3º ESO NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa NÚMEROS REALES

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1 º ESO NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. NÚMEROS REALES.- NÚMEROS RACIONALES Los números rcionles son lo que hbitulmente conocemos como frcciones. Un número rcionl o frcción está compuesto por dos números, el de rrib numerdor, que indic ls prtes que se tomn y el de bjo denomindor que indic ls prtes en ls que se divide l unidd. EJEMPLO_ Dividir un finc en cutro trozos igules y tomr tres. En este ejemplo es el numerdor y es el denomindor. Est frcción represent un prte del totl, pero no es l únic form de conseguirlo, se pueden mplir el numerdor y el denomindor multiplicndo mbos por un mismo número y seguirán representndo l mism proporción. En este ejemplo es el numerdor y es el denomindor, se hn multiplicdo por dos. En este ejemplo es el numerdor y es el denomindor, se hn multiplicdo por cutro. Frcciones equivlentes _ Dos frcciones formds por diferentes numerdores y denomindores se dicen equivlentes si su cociente es similr, dn el mismo vlor. Pr sber si dos frcciones son equivlentes se puede proceder de diferentes forms:.- Si l hcer el producto cruzdo se obtiene el mismo número..- Si l hcer común denomindor el numerdor es el mismo..- Si l hcer el cociente de mbs el resultdo es idéntico. EJEMPLO_ Comprueb de tres forms distints que ls frcciones y son equivlentes..- y son equivlentes porque: = = (Producto cruzdo)..- y son equivlentes porque: = = (Común denomindor, mismo numerdor).- y son equivlentes porque: = 0, y = 0, (Mismo cociente). NOTA: Ls frcciones se pueden mplir o simplificr sin que cmbie su vlor, tn solo se deben multiplicr o dividir numerdor y denomindor por un mismo número. Un frcción se dice frcción irreducible si no se puede simplificr más, es decir, si el M.C.D. de numerdor y denomindor es el. En los ejercicios siempre deberemos llegr est form de expresr l frcción, por tnto, deberemos simplificr l máximo siempre. EJEMPLO_ Simplific l frcción. Será Pr ordenr frcciones hy diferentes métodos (hcer l división y comprr los vlores, hcer común denomindor, hcer mínimo común denomindor, hcer común numerdor y comprr los denomindores), pero el más hbitul es el de conseguir común denomindor. EJEMPLO_ Orden de menor myor ls frcciones, y, utilizndo común denomindor. Podemos tomr un denomindor común hciendo el producto de = 0, pero es un denomindor muy grnde, es mejor clculr el mínimo común denomindor de (, y ) que es 0. (Se clcul como el mínimo común múltiplo M.C.M. de vrios números). < < < < }

2 º ESO NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS...- OPERACIONES CON FRACCIONES.. Sum y rest Pr sumr y restr números rcionles estos deben tener el mismo denomindo, por tnto si no lo tienen debemos trnsformr ls frcciones en otrs equivlentes con el mismo denomindor, puede ser el mínimo común múltiplo de los denomindores o simplemente un común denomindor (producto puro de los denomindores). EJEMPLO_ Reliz ls siguientes sums y rests de frcciones: ) + = + = = = ) + = + = = = = =, en este segundo cso l tomr como común denomindor el producto de los tres ( = 0), los números son myores, pero el resultdo finl, frcción irreducible, es el mismo... Producto (multiplicción), cociente (división) y potencición Pr multiplicr dos frcciones se multiplic numerdor por numerdor y denomindor por denomindor. Pr dividir dos frcciones se multiplicn en cruz, numerdor de l primer por denomindor de l segund vn l numerdor de l frcción resultnte, y denomindor de l primer por numerdor de l segund vn l denomindor de l frcción resultnte. Pr elevr un frcción un exponente, se elevn numerdor y denomindor dicho exponente. EJEMPLO_ Reliz los siguientes productos, cocientes y potencis de frcciones: ) 0 b) : 0 c).. Operciones combinds Pr resolver operciones combinds plicmos l jerrquí de operciones:.- Primero se hcen ls operciones entre préntesis, de dentro hci fuer..- Segundo se hcen l potencis..- Tercero se hcen ls multiplicciones y divisiones, primero l que ntes prezc l izquierd..- Curto se hcen ls sums y ls rests, primero l que ntes prezc l izquierd. EJEMPLO_ Reliz ls siguientes operciones de frcciones: ) : 0 b) 0 c) : : Siempre que se pued, simplificr: : Si podemos hcer dos operciones ls hcemos. : 0 Resolvemos el préntesis interior y el producto. 0 Sums y rests, l finl, con común denomindor.

