UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

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1 UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Método de igualación. Método de reducción. Método de sustitución Método de eliminación Gaussiana. Método de GAUSS-JORDAN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: conjunto de ecuaciones que tienen exponente uno y su representación gráfica es una recta. 2X +3Y =4 3X+7Y=-2 ecuaciones SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: Son expresiones definidas de la siguiente manera a1.x1 + a2.x2 + + an. xn =b sus variables están elevadas al exponente uno, donde: x1, x2,, xn: son variables de la ecuación a1, a2,, an: son coeficientes de las variables. b: término independiente o constante. ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS. Esta definida dela forma a x + a y = c Donde: x, y : son variables. a, b: son coeficientes. c: son términos independientes o constantes

2 TIPOS DE SISTEMA DE ECUACIONES. La resolución de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de número reales que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema, el mismo valor de las variables debe satisfacer todas las ecuaciones. Única Solución: Las variables tienen una respuesta satisfactoria. X=N, Y=N Son llamados sistema compatible determinado y gráficamente las rectas se cortan en un solo punto, es decir tienen un punto en común. Infinitas Soluciones: En este sistema X y Y son iguales a cero, 0=0 Son llamados sistema compatible indeterminado y gráficamente las rectas se solapan (una sobre la otra), tienen infinitos puntos en común. Sin Solución: En este caso no se cumple la igualdad en el resultado obtenido, 3=5, 0=4, dos líneas paralelas la recta no se corta son llamados sistema incompatibles o inconsistente gráficamente las rectas son paralelas no tienen punto común de intersección. NOTA: LOS SISTEMA COMPATIBLE O CONSISTENTE SON AQUELLOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES QUE TIENEN UNO O INFINITAS SOLUCIONES. NOTA: LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEOS SON SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DONDE TODOS LOS TÉRMINOS INDEPENDIENTES O CONSTANTES SON CEROS Y SIEMPRE TIENEN AL MENOS UNA SOLUCIÓN TRIVIAL (SUS VARIABLES SERAN IGUAL A CERO) MÉTODO DE SOLUCIÓN PARA SISTEMA DE ECUACIONES. o Método de Sustitución: Consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente para a

3 continuación sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistema con más de dos incógnitas la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en las que hemos despejado 3x+y =22 4x-3y=-1 Despejando Y Y=22-3X Sustituir cada ocurrencia de la incógnita Y en la otra ecuación para así obtener una ecuación en donde la única incógnita sea X entonces 4x-3(22-3x) = -1 4x-66+9x = -1 13x =65 X=5 Si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos 3(5) +y = 22 Y = Y=7 o Método de Igualación: Se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí, aparte derecha de ambas ecuaciones. Despejamos ambas: 3x+y = 22 4x-3y =-1 Y= 22-3x (-1) -3y = -1-4x (-1) Y = 1+4x / 3

4 Ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda puede afirmar que las partes derechas también son iguales. 22-3x= 1+4x 3 3(22-3x) = 1+4x 66-9x = 1+4x -9x-4x= 1-66 (-1) -13x = -65 (-1) X = 65/13 X=5 por lo que se Ahora que tenemos a X sustituimos en una de las ecuaciones originales y buscamos el valor de Y. o Método de Eliminación o Reducción: Consiste en transformar una de las ecuaciones de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. Si suman las dos ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita. 2x-3y=5 5x+6y =4 2 { 2x +3y = 5 {5x+ 6y =4-4x -6y= -10 5x+6y =4 X=-6 2(-6) +3y= y = 5 Y = 17/3 GUIA DE EJERCICIOS. MÉTODO DE SOLUCIÓN PARA SISTEMA DE ECUACIONES. 1. 3X + Y = 22

5 4X - 3Y = X + 3Y = 9-2X + Y = X + 3Y = 8 3X Y = 1 4. X + Y = 5 X Y = X - 3Y = -15 3X + Y = 0 6. X - 2Y = 5 Y - 3X = X + 2Y = 7 2X - 3Y = X + 3Y = 11 5X - 2Y = X + 6Y = 39 8X - 7Y = X + 2Y = 21 5X - 3Y = X + Y = 1 X - Y = X + Y = 22 4X - 3Y = -1

