CONDICIONES DE KUHN Y TUCKER APLICACIONES A LA ECONOMIA Y AL MERCADO DE CAPITALES

Transcripción

1 CONDICIONES DE KUHN Y TUCKER APLICACIONES A LA ECONOMIA Y AL MERCADO DE CAPITALES Bernardello, Alca Blanca y Vcaro, Aldo Omar Departamento de Matemátca Facultad de Cencas Económcas de la Unversdad de Buenos Ares Octubre de 2000

2 CONSIDERACIONES PREVIAS Combnacón convea de vectores Sea V = { R n ; ; R; } un espaco vectoral de n-ésma dmensón sobre R, sendo la suma usual de vectores y el producto de un vector por un escalar real. Y sea S ={ v () ; v (2) ; v (3) ;...; v (m) } V, se dce que el vector w V es combnacón lneal de los vectores de S k R con m N / w = m k = v ( ) m Cuando k [0; ] y k = dcha combnacón lneal se = llama combnacón convea. Conunto conveo Un conunto X R n se llama conveo, s para cualquer par de elementos () ; (2) X la combnacón convea defnda por ellos está ncluda en X: λ () + ( -λ) (2) X sendo λ [0; ] 2

3 Funcón convea Sea f : X R con X R n conveo, f es una funcón convea () ; (2) X λ [0; ]: f[λ () + ( - λ) (2) ] λ f( () ) + ( - λ) f( (2) ) f es estrctamente convea () ; (2) X λ [0; ]: f[λ () + ( - λ) (2) ] < λ f( () ) + ( - λ) f( (2) ) Funcón cóncava Sea f : X R con X R n conveo, f es una funcón cóncava () ; (2) X λ [0; ]: f[λ () + ( - λ) (2) ] λ f( () ) + ( - λ) f( (2) ) f es estrctamente cóncava () ; (2) X λ [0; ]: f[λ () + ( - λ) (2) ] > λ f( () ) + ( - λ) f( (2) ) Como consecuenca de las defncones se puede probar que: ) Teorema: a) (funcón lneal) S f() con R n es una funcón lneal, entonces es una funcón cóncava así como una funcón convea, pero no estrctamente. 3

4 2) Teorema: b) (funcón opuesta) S f() con R n es una funcón cóncava, entonces f()es una funcón convea, y vceversa. Análogamente: S f() con R n es una funcón estrctamente cóncava, entonces f()es una funcón estrctamente convea, y vceversa. 3) Teorema: c) (suma de funcones). S f() y g() son ambas cóncavas (conveas), entonces f() + g() es tambén una funcón cóncava (convea). S f() y g() son ambas cóncavas (conveas), y además una de ellas o las dos son estrctamente cóncavas (estrctamente conveas) entonces f() + g() es tambén una funcón estrctamente cóncava (estrctamente convea). Las defncones anterores sobre concavdad y convedad no utlzan las dervadas, y por tanto, no requeren la dferencabldad. S la funcón es dferencable, la concavdad y la convedad pueden tambén defnrse en térmnos de sus dervadas prmeras: 4

5 Una funcón f() con R n es una funcón cóncava (convea), s, para cualquer punto dado () = ( () ; () 2 ; () 3 ;... () n ) y para cualquer otro punto. (2) = ( (2) ; (2) 2 ; (2) 3 ;... (2) n ) del domno de la funcón f ( (2) ) f ( () ) + n = f () ( (2) () ) Una funcón dos veces contnuamente dferencable z = f() con R n es cóncava (convea) d 2 z es en todo punto semdefnda negatva (postva). Dcha funcón es estrctamente cóncava (convea) s (condcón sufcente) d 2 z es en todo punto defnda negatva (postva). Sentdo amplo Ver Condcón de segundo orden en la optmzacón lbre y sueta a restrccones de gualdad (Bernardello,A;Vcaro, Aldo O.,septembre de 999) 5

6 Funcones cuascóncavas- cuasconveas Una funcón f es cuascóncava (cuasconvea) s, () (2) X domno conveo de f λ [0; ]: () (2) [ λ + ( λ)) ] () (2) () f ( ) f ( ) f ( ) f (2) f ( ) Y lo será de manera estrcta s las dos desgualdades débles de la derecha se susttuyen por desgualdades estrctas > f ( () ) < f ( (2) ) Se pueden probar los sguentes teoremas: a) funcón opuesta : S f() es cuascóncava (estrctamente cuascóncava) entonces f() es cuasconvea ( estrctamente cuasconvea). b) Cualquer funcón cóncava (convea) es cuascóncava (cuasconvea), pero el recíproco no es certo. Análogamente: Cualquer funcón estrctamente cóncava (estrctamente convea) es estrctamente cuascóncava (estrctamente cuasconvea), pero el recíproco no es certo. 6

7 c) S f() es una funcón lneal, entonces es cuascóncava así como cuasconvea. Observacón En el caso de funcones cóncavas y conveas las úncas que pertenecen a ambas clases son las lneales. En el caso de funcones cuascóncavas y cuasconveas, aparte de las lneales, esten otras, como por eemplo y = 2 para 0 que es cuascóncava y cuasconvea a la vez. Funcones dferencables: Una funcón dferencable f() con R n es cuascóncava (cuasconvea) s () (2) X domno de f f ( (2) ) f ( () ) n = n = f f () ( 2) ( ( (2) (2) () () ) 0 ) Para la cuasconcavdad y cuasconvedad estrctas la desgualdad de la derecha tendrá que ser susttuída por la desgualdad estrcta > 0 7

8 S la funcón es dos veces contnuamente dferencable, la cuasconcavdad y cuasconvedad, en el ortante no negatvo, pueden verfcarse estudando el sgno de los sguentes menores prncpales de la matrz hessana : 0 f f 2...f n f f f 2... f n f 2 f 2 f f 2n... f n f n f n2... f nn 2 = 0 f 3 = 0 f f 2... n = 0 f f 2...f n f f f f f 2 f f f 2... f n f 2 f 2 f 22 f 2 f 2 f f 2n... f n f n f n2... f nn Mentras la concavdad (convedad) de una funcón sobre un domno conveo puede etenderse sempre a la concavdad (convedad) sobre el espaco total, con la cuasconcavdad y la cuasconvedad esto no es posble. Las condcones que se dan a contnuacón son las que eponen Kenneth J.Arrow y 8

