lanzamos una moneda y él ganó".

Transcripción

1 4. Varable aleatora dscreta El msmo Doob eplcaba el orgen del térmno varable aleatora random varable: "Cuando estaba escrbendo m lbro [Stochastc Processes] tuve una dscusón con Wllam Feller. Él aseguraba que todo el mundo decía "varable aleatora" random varable, mentras que yo sostenía que se usaba "varable al azar" chance varable. Obvamente, debíamos usar el msmo nombre en nuestros lbros, así que optamos por tomar la decsón medante un procedmento aleatoro: lanzamos una moneda y él ganó".

2 Varable aleatora Una varable aleatora es una funcón que asoca a cada suceso del espaco muestral E de un epermento aleatoro un valor numérco real: : E R w w Llamar varable a una funcón resulta algo confuso, por ello hay que nsstr en que es una funcón. La varable aleatora puede ser dscreta o contnua. Veremos en este capítulo el caso dscreto.

3 Ejemplo de varable aleatora dscreta: Número de caras al lanzar 3 monedas. Elementos del espaco muestral C +C+ C++ CC+ C+C +CC CCC Ley de correspondenca Nº reales # de caras 0 3 caras Establecer una varable aleatora para un epermento aleatoro no es más que una manera de asgnar de "manera natural" números a los eventos. : E w R w 3

4 Voy a pensar un número entero del al 00. Qué numero será? Intentaremos representar el estado de ncertdumbre medante una funcón matemátca: la funcón de probabldad. P Funcón de probabldad /

5 Dstrbucón unforme dscreta En muchos casos asummos que todos los resultados de un epermento aleatoro son gualmente posbles. S es una varable aleatora que representa los resultados posbles del epermento, decmos que se dstrbuye unformemente. S el espaco muestral consta de n sucesos smples, 0 < n <, entonces la funcón de probabldad dscreta se defne como p /n para todo del espaco muestral. En un ordenador podemos generar una dstrbucón de valores con esta probabldad con: + nt [n rnd] 5

6 Supongamos que me preguntás s es par. Y respondo que no. Cómo modfca la funcón? P / Os pdo una pregunta de modo que m respuesta genere una funcón de ncertdumbre, de probabldad, tal que los valores del espaco muestral posbles con probabldad dstnta de cero no tengan todos la msma probabldad. Son váldas: Tene dos cfras el número? o Es un número prmo?? 6

7 Funcón de probabldad o dstrbucón Una vez defnda una varable aleatora, podemos defnr una funcón de probabldad o dstrbucón de probabldad asocada a, de la sguente forma: p : R [0,] p P La funcón de probabldad debe cumplr: 0 p p R Suma sobre todos los posbles valores que puede tomar la varable aleatora. 7

8 Funcón de probabldad dscreta Valores Probabldad Z 0 /4 0.5 Z Z : E w Z R w / /4 0.5 p : R [0,] p P 8

9 Requermentos de una dstrbucón de probabldad P P P p para todo p 9

10 Observa que aun s el espaco muestral es nfnto numerable, tambén podemos defnr una varable aleatora dscreta y una funcón de probabldad. Ejemplo: Sea Número de lanzamentos de una moneda antes de que aparezca una cara. Entonces: P PC / P P+C / / /4 P 3 P++C / / / /8... y en general P n / n, n,, Demuestra que está normalzada. 0

11 Sea el epermento lanzar dos dados. Defnamos el espaco muestral E como: E {,,,,...,6,...,5,6,6,6} Defnamos la varable aleatora dscreta como: con S {,3,...,} la suma de puntos. Una posble funcón de probabldad es: f : R [0,] f P P, / 36 f 3 P 3 P,, / 36 f 4 P 4 P 3, 3,, 3/ 36...

12 Funcón de probabldad de la varable aleatora P 5/36 6/36 5/36 4/36 4/36 3/36 3/36 /36 /36 /36 / Observa que cumple las dos condcones: es sempre postva y menor o gual a y está normalzada.

13 Funcón de dstrbucón acumulada Dada una varable aleatora dscreta se llama funcón de dstrbucón a la funcón F defnda como: F : R [0,] F P En nuestro ejemplo de los dos dados: F5 P 5 P o 3 o 4 o 5 F5 /36 + /36 +3/36 + 4/36 0/36 3

14 Funcón de dstrbucón de la varable aleatora,0 F 0,5 0,

15 Ejemplo: Dbuja la funcón de probabldad f y la funcón de dstrbucón F de una varable dscreta defnda como: Número en la cara de un dado. tene como posbles valores,, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabldad /6 6 f F Funcón de probabldad f 5 Funcón de dstrbucón F