3 º ESO NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. 0 Simplificmos de nuevo. 0 Hcemos el préntesis, l potenci y el producto Ahor solo hy sums y rests, pero ntes de hcer común denomindor volvemos simplificr ls frcciones, si no lo hemos hecho ntes conviene hcerlo hor, de otr mner el común denomindor puede resultr demsido grnde pr trbjr Es mejor optr por simplificr primero y hcer común denomindor después Este ejercicio está relizdo muy l detlle, quizás no debemos escribir tntos psos, pero sí deben precer los psos que sirvn pr clrr lo que se está hciendo, no vle poner l solución mond y lirond, demás conviene recudrr l solución l finl pr myor clridd...- REPRESENTACIÓN EN LA RECTA REAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES Pr pintr ls frcciones en un rect, simplemente obtendremos su expresión mixt (número entero más prte deciml en form de frcción) o su expresión deciml. EJEMPLO_ Represent ls siguientes frcciones en l rect rel: = + =, = 0, =, 0..- EXPRESIÓN DECIMAL Y FRACCIONARIA DE UN NÚMERO RACIONAL.. Expresión deciml de un número rcionl Recordr que ls prtes de un número deciml son:,...,. es l prte enter.... esl prte deciml, con. es el nteperíodo. es elperíodo Pr obtener l expresión deciml de un número rcionl bst con relizr el cociente. Nos podemos encontrr los siguientes tipos de expresiones decimles:.-,, expresión deciml exct..-,...,, expresión deciml periódic pur, se repite prtir de l com..-,...,, expresión deciml periódic mixt, entre l com y el período hy lgun cifr. Se puede observr que dependiendo del denomindor se obtendrá un tipo u otro de expresión deciml:.- Si en l descomposición fctoril del denomindor solo precen el y el l expresión será deciml exct, como:, ;, ; 0, ;,0

4 º ESO NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS..- Si en l descomposición fctoril del denomindor precen el o el y otro número l expresión será deciml periódic mixt, como:, ; 0 ;,.- Si en l descomposición fctoril del denomindor no precen ni el ni el l expresión será deciml periódic pur, como:, ;,.. Expresión frccionri de un número deciml Pr obtener l frcción de número deciml procedemos de form distint según se el tipo de deciml..- Número deciml excto Se el número deciml,. Bst con dr un frcción que teng por numerdor el número sin l com, y por denomindor un 0, 00, 000, en función de l cntidd de cifrs decimles del número, 00.- Número deciml periódico puro Aplicndo el método nterior, podrímos cercrnos pero nunc dr l frcción exct que origine el número, esto es, si buscmos el número,,..., podrímos decir que l frcción que lo origin es,, pero 00 est frcción nos d el número con dos decimles, unque pusiérmos más ceros en el denomindor y sietes en el... numerdor nunc llegrímos l expresión exct,,, pues est se cb en lgún momento (quí después de nueve sietes) y l expresión que buscmos es infinit. Por tnto debemos pensr en otro método, que vmos exponer continución. Se el número deciml,. Aplicmos los siguientes psos:.- Llmmos x l número, x,..- Multiplicmos l expresión por, 0, 00, 000, hst conseguir llevr l com justo delnte del período, en este cso hbrí que multiplicr por y por lo tnto qued: x,.- Multiplicmos l expresión por, 0, 00, 000, hst conseguir llevr l com justo detrás del período, en este cso hbrí que multiplicr por 0 y por lo tnto qued: 0x,.- Restmos l expresión obtenid en el punto, l expresión obtenid en el punto y despejmos l x:.- Número deciml periódico mixto 0x x,, x x Se el número deciml,. Aplicmos los siguientes psos:.- Llmmos x l número, x,.,.- Multiplicmos l expresión por, 0, 00, 000, hst conseguir llevr l com justo delnte del período, en este cso hbrí que multiplicr por 00 y por lo tnto qued: 00x,.- Multiplicmos l expresión por, 0, 00, 000, hst conseguir llevr l com justo detrás del período, en este cso hbrí que multiplicr por.000 y por lo tnto qued: 000x.,.- Restmos l expresión obtenid en el punto, l expresión obtenid en el punto y despejmos l x:.000x 00x.,, 00x. x , 0