9 Alan C. Enthoven en su trabao Programacón Cuascóncava, y son váldas en el ortante no negatvo. Condcón necesara de Condcón sufcente de cuasconcavdad cuasconvedad cuasconcavdad cuasconvedad < 0 < > 0 < < 0 < > 0 < 0 0 s es par < 0 s es par 0 s es mpar > 0 s es mpar n 0 < 0 CONDICIONES DE KUHN-TUCKER Un problema de programacón no lneal sufcentemente general es el sguente: ma. f( ; 2 ;... n ) s.a. g () ( ; 2 ;... n ) c g (m) ( ; 2 ;... n ) c m (I) 9

10 El conunto de vectores R n que verfcan todas las restrccones se llama conunto admsble o factble Cabe señalar que: Mnmzar f() es equvalente a mamzar -f() La desgualdad de la forma g () c se puede escrbr como -g () -c Una gualdad g () = c es equvalente a dos desgualdades de la forma g g ( ) c ( ) c ó g g ( ) c ( ) c Así los problemas de optmzacón restrngda se pueden epresar, en general, de la forma (I). Suponendo que * = ( * ; * 2;... * n) resuelve el problema (I), entonces o ben g ( * ) < c en cuyo caso se dce que la restrccón g ( * ) c está nactva o no saturada, o ben g ( * ) = c en cuyo caso se dce que la restrccón g ( * ) c está actva o saturada en *. 0

11 Cualfcacón de restrccones (C.R.) Tenen como cometdo elmnar stuacones anómalas que provocan contraeemplos a las condcones de Kuhn- Tucker. Kuhn y Tucker plantearon para la demostracón del teorema condcones que no son sencllas de verfcar. 2 Pero mponendo algunas hpótess adconales a las funcones g () con m, se puede detectar rápdamente su vgenca por conducto de crteros operatvos, a saber: S todas las restrccones son funcones lneales,.e s cada g () con m es lneal, se cumple la cualfcacón de restrccones. S cada restrccón es una funcón de clase C (funcón dferencable) y convea, y este un punto * pertenecente al conunto factble en el cual todas las restrccones son nactvas,.e g ( * ) < 0 con m se cumple la cualfcacón de restrccones (condcón de Slater). 2 Para su enuncacón ver, por eemplo, Alpha Chang; Fernandez Pol, Jorge Eduardo; Urbe, Dego Escobar

12 S cada funcón de restrccón es dferencable, cuasconvea, este un punto * pertenecente al conunto factble tal que g ( * ) < 0 con m y s además para cada - o ben g () es convea - o ben para cada * pertenecente al conunto factble g ( * ) 0 3 entonces se cumple la cualfcacón de restrccones. Las funcones g () con m correspondentes a las restrccones que están actvas en * tenen gradente en * que son lnealmente ndependentes. Es de destacar que esta condcón es semeante a la condcón egda al problema de optmzacón sueta a condcones de gualdad 4. 3 Sea f() con R n se llama gradente de f al vector en el que las componentes son las dervadas parcales de f, y evaluado en 0 0 f f f f ( ) = ; ; n 0 4 ver condcón de prmer orden en optmzacón restrngda en: Condcón de segundo orden en la optmzacón lbre y sueto a restrccones de gualdad (Pag.2 y 22) presentado en las XIV Jornadas- Bernardello, Alca y Vcaro, Aldo. Septembre de 999 2

13 La cualfcacón de restrccones es una restrccón mpuesta a las restrccones aún cuando no es una lmtacón concernente al conunto factble. Es decr que dadas dos restrccones dstntas entre sí, puede ocurrr que a pesar de que ambas generan el msmo conunto factble, una satsface la cualfcacón y la otra no. Como por eemplo: () y g(- - 2 ) 3 0 (2) defnen el msmo conunto factble. () satsface la C.R. (cualfcacón de restrccones) por ser las restrccones lneales, pero (2) por eemplo en el punto = ½ y 2 =/2 2 3( 0 2 ) g = = (lnealmente dependente) 2 3( ) 0 2 no la satsface. (/ 2;/ 2) La funcón obetvo no tene nada que ver con esta hpótess de regulardad denomnada C.R. 3

14 No es necesaro que se cumplan todas las condcones arrba epuestas, solo basta con una de ellas. Además estas no son equvalentes entre sí. Condcones necesaras de Kuhn-Tucker (0) (0) (0) (0) Suponendo que = ( ; ;... ) resuelve el problema 2 n ma. f ( ) s. a. g () c con m R no estando acotada la cantdad de restrccones y donde f() y g () con m son funcones contnuamente dferencables. Suponendo que se verfca la cualfcacón de las restrccones. Entonces,esten unos úncos números λ ; λ 2 ;...λ m tales que n (0) m f ( ) g a) λ = = 0 con n (0) (0) b) g ( ) 0 λ 0 λ g ( ) = 0 con m S se escrbe la funcón de Lagrange L( ; λ ) = f ( ) + λ m = [ c g ( ) ] Las condcones de Kuhn y Tucker se pueden epresar: 4

15 a) = 0 n b) 0 λ 0 λ = 0 m λ λ (II) Condcones de no negatvdad para las varables Es frecuente que las varables que aparecen en los problemas económcos de optmzacón sean no negatvas por su propa naturaleza. Para ntroducr estas restrccones a la formulacón (I), 0 se puede representar por g m+ () = - 0 y se ntroduce un multplcador de Lagrange adconal para ella. Sn embargo para no tener que manear demasados multplcadores de Lagrange, se formulan las condcones necesaras de solucón de los problemas de programacón no lneal con restrccones de no negatvdad de las varables de una manera lgeramente dstnta. 5

16 En efecto, consderando por eemplo el sguente problema: ma. f (, y) s.a. g () ( ; y) c 0 y 0 condcones de no negatvdad ntroducendo las funcones g (2) (;y) = - y g (3) (,y) = -y con lo que las restrccones quedarán: g () (;y) 0 g (2) (;y) 0 g (3) (;y) 0 entonces: L(; y; λ ; λ 2 ; λ 3 ) = f(;y) + λ [c - g () (;y)] + λ 2 (0 + ) + λ 3 (0 + y) Las condcones de Kuhn-Tucker son: f g = λ () + λ2 = 0 (a) y f g = λ y y () + λ3 = 0 (b) λ = c - g () (;y) 0 λ 0 λ [c - g () (;y)] = 0 (c) 6

