tiene por límite L cuando la variable independiente x tiende a x , y se nota por L, cuando al acercarnos todo lo que queramos a x lím( x

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1 UNIDAD 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Diremos que una función y f () tiene por ite L cuando la variable independiente tiende a, y se nota por f ( ) L, cuando al acercarnos todo lo que queramos a, las f () se aproiman todo lo que queramos a L. Esta definición es de andar por casa, pero nos sirve para su comprensión. Las definiciones correctas las tenéis en el libro, pero no son necesarias saberlas. El que quiera que las estudie. Vamos a calcular de una manera un poco cutre ( ) haciendo una tabla de valores: La epresión, nos indica que puede tomar valores infinitamente cercanos a. Nos podemos acercar con valores próimos a pero menores que (ite lateral izquierdo) o bien con valores próimos a pero mayores a (ite lateral derecho) Hacemos la tabla por la izquierda: f ( ) Gráficamente nos queda así: y 9 8 f('99) 7'94 7 f('8) f('5) Las imágenes se aproiman a 8 f() - 4 Nos acercamos a por la izquierda O '5 '8 ' Según esta tabla podemos concluir que el ite lateral izquierdo, vale 8. ( ) 8 (el signo menos como superíndice del nos indica que es por la izquierda)

2 Análogamente, hacemos la tabla por la derecha 5 f ( ) Gráficamente nos queda así: f('5) 5 y Las imágenes se aproiman a 8 9 f(') 8'6 f(') 8' f() O Nos acercamos a por la derecha ' ' ' Según esta tabla podemos concluir que el ite lateral derecho, vale 8. ( ) 8 (el signo + como superíndice del nos indica que es por la derecha) Si hacemos una tabla con valores próimos a tanto por la izquierda como por la derecha simultáneamente, ( ) 8 también tendríamos que la función tiende a 8. Es decir, que tenemos que Luego concluimos, que para que una función tenga ite ha de tener los ites laterales y estos han de ser iguales. Matemáticamente se epresa de la siguiente forma: (esto es importante) f ( ) L ) f ( ) f ( L L Los ites laterales se usan sobre todo cuando la función viene definida de manera diferente por la izquierda o por la derecha. También se usan cuando el denominador de una fracción tiende a, NOTA: También si nos fijamos, para calcular los ites no hay que hacer aburridas tablas, bastaría con sustituir el valor al que tiende en la epresión de la función.

3 En nuestro ejemplo, 8 Ejemplo: Calcular los siguientes ites: a) (5 ) 5 9 b) 5 5 En estos dos simples ejemplos, se pueden hacer también los ites laterales y sus resultados son los mismos.. LÍMITES INFINITOS CUANDO TIENDE A UN NÚMERO FINITO. ASÍNTOTAS VERTICALES Supongamos una función cuya gráfica es como sigue: Tenemos que al acercarnos a por la izquierda la función va a f ( ), o sea, Tenemos que al acercarnos a por la derecha la función va a f ( ), o sea, Aquí los ites laterales no coinciden, uno va a global (acercándonos por los dos lados) es: f ( ) No le ponemos signo al infinito y el otro va a. En estos casos diremos que el ite Estos ites son de la forma k, que dan un infinito, y tenemos que estudiar si sale un cero negativo o positivo para conocer el signo del infinito o si no lleva. Ejemplo.- Calcular: a) 5 ) Si sustituimos nos queda puesto que el al estar al cuadrado da ( 5 igual que sea + ó -, pues siempre saldrá +. No hemos tenido que utilizar los ites laterales. Por tanto, concluimos que 5 ) ( 5

4 b) para conocer su signo Si sustituimos nos queda, que dará un infinito. Estudiemos los ites laterales ( ) ( ) Por tanto concluimos que, c) Si sustituimos nos queda, que dará un infinito. Estudiemos los ites laterales para conocer su signo. Para ello hemos de descomponer en factores el polinomio denominador: Hacemos los laterales: LATERAL IZQUIERDO LATERAL DERECHO Y por tanto concluimos que, 4 4 NOTA IMPORTANTE: En estos casos, como hemos visto, algún ite da como resultado,,, entonces como en el dibujo del principio de este apartado se observa, tenemos una ASÍNTOTA VERTICAL, que es la recta o Ejemplo.- Si observamos la gráfica siguiente, 4

