SOLUCIÓN PRIMERA ELIMINATORIA NACIONAL NIVEL C

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1 XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA MEP ITCR UCR UNA UNED - MICIT SOLUCIÓN PRIMERA ELIMINATORIA NACIONAL NIVEL C 01

2 1. Un factor de la factorización completa de corresponde a mx y + 9y m x y x 4 a) x( m y) b) x( m + y) c) d) y + mx xy y mx xy Solución c) y + mx xy ( ) mx y + 9y m x y x = 9y m x mx y + y x 4 4 ( y ) ( mx xy) y ( mx xy) y ( mx xy) = = + = y mx + xy y + mx xy. Sean AB un diámetro de una circunferencia de centro O y C y D puntos en la circunferencia tales que OBCD es un paralelogramo. Entonces, la medida del arco AD es a) 0 b) 40 c) 60 d) 65 Solución c) 60 A O B D C Como OB y OD son radios, OBCD es un rombo, por lo que OC biseca al ángulo Además, OC es un radio, por lo que DOC es equilátero. Entonces, m ODC = m BOC = m AOD = 60, con lo que mad = 60 DOB.

3 . En la figura A, B y C son los centros de las circunferencias, tales que CE = EB, AB = GB y el área del círculo de centro B es16π cm. Si C E B y A G B entonces el perímetro del ABC, en centímetros, es a) 81 b) 6 c) 18 d) 9 1. Solución b) 6 Tenemos las siguientes igualdades: CB = CE + EB = EB + EB = 4 EB AB = GB = EB AC = CE = EB Esto nos da que el perímetro del triángulo es 9 EB, por otro lado el área del círculo menor corresponde a EB π = 16π EB = 4, por lo tanto el perímetro del triangulo corresponde a 6 cm. 4. En un plano considere los puntos colineales de coordenadas ( a,5), ( 1, a) y (, a ). El punto de coordenadas ( 4 a, a 5) a) I cuadrante b) II cuadrante c) III cuadrante d) IV cuadrante se ubica en el

4 Solución d) IV Cuadrante Como los primeros puntos corresponden a una misma recta entonces debe 5 + a a = 15 + a = a + a 0 = a a 15 a + 1 cumplirse que 5 0 = ( a + 5)( a ) a = a = entonces ( a a ) , 5 =, ó ( 4 a, a 5) = ( 1, ) En ambos casos el punto se ubica en el IV cuadrante. 5. El valor numérico de la expresión a) b) c) d) 6 ( ) + ( ) 1 tan ( 0 ) tan 45 cos 60 es Solución b) 1 tan ( 45 ) + cos ( 60 ) 1+ = = = 1 1 tan ( 0 )

5 6. Si x y y son números reales mayores que 1, el numerador que se obtiene al racionalizar el denominador y simplificar la expresión x corresponde a y xy x + 8xy a) 6y 1 b) 6x xy c) x( xy + x ) d) y xy + x Solución d) y xy + x x x x = = y xy x + 8xy y xy x + y xy y xy x ( + ) x y xy + x x y xy x y xy + x = = = y xy x y xy + x 9y xy x 6y 1 7. En la figura se muestra un círculo de centro O inscrito en un cuadrado cuyo perímetro es cm. Cuál es el área, en centímetros cuadrados, de la región sombreada con gris? a) 6π b) 8 π c) π d) π 4 Solución b) 8 π

6 El área sombreada corresponde a la octava parte de la diferencia de las áreas del cuadrado y el círculo que se encuentra inscrito en éste. Como el perímetro del cuadrado es cm entonces cada lado mide 8cm y por lo tanto su área es Como el radio del círculo mide 4cm entonces su área es La diferencia de las áreas es ( π ) cm. 16 π cm π cm 8 cm. 8 Por lo tanto el área de la región sombreada es = ( π ) 64 cm. 8. Sea ABCD un cuadrado de lado a, M, N los puntos medios de BC y AB respectivamente y P el punto de intersección de AM y DN. La medida de PN es a) b) c) d) a 5 10 a 5 4 a 5 5 a 5 Solución a) a 5 10 ADN BAM por lo que BAM ADN y BMA AND. Luego, ADN PAN Como AD = AN se tiene que PA = PN. Llamemos PN = x, sabemos que a PA = x, AN =, y por el teorema de Pitágoras se tiene x a + 4x =, de donde 4 a 5 x = 10 C D M P B N A