17 λ 2 = 0 λ 2 0 λ 2 = 0 (d) λ 3 = y 0 λ 3 0 y λ 3 = 0 (e) de (a) se obtene - λ 2 = () f g λ (a ) de (d) λ 2 0 λ 2 = 0 (d ) es decr que (a) y (d) equvalen conuntamente a () f g λ 0 0 por condcón de no negatvdad y, f g λ () = 0 por (a ) y (d ) de (b) - λ 3 = () f g λ (b ) y y 7

18 de (e) λ 3 0 y λ 3 = 0 (e ) es decr que (b) y (e) equvalen conuntamente a () f g λ 0 y 0 por condcón de no negatvdad y y y, f g λ y y () y = 0 por (b ) y (e ) Es decr que s se ncluyen las condcones de no negatvdad de las varables, las condcones necesaras de Kuhn y Tucker utlzando el Lagrangeano según (II) para el problema ma. f ( ) s. a. g () c con m m L = f ( ) + λ = [ c g ( ) ] 0 R n serán: suponendo que (0) R n resuelve el problema sendo la funcón obetvo y las restrccones funcones contnuamente dferencables y suponendo que se verfca la cualfcacón de restrccones entonces esten unos úncos números λ ; λ 2 ;...λ m tales que 8

19 a) 0 (0) 0 (0) = 0 n b) 0 λ (0) 0 λ λ = 0 λ (0) con m Condcones sufcentes de Kuhn-Tucker Consderando el problema de programacón no lneal n ma. f ( ) s.a. g () c con m 0 R m > = ó < n donde la funcón obetvo y las restrccones son contnuamente dferencables, f es cóncava restrccones son conveas. Suponendo que esten y las λ con m y un vector factble (0) tales que: a) = 0 n (0) b) 0 λ (0) λ 0 λ = 0 λ (0) con m 9

20 S se agregan las condcones de no negatvdad de las varables a) sería: (0) 0 0 (0) = 0 n Entonces (0) resuelve el problema. S además se verfca la cualfcacón de restrccones las condcones son necesaras y sufcentes, y s la funcón obetvo es estrctamente cóncava se puede asegurar que el mámo global es únco Observacón: Para mnmzar basta utlzar lo ndcado en consderacones prevas es decr mn. f ( ) s. a. g () c con m 0 R n equvale a ma. - f ( ) s. a.- g () c con m 0 R n 20

21 Condcones necesaras y sufcentes en programacón cuascóncava (Arrow- Enthoven) Sea el problema ma. f ( ) s. a. g () c con m 0 R n donde la funcón obetvo y las restrccones son contnuamente dferencables. Suponendo que esten números λ con a) (0) es factble y se verfcan: m y un vector (0) R n tales que: b) 0 0 = 0 con n (0) (0) c) 0 λ (0) λ 0 λ = 0 λ (0) con m d) f() es cuascóncava y g () es cuasconvea para m en el ortante no negatvo e) Se satsface una cualquera de las sguentes: e- e- f f (0) (0) < 0 para al menos una varable > 0 para alguna varable que pueda tomar 2

22 un valor postvo sn volar las restrccones ( en este caso es llamada en la lteratura del tema como varable relevante) 5 e- (0) f ( ) 0, y la funcón es dos veces dferencable en un entorno de (0) e-v f() es cóncava Entonces en (0) la funcón se mamza. Es decr s además de verfcarse a, b, c, d y e se satsface la cualfcacón de restrccones, entonces las condcones de Kuhn y Tucker son necesaras y sufcentes. La cuasconcavdad no mplca que las condcones de Kuhn- Tucker sean sufcentes para tener un mámo global. Arrow- Enthoven deron el sguente eemplo: Ma. f() = ( ) 3 s.a Analzando f() = ( ) 3 en el cuadrante postvo 5 dado el conunto de restrccones C = { n g () 0 con m Ω } n ( Ω es el ortante no negatvo de R n ) se dce que la varable es varable relevante s este un en C tal que > 0 22

23 f () = 3 ( ) 2 ; f () = 6 ( ) B = 0 3( ) 2 3( ) 2 6( ) = -9(- ) 4 < 0 condcón sufcente de cuasconcavdad y la restrccón es lneal (cóncava entonces cuascóncava) L = ( ) 3 + λ (2 2 ) a) L = 3 ( ) 2 2 λ 0 0.[ 3 ( ) 2 2 λ] = 0 b) = λ 0 λ (2 2) = 0 λ En = y λ = 0 se cumple a) y b) y se cumple la cualfcacón de restrccones ( la restrccón es lneal) pero no se satsface nnguna de las condcones e. En efecto, al ser f () = 0, no se cumple n e-, n e-, n e, y como la funcón f no es cóncava tampoco e-v. El óptmo se encuentra en = 2 y λ = 3 donde se satsface a), b) y c) y e- o e-, es decr que las condcones de Kuhn y Tucker son necesaras y sufcentes 23

24 Procedmento para hallar todos los canddatos a óptmo - Hallar todos los puntos factbles donde se satsface la cualfcacón de restrccones y las condcones de Kuhn y Tucker 2- Hallar todos los puntos factbles en los que la cualfcacón de restrccones falla S se sabe que el problema tene solucón los pasos y 2 darán todos los posbles canddatos a solucón. Después de evaluar f en todos esos canddatos, se pueden tomar el (o los) que mamzan f El paso 2 se debe realzar ya que para que las condcones de Kuhn y Tucker sean necesaras se debe verfcar la cualfcacón de restrccones, entonces (0) puede ser una solucón del problema sn verfcar las condcones de Kuhn y Tucker. Es necesaro evtar el error de que al encontrar un únco canddato a solucón (0) a partr de las condcones de Kuhn y Tucker en el que se comprueba la cualfcacón de restrccones suponer que se alcanzó la solucón ya que el 24

25 óptmo puede encontrarse en otros puntos factbles donde falla la cualfcacón de restrccones. Observacón: En los modelos económcos aparecen frecuentemente funcones dependentes de varables dscretas y, en consecuenca, no dferencables. S un problema de programacón no lneal resulta ser no dferencable, las técncas epuestas hasta ahora no son aplcables. Así, es necesaro encontrar otros métodos que faclten la solucón de este tpo de problemas, métodos que tambén, por otra parte, son váldos para resolver problemas dferencables. Para ello es necesaro defnr el punto slla del Lagrangeano y ver su relacón con la solucón, tema que no trataremos en este trabao. Caso en que las condcones de Kuhn y Tucker son necesaras pero un punto que las satsface no es el óptmo Sea ma. z = 2 + y 2 8 s. a. ; -y 0; 2 + y 2 4 L = 2 + y λ ( ) + λ 2 y + λ 3 (4-2 y 2 ) 25

