XI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

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1 XI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definición L hipérol es el lugr geométrico descrito por un punto P que se mueve en el plno de tl modo que el vlor soluto de l diferenci de sus distncis dos puntos fijos del plno F ' y F (llmdos focos), es siempre un cntidd constnte. Esto es PF' PF = NOTACIONES L hipérol const de dos rms diferentes y de longitud infinit, en donde: AA'=, eje focl o eje trnsverso (o eje rel). FF'= c, distnci focl. BB'=, eje conjugdo (o eje imginrio). El punto medio de FF ' es el centro C de l hipérol. CA ' = CA = ; CB ' = CB = ; CF ' = CF = c. Pr que hy hipérol es necesrio que c >. L cuerd que ps por un foco y es perpendiculr l eje focl se llm ldo recto ( LR ) o ncho focl. Ls digonles del rectángulo prolongds se llmn síntots de l hipérol. L relción entre, y c, por el teorem de Pitágors es c = +. Si =, l hipérol se llm EQUILÁTERA. c L relción e = es l excentricidd de l hipérol. 63

2 11.. CONSTRUCCIÓN DE UNA HIPÉRBOLA CON REGLA Y COMPÁS Pr construir un hipérol con regl y compás, suponemos conocidos los focos F, F', l cntidd constnte y el procedimiento es como sigue: ) Se otiene el punto medio de F, F' que es el centro C de l hipérol. ) Por el centro C se trz l perpendiculr F, F' (que es el eje conjugdo). c) A prtir del centro C, se señln los vértices A, A' que están l distnci de C o se que CA ' = CA =. d) Se construye el rectángulo de los ejes trnsverso y conjugdo y se trzn ls digonles que son ls síntots de l hipérol. e) Se mrcn puntos culesquier l derech de F y l izquierd de F ', por ejemplo los simétricos P 1, P1 ', P, P ', P3, P3 ', P, P ', P5, P5 ', f) Con centro en los focos y rdios A ' P, AP 1 1, se otienen ls intersecciones 1 que son puntos de l hipérol y que 1 F' 1F = AA' =, repitiendo esto con los rdios A ' P, AP, A' P3, AP3, A' P, AP, A' P5, AP5, se otienen ls intersecciones,3,, 5, que uniéndolos con trzo continuo, se otiene l curv. 6

3 11.3. FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE ALGUNO DE LOS EJES COORDENADOS Consideremos un hipérol con y c conocidos, uicd en un sistem de coordends crtesins rectngulres, cuyo centro coincide con el origen de coordends C ( 0,0), sus focos están sore el eje x cuys coordends son F' ( c,0) y F ( c,0) y se P ( x, y) un punto culquier de l hipérol (que puede estr sore l rm izquierd o sore l derech sin que esto ltere l definición de hipérol) uicdo sore l rm derech como se muestr en l figur y que de cuerdo con l definición este punto P estrá situdo en l hipérol dd si y solo si PF' PF =, expresándol nlíticmente: si PF ' = ( x + c) + y ; PF = ( x c) + y ( x + c) + y ( x c) + y = Aislndo el primer rdicl en el primer miemro, elevndo l cudrdo, hciendo operciones y reduciendo términos semejntes se tiene: ( x + c) + y = + ( x c) + y ( x + c) + y = + ( x c) + y + ( x c) + y ( x c) + y + x cx + c x + cx + c + y = + + y ( x c) cx = + y ( x c) y cx = + elevndo l cudrdo y reduciendo términos semejntes: [ y ] ( ) = ( x c) cx + c x cx + = x cx + c + y c x x y = c fctorizndo: ( c ) x y = ( c ) De l sección 11.1, l relción entre =, despejndo c +, y c por el teorem de Pitágors es = c y sustituyendo en l expresión nterior, se tiene: x y = dividiendo entre x y x y ; = 1 : = L expresión es l FORMA ORDINARIA de l ecución de l hipérol con centro en el origen y eje focl sore el eje x. 65

4 Con ls misms condiciones nteriores, pero con el eje focl coincidiendo con el eje y, procediendo nlíticmente en l mism form se y x otiene l ecución = 1 que es l FORMA ORDINARIA de l ecución de l hipérol con centro en el origen y eje focl sore el eje y. L ecuciones y contienen sólo potencis pres en ls vriles x y y, l hipérol que determinn cd un de ells es SIMÉTRICA respecto cd uno de los ejes coordendos y l origen, por lo que l osquejr su gráfic es suficiente considerr solmente l prte que está situd en el primer cudrnte y provechndo su simetrí se puede completr el osquejo de su gráfic. Not: Si en ls ecuciones y, los semiejes y son igules ( = ), ls hipérols resultntes se llmn EQUILATERAS, y que el rectángulo principl de l hipérol equiláter es un cudrdo y por lo tnto sus síntots son perpendiculres entre sí. x o ien y y = 1 x y = o ien x = 1 y x = 66