5 Tenemos que izquierda a f ( ) Ejemplo.- En este otro ejemplo gráfico, y entonces la recta es asíntota vertical por la derecha y por la Tenemos que f ( ) Además, se observa que, y entonces la recta es asíntota vertical por la izquierda a f ( ). LÍMITES FINITOS EN EL INFINITO. ASÍNTOTAS HORIZONTALES Se trata de ites donde la variable independiente tiende a ó a, y la función tiende a un nº finito. Son, por tanto, funciones que cumplen que f ( ) L o f ( ) P, donde L y P han de ser finitos. Además esto nos permite conocer las asíntotas horizontales de la función: y L es asíntota horizontal en P y es asíntota horizontal en Veamos con un ejemplo gráfico a que nos referimos. Sea la gráfica siguiente: 5

6 Tenemos que: a) f ( ) b) f ( ) Y además por la gráfica vemos que nos dice que tiene asíntotas horizontales: y es asíntota horizontal en y es asíntota horizontal en Y por recordar un poco del concepto de ite (ites laterales), qué pasa en? Calculamos los laterales y tenemos que f ( ) f ( ) y, que como son distintos nos indican que no eiste el ite global en Ejemplo.- Sea la función cuya gráfica es la siguiente: f ( ), es decir, (NOTA: significa no eiste) Tenemos que: a) f ( ) b) f ( ) Por tanto, y es asíntota horizontal en Por tanto, y es asíntota horizontal en Además, por recordar lo dado en el punto anterior, tenemos que: - f ( ), luego es asíntota vertical por la derecha a y por la izquierda a - f ( ), luego es asíntota vertical por la derecha a y por la izquierda a 6

7 4. LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO Son similares a los anteriores, sólo que ahora la función ) los cuatro posibles casos: y f ( se va a infinito. En la siguiente tabla vemos Ejemplo.- Sea la función y f () cuya gráfica es Tenemos que f () y que f () 7

8 Ejemplo: Calcula: a). Veamos por qué. Si la es que se hace todo lo grande que queramos, y así ( ) también se hace todo lo grande que quiera. De otra forma, podemos sustituir por y nos resulta ( ). Es más, el es despreciable en comparación con el. Otra manera (un poco cutre), es usando la calculadora y sustituir por un nº elevado, por ejemplo. y ver que su resultado es también muy elevado, en este caso, (..+)... Este método nos puede ayudar, pero puede llevar a errores. b) 5. OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES Consideremos dos funciones f () y g () que son convergentes en, es decir, eisten g( ) M, entonces se verifican las siguientes propiedades: f ( ) L. El ite de la suma o diferencia de funciones es igual a la suma o diferencia de los ites de cada función f ( ) g( ) f ( ) g( ) L M y. El ite del producto de funciones es igual al producto de los ites de las funciones f ( ) g( ) f ( ) g( ) L M. El ite del cociente de dos funciones es el cociente de los ites de esas funciones siempre que el ite del denominador no sea nulo f ( ) g( ) f ( ) g( ) L M para M 4. El ite de una función elevada a otra función es el ite de la función base, siempre que este sea positivo, elevado al ite de la función eponente Ejemplo.- Calcula 5 a) 4 g( ) g( ) M f f ( ) ( ) L b) log( )) log() 8

9 5 (5 ) 5 c) 5 d) e) 5 f) ln( ) ln() g) 4 cos() cos( ) h) j) k) 5 log( ) 5 log() l) 6. CÁLCULO DE LÍMITES 8 Para el cálculo de ites hemos de tener en cuenta las propiedades u operaciones con ites dados en el punto anterior y las siguientes reglas: REGLA : Para calcular el ite de una función, cuando tiende a, basta con sustituir en la función y si nos da un número ya tenemos resuelto el ite, como hemos visto en el apartado anterior con los ejemplos REGLA : En las funciones polinómicas, cuando tiene a + o a -, se comportan del mismo modo que su término de mayor grado. Ejemplo.- Calcula: 5 n n a... a a a a a n n a) 6 6 b) c) d) REGLA : Cuando al aplicar la regla I aparecen infinitos, pueden ocurrir muchos casos. En la siguiente tabla se sintetizan las posibilidades, así como se indican las llamadas indeterminaciones, que hay que resolver de una manera particular y lo veremos en caso aparte. n n 9

