LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Transcripción

1 pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO c significa que toma valores cada vez más próimos a c. Se lee tiende a c. Por ejemplo: ; `9; `; `; `; `; `9; `; `999; Es una secuencia de números cada vez más próimos a. Escribimos. c significa que toma valores cada vez más próimos a c, pero menores que c. Se lee tiende a c por la izquierda. Por ejemplo, la secuencia: ; `; `; `9; `99; Está formada por números menores que y cada vez más próimos a. Escribimos. c significa que toma valores cada vez más próimos a c, pero mayores que c. Se lee tiende a c por la derecha. Por ejemplo, la secuencia: ; `; `; `; `; Escribiremos. Si c, entonces toma valores variables. Como consecuencia la función f también toma valores variables. El comportamiento de f cuando c, se epresa así: f límite de f cuando tiende a c por la izquierda c f c cualquier valor, por grande que sea. Ejemplo: f Cuando c, f toma valores cada vez más grandes, llegando a superar `9 `99 F f f c Cuando c, f toma valores cada vez más negativos. Ejemplo: f `9 `99 f f f L Cuando c, f toma valores cada vez más próimos al número L. c Ejemplo: f `9 `99 f ` `9 f

2 pág. f c límite de f cuando tiende a c por la derecha El significado es similar al del f que hemos visto para c. c y los comportamientos que pueden darse son idénticos a los f c límite de f cuando tiende a c Es el comportamiento de la función cuando se aproima a c, sin importar si es por la derecha o por la izquierda. Si c f f L, decimos que f L. c c Análogamente, cuando los dos límites laterales son + ó -. Si los dos límites laterales no toman el mismo valor, se dice que no eiste el f. c LÍMITES EN EL INFINITO Para epresar que toma valores cada vez más grandes, ponemos +. Se lee tiende a más infinito. Por ejemplo, si toma los valores,,,,, decimos que +. f límite de f cuando tiende a más-infinito f f Cuando +, los valores de f crecen cada vez más. Cuando +, los valores de f son cada vez más negativos. f L Cuando +, los valores de f son cada vez más próimos a un número L. Ejemplo: f f `7 `997 ` f f no eiste Cuando +, los valores de f ni crecen ni decrecen indefinidamente, ni se acercan cada vez más a ningún número.

3 pág. f límite de f cuando tiende a menos-infinito El significado es similar al del f que hemos visto para -. y los comportamientos que pueden darse son idénticos a los LÍMITE DE OPERACIONES CON FUNCIONES Sean f y g dos funciones tales que eistan f valor real o, entonces: a y g a y c un número real, a puede ser un PROPIEDADES FUNCIÓN OPERACIONES f g f g Suma Adición a a a f g f g Diferencia a a a f g f g Producto Multiplicación a a f g a f a g a a Cociente c g c g Producto por un Multiplicación por un número a a número g g f f a Potencia Potenciación a a f = L g = M f = + g = M f = - g = M f = L g = + f = L g = - f = g = f = g = f = + g = + f = - g = - [f + g] [f - g] [f g] f g L + M L - M L M L/ si L L/M si M / si L=M= si M> - si M< si M> + si M< si L> - si L< si L> + si L< [] + si M> - si M< - si M> + si M< [] + [+] [+] + - [-] [-] +

4 pág. f = + g = - f = - g =+ [+] + [-] + - [-] + [+] - - Estas relaciones son ciertas siempre que tengan sentido las operaciones definidas con números reales o las definidas al añadir los elementos + y -. En caso contrario no es posible obtener el límite del primer miembro a partir de los límites del segundo. Cuando esto ocurre se dice que el cálculo del límite es indeterminado. Esta epresión no significa que el límite no eista o no se pueda determinar, sino que la aplicación directa de los teoremas tal y como están enunciados es imposible. Los casos de indeterminación son los siguientes: Racionales k/, /,, -, / Eponenciales,, Si al calcular un límite se presenta alguno de estos casos, conviene transformar la epresión de la función en otra equivalente a la que sí puedan aplicarse los teoremas de los límites. Las indeterminaciones que vamos a estudiar este curso son las siguientes: ETERMINACIONES L TIPOS K - CÁLCULO DE LÍMITES Cálculo de límites de una función en un punto El primer paso para calcular un límite es sustituir el número al que tiende en la función.. El límite de una constante, en cualquier punto, es ella misma: k k. El límite de una función polinómica, f=p, cuando a, coincide con Pa. a