5 x y Dos hipérols en un mismo sistem de coordends con ecuciones = 1 y x = 1 se llmn hipérols CONJUGADAS entre si. y y = ± c = ± = ± ; es pr R c Los ELEMENTOS de l hipérol referidos l sistem de coordends x, y son: Si l hipérol es horizontl: x y = 1; C ( 0,0) ; A (,0) ; B ( 0,); F ( c,0), pr determinr ls coordends de L, despejmos y de l ecución : y = ± x, hciendo x = c se tiene y = es pr L c, ; y =,. Por simetrí de l hipérol se tiene: A' (,0) ; B' ( 0, ) ; F' ( c,0) L ' c, ; R c, ; Ecución de ls síntots: y = x ; y = x. Ecución del eje focl (trnsverso): y = 0 (eje x ). c Excentricidd: e = 67

6 y x Si l hipérol es verticl: = 1 A ( 0,) B (,0) ; F ( 0,c) ; L, c A 0, ',0 F' 0, c ; ; C ( 0,0) ; Por simetrí: '( ); B ( ); ( ) L ', c R, c ; R ', c Ecución síntots: y = x ; y = x. Ecución del eje focl: x = 0 (eje y ). Ecución del eje conjugdo: y = 0 (eje x ). c Excentricidd: e = L EXCENTRICIDAD de l hipérol es un crcterístic de l form de su rectángulo principl y por consiguiente de l form de l mism hipérol, quedndo determind por l relción de l distnci entre los focos de l hipérol FF ' l c distnci entre sus vértices A' A, quedndo indicd por e =, como en l hipérol c >, se tiene que est relción siempre es myor que uno o se que e > 1, cunto más cercno es uno est vlor, será más lrgdo su rectángulo principl en dirección de su eje focl, en el cso de l hipérol equiláter, est relción es e =. 68 EJEMPLOS En cd inciso del 1 l 3 se d l ecución de un hipérol, se pide otener sus elementos y osquejr su gráfic. 1) x y = x y L ecución dd es de l form = 1 (hipérol horizontl). Pr que el osquejo de l hipérol se hg rápidmente, se recomiend construir primero el rectángulo principl, en seguid, trzr ls síntots (ls digonles), luego los elementos del primer cudrnte, pr después, provechndo l simetrí de l hipérol completr su osquejo. De l ecución dd: = 16 ; = ; = 9 ; = 3, como c = + ; c = = 5; c = 5; 9 9 =, por lo tnto, sus elementos son: C ( 0,0) ; A (,0) ; B ( 0,3) ; F ( 5,0) ; L 5,

7 Por simetrí: A '(,0) ; B '( 0, 3) ; '( 5,0) F ; L ' 5, ; R 5, ; R ' 5, 3 3 Ecución síntots: y = x ; y = x. Ecución del eje focl (trnsverso): y = 0 (eje x ). Ecución del eje conjugdo: x = 0 (eje y ). 5 Excentricidd: e = ) y x = y x L ecución dd es de l form = 1 (hipérol verticl), = 16 ; = ; = 9 ; = 3, como 9 c = + ; c = = 5; c = 5; =, por lo tnto, 0, 3,0 F 0,5 ; sus elementos son: ( 0,0) C ; A ( ); B ( ); ( ) 9 L,5 Por simetrí: A '( 0, ) ; B '( 3,0) ; F '( 0, 5) ; 9 L ',5 ; 9 9 R, 5 ; R ', 5 Ecución síntots: y x 3 y = 3 x. Ecución del eje focl : x = 0 (eje y ). Ecución del eje conjugdo: y = 0 (eje x ). 5 Excentricidd: e = 69