5 º ESO NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS..- CONJUNTOS NUMÉRICOS N: Números Nturles _ Son los que utilizmos pr contr, los primeros que prendemos: 0,,,,,. Z: Números Enteros _ Son los que no tienen decimles, los nturles y sus opuestos: -, -, -, 0,,,, Q: Números Rcionles _ Son los que se pueden poner como frcción. Ls EDP_Expresiones Decimles Periódics (excts, purs o mixts). Ejemplos:, 000,,,, -. Periódics. Ejemplos:,0000, I: Números Irrcionles _ Son los que no se pueden poner como frcción. Ls EDNP_Expresiones Decimles No,,, número úreo,0..., número e (e=, ) R: Números Reles _ Son Q+I, es decir, todos los números que nosotros utilizmos hbitulmente, excepto ls ríces cudrds (de índice pr) con rdicndo negtivo, como -..- ERRORES El vlor de un número se puede proximr por defecto, por exceso o por redondeo y dependerá de l cifr l que se hg l proximción. De tods forms, cundo proximmos el vlor de un número se comete un error que determinmos de l siguiente mner: Error Absoluto _ Se obtiene medinte l expresión: E = V pr V rel, hor bien no es lo mismo equivocrnos en 0 que equivocrnos en.000, por lo tnto definimos tmbién el Error Reltivo. E Error Reltivo _ Se obtiene medinte l expresión: E r, y que sirve pr comprr diferentes errores. Vr EJEMPLO_ Clcul el error bsoluto y el error reltivo que se comete l proximr, por,. E 0,0 E = V pr V rel =,, = = 0,0 = 0,0 Er %, V, r que supone un buen proximción, es l que hbitulmente ceptmos como redondeo de, dos décims..- INTERVALOS Los intervlos son un herrmient útil pr determinr grupos de números. Se utilizn pr indicr l solución de un inecución y en funciones pr indicr el dominio, recorrido, crecimiento Los tipos de intervlos más utilizdos son: Intervlo Cerrdo _ [,b] tom todos los vlores entre y b, incluidos y b. x b Intervlo bierto _ (,b) tom todos los vlores entre y b, sin incluir ni ni b. x b Intervlo semibierto o semicerrdo _ (,b] tom todos los vlores entre y b, sin coger pero cogiendo b. [,b) tom todos los vlores entre y b, cogiendo pero sin coger b. x b x b

6 º ESO NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. Intervlos infinitos _ (-,b] tom todos los vlores menores o igules que b. x b (-,b) tom todos los vlores menores que b. x b [,+ ) tom todos los vlores myores o igules que. x (,+ ) tom todos los vlores myores que. x (-,+ ) tom todos los vlores, todos los números, x Є R. - x EJEMPLO_ Represent el intervlo (-,+ ). Represent el intervlo [-,). Represent conjuntmente el intervlo intersección de los dos nteriores. L solución será el intervlo: (-,).- PROPIEDADES DE POTENCIAS ) n m = n+m _Cundo se multiplicn potencis con l mism bse se dej l bse y se sumn los exponentes. ) n : m = n-m _Cundo se dividen potencis con l mism bse se dej l bse y se restn los exponentes. ) n b n = ( b) n _Cundo se multiplicn potencis con diferente bse pero igul exponente, se multiplicn ls bses y se dej el exponente. ) n : b n = (:b) n _Cundo se dividen potencis con diferente bse pero igul exponente, se dividen ls bses y se dej el exponente. ) ( n ) m = n m _Potenci de un potenci, se multiplicn los exponentes. ) 0 = _Culquier número elevdo cero es uno. ) = _Culquier número elevdo uno es el propio número. ) -n = n _Un potenci de exponente negtivo es igul l inverso de su potenci de exponente positivo. ) b n b n _Un frcción elevd exponente negtivo es igul su invers con exponente positivo. EJEMPLO_ Clcul ls siguientes potencis, plicndo sus propieddes: ) - = - = - = d) 0 = ; (-) 0 = ; 0 = g) = b) 0 : (( - ) - 0 ) = 0 : = e) : - = -(-) = + = 0 h) = 0 c) : = = = = f) - i) - = ; = -.- NOTACIÓN CIENTÍFICA L notción científic es un form de escribir números. Se utiliz cundo son muy grndes o muy pequeños. Un número escrito en notción científic está formdo por el producto de dos prtes: ) Un número deciml de un sol cifr, distint de cero, en l prte enter, desde y pico hst y pico. b) Un potenci de bse 0 con exponente entero ( -, -, -, 0,,, ).