10 Sea L un nº real SUMAS Y RESTAS L ( ) ( ) No se sabe, es una indeterminación No se sabe, es una indeterminación L No se sabe, es una indeterminación No se sabe, es una indeterminación si L L si L L L si L si L PRODUCTOS Y COCIENTES si L ( ) No se sabe, L es una si L indeterminación L si L si L L No se sabe, es una indeterminación No se sabe, es L una indeterminación L POTENCIALES Y EXPONENCIALES si L (dependiendo de la paridad de L) si L L L si L si si si L L L Ejemplo: Calcula: 5 5 a) b) ln( )) L L si si L L No se sabe, es una indeterminación No se sabe, es una indeterminación (el 5 es despreciable en una suma o resta con ) ln c) 5 ln (5 ) 5 d) e)

11 5 f) g) 5 ln h) i) log ln ln 5 ln ( ) j) k) l) CASO ESPECIAL L Vamos a estudiar este caso mediante ejemplos, para ver cómo se trata. Ejemplo: Calcula: a) Como vemos es de la forma L, y sabemos que va a dar infinito, pero nos interesa sabe el signo. Pare ello hemos de estudiar los ites laterales, por la derecha y por la izquierda del 4. Límite lateral derecho: Límite lateral izquierdo: Como vemos por cado lado se va a infinitos diferentes, Decimos entonces que por la derecha y por la izquierda. Gráficamente el comportamiento de la función lo podemos ver en el siguiente dibujo:

12 b) Calculamos los ites laterales: Límite lateral derecho: Límite lateral izquierdo: En este caso, por ambos lados, los dos ites laterales son Por tano concluimos que: Gráficamente el comportamiento es como sigue: c) 4 4 Calculamos los ites laterales: Límite lateral derecho: Hemos sacado factor común para resolverlo mejor Límite lateral izquierdo: Como vemos por cado lado se va a infinitos diferentes, Decimos entonces que por la izquierda y por la derecha. Gráficamente el comportamiento de la función lo podemos ver en el siguiente dibujo:

13 RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES En el cálculo de ites hay una serie de situaciones que se llaman indeterminaciones y que se han de resolver de una manera un poco más complicada, pues el valor del ite no se puede conocer de manera inmediata. Es fundamental hacer ejercicios en abundancia para aprender los métodos. Las indeterminaciones son: En el libro también aparece como indeterminación k, pero nosotros no la tratamos como tal, y además ya ha sido estudiado con ejemplos y normalmente habrá que hacer ites laterales, como hemos visto en el ejemplo anterior. Indeterminación Normalmente se resuelven tomando el término o términos dominantes del numerador y del denominador. Los términos dominantes son los de mayor eponente o grado. Veamos ejemplos. Ejemplo: Calcular a) (tomamos el término de grado en el numerador y el de grado en el denominador, que son los dominantes) (simplificamos) NOTA: Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el ite es infinito y el signo habrá que estudiarlo b) (tomamos los dominantes) NOTA: Si el numerador tiene igual grado que el denominador el ite es finito y es el cociente de los coeficientes c) (operamos) eponente negativo, lo llevamos al denominador) NOTA: Si el numerador tiene menor grado que el denominador el ite es 7 (como tiene Ejemplo: Calcular t t t 6 4t t t (tomamos los dominantes) t t 6 4t t t 4t t t t t t