8 3) x y = L ecución dd es de l form: x y = 1 (horizontl) como = = o se = = 5 se trt de un hipérol equiláter c = + = = 50 ; c = 5 5 = = 5 5 y los elementos son: C ( 0,0) 5,0 0,5 5,0 L 5,5 A ( ); B ( ); F ( ); ( ) A ; B '( 0, 5) ; '( 5,0) L '( 5,5) ; R ( 5, 5) ; R '( 5, 5) Por simetrí: '( 5,0) F ; Ecución síntots: y = x ; y = x. Ecución del eje focl (trnsverso): y = 0 (eje x ). Ecución del eje conjugdo: x = 0 (eje y ). Excentricidd: e = ) Otener l ecución de l hipérol con centro en el origen, LR = 3, semieje trnsverso = 6 y eje focl sore el eje y. De cuerdo con l informción dd, l ecución de l hipérol es de l form: y x = 1 (verticl), si = 6 y LR = = 3; = 3 6 = 9 ; = 3 ; c = + ; c = = 5 ; c = 3 5 ecución y x = , los elementos son: C ( 0,0 ) ; ( 0,6) 3 F ( 0,3 5) ; L,3 5. Por simetrí: '( 0, 6) F '( 0, 3 5) ; L ', 3 5 ; R,3 5 ; R ', 3 5 Ecución síntots: y = x ; y = x. Ecución del eje focl : x = 0 (eje y ). Ecución del eje conjugdo: y = 0 (eje x ). 3 5 Excentricidd: e = 6 = 5 A ; B ( 3,0) A ; B '( 3,0) 70

9 5) Otener l hipérol conjugd de y x = Ls hipérols conjugds comprten los mismos ejes, de tl modo que el eje focl de un es el conjugdo de l otr y el conjugdo de l primer es el focl de l otr. L ecución de l hipérol conjugd es: x y = (horizontl), donde = 9 ; = 3; = 36 ; = 6 ; c = + ; c = = 5 ; 36 c = 3 5 ; = = 1 3 0,6 3 5,0. Elementos: C ( 0,0) ; A ( 3,0) ; B ( ); F ( ); L ( 3 5,1) A ; B '( 0, 6) ; '( 3 5,0) L '( 3 5,1) ; R ( 3 5, 1) ; R '( 3 5, 1) Por simetrí: '( 3,0) F ; Ecución síntots: y = x ; y = x. Ecución del eje focl: y = 0 (eje x ). Ecución del eje conjugdo: x = 0 (eje y ). 3 5 Excentricidd: e = = 5 3 EJERCICIOS En cd uno de los incisos del 1 l 3, se d l ecución de un hipérol, oteng sus elementos y osqueje su gráfic. 1) y x = 1 9 ) x y = ) y x = ) Otener l ecución de l hipérol con centro en el origen, = 6, e = y el eje focl 3 sore el eje y. 5) Otener l ecución de l hipérol conjugd de y x = 1, sus elementos y 36 8 osquejr su gráfic. 71

10 11.. FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y EJE FOCAL PARALELO A ALGUNO DE LOS EJES COORDENADOS x y y x En form nálog l elipse, ls ecuciones = 1 y = 1 nos muestrn l siguiente PROPIEDAD ESENCIAL de l hipérol, que sirve pr otener su ecución en culquier posición. En est sección nos limitremos únicmente hipérols horizontles y verticles con centro fuer del origen. PROPIEDAD ESENCIAL: En ls ecuciones y, el primero y segundo términos significn: ( L dis tn ci de un punto culquier " P" de l hipérol l eje conjugdo) ( Mgnitud del semieje trnsverso) ( L dis tn ci de un punto culquier " P" de l hipérol l eje trnsverso) ( Mgnitud del semieje conjugdo) Apliquemos est propiedd pr otener l ecución de l hipérol con centro fuer del origen y ejes prlelos los ejes coordendos: ) Si el centro tiene coordends ( h k) C, y el eje focl es prlelo l eje x como se muestr en l figur, l plicr l propiedd esencil se tiene: ) Si el centro tiene coordends ( h k) ( PQ) ( PR) ( i) = 1 donde PQ = x h ; PR = y k sustituyendo en ( i ): ( x h) ( y k) = 1 Est es l ecución de l hipérol en form ordinri con centro C ( h, k) y eje focl prlelo l eje x (hipérol horizontl). C, y el eje focl es prlelo l eje y como se muestr en l figur, plicndo l propiedd esencil se tiene: 7