7 9. Carmen tiene cuatro cadenas con distinto número de eslabones cada una de ellas e identificadas con las letras A, B, C y D. Todas las cadenas tienen entre 7 y 90 eslabones. A tiene 1 eslabones menos que B y C tiene menos que D y 5 menos que B. El número de eslabones de la cadena D es divisible por 11. Cuántos eslabones tiene la cadena A? a) 66 b) 77 c) 79 d) 8 Solución b) 77 Sólo hay dos números divisibles por 11 entre 7 y 90 incluyendo a éstos, que son 75 y 86, por lo que se procederá a construir una tabla para determinar el número de eslabones de la cadena A. Número de eslabones de A Número de eslabones de B Número de eslabones de C Número de eslabones de D Entonces el número de eslabones de la cadena D es 86 y por ende los eslabones de la cadena A son 77. Por lo que la opción correcta es B. 10. En la figura adjunta ABC y DEA son triángulos rectángulos congruentes entre sí y M es el punto medio de BC. A B M C E D Si BC = 4, entonces la medida de AC es a) 6 b) 4 6 c) d) 4

8 Solución a) 6 ABC DEA, de donde BC = EA = 4. Además, DEA MBA, por lo que Sea AB = DE = x, como MB =, se tiene que x 4 =, de donde x =. x DE AE =. MB AB Por el teorema de Pitágoras en ABC, AC = Considere la expresión x 01 + x x + x + 1, cuantos números enteros x hacen que dicha expresión sea igual a a) Tres b) Dos c) Uno d) Ninguno 01 x? Solución c) uno x x x x x x x x = = ( x ) x x = 1 Como se dice que x es entero entonces debe ser un divisor de -1, pero se puede observar que no puede ser 1, por lo tanto el único valor entero posible para x es Por otra parte, como la expresión x + x x contiene 010 términos, 1005 con exponente par y 1005 con exponente impar, cuando x = 1 esta expresión es cero. Por lo tanto, si x = 1se tiene que x x 010 (... x 1) 1 (0 1) = + =. 1. La medida, en centímetros, de la menor de las alturas de un triángulo cuyos lados miden 6cm, 7cm y 11cm corresponde a a) b) c) 10 d) 6 10

9 1 10 Solución a) 11 La menor altura del triángulo se encontrará sobre el lado mayor del triángulo y calculando el área de dicho triángulo con la fórmula de Herón tenemos, A = = 6 10 cm. Y como otra fórmula para el cálculo del área de un triángulo es 11h 1 10 sustituyendo se tiene que = 6 10 h = cm. 11 bh A = entonces, 1. Considere tres números enteros a, b, p tales que p es primo, a excede a p en unidades y b excede a a en unidades. Entonces con certeza se b cumple que el recíproco de es un número a 4 a) primo b) múltiplo de c) racional no entero d) entero no divisible por p Solución a) primo b Observe que a = p + y b = a + = p + 4, luego el reciproco de a 4 ( p ) + 4 = = = p. b p + 4 p + 4 a 4 p + 4 p es 14. En el siguiente sistema de ecuaciones donde a 0, b 0 y b a, x y x y + 1 = a b x y = 1 a b el valor de y es

10 a) b) c) d) ( ) ( a b) ( + ) ( a b) ( b) ( a b) ( ) ( a b) ab b a ab b a a a b b a Solución a) ( ) ( a b) ab b a De la segunda ecuación: x y = 1 bx ay = ab x = a + a y a b b De la primera ecuación: x y x y + 1 = b( x y) + ab = a ( x y) ( x y)( b a) = ab a b Sustituyendo x por a a + y se tiene: b a a ab a + y y ( b a) = ab a + y 1 = b b b a a ab y 1 = a b a b a b ab a ab + y = b a b ab a b y = a b a b ab b a y = ( ) ( a b)

11 15. El cuadrilátero ABCD es tal que AD = AB = BC = 1, DC = y AB es paralelo a DC. Entonces la medida del ángulo a) 45 b) 60 c) 90 d) 10 Solución: c) 90 DBC corresponde a Si se trazan las alturas del trapecio isósceles desde A y B se forma un rectángulo 1 y dos triángulos rectángulos semi-equiláteros pues un cateto mide y la hipotenusa 1. Así, m BCD = m ADC = 60 y por consiguiente los ángulos DAB y ABC miden 10 cada uno. Ahora, como ADB es isósceles, el ángulo ABD mide 0 y por lo tanto, el ángulo DBC mide 10 0 = Según los datos de la figura adjunta, en donde ABC es equilátero de lado l y EC = x, el resultado de DE + EF corresponde a a) l b) 4 l 5 l x c) ( ) d) l x

