Sumando ambas ecuaciones: Sistemas de dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas y 5 Resolver el sistema y 4 y 0 0 En este caso es muy fácil despejar en la primera ecuación: y 5 Sustituimos este valor en la segunda ecuación, desarrollamos y resolvemos la ecuación que nos quede: y 5 y 4 y 5 y 0 0 4y 0y 5 y 8y 0 y 0 0 5y 30y 5 0 y 6y 5 0 Las soluciones de esta última ecuación de º grado son: y 5, y Encontramos ahora las soluciones para epresión y 5: y y 5 3 sustituyendo en la Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Página 4

5 Matemáticas I - º Bachillerato Inecuaciones de primer grado y de segundo grado La forma reducida de una inecuación de primer grado con una incógnita es una desigualdad de uno de los siguientes cuatro tipos: a b ; a b ; a b ; a b donde a y b son números reales con a 0. Para resolver la inecuación despejamos la incógnita, tal y como se hace al resolver una ecuación de primer grado, teniendo en cuenta, al despejar finalmente la incógnita, (y esto es muy importante), que si a 0 cambia el sentido de la desigualdad. Por ejemplo, si al reducir la inecuación inicial nos queda a b con a 0 b entonces la solución de la inecuación es. a A veces se pide que se dé la solución de la inecuación en forma gráfica o de intervalo. La forma reducida de una inecuación de segundo grado con una incógnita es una desigualdad de uno de los siguientes cuatro tipos: a b c 0 ; a b c 0 ; a b c 0 ; a b c 0 La resolución de inecuaciones de segundo grado está relacionada con el número de raíces del polinomio a b c Si el polinomio tiene dos raíces, digamos r y r, entonces factorizará de la forma a r r Ahora es necesario estudiar el signo de cada uno de los factores (incluido el coeficiente a ) y del producto de r r ellos. Si, por ejemplo,, entonces la recta real la podemos dividir en tres trozos:, r ; r, r ; r, Tomando un valor fijo, pero arbitrario, de cada intervalo podemos estudiar el signo del producto y decidir si se cumple la desigualdad dada o no. Si se cumple, el intervalo correspondiente será solución, si no se cumple no lo será. Si el polinomio no tiene raíces reales no se podrá factorizar, con lo que las solución será todo, si un número real cualquiera cumple la desigualdad; o la inecuación no tendrá solución, en caso contrario. Inecuaciones de primer grado Resolver la inecuación: Eliminamos denominadores multiplicando todos los términos por el mcm de los mismos, que es 6 : Ahora, para despejar, hemos de dividir los dos miembros de la desigualdad entre 4, que es menor que cero, con lo que cambiará el sentido de la desigualdad: La solución, en forma de intervalo, es, 3 Inecuaciones de segundo grado Resolver la inecuación: En primer lugar eliminamos lo denominadores multiplicando todos los términos por 5, que es el mcm de los mismos: Ahora pasamos todos los términos al primer miembro y escribimos la inecuación en su forma reducida: Las raíces del polinomio Por tanto la inecuación equivalente así: son 7 y ( compruébese!) 54 0 se puede escribir de forma 7 0 Las raíces dividen a la recta real en tres trozos:, 7 ; 7,, ; Si sustituimos un valor cualquiera k del primer intervalo se puede apreciar que k 7k 0. Del mismo modo si k y k 3 son valores del segundo y tercer intervalo respectivamente se tiene que k 7k 0 y que k3 7k3 0. Así pues la solución de la inecuación es el intervalo 7,. Se cierra porque la desigualdad no es estricta y las soluciones de la ecuación 54 0 también son soluciones de la inecuación. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Página 5