11 ( PQ) ( PR) ( ii) = 1 donde PQ = y k ; PR = x h sustituyendo en ( ii ): ( y k) ( x h) = 1 es l ecución de l hipérol en form ordinri con centro C ( h, k) y eje focl (trnsverso) prlelo l eje y (hipérol verticl). Si ls coordends del centro fuern C ( 0,0), ls ecuciones y se reducirán ls ecuciones y : ( x 0) ( y 0) ( y 0) ( x 0) = 1 = 1 x y = 1 y x = 1 EJEMPLOS x y ) L ecución de un hipérol es ( ) ( ) 1 osquejr su gráfic. =, otener sus elementos y L ecución dd es de l form: ( x h) ( y k) = 1 (hipérol horizontl), l cul nos proporcion los siguientes dtos: ls C h, k =,3 ; = 9 ; = 3; coordends del centro ( ) ( ) = 16 ; = ; y como c = + ; c = = 5 c = 5. Con estos dtos y podemos clculr los elementos de l hipérol pr osquejr su gráfic en form nálog ls hipérols de l form y. A prtir del centro C (,3), se construye el rectángulo principl y se trzn sus digonles (síntots) luego se uicn sus elementos prtir del centro y en form nálog como en ls ecuciones de l form y. C ( h, k) = (,3) ; A ( h +, k ) = ( 5,3) ; B ( h, k + ) = (,7) ; ( h + c, k ) = ( 7,3) 5 F ; L h + c, k + = 7,. 3 73

12 Por simetrí: A '( h, k) = ( 1,3) ; B '( h, k ) = (, 1) ; F '( h c, k) = ( 3,3) L ' h c, k + = 3, ; R = 3 h + c, k 7, ; R ' = 3 h c, k 3,. 3 Ecución de ls síntots: son rects que psn por el punto C (,3) y que tienen pendiente 1 17 m = ± = ± o se: y 3 = ± ( x ) ; y = x + y y = x Ecución del eje focl (o trnsverso): y = 3 (rect horizontl). Ecución del eje conjugdo: x = (rect verticl). c 5 Excentricidd: e = = 3 ) Otener l ecución y el osquejo de l gráfic de l hipérol con centro ( 1, 3) vértices A ( 1, 1), B (,3). De cuerdo con l informción dd, l ecución de est hipérol es de l form: ( y k) ( x h) = 1 (hipérol verticl), en donde CA = ; = ; CB = ; = 3 y 9 c = + = + 9; c = 13 ; = ; l ecución es: ( ) ( ) y + 3 x 1 = 1. 9 h, k = 1, 3 A h, k + = 1, 1 Elementos: C ( ) ( ); ( ) ( ) ( h +, k) = (, 3) F h, k + c = 1, B ; ( ) ( ) 11 L h +, k + c =, ' h, k = 1, 5 Por simetrí: A ( ) ( ); '( h, k) = (, 3) B ; '( h, k c) = ( 1, 3 13) 11 7 L ' h +, k c =, 3 13 ; R = + h, k + c, 3 13 ; 7 R ' h, k c =, Ecución síntots: y + 3 = ± ( x 1) ; y = x y y = x Ecución eje focl: x = 1 (rect verticl). Ecución eje conjugdo: y = 3 (rect horizontl). c 13 Excentricidd: e = = F ; C y 7

13 3) Otener l ecución de l hipérol con extremos del eje trnsverso A '(,3), (,3) foco ( 1+ 3,3) F y osquejr su gráfic. Elementos: C ( 1,3) ; A (,3) ; ( 1,6 ) Por simetrí: A '(,3) ; '( 1,6 ) ' 1 Ecución síntots: 3 = ± 1( x 1) A, De cuerdo con l informción dd, l ecución de l ( x h) ( y k) hipérol es de l form = 1 (hipérol horizontl). El centro de l hipérol es el punto x A' + x A y A' + y A medio del segmento A' A: C, = ( 1,3) CA = = 1 = 3; CF = c = ; c = 3 9 si c = + ; = c = 18 9 = 9 ; = 3 ; = = 3 3 como = ; 3 = 3. L hipérol es equiláter y su ecución x 1 y ,3 L 1+ 3,6. es: ( ) ( ) = 1 B ; F ( ); ( ) B ; F ( 3,3) ; L '( 1 3,6) ; R ( 1+ 3,0) ; R '( 1 3,0) y ; y = x + ; y = x + Ecución eje trnsverso: y = 3. Ecución eje conjugdo: x = 1. Excentricidd: e = ) Otener l ecución de l hipérol con centro C ( 5,), foco F ( 5,7) osquejr su gráfic., excentricidd 5 e = y 3 De cuerdo con los dtos del prolem, l ecución de ( y k) ( x h) l hipérol es de l form = 1 (hipérol verticl). El segmento CF = c = 7 ; c = 5 c 5 Si e = = ; = 3; = c = 5 9 = 16 ; = 3 16 =. Ecución: ( ) ( ) y x 5 = Elementos: C ( 5,) ; A ( 5,5) ; B ( 9,) ; F ( 5,7) ; L,7. 3 ' 5, 1 ' 1, F ' 5, 3 Por simetrí: A ( ); B ( ); ( ) L ', ; R, 7 ; R ',