26 L = 2 - λ 2 λ 3 = 0 L = 2 y + λ2 2 λ 3 y = 0 y = 0 λ 0 λ ( ) = 0 λ = y 0 λ2 0 λ 2 y = 0 λ 2 = 4 2 y 2 0 λ 3 0 λ 3 (4 2 y 2 ) = 0 λ 3 El punto = y = 0 es regular ya que satura la y la 2 restrccón y los gradentes g () (;0) = ( ;0) y g (2) (;0) = (0; -) son lnealmente ndependentes, (verfcala cualfcacón de restrccones). Además = ; y = 0; λ = 0; λ 2 = 0; λ 3 = 0 verfca las condcones de Kuhn y Tucker, pero s se toman puntos prómos a éste por eemplo (; h) con h > 0 y pequeño, que satsface las condcones de Kuhn y Tucker, resulta que f(;h) = + h 2 8 = h 2 7 pero f(;0) = -7 por lo tanto f (;h) f(;0) por lo que (;0) no es mámo local. 26

27 Obsérvese que la funcón obetvo es convea y no cóncava como se ege para que las condcones de Kuhn y Tucker sean sufcentes. Caso en que no se satsface la cualfcacón de restrccones por lo que las condcones de Kuhn y Tucker no son necesaras Ma. z = y s. a. g(;y) = ( + y 2) 2 0 Como ( + y 2) 2 es no negatva, la restrccón es equvalente a + y 2 = 0. Entonces puede plantearse como un problema de optmzacón sueta a condcones de gualdad. Es decr: L = y + λ (2 y) L = y - λ = 0 L = - λ = 0 y = 2 y = 0 λ la solucón de este sstema es = ; y = ; λ = 27

28 Planteando las condcones de Kuhn y Tucker para el problema con la restrccón orgnal L = y + λ [-( + y - 2) 2 ] L = y 2 λ ( + y - 2) = 0 L = 2 λ ( + y - 2) = 0 y = -( + y - 2) 2 0 λ 0 - λ ( + y - 2) 2 = 0 λ En el óptmo del problema = y = se obtene la contradccón = 0 en cada caso. Nótese que el g () (;) = (0;0) que no es un vector lnealmente ndependente, es decr que (;) no es un punto regular. La cualfcacón de restrccones falla en (;). Las condcones de Kuhn y Tucker fallan en (;) no obstante ser este punto el mámo que resuelve el problema. Por otro lado la funcón obetvo es cuascóncava. En efecto analzando z = y en el ortante postvo: 28

29 0 y B = y 0 ; 0 0 y y 0 2 = y < 0 y > 0; B = 2 y > 0,y > 0 la restrccón g = ( + y 2) 2 es convea (cuasconvea) En efecto su matrz hessana 2 2 H = 2 > 0 y H = 0 es semdefnda postva 2 2 Podría pensarse en utlzar el Teorema de Arrow- Enthoven pero no se cumplen las condcones de Kuhn y Tucker por lo que no se puede emplear las condcones sufcentes. Eemplo de condcones necesaras y sufcentes Ma. f(;y) = y y y s. a. g () (;y) = + y g (2) (;y) = 8 + y ; y 0 L = y y y + λ ( - y) + + λ 2 (2-8 2 y 2 ) 29

30 L = y 50 - λ 6 λ L = -20 y λ 2 λ 2 y 0 y 0 y y y = 0 = 0 = y 0 λ 0 λ ( - y) = 0 λ = y 2 0 λ 2 0 λ 2 (2 8 2 y 2 ) = 0 λ 2 La funcón obetvo es cóncava ya que la matrz hessana 6 2 H = < 0 y H > 0 es defnda negatva entonces la funcón es cóncava en sentdo estrcto Las restrccones: g () es lneal cóncava-convea g (2) es convea (suma de funcones conveas) se cumple la cualfcacón de restrccones ya que este ( ; y ) = (0, ; 0,) admsble en el que: 30

31 g () (0, ; 0,) < 0 (condcón de Slater) g (2) (0, ; 0,) < 0 entonces las condcones de Kuhn y Tucker son necesaras y sufcentes. El punto que las satsface es = 0; y = ; λ = 60; λ 2 = 0 En efecto L (0;) = L (0;) = 0 y 0 y y y = 0 = 0 z(0;) = 70 Aplcacón de las condcones de Kuhn y Tucker al problema estandar en teoría de la demanda del consumdor Ma. U() s. a. p + p p p n n I donde U es la funcón utldad 3

32 X n espaco de benes defndo en Ω n R n p es el preco del ben p > 0 n I es el ngreso del consumdor Suponendo que U es contnuamente dferencable y cuascóncava. Las condcones de Kuhn y Tucker son: L = U() + λ ( I - p - p p p n n ) U a) = λ p 0 0 U λ p = 0 con n n b) = I p λ = 0 n λ 0 λ I p = 0 = Suponendo que (0) X n verfca a) y b) y suponendo que no todas las U (0) son cero, o sea que se supone que para algún ben no este sacedad, (condcón e-v de Arrow-Enthoven), y tenendo en cuenta que la funcón obetvo es cuascóncava y la restrccón es lneal, se dan las condcones sufcentes de óptmo. 32

33 Entonces a) mplca que λ > 0 y así p n = = I por b). Por lo tanto, se gasta todo el presupuesto y (0) X n resuelve el problema Utlzacón en programacón lneal Suponendo el problema: Mn. w T w; R n s.a. A b 0 A R mn b R m que se converte en el problema: Ma. - w T w; R n s.a. - A - b 0 A R mn b R m L = - w T + λ T (- b + A ) En este problema se dan las condcones necesaras y sufcentes de Kuhn y Tucker pues la funcón obetvo es lneal y las restrccones tambén: L a) = - w T + λ T A w T + λ T A = 0 ó w T = T A T λ () b) = - b + A 0 λ 0 λ T (- b + A ) = 0 λ ó b T λ = T A T λ (2) 33

