LÍMITE DE FUNCIONES. lim. lim. lim. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO x + LÍMITE FINITO. DEFINICIÓN

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1 LÍMITE DE FUNCIONES LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO LÍMITE FINITO. DEFINICIÓN Cuando la función pud comportars d divrsas manras: f l Al aumntar los valors d, los valors d f s aproiman a un cirto númro l. f Al aumntar los valors d, los valors d f crcn cada vz más toman valors tan grands como quramos f Al aumntar los valors d, los valors d f son cada vz más ngativos s dcir, ngativos y cada vz más grands n valor absoluto. f no ist Los valors d f no sigun ninguno d los comportamintos antriors.

2 Df.- f L ε >, δ > tal qu > δ f L < ε. Dicho d otra manra, dado ε arbitrariamnt pquño podmos ncontrar δ tan grand como sa ncsario para qu s vrifiqu f L < ε. Intuitivamnt, podmos consguir qu f sté tan próimo a L como quramos sin más qu darl a valors suficintmnt grands. OPERACIONES CON LÍMITES FINITOS Si f a y g b, ntoncs s cumpln las siguints propidads: [ f ± g ] f ± g a ± b [ f g ] f g a b Si g b, f g f g g g b Si f >, [ f ] f a Si f, Si > n n f f α, f >, [ logα f ] logα f n a a b LIMITES INFINITOS. DEFINICIONES Df,- f ε > δ > tal qu > δ f > ε Es dcir, qu dado ε arbitrariamnt grand podmos ncontrar δ tan grand como sa ncsario qu cumpl f > ε. Intuitivamnt, podmos consguir qu f sa tan grand como quramos sin más qu tomar tan grand como sa ncsario. Cuanto más grand sa ε, más grand dbmos tomar δ.

3 Análogamnt, Df,- f ε > h > tal qu > h f < ε ALGUNOS LÍMITES INFINITOS Rcordmos trs familias d funcions qu s hacn infinitas cuando p k Potncias: Si k>, ± p Ejm : Eponncials: Si a>, a ± Ejm : Logarítmicas: Si a>, p log ± Ejm : a, log log Calcula los siguints límits: a. c. b. d. log

4 COMPARACIÓN DE INFINITOS Df.- Si f ± y g ± s dic qu f s un infinito d ordn suprior f g a g si ±, o lo qu s lo mismo. g. f Las comparacions más usadas: Dadas dos potncias d,. la d mayor ponnt s un infinito d ordn suprior. 7 Dadas dos funcions ponncials d bass mayors qu, la d mayor bas s un infinito d ordn suprior., Cualquir función ponncial d bas mayor qu s un infinito suprior a cualquir potncia., Tanto las funcions ponncials d bas mayor qu como las potncias d son infinitos d ordn suprior a cualquir función logarítmica., log log Si n una suma hay varios sumandos infinitos, l ordn d la suma s l dl sumando d mayor ordn. s un infinito dl mismo ordn qu, sto s; L s un infinito dl mismo ordn qu, sto s; L OPERACIONES CON EXPRESIONES INFINITAS Dl mismo modo qu s manjan las opracions con límits finitos, hay muchas opracions n las qu intrvinn funcions cuyo rsultado s también obvio. Por jmplo: Si f y g, ntoncs: [ f g ]. y s prsa: A continuación, ponmos algunos d los rsultados d oprar con funcions infinitas. Intnta razonarlos con algunos jmplos y no los mmorics.

5 INDETERMINACIONES Df.- Una indtrminación s l rconociminto d qu con solo conocr los límits d las funcions qu intrvinn, no podmos asignar límit al rsultado d la opración. Hay qu fctuar una invstigación más profunda qu nos prmita llgar al valor d dicho límit. Las más importants son: ± ± ± Ahora aprndrmos algunos métodos para rsolvr los casos más frcunts d indtrminación.