6 Matemáticas I - º Bachillerato Inecuaciones de grado superior a dos. Inecuaciones racionales Una inecuación de grado superior a dos con una incógnita se ajusta a una desigualdad de uno de los siguientes cuatro tipos: p ; p 0 ; p 0 ; p 0 donde 0 p es un polinomio de grado mayor que dos. El procedimiento para resolver inecuaciones de grado superior a dos es eactamente el mismo que para resolver inecuaciones de segundo grado, solamente que hemos de añadir tantos factores como raíces del polinomio encontremos. La idea vuelve a consistir en el estudio del signo de los intervalos en los que se divide la recta real y cuyos etremos son las raíces del polinomio. El producto de los signos nos dará la clave para conocer si se satisface o no la desigualdad. La forma reducida de una inecuación racional con una incógnita ha de ajustarse a uno de los cuatro tipos siguientes: p 0 q p ; 0 q p ; 0 q p ; donde p y es una fracción algebraica. Inecuaciones de grado superior a dos 0 q q son polinomios, es decir, 3 Resolver la inecuación Aplicando la regla de Ruffini, encontramos que las raíces del 3 polinomio 4 0 son, de menor a mayor,,, y 3 con lo que la inecuación se puede epresar así: 3 0 Las raíces determinan los siguientes intervalos de la recta real:,,, 3,3,,, Ahora basta tomar un valor de cada intervalo y estudiar el signo de 3 : cada factor y del producto Si k, 3 0 Si k, 3 0 Si k3, Si k4 3, 3 0 Por tanto la solución de la inecuación es, 3,. Obsérvese como, en este caso, no se cierran los etremos, pues la desigualdad es estricta y, por tanto, no se incluyen las raíces, o lo que es lo mismo, las soluciones de la ecuación p 0. Inecuaciones racionales p q Para resolver una inecuación racional se pasan todos los términos al primer miembro y se realiza la operación con las fracciones algebraicas que aparezcan para, de este, modo, obtener la forma reducida de la inecuación. Una vez hecho esto se factorizan los polinomios p y q, y se procede como en el caso de las inecuaciones de segundo grado y de grado superior a dos. 3 Resolver la inecuación Pasamos todos los términos al primer miembro y realizamos la operación con las fracciones algebraicas Las raíces son:, 0,,. Los intervalos en que queda dividida 3 la recta real son, en este caso: 4, 3, 4, 3,, 0, 0,,, Estudiando, como en el caso anterior, los signos para un valor de cada intervalo, es muy fácil concluir que la solución es: 4, 0, 3 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Página 6

7 Sistemas de inecuaciones con una inco gnita Matemáticas I - º Bachillerato Un sistema de inecuaciones con una incógnita está formado por dos o más inecuaciones, ya sean de primer grado, de segundo grado, de grado mayor que dos o incluso racionales. El procedimiento para resolver un sistema de inecuaciones con una incógnita consiste en calcular las soluciones de cada inecuación por separado y representarlas en la recta real. La solución del sistema es la solución común a todas ellas Resolver el sistema de inecuaciones siguiente: 9 3 Resolvamos la primera inecuación: de 9 5 son Las raíces 5 0. y 5. Por tanto la inecuación se puede escribir así: Como las raíces determinan los intervalos de la recta real epresión 5,,,5 en cada uno de ellos. Obsérvese el siguiente gráfico:, 5,, estudiamos el signo de la En el gráfico se detalla el signo que toma la epresión anterior en cada intervalo. El signo quiere decir que la epresión es mayor que cero y el signo quiere decir que la epresión es menor que cero Los circulitos huecos indican que los correspondientes valores no son soluciones (en este caso no los son porque la desigualdad es estricta, no incluye el igual). Se ha indicado con un trazo más grueso la solución de la inecuación, que en este caso es, 5, Resolvamos ahora la segunda inecuación: Tanto el numerador como el denominador son polinomios de grado uno y por tanto no hay que proceder a realizar ninguna factorización: claramente las raíces del numerador y del denominador son, respectivamente, 3 y. Procedemos ahora a realizar un gráfico similar al realizado anteriormente: En este caso la solución es, 3,. Para conocer la solución del sistema superponemos ambas soluciones gráficas y nos quedamos con la parte común, que en la siguiente figura se ha sombreado. De aquí se deduce que la solución del sistema es, 5,. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Página 7

8 Ecuaciones eponenciales Matemáticas I - º Bachillerato En una ecuación eponencial la incógnita se encuentra en el eponente. No hay un procedimiento concreto para resolverlas, pero sí que es importante conocer y aplicar las propiedades de las potencias, de las raíces y, en su caso, de los logaritmos. Normalmente nos podemos encontrar con cuatro casos. Conseguir que los dos miembros de la ecuación tengan la misma base. Aplicar un cambio de variable. Etraer factor común. Aplicar logaritmos. Veamos algunos ejemplos que aclaren cada uno de los casos que se puedan presentar. Resolver la ecuación 4 6 En este caso epresar todos los factores en base. Luego aplicamos las propiedades de las potencias para simplificar: m n Ahora usamos que si a a m n : Resolver la ecuación Esta ecuación es más complicada pero se procede como en el ejemplo anterior, utilizando las propiedades de las potencias: / / / Resolver la ecuación En este caso no podemos recurrir al método empleado anteriormente. Proponemos pues un cambio de variable. Para ello llamaremos 3 t, con lo que t. Aplicando el cambio tenemos: t 0t 9 6 t 0t 9 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos dos soluciones para t : t, t 9 obtenemos las soluciones para : t ; t Resolver la ecuación 3 0 En este caso vamos a etraer factor común (aunque con un cambio de variable también se podría resolver):. Deshaciendo el cambio Como último ejemplo resolveremos la ecuación eponencial Ahora no podemos aplicar ninguno de los métodos anteriores. Aplicamos logaritmos teniendo en cuenta sus propiedades log5 log3 log5 log3 log5 log5 log3 log3 log5 log3 log5 log3 log 5 log 3 log 5 log 3 log 5 log 3, 77 log 5 log 3 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Página 8