6 RESOLUCIÓN DE m de ECUACIONES LINEALES CON n INCÓGNITAS. Conjunto finito de ecuaciones lineales Se escribe: a11.x1 + a12.x2 + + a1n.xn = b1 a21.x1 + a22.x2 + + a2n.xn = b2 a31.x1 + a32.x2 + + a3n.xn = b3... am1.x1 + am2.x2 + + amn.xn = bm Donde: x1: es la incógnita o variable 1 i n. aij: coeficiente que acompaña a las incógnitas i: número de ecuaciones, 1 i m j: número de incógnitas a la cual multiplica 1 j n. a11 representa el coeficiente que acompaña a la primera variable ubicada en la primera ecuación, a32 representa el coeficiente que acompaña la segunda variable ubicada en la tercera ecuación. b1: término independiente o constante 1 i m MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA. DEFINICIÓN DE UN SISTEMA TRIANGULAR: ES UN SISTEMA EN EL CUAL TODOS LOS COEFICIENTES DE LA LINEA DIAGONAL NO SON NULOS, Y NULOS TODOS LOS SITUADOS DEBAJO DE ELLA. SON SISTEMAS TRIANGUALES LOS SIGUIENTES: 2X + Y + Z = 2 -Y - 3Z = 4 2Z = 8

7 X + Y Z = -3 2Y - 4Z = 10 3Z = 6 3X - 2Y Z = 4 3Y + Z= 10-2Z = -2 Este método consiste en transformar el sistema de ecuaciones original hasta obtener un sistema triangular.la idea es obtener un sistema equivalente aplicando el método de reducción para conseguir que las diversas ecuaciones sean tales que en una de ellas sólo aparezca una incógnita ; en otra aparezca dos incógnitas ; entre las que se encuentran la que ha permanecido en la ecuación anterior; en otra ecuación aparezca tres incógnitas, entre las que se encuentre las dos que han permanecido en la ecuación anterior ; y así sucesivamente. Cuando el sistema quede triangulado la resolución será más sencilla. OBSERVACIONES: Debemos tener presente lo siguiente: Si el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO y admite una única solución. Si el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas el sistema resulta COMPATIBLE INDETERMINADO y como consecuencia admitirá infinitas soluciones.

8 Si tiene una ecuación en donde todos los coeficientes son nulos y el término independiente diferente de cero, el sistema es INCOMPATIBLE y como consecuencia no tiene solución. Si el sistema es homogéneo éste será SIEMPRE COMPATIBLE. Aquí se hace el mismo razonamiento anterior, con la condición que la solución es trivial sí el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas. Si el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema admite soluciones diferentes de la trivial, Se dice que es INDETERMINADO. TEOREMA: UN SISTEMA HOMOGÉNEO DE ECUACIONES LINEALES, QUE TIENE MÁS INCÓGNITAS QUE ECUACIONES, SIEMPRE TIENE UN NÚMERO INFINITO DE SOLUCIONES. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSIANA Consiste en reducir sistema de ecuaciones lineales a otro que es más fácil de resolver y que tiene el mismo conjunto de soluciones que el original. Procedimiento: a) Conformar la matriz aumentada asociada al sistema, b) Aplicar las operaciones elementales por filas hasta llevar la matriz a la forma escalonada. c) Con los elementos anteriores conformamos el nuevo sistema de ecuaciones. Ejemplo: Sea el siguiente sistema x + 3y z = 0 2y +z = 1 3x +7y +z = 2 un

9 a) Se conforma la matriz aumentada asociada al sistema. NUEVO SISTEMA DE ECUACIONES X + 3Y Z = 0 (A) Y 2Z = 1 (B) Z = -1/ A= b) Se aplican las operaciones elementales A= A= A= A= / A= /5 Sustituyendo C en B y despejando Y, nos queda : y = 3/5 Sustituyendo C, B, en A y despejando X, nos queda : x= F2 F2, 1 2-3F1+ F3 F3 F3+F2 F2 F3 F3 F2 < F3 MATRIZ ESCALONADA COMPRUEBE QUE LOS VALORES DE x = -2, y= 3/5, z = -1/5, son los correctos y satisfacen el sistema, sustituyéndolos en el sistema original.