6 CÁLCULO DE LÍMITES CUANDO COCIENTE DE POLINOMIOS ± ± P Q ± L si gradop > gradoq si gradop < gradoq si gradop gradoq sindo L l cocint d los coficints d los polinomios P y Q d mayor grado. Ejm: DIFERENCIA DE EXPRESIONES INFINITAS Estudiarmos trs casos: I Cuando s aprcia a simpl vista qu las prsions cuya difrncia son infinitos d ordn distinto, podmos atribuirl. Dirctamnt, límit ó. ordn ordn, ordn ponncial simpr ordn suprior a

7 7 II Cuando pud fctuars la opración. III Cuando hay radicals, ntoncs multiplicamos y dividimos por l conjugado: [ ] Hmos aplicado la idntidad notabl, suma por difrncia igual a difrncia d cuadrados, sto s; b a b a b a LÍMITE DE UNA POTENCIA Sabindo qu l límit d una potncia, n muchos casos, s pud calcular sin más qu conocr los its d la bas y l ponnt. Si L f y g, s cumpl: [ ] > < < min dt L ado r In L L f g

8 Ejm: Si f L y g, s cumpl: [ f ] g Indt r min ado < L < L > L Ejm: REGLA PRÁCTICA DE EXPRESIONES Si f y f, ntoncs: [ f ] g [ f ] g 8

9 9 Ejm:. Rsulv, aplicando la rgla antrior: a. b. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO DEFINICIONES l f Dado > ε, ist un h suficintmnt grand tal qu si h <, ntoncs ε < l f. Intuitivamnt, podmos consguir qu f sté tan próimo a l como quramos, sin más qu darl a valors suficintmnt grands y positivos. CÁLCULO DE LÍMITES Para calcular st tipo d límits, tndrmos n cunta: f f y aplicarmos lo antrior: Ejm:

10 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES INFINITOS c f K >, δ > tal qu si c δ < < c, ntoncs f > K. Intuitivamnt, dirmos qu l límit d f cuando tind a c por la izquirda s, si al acrcars a c tomando valors mnors qu c, f toma valors tan grands como s quira. Análogamnt: f K c >, δ > tal qu si c < < c δ, ntoncs f > K. c f K >, δ > tal qu si c δ < < c, ntoncs f < K. c f K >, δ > tal qu si c < < c δ,. ntoncs f < K

11 LÍMITES LATERALES FINITOS POR LA IZQUIERDA f l ε >, δ > tal qu si c δ < < c, ntoncs f - l < ε c Intuitivamnt, si qurmos qu f sa muy próimo a l s dcir, f l < ε, bastará con darl a valors suficintmnt próimos a c infriors a c. POR LA DERECHA f l ε >, δ > tal qu si c < < c δ, ntoncs f - l < ε c LÍMITE FINITO EN UN PUNTO En los límits latrals nos hmos acrcado a c por un lado o por l otro. Ahora vamos a hacrlo indistintamnt por uno u otro lado. c f l ε >, δ > tal qu si c δ < < c δ, ntoncs f - l < ε Esto s; si qurmos qu f sa muy próimo a l, podrmos consguirlo sin más qu darl a valors tan próimos a c como sa ncsario. Admás, sta dfinición ngloba las dos dfinicions d límits latrals. Por tanto, c f l los límits latrals y coincidn f c c f CÁLCULO DE LÍMITES CUANDO a CASOS INMEDIATOS Rcordmos qu n las funcions lmntals s vrifica simpr qu, si f stá dfinida n c, ntoncs f f c c Ejm: π π tg tg Con los rsultados oprativos val aquí toda la casuística qu hmos visto n los límits cuando n las páginas y.

12 INDETERMINACIONES Cocint d polinomios: Q P c. Pudn dars dos casos: c P, ntoncs l límit s ±. Pud sr distinto l límit a la izquirda y a la drcha d c. Para avriguarlo, s rcominda obtnr con la calculadora l rsultado dl cocint para valors d próimos a c por uno y otro lado. c P, indtrminación dl tipo. Entoncs la fracción pud simplificars dividindo numrador y dnominador por c. Ejm: 9 La calculadora m dtrmina l signo dl,9, 9,8,,,,79,9 8,,9,9,9 Ejm: R R Ejm:

13 Ejm: 9 [ ] [ ] R Dl tipo En st caso, la mjor forma d dshacr stas indtrminacions s fctuar la rsta y studiar la prsión rsultant. Dl tipò La rgla qu obtuvimos con antrioridad s también válida para los límits cuando 8. c pág Ejm: Calculadora,9,9,9,,,,,,,7,7,9

14 Ejm: Calcula los siguints límits: a. 7 c. b. d. Calcula los siguints límits: a. b