34 Suponendo que este un vector y Ω n tal que: A T y w (3) T A T y T w (4) b T y - b T λ = b T y - T A T λ de (2) b T y - b T λ T A T y - T A T λ 0 ya que de () T A T λ = w T = T w y de (4) T A T y T w Es decr T (A T y - A T λ) 0 Por lo tanto b T y toma su mámo bao (3) en y = λ Y además vale b T y = b T λ = T A T λ = w T Se concluye entonces que s Mn. w T s.a. A b 0 tene solucón, entonces Ma. b T y s.a. A y w tene solucón y los valores mínmo y mámo de las funcones obetvos concden (Teorema débl de la dualdad) 34

35 Programacón cuadrátca Consderemos el caso de mamzar una forma cuadrátca (como funcón obetvo) sueta a restrccones lneales: Má. f() = c T ½ T Q s.a. g () () b que equvale a A b (por ser restrccones lneales) 0 donde: c b a...a n q...q n c 2 2 b 2 a 2...a 2n q 2...q 2n c = = b = A = Q = c n n b m a m...a mn q n...q nn la matrz Q es smétrca semdefnda postva, lo que asegura que la funcón obetvo sea una funcón cóncava 6. Las condcones de Kuhn y Tucker son necesaras y sufcentes cuando en el problema de programacón matemátca se mamza una funcón cóncava y la regón de factbldad es un conunto conveo, como en este caso. 6 ver Aneo II 35

36 Algortmo de Wolfe Consste en aplcar las condcones de Kuhn y Tucker al problema de programacón cuadrátca, reducendo el problema a otro de programacón lneal. (c T ½ T Q ) - g m = ( ) λ + β = 0 () 0 β 0 β = 0 b- A 0 (2) λ 0 λ (b - A) = 0 (2 ) sendo β 0 β = 0 0 β β n y λ 0 λ = 0 0 λ λ n como (c T ½ T Q ) = c Q y g m = ( ) λ = A T λ susttuyendo en () c Q A T λ + β = 0 Q + A T λ - β = c de (2) A b que puede ser epresada como gualdad utlzando un conunto de varables de holgura (slacks) 36

37 A + s = b sendo s s2 s = s m λ s = 0 por (2 ) Analzando esta últma relacón: λ > 0 s = 0 A = b λ = 0 s 0 A b Entonces las condcones quedan: Q + A T λ - β = c (5) 0 β 0 β = 0 (3) A + s = b λ 0 λ s = 0 s 0 (4) El sstema anteror puede ser resuelto utlzando programacón lneal, lo que es báscamente el algortmo de Wolfe Destaquemos que por (3) y β no deben formar parte de la solucón factble básca al msmo tempo, y que por (4) λ y s 37

38 tampoco deben formar parte de la solucón factble básca al msmo tempo. La solucón factble básca ncal no se obtene fáclmente. Sn embargo, s defnmos un conunto de varables artfcales z con n y s defnmos una matrz. c 0 C = 0 0 c c n podemos reestructurar la ecuacón (5) de la sguente forma: Q + A T λ - β + C z = c Destaquemos que la solucón factble básca ncal será entonces z =. Como las varables z son varables artfcales podemos crear una funcón obetvo que las ncluya y como las queremos elmnar de nuestra solucón factble básca ncal, entonces mnmzaremos dcha funcón. Entonces nuestro problema quedará defndo de la sguente manera: 38

39 0 λ 0 n z = Mn W = β = 0 λ s = 0 s 0 s.a. Q + A T λ - β + C z = c β 0 A + s = b Eemplo: Ma. f() = s.a en forma matrcal: 0-2 ma. f() = [ 20] ½[ 2 ] s.a Aplcando el algortmo de Wolfe se reduce a resolver: 39

40 Mn. W = [ ] z z2 s.a.: λ λ2 β - β z z 2 0 = s 8 + = s 2 0 [ λ λ 2 ] s s 2 = 0 [ β β 2 ] = 0 2 Que se puede resolver medante el método smple tenendo en cuenta durante la resolucón que λ y s no pueden formar parte smultáneamente de la base y que β y tampoco pueden formar parte smultáneamente de la base. Problema de seleccón de la cartera de valores Bao certos supuestos sobre el comportamento del nversor Markowtz 7 supuso que la funcón de utldad del ndvduo es U=f[E(R P );σ(r P )] con U E ( ) R P > 0 y U σ ( ) R P > 0 7 Markowtz, Portfolo Selecton, marzo de 952 reproducdo en Teoría de la Fnancacón de la Empresa recoplacón de J. Fred Weston y Donald H. Woods, edtoral Gustavo Gll S.A., Barcelona,

41 donde: E(R P ) es el valor esperado de la rentabldad del portafolo σ( R P ) es el desvío estandar de la rentabldad del portafolo Y suponendo que cuenta con P undades monetaras para nvertr en un conunto de n accones desea saber cuánto le convene nvertr en cada accón (w = proporcón de P nvertda en la accón ) Entonces se plantea el problema: mn V(R P ) s.a. E(R P ) = w R w = n = n = con w 0 n N Donde V(R P ) = [ w w ] 2 w n σ σ σ 2 n σ σ σ 2 22 n2 σ n σ 2n σ nn w w2 w n Donde σ es la covaranza del rendmento de la accón con la ( s = σ es la varanza de la accón ). 4

42 Se puede demostrar que la funcón V(R P ) es semdefnda postva (concepto amplo) y al ser las restrccones lneales se puede resolver por programacón cuadrátca. Hacendo depender el valor de la funcón obetvo de E * (R P ) y aplcando lo demostrado en Aneo I y consderando que al ser V(R P ) convea 8 y la restrccón E(R P ) cóncava (por ser una funcón lneal), v[e(r p n * )] = Mn V ( R p ) tal que w R = E ( RP ), con w = = con w 0 n N que asgna a cada vector V(R P ), será convea. E ( R P ) el valor óptmo v[e * (R P )] de Obtenéndose la frontera efcente en el espaco E(R P ); σ( R P ), donde: σ( R P ) = R ) V ( P 9 8 ver Aneo II 9 v[e(r P )] es no decrecente en la varable E(R P ), ya que s ésta crece (baa) y la otra restrccón permanece fa, la egenca de una mayor rentabldad del portafolo, hará que el resgo meddo por v[e(r P )] aumente (dsmnuya) 42