14 Ejemplo: Calcular 4 6 (tomamos los de mayor grado, dominantes) Indeterminación Lo habitual en este tipo de indeterminaciones es descomponer numerador y denominador en factores (sacando factor común, por Ruffini, etc.) para poder simplificar el factor que vale en el ite. Otras veces si aparecen funciones irracionales (con raíces cuadradas) se multiplica por el conjugado Veamos ejemplos: 6 Ejemplo: Calcular (al sustituir por resulta, aplicamos Ruffini al numerador con el y en 4 el denominador o Ruffini o nos damos cuenta que es una diferencia de cuadrados) ( )( ) (simplificamos) ( ) (ahora sólo queda sustituir) 4 Ejemplo: Calcular (al sustituir por resulta, multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) numerador) ( ) ( ) (simplificamos y sustituimos) ( ) (sacamos factor común en el primer factor del (nos damos cuenta que - - (-) para poder simplificar) 6 Ejemplo: Calcular (al sustituir nos queda, multiplicamos y dividimos por el conjugado del ( 6) 6 9 numerador) 9 6 ( 9) ( 6 ) ( 9) ( 6 ) (descomponemos el factor del denominador al ser una diferencia de cuadrados) ( ) ( ) ( 6 ) ( ) ( 6 ) 6 Indeterminación Estas indeterminaciones se transforman en las del tipo ó 4

15 Ejemplo: Calcular (5 9) (tenemos ( ) ( ), que es una indeterminación) 6 8 (con sólo hacer la multiplicación se convierte en ) (tomando términos 6 6 dominantes y operando) Indeterminación Ojo! Hay algunos infinitos infinitos que no son indeterminaciones, como: ( ) ( ) ( ) ( ) Suelen aparecer en ites de funciones racionales o irracionales. La forma de resolverlos es multiplicando numerador y denominador por el conjugado y operando convenientemente. Ejemplo: Calcular conjugado) indeterminación (tenemos indeterminación ( ) ( ), multiplicamos por el, y tomamos términos dominantes) Ejemplo: Calcular ( (ahora es una (sale indeterminación ( ) ( ), usamos el conjugado) ( ) ( ) 6 9 ) ( ) 6 6 (ahora es una indeterminación, y tomamos términos dominantes) 6 6 Indeterminación Son llamadas de tipo e, pues al resolverlas aparece el nº e Si tenemos que: f ( ) g( ), entonces aplicamos que ( f ( )) g( ) e g( ) f ( ) Ejemplo: Calcular 5 (vemos que la base términos dominantes y el eponente tiene por ite al tomar, luego es indeterminación de tipo. Aplicamos la fórmula dada) 5

16 5 e (hacemos la operación del corchete) e 5 e e e 5 Ejemplo: Calcular ( ). Vemos que al sustituir sale. Luego es de tipo e pero en lugar de aplicar la fórmula directamente, como la base es una raíz la ponemos con eponente fraccionario para operar más fácilmente. ( ) ( ) ( ) e e (ahora aplicamos la fórmula) ( ) ( ) (fijaos que no he hecho los productos pues queda ahora indeterminación, y podemos simplificar. Si hubiera multiplicado, ahora tendría que descomponer) e e (si queremos podemos ponerlo en forma radical y racionalizar) Los otros tipos de indeterminaciones nos los vamos a estudiar. 7. FUNCIONES CONTINUAS e e e Definición.- Una función f es continua en un punto de abscisa si y sólo si cumple las tres condiciones siguientes: a) Eiste el ite de f cuando tiende a (recuerdo que a veces aquí tendremos que calcular los ites laterales en, pues la función puede venir definida de forma diferente por la izquierda de f ( ) cómo está definida por la derecha). Matemáticamente, ( o si hay que hacer los laterales, éstos eisten y son iguales) b) La función está definida en (o sea, Dom( f ) ). Matemáticamente, f ( ) f ( ) c) Los dos valores anteriores coinciden, es decir, f ( ) 6