16 Algunos problemas de probabldad están relaconados con la probabldad Pa < b de que asuma algún valor en un ntervalo a, b]. Observa que: Pa < b Fb - Fa Para demostrarlo observa que, como los sucesos a y a < b son mutuamente ecluyentes, entonces: Fb P b P a + Pa < b Fa + Pa < b En el ejemplo de los dos dados, calcula la probabldad de que los dos dados sumen al menos 4 pero no más de 8: P3 < 8 F8 - F3 6/36-3/36 3/36 6

17 Algunas propedades de la funcón de dstrbucón F + lm F lm P P E + F lm F lm P P + P < F F F es monótona crecente. 0 F es contnua por la derecha: la probabldad de que la varable aleatora dscreta tome un valor concreto es gual al salto de la funcón de dstrbucón en ese punto. 7

18 Monte Carlo Por método de Monte Carlo en general entendemos la smulacón de los resultados de un epermento utlzando una computadora y un generador de números aleatoros. Se utlza cuando un cálculo es dfícl de realzar por otros métodos numércos o algebracos, o cuando somos demasado vagos o gnorantes como para soluconarlo por métodos más elegantes. Ejemplo clásco: área debajo de una curva. Dada un área A fácl de medr, que contene una curva f dfícl de ntegrar, se puede calcular el área debajo de la curva medante la generacón de N pares de números aleatoros,y que representan coordenadas. Se cuentan los puntos que caen por debajo de la curva y entonces: y Rectángulo de área A f f d A #de puntos bajo lacurva # de puntos

19 Aleatoredad Deborah J. Bennett Alanza Edtoral,

20 Método de Monte Carlo Realcemos ahora el sguente epermento aleatoro: grar la ruleta de la magen y apuntar el número del sector que concde con la flecha. La varable aleatora de este epermento asoca cada sector a un número entero, como podemos observar en la magen. Es una varable aleatora dscreta. Los resultados posbles son: {0,,, 3, 4, 5, 6, 7}. Por smetría podemos establecer una funcón de probabldad: la probabldad de cada resultado es 0 /8.

21 Reptamos un epermento aleatoro semejante, pero ahora con esta nueva ruleta: Ahora el espaco muestral está compuesto por 4 eventos. Establecemos una nueva varable aleatora dscreta ' que asoca cada sector evento a los números: {0,,, 3}. Ahora tenendo en cuenta el tamaño relatvo de los sectores podemos establecer una funcón de probabldad, que asoca a cada uno de los valores de la varable aleatora {0,,, 3} las probabldades {/4, /, /8, /8}, respectvamente proporconales al ángulo del sector.

22 La varable aleatora en el prmer ejemplo de la ruleta está unformemente dstrbuda, ya que todos los resultados tenen la msma probabldad. Sn embargo, en el segundo ejemplo, la varable aleatora, no está unformemente dstrbuda. El problema crucal de la aplcacón de los métodos de Monte Carlo es hallar los valores de una varable aleatora dscreta o contnua con una dstrbucón de probabldad dada por la funcón p a partr de los valores de una varable aleatora unformemente dstrbuda en el ntervalo [0, ], proporconada por el ordenador.

23 Cómo smular con el ordenador la dstrbucón de probabldad de las ruletas? Resultado Funcón de probabldad P. acumulada Funcón de dstrbucón Condcón Resultado 0 γ < γ < γ < γ < 3 3

24 Una vez vsto un caso partcular, el problema general puede formularse del sguente modo: S es una varable aleatora dscreta cuyos posble resultados son { 0,,,... n } y sean {p 0, p, p,... p n } sus respectvas probabldades. Al sortear un número aleatoro γ, unformemente dstrbudo en el ntervalo [0,, se obtene el resultado, s se verfca la sguente condcón: j 0 p γ < p j j 0 j 4

25 Esperanza matemátca o meda de una funcón de probabldad dscreta µ E P p P P Sempre que no genere ambgüedad pasaremos de arrastrar la varable aleatora: en vez de poner ponemos drectamente. 5

26 Calcular la esperanza de la varable aleatora en el ejemplo de los dos dados: µ E P

27 7 Sean a, b y c constantes. Demuestra que: c c E P E P E P P E b ae b a E + + P E P E P P P P P P E c c c E µ

28 Supongamos que tenemos que hacer unos análss clíncos de sangre. Queremos detectar una enfermedad que afecta a de cada 000 personas. Los pacentes acuden en grupos de 50. Qué nos sale económcamente más a cuenta: analzar pacente a pacente o mezclar la sangre de los 50 y analzar la mezcla? P persona sana PAl menos una persona ; de P50 personas sanas 50 enferma # esperado de análss Tomando la mezcla, en promedo tendremos que hacer unos análss en vez de 50 por grupo. 8