7 º ESO NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. EJEMPLO_ Reliz los siguientes cálculos e indic el resultdo en notción científic. ) 0, 0 = 0 = 0 NO SE PUEDE DEJAR ASÍ, AUNQUE EL CÁLCULO ES CORRECTO, NO ES NOTACIÓN CIENTÍFIA. b) = = 0 = 0 Tmbién se puede hcer: = = 0.- RADICALES Los rdicles son potencis de exponente rcionl. En generl se cumple n m m n, donde n m,,, es elrdicndo es el índice de l ríz es el símbolo de l ríz EJEMPLO_ Clcul el resultdo de los siguientes rdicles trnsformándolos en potencis: ) b) c) d)..- RADICALES EQUIVALENTES Dos rdicles se dicen equivlentes si escritos en form de potenci tienen l mism bse y el mismo exponente. Su vlor será el mismo. EJEMPLO_ Comprueb si los siguientes rdicles son equivlentes: y, se preci que sí son equivlentes mbos rdicles. Se puede observr tmbién, cómo se relizn ls simplificciones de rdicles,, siempre que el índice del rdicl y el exponente del rdicndo sen divisibles por el mismo número, esto es, que puesto el rdicl en form de potenci con exponente rcionl (frccionrio), éste se pued simplificr, luego se ps de nuevo form rdicl. En l práctic se ctú sí:, obvindo l trnsformción en potenci..- INTRODUCIR Y EXTRAER NÚMEROS DE UN RADICAL.. Introducir Pr introducir números en un rdicl se elevn l índice del rdicl y se meten multiplicndo l rdicndo. EJEMPLO_ Introduce los siguientes números en sus rdicles. ) 0 b) 0 c).. Extrer Pr extrer números en un rdicl estos deben ser potencis cuyo exponente se el índice del rdicl o superior, se dej fuer l bse elevd l número de grupos que se pueden formr con dicho exponente con respecto l índice, multiplicndo l rdicl y dentro del rdicl se dej l bse elevd l exponente sobrnte. En ríces de índice pequeño (ríces cudrds y cúbics) se puede descomponer el rdicndo inicil en un cudrdo o un cubo y otro número, dependiendo que l ríz se cudrd o cúbic. EJEMPLO_ Extre el número más grnde posible de los siguientes rdicles. ) 00 0, tmbién se pueden buscr cudrdos perfectos y extrerlos 0 de l ríz cudrd en este cso,

8 º ESO NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. b) 0 00, tmbién se pueden buscr cubos perfectos y extrerlos de l ríz cúbic en este cso, 0 00 c) En este cso, demás, se puede simplificr el rdicl, como vimos nteriormente. En cunto l vlor fuer del rdicl, si el número es menor de.000, se pone el vlor, si no se dej en potenci.00, como en este ejemplo..- RADICALES SEMEJANTES Dos rdicles se dicen semejntes si tienen el mismo índice y el mismo rdicndo. EJEMPLO_ Comprueb si los siguientes rdicles son semejntes. ) 0, que sí que son semejntes. b) y, que tienen mismo índice pero diferente rdicndo, luego no son semejntes. c) y, que tienen mismo rdicndo pero diferente índice, luego no son semejntes..- OPERACIONES CON RADICALES.. Sum y rest de rdicles Pr sumr o restr rdicles estos deben ser semejntes. EJEMPLO_ Reliz ls siguientes sums y rests de rdicles. ), si no son semejntes, los rdicles no se pueden juntr. b) 0 0, o fctorizndo el rdicndo 0 0,.. Producto y cociente (Multiplicción y división) de rdicles Pr multiplicr o dividir rdicles hy que considerr dos csos:.- Los rdicles tienen el mismo índice, se multiplicn los rdicndos y se dej el mismo índice..- Los rdicles tienen distinto índice, se procede convertir los rdicles índice común, trnsformndo consecuentemente sus rdicndos, y un vez lcnzdo el mismo índice, se multiplicn los nuevos rdicndos dejndo como índice el índice común clculdo. EJEMPLO_ Reliz ls siguientes multiplicciones y divisiones de rdicles. ), si tienen mismo índice, se multiplicn los rdicndos y se dej ese índice. b) , pero con números tn grndes es mejor 0 0