17 NOTA: Todas las funciones más normales (polinómicas, racionales, irracionales, logarítmicas, eponenciales, trigonométricas) son continuas en todo los puntos de su dominio. Si el punto es un etremo del dominio se podrá decir que es continua por la derecha o por la izquierda según sea el caso) Veamos mediante ejemplos cómo se estudia la continuidad. Ejemplo: Sea la función si f ( ) Vamos a estudiar la continuidad en 4 si Vemos primero que a la izquierda del (nº menores que ) la función viene definida de una forma diferente (polinomio cuadrático) a como está definida por la derecha (nº mayores que ), que es una afín. Vamos dicho esto con los apartados: a) Por lo dicho anteriormente, hemos de calcular los ites laterales, pues el global no lo podemos hacer directamente. f ( ) ( ) f ( ) ( 4) Como vemos no coinciden, por tanto concluimos que no eiste f ( ), por tanto la función no puede ser continua. Diremos en este caso que la función en presenta una discontinuidad de salto finito y amplitud 5 (el 5 se obtiene de restar los ites laterales y calcularle el valor absoluto). Con la gráfica lo veréis mejor b) La función está definida en, pues f (), aunque esto ya no es necesario, pues por el apartado a) sabemos que es discontinua c) Este apartado no es necesario ya La gráfica de la función era la siguiente y podéis observar la discontinuidad Ejemplo: Sea ahora la función ( ) f. Lo primero es ver su dominio, que sale Dom ( f ), Qué pasa en? En este caso sólo se puede calcular el ite lateral derecho pues por la izquierda del la función no está definida. Aquí diremos que la función es continua por la derecha en, como se ve en la gráfica. Además en todos los demás puntos del dominio la función es continua. 7

18 Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función siguiente: 4.9 si f ( ) 6 si SOLUCIÓN: Si, vemos que la función viene dada por una epresión racional y no se anula el denominador (sólo de anula en, y éste no lo estamos considerando aún), luego podemos afirmar que f es continua en los puntos tales que (o lo que es lo mismo en ) Sí. En este caso veamos si cumple o no las condiciones de continuidad: a) Calculamos ahora el ite (no hacen falta calcular los laterales, pues por la izquierda y la derecha la función viene definida igual) 4 9 ) ( ) 6 Indeterminación. Descomponemos en factores el numerador b) f ( ) Como vemos f ( ) 6, luego también es continua en Ejemplo: Calcular los valores que deben tomar m y n para que la siguiente función sea continua en si f ( ) (NOTA: significa la disyunción ó) m n si m n si Está función se puede poner también como: f ( ) si m n si SOLUCIÓN: 8

19 Si, la función viene dada por f ( ) m n, que al ser un polinomio de º grado, sabemos que es continua. Si, la función viene dada por f ( ), que igualmente es continua al ser un polinomio de primer grado. Si, la función viene dada por f ( ) m n, que al ser un polinomio de º grado, sabemos que es continua. Ninguna de las anteriores conclusiones nos ha aportado nada para calcular m y n. Veamos que ocurre en y. En, impongamos la condición de continuidad f () f ( ) f ( ) f () m n m n f ( ) f ( ) m n m n Igualando, obtenemos una primera ecuación: m n En, imponemos las condiciones de continuidad: f () m n 9 m n f ( ) 4 f ( ) m n 9 m n Igualando, obtenemos una segunda ecuación: 9 m n 4 Tenemos entonces un sistema de dos ecuaciones lineal con dos incógnitas, que resolvemos: m n m n 9 m n 4 m n 5 m n Sumamos las ecuaciones y tenemos: m n 5 m 6 m. Sustituimos en m n n n 4 Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función SOLUCIÓN: Lo primero que observamos es que Dom ( f ) R f ( ) ln si si si Si, f es continua por ser polinómica (es una función cuadrática) Si, f es continua por ser polinómica ( es una función afín) Si, f es continua por ser una función logarítmica y su argumento (la ) es positivo Veamos ahora que ocurre en los puntos donde la función cambia de definición: En o f ( ) 9

20 o f ( ) ( ) o f ( ) ( ) Como vemos presenta una discontinuidad de salto finito y amplitud En o No eiste f (), pues no es del dominio. Ya sabemos que no es continua, pero veamos si es evitable. o f ( ) ln ln o f ( ) ( ) 5 Vemos que presenta discontinuidad no evitable de salto finito y amplitud 5 Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función SOLUCIÓN: En o f ( ) o f ( ) ( 4 ) o f ( ) ( ) ln 4 si 5 si f ( ) si en y si 4 si 5 Presenta una discontinuidad evitable, pues bastaría redefinir f ( ) y ya la función sería continua En, es análogo