29 Juegos A un juego de azar podemos asgnarle una varable aleatora, cuyos valores son las ganancas correspondentes a los posbles resultados. La esperanza matemátca de la varable aleatora representa el benefco medo o gananca meda que se obtene en cada jugada cuando se juega un número elevado de veces. S la esperanza matemátca es 0 se dce que el juego es justo. S es mayor que 0 se dce que el juego es favorable al jugador. S es menor que 0 se dce que perjudca al jugador y no es favorable. Sea el juego que consste en sacar una bola de una urna que contene 7 bolas rojas y 3 bolas negras. Ganamos 50 euros s la bola etraída es roja y pagamos 50 euros en el caso de que sea 9 negra. Qué podemos esperar s jugamos muchas veces?

30 Espaco muestral E {R, N}. Consderamos las ganancas como postvas y las pérddas negatvas: Varable aleatora R N Funcón de probabldad 50 0,7-50 0,3 µ 50 0, ,3 0 Gananca meda 30

31 Una compañía de seguros doméstcos tene que determnar el gasto medo por pólza suscrta, sabendo que cada año de cada pólzas termna en una reclamacón de 0 mllones, de cada.000 en 5 mllones, de cada 50 en y el resto en 0. µ

32 3

33 Marc Kac, en Engmas of Chance 985, eplca cómo aplcar el concepto de esperanza a la vda real: "Una semana, aparecó un anunco del Imperal College of Scence and Technology ofrecendo un puesto de profesor de Matemátcas con un salaro de 50 lbras anuales; ser cudadano brtánco no era requsto necesaro. El salaro era tan escaso que supuse que nngún cudadano brtánco respetable estaría nteresado en ese trabajo. Fu a preguntar a Stenhaus s debía o no optar al puesto. Por entonces no sabía n una palabra de nglés, pero estaba dspuesto a jurar que ms conocmentos eran los sufcentes. "Déjame pensar", me djo Stenhaus. "Estmaría que la probabldad de que consgas el trabajo es de una entre ml. S multplcas esto por cento cncuenta lbras, tenes tres chelnes. Eso es mucho más de lo que cuesta envar la carta, así que deberías hacerlo". Lo hce, pero el trabajo fue al fnal para un cudadano brtánco después de todo, sí que había alguno nteresado. 33

34 Momento de orden k de una varable aleatora dscreta De forma más general podemos defnr la esperanza matemátca o meda no solo para una varable aleatora, sno para cualquer funcón T como: µ E T T p Tomando como casos partculares a las funcones: T ; k, k,3,... obtenemos los momentos de orden k centrados en el orgen: m k E k k p 34

35 35 Y tomando como casos partculares a las funcones:,3,..., ; k T k µ obtenemos los momentos de orden k centrados en la meda de : k k k p E M µ µ Observa que: 0 µ µ µ E E M E m

36 Varanza y desvacón estándar o típca de una funcón de probabldad dscreta Varanza σ µ P Var M E µ Desvacón estándar o típca σ Var Ambas mden la dspersón de los datos. Observa que la desvacón típca lo hace con las msmas undades que los propos datos. 36

37 Ejemplo P µ µ µ P σ µ P, σ Var.0 37

38 Calcula la varanza y desvacón típca de la varable aleatora en el ejemplo de los dos dados: Var 36 7 P ,83 σ Var 5,83,4 38

39 39 Algunas propedades de la varanza E E E p p p p Var µ µ µ µ µ µ µ σ E E σ

40 Usted tene dos cosas que perder: la verdad y el ben, y dos cosas que comprometer: su razón y su voluntad, su conocmento y su benaventuranza; y su naturaleza posee dos cosas de las que debe hur: el error y la msera. Su razón no está más dañada, elgendo la una o la otra, puesto que es necesaro elegr. He aquí un punto vacío. Pero su benaventuranza? Vamos a pesar la gananca y la pérdda, elgendo cruz de cara o cruz para el hecho de que Dos este. Estmemos estos dos casos: s usted gana, usted gana todo; s usted perde, usted no perde nada. Apueste usted que Él este, sn ttubear. Pensamentos, Blase Pascal 670 La apuesta de Pascal Dos este Creer en Dos + CIELO NADA No creer en Dos INFIERNO Dos no este NADA «Deberías vvr tu vda e ntentar hacer del mundo un lugar mejor estando en él, tanto s crees en dos como s no. S no hay dos, no habrás perddo nada y serás recordado al morr por todos los que dejaste atrás. S este un dos benevolente, te juzgará a t y a tus mértos y no por el hecho de s has creído o no en él». Mchael Martn 40