43 Gráfcamente: σ( R P ) o como más frecuentemente se presenta E(R P ) E(R P ) σ( R P ) Observacón: El problema de seleccón de la cartera de valores, s se levanta el supuesto de que las ponderacones sean no negatvas (w 0) lo que mplca desde el punto de vsta fnancero aceptar venta descuberta (en nglés: short sale ) 0, se puede 0 sgnfca venta de un título del cual no se es propetaro 43

44 resolver por optmzacón clásca (Mamzacón sueta a restrccones de gualdad) ANEXO I Propedades de la funcón valor: El valor de la funcón obetvo f() depende de c = (c ; c 2 ; c 3 ;...;c m ) La funcón defnda por: v(c) = ma { f() sueta a g () c con m N R n } asgna a cada vector c el valor óptmo v(c) de f y se llama funcón valor para el problema. S f() es cóncava y g () (); g (2) ();... g (m) () son todas conveas entonces v(c) es cóncava. En efecto, desgnemos con (c) a una solucón óptma del problema cuando el vector de los membros de la derecha de las desgualdades es c = (c ; c 2 ; c 3 ;...;c m ). Para un tratamento del tema ver Seleccón de Inversones Messut y otros cap 5 y 2 44

45 Sean c () y c (2) dos vectores arbtraros de membros de la derecha, entonces: v(c () ) = f[(c () )] y v(c (2) ) = f[(c (2) )], con g [(c () )] c y g [(c (2) )] c con m N y sea λ [0; ] correspondente al vector ( -λ) c () + λ c (2) hay una solucón óptma [( -λ) c () + λ c (2) ] para la cual v[( -λ) c () + λ c (2) ] = f { [( -λ) c () + λ c (2) ]} Anotando = ( -λ) (c () ) + λ (c () ) La convedad de g mplca que para m N g () ( -λ) g [(c () )] + λ g [(c (2) )] ( -λ) c () + λ c (2) donde la últma desgualdad se deduce del hecho de que los dos vectores (c () ) y (c (2) ) sean factbles. Así es factble para el problema cuyo membro de la derecha es el vector ( -λ) c () + λ c (2). 45

46 Por defncón = [( -λ) c () + λ c (2) ] es óptmo de este problema. Por lo tanto: f() f{[( -λ) c () + λ c (2) ]} = v[( -λ) c () + λ c (2) ] (a) además la concavdad de f mplca que f() ( -λ) f [(c () )] + λ f [(c (2) )] = ( -λ) v(c () ) + λ v(c (2) ) (b) de (a) y (b) se deduce que: v[( -λ) c () + λ c (2) ] ( -λ) v(c () ) + λ v(c (2) ) que responde a la defncón de concavdad de v. Para v(c) = mn { f() sueta a g () c con m N R n } con f() convea y g (); g 2 ();...g m () todas cóncavas, de forma smlar, se puede demostrar que la funcón valor v(c) es convea. v(c) es no decrecente en cada varable c con m ya que s c crece y todas las otras varables están fas, el conunto factble se agranda. Por lo tanto v(c) no puede decrecer 46

47 ANEXO II Una forma cuadrátca semdefnda postva (negatva), es una funcón convea (cóncava) sobre R n. Se demostrará esta propedad para una forma cuadrátca semdefnda postva. Sea f() = T A 0 para todo dstnto del vector nulo con R n y n A n smétrca. Tomando dos puntos cualesquera () y (2) y sea z = [( -λ) () + λ (2) ] con λ [0; ]. Por defncón de funcón convea hay que demostrar que: z T A z ( -λ) ()T A () + λ (2)T A (2) por defncón de z z T A z = [( -λ) () + λ (2) ] T A [( -λ) () + λ (2) ] z T A z = [( -λ) () A + λ (2) A] T [( -λ) () + λ (2) ] z T A z = λ 2 (2)T A (2) + ( -λ) λ ()T A (2) + λ (2)T A ( -λ) () + + ( -λ) 2 ()T A () 47

48 z T A z = λ 2 (2)T A (2) + λ ()T A (2) - λ 2 ()T A (2) + λ (2)T A () - - λ 2 (2)T A () + ()T A () - 2λ ()T A () + λ 2 ()T A () aplcando ()T A (2) = [ ()T A (2) ] T = (2)T A () en el 4 térmno ( ) z T A z = λ 2 (2)T A (2) + λ ()T A (2) - λ 2 ()T A (2) + λ ()T A (2) - - λ 2 (2)T A () + ()T A () - 2λ ()T A () + λ 2 ()T A () sumando el 2 y el 4 térmno z T A z = λ 2 (2)T A (2) + 2 λ ()T A (2) - λ 2 ()T A (2) - λ 2 (2)T A () + ()T A () - 2λ ()T A () + λ 2 ()T A () z T A z = λ 2 ( (2)T A (2) - ()T A (2) - (2)T A () + ()T A () ) λ ( ()T A (2) - ()T A () ) + ()T A () z T A z = λ 2 ( (2) - () ) T A (2) ( (2) - () ) T A () ) λ ()T A ( (2) - () ) + ()T A () z T A z = λ 2 ( (2) - () ) T A ( (2) () ) + 2 λ ()T A ( (2) - () ) + + ()T A () 48

49 aplcando la propedad ( ) en el 2 térmno z T A z = λ 2 ( (2) - () ) T A ( (2) () ) + 2 λ ( (2) - () ) T A () + + ()T A () como λ [0; ] y T A 0 se deduce que λ ( (2) - () ) T A ( (2) () ) λ 2 ( (2) - () ) T A ( (2) () ) Entonces : z T A z λ ( (2) - () ) T A ( (2) () ) + 2 λ ( (2) - () ) T A () + + ()T A () z T A z (λ (2)T A - λ ()T A) ( (2) () )+ 2 λ (2)T A () - - 2λ ()T A () + ()T A () z T A z λ (2)T A (2) - λ (2)T A () - λ ()T A (2) + λ ()T A () + +2λ (2)T A () - 2 λ ()T A () + ()T A () aplcando la propedad ( ) en el 3 térmno: z T A z λ (2)T A (2) - λ (2)T A () - λ (2)T A () + λ ()T A () λ (2)T A () - 2 λ ()T A () + ()T A () 49

50 cancelando 2, 3 y 5 térmnos y sumando 4 y 6 térmnos z T A z λ (2)T A (2) - λ ()T A () + ()T A () z T A z λ (2)T A (2) + (- λ) ()T A () que es lo que se quería demostrar. El razonamento para una forma cuadrátca semdefnda negatva es análogo. 50