10 GUIA DE EJERCICIOS. MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSIANA. a) X+Y+2Z=9 2X+4Y-3Z=1 3X+6Y-5Z=0 b) 2X-4Y+3Z=11 3X+3Y-Z=2 X-Y+2Z=5 c) 2X+2Y+Z=4 X+3Y+Z=0 5X+Y+Z=12 d) 2X+5Y+Z= 27 3X+2Y+4Z=13 2X+Y-2Z=7 e) X+Y+Z=4 2X-Y+3Z=-2 3X-+2Z=1 f) 3X-4Y+2Z=-3 4X+2Y-4Z=4 2X-3Y+Z=-3 g) 3X+Y-2Z=2 X+Y Z=1 2Z+2Y-3Z=1

11 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Consiste en reducir un sistema de ecuaciones lineales a otro sistema que es más fácil de resolver y que tiene el mismo conjunto de solución que el sistema original. Procedimiento: a) Conforme la matriz aumentada asociada al sistema. b) Aplicar las operaciones elementales por filas hasta llevar la matriz a la forma escalonada reducidas por filas. c) Con los elementos anteriores conformamos el nuevo sistema de ecuaciones Ejemplo: Tomando la matriz escalonada del ejemplo anterior A= /5-3F2+F1 F A= /5 2F3+F2 F2, -5F3+F1 F1 Se obtiene la matriz escalonada reducida por filas: El nuevo sistema es: X= -2 Y= 3/5 Z= -1/ A= / /5

12 Método Gauss Jordán 1. X -2 Y+ 3Z = 11 4X + Y- Z = 4 2X - Y+ 3Z = X + 6Y -6Z = 9 2X - 5Y+ 4Z = 6 -X + 16Y -14 = X + 6Y-6Z = 9 2X -5Y+ 4Z = 6 5X + 28Y-26Z = X + Y- Z = 7 4X - Y+ 5Z = 4 6X + Y+ 3Z = X + 4Y+ 6Z = 18 4X + 5Y+ 6Z = 24 2X + 7Y+ 12Z = X + 4Y+ 6Z = 18 4X + 5Y+ 6Z = 24 3X + Y-2Z = X + 6Y -9Z = 3 2X + 4Y -8Z = 0-2X - 3Y+4 Z = X + 2Y+ Z = 1 5X + 3Y+ 4Z = 2 X + Y- Z = 1

13 9. 2X - Y+ 2Z = 6 3X + 2Y- Z = 4 4X + 3Y-3 Z = X + Y+ Z = 1 2X + 3Y -4Z = 9 X - Y+ Z = X + 2Y+ Z = 1 5X + 3Y+ 4Z = 2 X + Y- Z = X - 9Y+ 5Z = 33 X + 3Y- Z = -9 X - Y+ Z = X + 3Y+ Z = 1 3X -2Y-4Z = -3 5X Y- Z = X + 2Y+ 4Z = 1 5X Y - 3Z = -7 4X + 3Y+ Z = 2

14 UNIDAD II: VALORES Y VECTORES PROPIOS. DEFINICIÓN DE MATRIZ: Una matriz es un cuadro rectangular de números formados por m filas y n columnas. Los números en el cuadro son llamados elementos de una matriz. Los elementos de las líneas horizontales los llamaremos filas y los elementos de las líneas verticales los llamaremos columnas. Consideremos la siguiente matriz: < A= < < FILAS COLUMNAS Las matrices serán denotadas con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas. Este último es el caos de la matriz F. F= a b c d ORDEN DE UNA MATRIZ: se define como número s de filas x número de columnas; por tanto, una matriz de m filas y n columnas de orden mxn. De los ejemplos vistos anteriormente se tiene que: A es una matriz de 3 filas y cuatro columnas. Tiene orden 3x3 - A 3X4 F es una matriz de dos filas y dos columnas. Tiene orden 2x2 F 2x2 EXPRESIÓN GENERAL DE UNA MATRIZ DE ORDEN mxn: La expresión ge Eral de una matriz cualesquiera puede escribirse empleando letras con subíndices asi:

15 a 11 a 12 a 13 a1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n am1 am2 am3 amn Los subíndices indican la posición del número en la matriz. El primero indica la fila y el segundo indica la columna. a 23 : denota el elemento de la fila 2 y la columna 3. a 41 : denota el elemento de la fila 4 y la columna 1. a ij : denota el elemento de la fila i y la columna j. Ejemplo: M= a 23 = 5 a 32 = 4 a 33 = 8 a 12 = 1 a 21 = 2 a 13 = 0 ALGUNOS TIPOS DE MATRICES: Atendiendo su forma Matriz: fila, columna, cuadrada, traspuesta. Atendiendo a los elementos Matriz: Nula, diagonal, unidad o identidad, triangular. OPERACIONES CON MATRICES. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES: La suma de dos matrices A y B del mismo orden es otra matriz A + B del mismo orden, obtenida sumando los elementos correspondientes de las matrices sumandos A = B=

16 La suma de las matrices A y B vendrá dada así: A + B = = A + B = PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES. 1. Propiedad Asociativa. A + (B + C) = (A + B) + C. 2. Propiedad Conmutativa. A + B = B + A Es la matriz nula. A + 0 = A 4. La matriz A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta, ya que: A+(-A)=0 Dos matrices son opuestas si su suma es la matriz nula o cero. LA DIFERENCIA DE LAS MATRICES A y B se representa por A B, y se define así: A B = A + (-B) PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO. Es otra matriz obtenida multiplicando cada uno de los elementos de la matriz por el número Ejemplo: A = y el escalar 3 se tiene que: A = A = = 3. ( 5) ( 2) ( 3) 3.0

17 PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ. Si h y k son nímeros reales cualesquiera y A y B matrices se tiene que: 1. Propiedad distributiva primera k (A + B) = ka + kb. 2. Propiedad distributiva segunda (k + h) A = ka + Ka. 3. Propiedad asociativa mixta k(h.a) = (kh) A 4. Elemento neutro 1.A = A GUÍA DE EJERCICIOS MATRICES. Dadas las matrices A= B= D= E= F= C= ESCALARES k 1 = 2 k 2 = 3 G= Encontrar: k 1. A + k 2. B k 1. B + k 2. C A t + C t Método para resolver sistemas aplicando inversa de una matriz. Inversa de una matriz 2x2. Inversa de una Matriz de tamaño nxn. Transpuesta de una matriz.

18 GUIA DE EJERCICIOS MATRICES B= C= D= E= 3/ /5 F= 2 1/ /2 G= H= I=

19 J= K= L= 4 6 M= N= O= P= Q= R=

20 0 1 2 S= T= U= V= UNIDAD III: TÓPICOS DE ANÁLISIS NUMÉRICOS. Función determinante. Función permutación. Definición de determinante. Determinante de una matriz de tamaño 2x2, 3x3 y nxn. Regla de CRAMER. Método de Co-Factores. Ejercicios Prácticos

21 UNIDAD IV: ESPACIOS VECTORIALES. Espacio vectorial. Definición de espacio vectorial y SUBESPACIO vectorial. Realización de ejercicios. Definición de combinación lineal. Definición de dependencia e independencia lineal. Definición de base vectorial y dimensionamiento. Vectores propios: propiedades y aplicaciones. UNIDAD V: TRANSFORMACIONES LINEAL. Transformación lineal. Matriz asociada a una transformación lineal. Definición de imagen, rango y núcleo. Transformaciones ortogonales. Transformaciones de R2 a R2 de R3 a R3, de Rn a Rn.