5 pág. a P P a Ejemplo:. El límite de un cociente de polinomios, f=p/q, cuando a, coincide Pa/Qa si Pa y Qa. a Q a P Q P a Ejemplo:. Indeterminación a La indeterminación / de funciones racionales desaparece descomponiendo en factores el numerador y el denominador y simplificando. 7 b La indeterminación / de funciones con radicales desaparece multiplicando y dividiendo la función por la epresión radical conjugada. 9

6 pág.. Indeterminación k/ El caso k/, k, no suele tomarse como indeterminado ya que el límite, si eiste, es siempre + ó -. Se calculan los límites laterales; si son iguales, la función tiene límite + ó -; en caso contrario no eiste el límite. K No eiste el límite K No eiste el límite. La indeterminación - de funciones racionales desaparece efectuando la operación y reduciendo la diferencia a una única epresión. Cálculo de límites en el infinito. El límite de un polinomio cuando es ó - según que el signo del coeficiente del término de mayor grado sea positivo o negativo.. Límites cuando - Se calculará el límite cuando de la epresión que resulte de cambiar por en la función. NOTA: No son indeterminaciones las siguientes epresiones: ; ; k k, k ;. Indeterminación ; ; ;. La indeterminación desaparece dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia de. Podemos dar la siguiente regla para hallar límites + de funciones racionales: m P a... n Q b... si gra do de P P si gra do de P Q a si gra do de P b gra do de Q gra do de Q gra do de Q

7 pág.7 También podemos resolverlos tomando únicamente los términos de mayor grado tanto del numerador como del denominador. n m n m b a b a La indeterminación - a La indeterminación - de funciones racionales desaparece efectuando la operación y reduciendo la diferencia a una única epresión b La indeterminación - de funciones con radicales desaparece multiplicando y dividiendo la función por la epresión radical conjugada.

8 pág. ASÍNTOTAS Si f, ar, la recta =a, es una asíntota a vertical. Para determinar si f tiende a más o menos inifinito, en =a, habría que calcular los límites laterales y así determinamos la posición de la curva respecto a la asíntota. En las funciones racionales se busca en los valores de que son raíces del denominador. Asíntota horizontal a la izquierda Si f b, br, la recta y=b es una asíntota horizontal. Asíntota horizontal a la derecha Cálculo de asíntotas oblicuas: Por ser una asíntota oblícua tendrá por ecuación y=m+n, donde m indica la pendiente de la recta y n la ordenada en el origen. m y m, n. Los valores de m y n se obtienen calculando los siguientes límites: f m y n f m Para estudiar la posición de la gráfica respecto de las asíntotas oblicuas y horizontales calculamos los límites cuando de la diferencia entre la función y la asíntota. Si el resultado es positivo, la función está encima de la asíntota, y si es negativo, está debajo. Si una función tiene una asíntota horizontal, entonces no tiene asíntota oblicua.

9 pág.9 La asíntota vertical de la función f es la recta =: La asíntota horizontal de la función f es la recta y : Posición de la gráfica respecto de la asíntota: La gráfica está debajo de la asíntota. La gráfica está encima de la asíntota. La asíntota oblicua de la función f es la recta y = - : m n Posición de la gráfica respecto de la asíntota: La gráfica está debajo. La gráfica está encima. Observaciones prácticas acerca de las asíntotas horizontales y verticales: - Las funciones polinómicas tienen ramas infinitas, pero no tienen asíntotas horizontales y tampoco verticales. - Las fracciones algebraicas tienen asíntota horizontal si el numerador y el denominador tienen el mismo grado. En ese caso, es la misma asíntota por la izquierda que por la derecha. - Las fracciones algebraicas tienen tantas asíntotas verticales como raíces tenga el denominador, salvo que el numerador tenga alguna de esas raíces; en tal caso conviene, previamente, simplificar la fracción.