51 Funcón convea Sea f : X R con X R n conveo, f es una funcón convea () ; (2) X λ [0; ]: f[λ () +( - λ) (2) ] λ f( () ) + ( - λ) f( (2) ) f es estrctamente convea () ; (2) X λ [0; ] f[λ () +( - λ) (2) ] < λ f( () ) + ( - λ) f( (2) ) Funcón cóncava Sea f : X R con X R n conveo, f es una funcón cóncava () ; (2) X λ [0; ]: f[λ () +( - λ) (2) ] λ f( () )+( - λ) f( (2) ) f es estrctamente cóncava () ; (2) X λ [0; ]: f[λ () +( - λ) (2) ] > λ f( () )+( - λ) f( (2) ) Funcones cuascóncavas- cuasconveas Una funcón f es cuascóncava (cuasconvea) s, () (2) X domno conveo de f λ [0; ]: f () (2) [ λ. + ( λ)). ] f ( f ( () (2) () ( ) f ( ) f (2) Y lo será de manera estrcta s las dos desgualdades débles de la derecha se susttuyen por desgualdades estrctas > f ( () ) < f ( (2) ) 5 ) )

52 Una funcón dferencable f() con R n es cuascóncava (cuasconvea) s () (2) X domno de f: f ( (2) ) f ( () ) n = n = f f () ( 2) ( ( (2) (2) () () ) 0 ) Para la cuasconcavdad y cuasconvedad estrctas la desgualdad de la derecha tendrá que ser susttuída por la desgualdad estrcta > 0 S la funcón es dos veces contnuamente dferencable, la cuasconcavdad y cuasconvedad, en el ortante no negatvo, pueden verfcarse estudando el sgno de los sguentes menores prncpales de la matrz hessana : 0 f f 2...f n f f f 2... f n f 2 f 2 f f 2n... f n f n f n2... f nn 52

53 2 = 0 f 3 = 0 f f 2... n = 0 f f 2...f n f f f f f 2 f f f 2..f n f 2 f 2 f 22 f 2 f 2 f 22..f 2n... Condcones de Arrow-Enthoven Son váldas en el ortante no negatvo. f n f n f n2.. f nn Condcón necesara Condcón sufcente cuasconca- cuascon- cuasconca- cuasconvdad vedad vdad vedad < 0 < > 0 < < 0 < > 0 < 0 0 < 0 s es par s es par 0 > 0 s es mpar s es mpar n 0 < 0 53

54 Cualfcacón de restrccones (C.R.) La C.R. se cumple: S todas las restrccones son funcones lneales S cada restrccón es una funcón dferencable y convea, y este un punto * pertenecente al conunto factble en el cual todas las restrccones son nactvas: g ( * ) < 0 con m (condcón de Slater) S cada funcón de restrccón es dferencable, cuasconvea, este un punto * pertenecente al conunto factble tal que g ( * ) < 0 con m y s además para cada - o ben g () es convea - o ben para cada * g ( * ) 0 entonces se cumple la C.R. Las funcones g () correspondentes a las restrccones que están actvas en * tenen gradentes en * que son lnealmente ndependentes. La cualfcacón de restrccones es una restrccón mpuesta a las restrccones aún cuando no es una lmtacón concernente al conunto factble. 54

55 n Condcones necesaras de Kuhn-Tucker Suponendo que (0 ) 2 (0 ) (0 ) resuelve el = (0 ) ; problema: ( ;... ) ma. f ( ) s.a. g () c con m R n no estando acotada la cantdad de restrccones y donde f() y g () son funcones contnuamente dferencables. Suponendo que se verfca la C.R. Entonces,esten unos úncos números λ ; λ 2 ;... λ m tales que: (0) m f ( ) g a) λ = = 0 con n (0) (0) b) g ( ) 0 λ 0 λ g ( ) = 0 con m S se ncluyen las condcones de no negatvdad ma. f ( ) s.a. g () c con m m L = f ( ) + λ = 0 [ c g ( ) ] R n Serán: Suponendo que (0) R n resuelve el problema sendo la funcón obetvo y las restrccones funcones contnuamente dferencables y suponendo que se verfca la cualfcacón de restrccones entonces esten unos úncos números λ ; λ 2 ;...λ m tales que 55

56 a) 0 (0) 0 (0) = 0 λ b) 0 (0) λ 0 λ = 0 λ (0) Condcones sufcentes de Kuhn y Tucker Consderando el problema de programacón no lneal ma. f ( ) s.a. g () c con m 0 R n Donde la funcón obetvo y las restrccones son contnuamente dferencables, f es cóncava y las restrccones son conveas. Suponendo que esten λ con m Y un vector factble (0) tales que: a) = 0 n (0) b) 0 λ (0) λ 0 λ = 0 λ (0) 56

57 S se agregan las condcones de no negatvdad a) 0 (0) 0 (0) = 0 Entonces (0) resuelve el problema. S además se verfca la C.R. las condcones son necesaras y sufcentes, y s la funcón obetvo es estrctamente cóncava se puede asegurar que el mámo global es únco. Condcones necesaras y sufcentes en programacón cuascóncava (Arrow- Enthoven) Sea el problema ma. f ( ) s. a. g () c con m 0 R n Donde la funcón obetvo y las restrccones son contnuamente dferencables. Suponendo que esten números λ y un vector (0) R n tales que: 57

58 a) (0) es factble y se verfcan: b) 0 0 = 0 (0) (0) c) 0 λ (0) λ 0 λ = 0 λ (0) d) f() es cuascóncava y g () es cuasconvea en el ortante no negatvo e) Se satsface una cualquera de las sguentes: e- e- f f (0) (0) < 0 para al menos una varable > 0 para alguna varable que pueda tomar un valor postvo sn volar las restrccones ( en este caso es llamada en la lteratura del tema como varable relevante). e- (0) f ( ) 0, y la funcón es dos veces dferencable en un entorno de (0) e-v f() es cóncava Entonces en (0) la funcón se mamza. 58

59 Es decr s además de verfcarse a, b, c, d y e se satsface la C.R., entonces las condcones de Kuhn y Tucker son necesaras y sufcentes. Problema estandar en teoría de la demanda del consumdor Ma.U() s. a. p + p p p n n I Suponendo que U es contnuamente dferencable y cuascóncava. Las condcones de Kuhn y Tucker son: L = U() + λ ( I - p - p p p n n ) U a) = λ p 0 0 U λ p = 0 n b) = I p λ = 0 n λ 0 λ = 0 I p = Suponendo que (0) X n verfca a) y b) y suponendo que no todas las U (0) son cero, o sea que se supone que para algún ben no este sacedad, (condcón e-v de Arrow-Enthoven), y tenendo en cuenta que la funcón obetvo es cuascóncava y 59