41 La paradoja de Parrondo perder + perder ganar

42 Prob. de ganar Juego A Prob. de perder / - ε / + ε Sea t, el captal en el nstante t. Dremos que un juego es ganador perdedor s el promedo <t> es una funcón monótona crecente decrecente de t. Y será un juego justo s <t> es constante. Es fácl probar que el juego A es un juego perdedor s ε postvo: <t+>-<t> <t+-t> / - ε / + ε ε

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44 La paradoja de San Petersburgo «Se comenza con un bote de dos euros. Se lanza una moneda al are: s sale cruz, yo doblo la cantdad que hay en el bote; s sale cara, usted se lleva el bote dsponble en ese momento. Es decr, s la prmera trada es cara, usted gana euros, s la prmera trada es cruz y la segunda cara, gana 4 euros, s la prmera cara sale en la tercera trada gana 8 euros, y s la prmera cara sale en la trada n-ésma gana n euros. Obvamente, lo que a usted más le convene es que salga cara lo más tarde posble. En cualquer caso, usted gana sempre algo de dnero, por lo que es justo que yo le cobre alguna cantdad o cuota para permtrle partcpar en el juego». J. M. Parrondo INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, febrero, 007 Danel Bernoull 738 San Petersburgo. «La pregunta que se hzo Bernoull, y que en certo modo sgue sn resolverse, es: cuál es la cuota de entrada que se debería cobrar para que el juego fuera justo?» 44

45 La paradoja de San Petersburgo Sea la gananca. Su valor esperado o gananca meda, es: E n n + n La probabldad de que salga cara por prmera vez en la n-ésma trada es: / n El jugador debería pagar una cantdad nfnta para que el juego fuera justo! «En otras palabras, s yo le ofrezco entrar en el juego con una cuota de, dgamos, un mllón de euros, usted debería aceptar, porque la gananca meda en el juego, que es nfnta, supera esa y cualquer otra cantdad. Sn embargo, nade en su sano juco aceptaría semejante trato. Esta es la paradoja de San Petersburgo: el sentdo común nos dce que el valor medo de la gananca no determna la cuota de entrada aceptable. Cómo determnamos entonces dcha cuota?» 45

46 El problema fundamental del juego de San Petersburgo es que proporcona premos muy cuantosos con probabldad etremadamente pequeña. Por ejemplo, s la prmera cara aparece en la trada décma, la gananca es de 04 euros, y esto ocurre con una probabldad de entre 04. Las ganancas crecen eponencalmente mentras que las probabldades decrecen tambén eponencalmente, sendo sempre el valor medo de cada posble premo gual a un euro. Cruz 3 veces segudas: más de 6 mllones de gananca en un mllón de turnos, esto puede ocurrr con una probabldad superor al 5 %.

47 La paradoja del vatcno paradoja de Wllam A. Newcomb 969 Vas a jugar contra el supercomputador HAL 9000, capaz de vatcnar la eleccón de su contrncante. HAL es un oráculo moderno. Te presenta dos cajas cerradas: la caja que puede contener 0 o.000 euros y la caja que puede contener 0 o euros. Pensa que HAL vatcna con total segurdad lo que vas a escoger: a S HAL vatcna que optarás por las dos cajas, pondrá.000 euros en la caja y nada en la caja. b S HAL vatcna que optarás por la caja, pondrá.000 euros en la caja y de euros en la caja. c S HAL vatcna que elegrás las dos cajas, y sn embargo, optas por la caja, no ganas nada. d S HAL vatcna que optarás por la caja, y sn embargo, optas por las dos cajas, ganas las sumas contendas en las cajas y, es decr: euros.

48 Matrz de pagos Teoría de juegos: HAL Tú Vatcna que elegrás caja Vatcna que elegrás las dos cajas Elges la caja Elge las dos cajas Qué elges: recbr el contendo de ambas cajas o sólo el de la caja?

49 Todo está ya lsto: Qué opcón elges? La gente ncludos los matemátcos y flósofos profesonales suele dvdrse en dos bandos: Los que optan por la caja : S optas por las dos cajas: HAL lo habrá vatcnado y habrá colocado.000 euros en la caja y nada en la. Premo:.000 euros. Pero s optas por la caja : HAL lo habrá vatcnado y habrá colocado.000 euros en la caja y de euros en la caja. Premo: euros. Es preferble tener la cas plena certeza de ganar de euros que ganar.000 euros. Los que optan por las dos cajas: HAL ya ha efectuado su vatcno, de modo que el contendo de la caja ya está determnado: así que la caja contene euros o nada. S HAL puso de euros en la caja, al optar por las dos cajas, ganaré euros. S HAL solo puso.000 euros en la caja, me convene tambén optar por las dos, puesto que mejor.000 euros que nada.

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