9 Ecuaciones logarí tmicas Matemáticas I - º Bachillerato En una ecuación logarítmica la incógnita está afectada por un logaritmo. Al igual que ocurría con las ecuaciones eponenciales, no hay un procedimiento concreto para resolver una ecuación logarítmica, pero debemos conocer y aplicar con criterio las propiedades de los logaritmos. En general la estrategia para resolver ecuaciones logarítmicas consiste en transformar la ecuación hasta que los dos miembros de la igualdad estén epresados mediante el mismo logaritmo y luego aplicar que si log m log n, entonces m n. Para ello se aplican las propiedades de los logaritmos y, si algún término es un número se epresa mediante un logaritmo utilizando k que k log a. a Finalmente, una vez resuelta, se deberá comprobar que la solución no provoque la eistencia de un logaritmo de un número negativo o de 0. Resolver la ecuación log log 4 log 5 En primer lugar transformamos los números en logaritmos: log log0 log 4 log 5 Ahora usamos las propiedades de los logaritmos: log log0 log 4 log5 log0 log 0 Ya tenemos los dos términos igualados a un mismo logaritmo, por tanto: Ahora comprobamos las soluciones sustituyéndolas en la ecuación original. Recuérdese que un logaritmo, o bien de 0, o bien de un número negativo no eiste. 0 log0 log 4 log0 log log 4 log0 Esto indica que solamente es solución (con la calculadora se puede comprobar que primer y segundo miembro son iguales). Resolver la ecuación 5 9 log log5 3 Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos: log log5 3 log log5 log0 log 5 log000 Ya tenemos los dos términos igualados a un mismo logaritmo, entonces: Resolviendo la ecuación de segundo grado tenemos que las soluciones son a, 3 a. Ambas son también soluciones de la ecuación logarítmica inicial pues, evidentemente, al no se obtiene ningún logaritmo de cero o de un número negativo. Resolver la ecuación logarítmica log 3 log 3 log5 Aplicando de nuevo las propiedades de los logaritmos tenemos: 3 0 log 3 log 3 log 5 log 3 log 3 log0 log 5 log log Esta solución es solución de la ecuación logarítmica inicial pues, sustituyendo en la misma, se obtiene: log log log 5 log log log Epresión esta última que tiene sentido pues se trata de realizar logaritmos de números positivos. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Página 9

10 Matemáticas I - º Bachillerato Sistemas de ecuaciones eponenciales y logarí tmicas Son sistemas con dos incógnitas formados por ecuaciones eponenciales o logarítmicas o ambas. Para resolver este tipo de sistemas se utilizan los conocimientos anteriores de las ecuaciones eponenciales y logarítmicas, con el objetivo de reducirlos a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, habitualmente no lineal. Normalmente el método que se aplica es el de sustitución. Veamos un par de ejemplos. log log y Resuelve el sistema log log y Aplicamos las propiedades de los logaritmos para obtener ecuaciones no logarítmicas en el sistema: log log y log log y log0 log y log0 y 0 log log y log log y log log y y Observa que ya hemos reducido el sistema original a un sistema no lineal con dos incógnitas. Despejamos, por ejemplo, de la 0 primera ecuación, la incógnita y : y, y la sustituimos en la segunda ecuación Esta última es una ecuación bicuadrada. Efectuando el cambio de variable z z, resulta la ecuación de segundo grado: z00 0, cuyas soluciones son z 5, z 4. La segunda de las soluciones no proporciona soluciones para. Si z 5, entonces tenemos dos soluciones para : 5, 5. Hemos de descartar la última de ellas pues da lugar a logaritmos negativos, que no tienen sentido. Finalmente si 5, obtenemos Resuelve el sistema y 3 7 y y y, que es la solución del sistema planteado inicialmente. 5 En este caso se trata de un sistema de ecuaciones eponenciales. Si aplicamos los cambios caso un sistema lineal: De la segunda ecuación Sustituyendo en la primera: Por tanto: ab 7 a b 8 a 8 b 8 b b 7 6 4b b 7 3b 9 b 3 a a Ahora deshacemos los cambios de variable realizados al principio: a y y 3 b 3 3 y a y y b nos queda en este Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Página 0