60 la restrccón es lneal, se dan las condcones sufcentes de óptmo. Entonces a) mplca que λ > 0 y así p n = = I por b). Por lo tanto, se gasta todo el presupuesto y (0) X n resuelve el problema. Programacón cuadrátca: Má. f() = c T ½ T Q s.a. g () () b que equvale a A b (por ser restrccones lneales) 0 donde: c b a...a n q...q n c 2 2 b 2 a 2...a 2n q 2...q 2n c= = b= A= Q= c n n b m a m...a mn q n...q nn la matrz Q es smétrca semdefnda postva, lo que asegura que la funcón obetvo sea una funcón cóncava Las condcones de Kuhn y Tucker son necesaras y sufcentes cuando en el problema de programacón 60

61 matemátca se mamza una funcón cóncava y la regón de factbldad es un conunto conveo, como en este caso. Algortmo de Wolfe Consste en aplcar las condcones de Kuhn y Tucker al problema de programacón cuadrátca, reducendo el problema a otro de programacón lneal. En el proceso A + s = b sendo λ s = 0 Analzando esta últma relacón: λ > 0 s = 0 A = b λ = 0 s 0 A b Entonces nuestro problema quedará defndo de la sguente manera: n z = Mn W = s.a. Q + A T λ - β + C z = c 0 β = 0 β 0 A + s =b λ 0 λ s = 0 s 0 6

62 Destaquemos que por (3) y β no deben formar parte de la solucón factble básca al msmo tempo, y que por (4) λ y s tampoco deben formar parte de la solucón factble básca al msmo tempo. Problema de seleccón de la cartera de valores Bao certos supuestos sobre el comportamento del nversor Markowtz supuso que la funcón de utldad del ndvduo es U = f [E(R P );σ( R P )] con U E ( ) R P > 0 y U σ ( ) R P > 0 Entonces se plantea el problema mn V(R P ) s.a. E(R P ) = w R w = n = n = con w 0 n N Donde V(R P ) = [ w w ] 2 w n σ σ σ 2 n σ σ σ 2 22 n2 σ σ σ n 2n nn w w 2 w n 62

63 Se puede demostrar que la funcón V(R P ) es semdefnda postva (concepto amplo) y al ser las restrccones lneales se puede resolver por programacón cuadrátca. y se obtenen los w que se reemplazan en la funcón obetvo para calcular V ( ) R P mn y tambén σ(r P ) mn = V ) ( (resgo mínmo) R P mn y en n E(R = w R (el valor esperado del rendmento P ) mn = cuando el resgo es mínmo) Esto proporcona el punto [σ(r P ) mn ; E(R P ) mn ] en el gráfco E(R P ) E(R P ) mn σ(r P ) mn σ(r P ) Ahora planteamos el problema de hallar Mn. V(R P ) 63

64 n s.a. w R = n = E * (R P ) w = con w 0 = Con el parámetro E * (R P ) > E(R P ) mn Obtenéndose los w correspondentes a cada valor de E * (R P ), que se reemplazan en la funcón obetvo para calcular los respectvos V R ) y tambén los respectvos σ(r P ) = V R ). ( P ( P Esto proporcona otros puntos [σ(r P ); E(R P )] en el gráfco que conforman la frontera efcente E(R P ) E(R P ) 5 E(R P ) 4 E(R P ) 3 E(R P ) 2 E(R P ) E(R P ) mn σ(r P ) σ(r P ) mn σ (R P ) σ 2 (R P ) σ 3 (R P ) σ 4 (R P ) σ 5 (R P ) 64

65 Bblografía ARMITANO O., EDELMAN J. y PALOMARES GARCÍA U.( 985), Programacón no Lneal., Méco, Lmusa BALBÁS A. y GIL J. A.(987), Programacón Matemátca, España, Edtoral AC, BENAVIE Arthur,(972), Técncas Matemátcas del análss Económco, España, Prentce Hall, BERCK Peter y SYDSAETER Knut, 994, Formularo para Economstas, España, Bosch BERNARDELLO, Alca; VICARIO, Aldo,(999), Condcón de segundo orden en la optmzacón lbre y sueta a restrccones de gualdad,(999), XIV Jornadas CARBONELL Lorenzo y PERIS Josep E.(986), Problemas de Matemátcas para Economstas, España, Arel, S.A CHIANG Alpha C.(987), Métodos Fundamentales de Economía Matemátca, España, McGraw-Hll 65

66 EPPEN, G. D,(2000), Investgacón de Operacones en la Cenca Admnstratva, Méco, Prentce Hall ESCOBAR URIBE Dego,(998), Introduccón a la Economía Matemátca, Colomba, Grupo Edtoral Iberoamercana FERNÁNDEZ-POL Jorge Eduardo,(980), Leccones de Programacón no Lneal, Argentna, Macch GUERRERO CASAS Flor M..(994), Curso de optzacón: Programacón Matemátca, España, Arel INTRILIGATOR Mchael D, (973), Optmzacón Matemátca y Teoría Económca España, Prentce Hall. LANCASTER Kelvn,(972), Economía Matemátca, España, Bosch. LUENBERGER D. G.,(989), Programacón Lneal y no Lneal, Méco, Addson- Wesley 66

67 MADDEN Paul,(987), Concavdad y optmzacón en Mcroeconomía, España, Alanza MESSUTI D. J., ALVAREZ V. A. y GRAFFI H. R.,(992), Seleccón de nversones, Argentna, Macch MITAL K. V.,(984), Métodos de optmzacón,méco, Lmusa SYDSAETER Knut y HAMMOND Peter,(996), Matemátcas para el análss Económco.España, Prentce Hall. TAKAYAMA Akra, (985. Reprnted 997.), Mathematcal economcs, Estados Undos, Cambrdge Unversty Press WESTON, Fred J. y WOODS, Donald H.,(970), Teoría de la fnancacón de la empresa,barcelona, Gustavo Gll S. A. WINSTON Wayne L.,(994), Operatons Research-Applcatons and Algortms, thrd edton, Estados Undos,. PWS-Kent. 67