10 pág. - Las epresiones con radicales pueden tener dos asíntotas horizontales. - En general, las asíntotas verticales son propias de epresiones que «se hacen infinitas» para valores finitos de. CONTINUIDAD La idea intuitiva de continuidad implica una variación suave de la función, sin saltos bruscos que rompan la gráfica de la misma. Función continua en un punto: Una función y=f es continua en el punto = a si se cumplen las tres condiciones siguientes: a Eiste fa. b Eiste el límite de la función f en = a y es un número real. c El límite y el valor de la función coinciden. Es decir, f f a. La continuidad o discontinuidad de una función en un punto eige estar definida la función en él. Por ejemplo, la función f=/ no es continua no discontinua en = ya que no está definida. Sin embargo, vamos a hablar de discontinuidad en ese punto. Una función y=f es continua por la izquierda en el punto = a si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir, f f a. Una función y=f es continua por la derecha en el punto = a si el límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir, f f a. Discontinuidades a a Un punto = a es un punto de discontinuidad de la función y=f, si la función no es continua en dicho punto. Una función es discontinua en un punto si falla una de las tres condiciones anteriores. Estos fallos dan lugar a la siguiente clasificación de discontinuidades: a a Discontinuidad evitable: Es un tipo de discontinuidad en la que eiste el límite y es finito, pero el valor de la función en el punto o no eiste o está desplazado. Se llama evitable porque podemos hacerla continua dándole a la función en el punto el valor del límite. b Discontinuidad de primera especie o de salto: Es un tipo de discontinuidad en la que la función presenta un salto en el punto. Eisten los límites laterales en el punto, pero son valores diferentes o infinitos. Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando eisten los límites laterales en él y son distintos. El valor f f se llama salto de la función en ese punto, y puede ser a a finito, si es un número real, o infinito. c Discontinuidad de segunda especie: Este tipo de discontinuidad se produce cuando no eiste uno de los límites laterales o ambos.

11 pág. Funciones continuas en un intervalo Una función es continua en un intervalo cuando lo es en todos y cada uno de los puntos del intervalo. Se dice que una función es continua cuando lo es en todos y cada uno de los puntos de su dominio de definición. Las operaciones con funciones continuas en =a dan como resultado otra función continua en él, siempre que tenga sentido la operación. Por tanto: todas las funciones elementales que utilizamos habitualmente polinómicas, racionales, irracionales, eponenciales y logarítmicas son continuas en todos los puntos donde están definidas. Las funciones definidas a trozos serán continuas si en los puntos de unión lo son, y cada función es continua en su trozo correspondiente. si Estudia la continuidad de la función f. si Se trata de una función continua en todo su dominio. si Estudia la continuidad de la función f, en =. si Presenta una discontinuidad evitable: añadiendo un punto a la función, esta se convierte en continua. si Estudia la continuidad de la función f, en =. si Presenta una discontinuidad inevitable de salto finito. si Estudia la continuidad de la función f, en =. si Presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito. si Dada la función: f, qué sucede en =? si

12 pág. a ; luego eiste f. b f=; luego la función está definida en =. c Los dos valores anteriores no coinciden. Por tanto, la función tiene una discontinuidad evitable en =. Para que la función fuera continua en =, debería ser f=. Dada la función: f, qué sucede en =? La función no está definida en =. Veamos cuál es el límite de la función en =: f f=. Para que la función fuera continua en =, debería ser

13 pág. OPERACIONES CON EXPRESIONES EN QUE APARECE SUMA Y RESTA PRODUCTO k K k K K K si si si si k k k k COCIENTE POTENCIA k k k k si k si k si k si k si k k si k k si k si k