14 3 Ecución síntots: y = ± ( x 5) ; Ecución eje trnsverso: x = 5. Ecución eje conjugdo: y =. 5 Excentricidd: e = y = x ; y = x + 5) Otener l ecución de l hipérol que stisfg ls condiciones indicds en l siguiente gráfic, y sus elementos. L ecución de l hipérol es de l form A simple vist podemos decir que C ( 6,) ; ( 10,) ( x h) ( y k) 6,6 = y como c = + = 16 + = 0 ; c = 5 ; = , 6 + 5,5, A ; B ( ); A '( ); '( 6,) = 1 (hipérol horizontl). B, por lo tnto = ; x 6 y 16 5, L ' 6 5,5 ; ; ecución: ( ) ( ) = 1 Los elementos restntes son: F ( ); L ( ); F '( 6 ); ( ) R ( 6 + 5,3) ; R '( 6 5,3) Ecución síntots: y = ± ( x 6) ; y = x + 1 ; y = x + 7 Ecución eje trnsverso: y =. Ecución eje conjugdo: x = Excentricidd: e = = 76

15 EJERCICIOS 1) Oteng los elementos de l hipérol ( y 3 ) ( x + 3 ) = 1 y osque su gráfic. 9 9 ) Otener l ecución, los elementos y el osquejo de l gráfic de l hipérol con vértices A ( 8, ), A '(, ) y LR = 3. 3) Un hipérol tiene centro C ( 5,0), foco F ( 9,0), excentricidd e =, oteng su ecución, sus elementos y osqueje su gráfic. B 6,, su centro ) Un extremo del eje conjugdo de un hipérol tiene coordends ( ) 1 C ( 3,) y L,9, oteng l ecución, sus elementos y osqueje su gráfic. 5) Oteng l ecución y los elementos de l hipérol que stisfg ls condiciones indicds en l siguiente gráfic FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON EJES PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS En form nálog l elipse, si en ls ecuciones ( y k) ( x h) ( x h) ( y k) = 1 multiplicmos por, desrrollmos los cudrdos, trsponemos y ordenmos términos, otenemos l ecución en FORMA GENERAL de l hipérol Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 cuyos ejes son prlelos los ejes coordendos, donde los coeficientes A y C son de signo contrrio, los coeficientes de primer grdo D y E indicn que el centro de l hipérol está fuer del origen, si D = 0 el centro está sore el eje y, si E = 0 estrá sore el eje x, el término independiente F indic que l hipérol no ps por el origen y si F = 0 entonces si ps por el origen. = 1 y 77

16 Recíprocmente, cundo l ecución de un hipérol es dd en form generl, puede otenerse su form ordinri medinte el método de completr cudrdos y sí conocer sus elementos pr osquejr su gráfic. EJEMPLOS En cd inciso se d l ecución de un hipérol en form generl, otener su form ordinri, sus elementos y osquejr su gráfic. 1) 16x 9y + 6x + 5y 161 = 0 Se orden l ecución dd como sigue: 16x + 6x 9y + 5y = 161 fctorizndo y completndo cudrdos: 16 x + x 9 y 6y = 16 ( ) ( ) 161 [ x + x + ( ) ] 9 y 6y + ( 3) ( x + ) 9( y 3) = 1 16 dividiendo entre 1 : [ ] = ( x + ) 9( y 3) = 1 1 ( x + ) ( y 3) = 1; ( x + ) ( y 3 ) = 1 Form ordinri = 9 ; = 3; 16 = 16 ; = ; c = + = = 5 ; c = 5; = 3 5 F ; L 3, 3 Por simetrí: A '( 5,3) ; B '(, 1) ; F '( 7,3) ; L ' 7, 3 ; R 3, ; R ' 7, Ecución síntots: y 3 = ± ( x + ) ; y = x + ; y = x Ecución eje trnsverso: y = 3. Ecución eje conjugdo: x =. 5 Excentricidd: e = 3 Elementos: C (,3) ; A ( 1,3) ; B (,7) ; ( 3,3) 78