12 Solución a) l Como los triángulos AEF y CED son semiequiláteros (0, 60, 90 ), se cumple que: Considerando el CED: sen 60 ED ED sen 60 x = ED x EC = x = = Considerando el Entonces, EF EF AEF : sen 60 = = EF = ( l x) sen 60 = EA l x ( l x) x l ED + EF = + =. ( l x). 17. Considere las funciones f : N { 1, 1} y g : { 1, 1} N tales que 1 si n es par 1 si n no es primo f ( n) = g ( n) = 1 si n es impar y 1 si n es primo Si q es un número natural cuyos divisores primos son todos impares, entonces f ( q 1) g ( q 1) + corresponde a a) - b) -1 c) 0 d) Solución d) Observe que si q es un número natural cuyos divisores primos son todos impares entonces 01 q sigue siendo producto de impares, por lo tanto impar, luego 01 es par, entonces ( ) f q 1 = 1. Por otro lado tenemos que q 01 1 ( q )( q ) entonces g ( q 1) = 1. Entonces f ( q ) g ( q ) q 01 = + por lo tanto es compuesto, = 1+ 1 =. 1

13 x x 18. Sea x un número real tal que x = 7. Entonces el valor de es a) 9 b) c) 7 d) 5 x Solución b) Sea x y = x x x x x y = + + = + = y = Considere las funciones f : ( ) f n ( ) ( ) n + 1 si k n es par = n 1 si k n es impar f ( 01) corresponde a a) 011 b) 01 c) 01 d) 014 Solución c) 01 N N y g : N N y ( ) 1 ( 1) con k n = n + n. El valor de Para determinar f ( 01) se debe determinar primero el valor de k ( 01) = = ( ) + ( ) que es la suma de 1006 números pares y 1006 números impares, por lo tanto es par, por lo que f ( 01) = = 01.

14 0. En la figura ABCDE es un pentágono regular de centro O y P es el punto medio de AE. Qué porcentaje del área del pentágono es el área del cuadrilátero que está sombrado? a) 0% b) 5% c) 0% d) 40% Solución c) 0% Si se trazan los segmentos desde el centro del polígono a los vértices, se forman cinco triángulos congruentes, y la región sombreada corresponde a un triángulo y medio. Así, el porcentaje del pentágono sombreado es % = 100% = 0% La cantidad de soluciones reales de la ecuación a) 0 b) 1 c) d) Solución b) 1 log 4 ( x ) log ( x) = 1 es Para que la expresión del término izquierdo esté bien definida en R se requiere que x <. log ( 4 x ) = 1 log ( x) ( x ) ( x) log 4 = log 4 x = x = x x 0 ( x )( x ) + 1 = 0 x = ó x = 1 Por lo tanto la única solución de la ecuación es x = 1.

15 . Un trapecio isósceles tiene tres lados congruentes y un ángulo de 45. Si el perímetro es 14 cm entonces su área, en cm, es a) 1 b) 9 4 c) 1+ 5 d) + 10 Solución c) 1+ 5 De acuerdo con los datos de la figura y = x y entonces el perímetro del cuadrilátero está dado por P x 4x x( 4 ) ( ) 14 = x + 4 ( + ) = + = + de donde se tiene que ( ) x = = = = El área está dada por ( ) y + x A = x = x + xy = x + x = x 1+ ( ) ( ) ( )( ) A = 1 1+ = = La cantidad de números naturales de tres o cuatro cifras que tienen exactamente tres divisores positivos es la siguiente a) 17 b) 19 c) 1 d)

16 Solución C) 1 Un número que tiene exactamente tres divisores debe ser el cuadrado de un número primo, y si tiene tres o cuatro cifras debe ser el cuadrado de un número primo mayor que 10 y menor que 100. El problema entonces se reduce a contar los números primos desde el 11 hasta el 97: son 1 en total: 11, 1, 17, 19,, 9, 1, 7, 41, 4, 47, 5, 59, 61, 67, 71, 7, 79, 8, 89 y Sea D el pie de la altura sobre la hipotenusa del ABC rectángulo en A. Si BD = y la razón entre el área del ABD y el área del ADC es 4 9 entonces BC es igual a a) 9 b) 9 4 c) 7 8 d) 9 8 Solución d) 9 8

17 Por AA, ABD CAD y como la razón entre sus áreas es 4 9 entonces la razón entre sus lados correspondientes es. Por lo tanto 9 AD AD = = 4. Por el teorema de la altura sobre la hipotenusa se tiene que 9 7 CD = CD =. 4 8 Entonces 7 9 CB = + = Una solución de la ecuación a ( x 1) diferentes de cero, es a) b) c) d) b a b a b + b a a b a + b b b + a + b a bx =, con a, b R constantes x + 1 Solución d) b + a + b a bx a ( x ) = a ( x )( x + ) = bx ax bx a = x ( b) 4 a a 4b 4a 4( b a ) = = + = + Luego ( ) b ± 4 b + a b ± b + a x = = a a