17 ) y x + 1x 50 = 0 Oservr que en l ecución dd no prece el término de primer grdo en y, o se que el coeficiente E = 0, por lo tnto el centro de l hipérol estrá sore el eje x. Dividiendo l ecución dd entre se tiene: y x + 6x 5 = 0 fctorizndo y completndo cudrdos: y x 6x + 3 = 5 y ( ()) 9 ( 3) 16 y ( 3) x = dividiendo entre 16: x = 1 form ordinri, se trt de un hipérol equiláter verticl, en donde = = 16 ; = = ; c = + = 3 ; c = ; = Elementos: C ( 3,0) ; A ( 3,) ; B ( 7,0) ; F ( 3, ) ; L ( 7, ) Por simetrí: A '( 3, ) ; B '( 1,0 ); F '( 3, ) ; '( 7, ) Ecución síntots: y = ±1( x 3) ; y = x 3; y = x + 3 Ecución eje trnsverso: x = 3. Ecución eje conjugdo: y = 0 (eje x ). Excentricidd: e = 3) 3x 1y 8y 60 = 0 L ; R ( 1, ) ; R '( 1, ) Como no hy término en x, el coeficiente D = 0, l hipérol tendrá su centro sore el eje y. Dividiendo l ecución dd entre 3 se otiene: x y 16y 0 = 0 fctorizndo y completndo cudrdos: x y + y = x x ( ) 0 ( y + y + ( ) ) = 0 16 ( y + ) = Dividiendo entre : x y ( + ) 1 x ( + ) y = = 1 Form ordinri, es l ecución de un hipérol horizontl, donde: 79

18 Ecución síntots: + = ± ( x 0) = ; = ; = 1; = 1; 1 c = + = + 1; c = 5 ; = 0,, B 0, 1 ; Elementos: C ( ); A ( ); ( ) ( 5, ) F ; L 3 5, ', Por simetrí: A ( ); '( 0, 3) ( 5, ) B ; 3 5 F ' ; L ' 5, ; R 5, ; 5 R ' 5, y ; y = x ; y = x Ecución eje trnsverso: y =. Ecución eje conjugdo: x = 0 (eje y ). Excentricidd: e = 5 ) y x + 8x + 16y = 0 L ecución dd crece de término independiente ( F = 0 ), por lo tnto se trt de un hipérol que ps por el origen. Dividiendo l ecución dd entre se otiene: y x + x + 8y = 0, ordenndo, fctorizndo y completndo cudrdos: y + 8y x + x = 0 ( y + y + ( ) ) x x + ( ) ( y + ) ( x ) = ( ) = 8 y + x = Dividiendo entre : ( ) ( ) ( y + ) ( x ) = 1 Form ordinri, es l ecución de un hipérol verticl, donde: = ; = ; = ; = ; c = + = + = 6 ; c = 6 ; =,, +,, + 6 L +, + 6 Elementos: ( ) A ; ( ) C ; ( ) B ; F ( ); ( ) 80

19 Por simetrí: '(, ) R '(, 6) A ; '( 0, ) B ; F '(, 6) ; L '( +, 6) ; (, + 6) Ecución síntots: y + = ± ( x ) ; y = x ; y = x + Ecución eje trnsverso: x = Ecución eje conjugdo: y = Excentricidd: e = 3 R ; 5) 16x y 6 = 0 L ecución dd crece de términos de primer grdo o se que D = E = 0, por lo tnto se trt de un hipérol con centro en el origen. Ordenndo términos y dividiendo entre 6: x 6 16 y 6 = 6 6 Ecución síntots: y = x ; y = x Ecución eje trnsverso: y = 0 (eje x ). Ecución eje conjugdo: x = 0 (eje y ). Excentricidd: e = 5 x y = 1 16 Form ordinri, es l ecución de un hipérol horizontl, donde: = ; = ; = 16 ; = ; c = + = 0; c = 5 ; = 8,0 B 0, ; Elementos: ( 0,0) F ( 5,0) ; L ( 5,8) C ; A ( ); ( ) Por simetrí: A '(,0) ; '( 0, ) B ; F '( 5,0) ; L '( 5,8) ; ( 5, 8) R '( 5, 8) R ; 81

20 EJERCICIOS En cd inciso se d l ecución de un hipérol en form generl, oteng su form ordinri, sus elementos y osqueje su gráfic. 1) 9y 16x 6x 5y 17 = 0 ) 3x 3y x + 1 = 0 3) y x + 16y + 1 = 0 ) x y 8x + 8y = 0 5) y x = 0 8