9 º ESO NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. c) c ) c ) 00 00, en l práctic hremos el ejercicio según el punto c, pero en el prtdo c se muestr pso pso l ejecución del producto de rdicles con diferentes índices, trnsformndo primermente los rdicles en potencis de exponente rcionl (frcción) y hciendo el mínimo común múltiplo de dichs frcciones, se observ como dich operción fect los numerdores que en definitiv son los exponentes de los rdicndos d) , l opertividd es l dich, teniendo en cuent que cundo el exponente del rdicndo no es un uno se debe modificr como se modifique el índice del rdicl, sí pr trnsformr 0 en 0 0 se procede hciendo: mínimo entre los índices,, y es 0, luego 0 entre es por lo que se debe multiplicr el exponente por que será, esto es, (0 ) =0. Si es un cociente, se procede simplificr el resultdo todo lo más que podmos... Potenci de un rdicl Cundo un rdicl se elev un potenci, se dej el mismo índice y se elev es potenci el rdicndo. EJEMPLO_ Reliz ls siguientes potencis de rdicles. ) c b b c, psdo el rdicl potenci de exponente rcionl, vemos como l potenci solo fect l numerdor de l frcción, esto es, l rdicndo del rdicl originl. b) 0, debemos simplificr l máximo el rdicl, reduciendo el índice del rdicl junto l exponente del rdicndo y extryendo del rdicl el myor fctor posible... Ríz de un rdicl Cundo un rdicl se le hce un ríz, el resultdo es otro rdicl con el mismo rdicndo y con índice del nuevo rdicl el producto de los índices. c b cb EJEMPLO_ Reliz ls siguientes ríces de rdicles. ) 0 0 0, psdo el rdicl y l ríz potenci de exponente rcionl, se plic que potenci de un potenci se multiplicn los exponentes y por tnto l propiedd rrib indicd., lo cul justific 0 b) se introduce hst l más interior y se oper como se h indicdo..0, cundo hy un número entre l ríces c), sin embrgo cundo se trt de sums, se debe ir de dentro hci fuer, clro está, los rdicles deben estr muy bien preprdos pues de lo contrrio no se podrín relizr ls operciones de form exct y sencill.

10 º ESO NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. NOTAS_ NÚMEROS REALES * SÍMBOLOS: _ Implic o quiere decir o supone que, l relción es ciert de izquierd derech. _ Implic o quiere decir o supone que, l relción es ciert de derech izquierd. _ Doble implic, l relción es ciert en mbos sentidos. _ Distinto _ Infinito _ Aproximdo _ Pertenece _ No pertenece / _ Tl que Π _ Tl que _ Existe _ No existe α _ Alf β _ Bet _ Gmm * CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS El mínimo común múltiplo de vrios números es el menor de los múltiplos comunes de esos números. Pr clculrlo se descomponen los números en fctores primos y se tomn los comunes y no comunes l myor de los exponentes. Clculr el M.C.M. de, y..- Primero: Descomponemos los tres números. = = =.- Segundo: Tommos los comunes y no comunes l myor exponente. = = 0.- Tercero: Podemos comprobr que 0 es múltiplo de (0 : = ), de (0 : = ) y de (0 : = 0) y demás es el más pequeño, pues se podín logrr otros múltiplos comunes como =.0, pero es muy grnde pr operr con él. * PROPIEDADES DE LA OPERACIONES L sum y el producto (no sí l rest, l división y l potencición) cumplen un serie de propieddes que son muy importntes pr el trbjo dirio con ells, unque no sepmos que ls plicmos. Son propieddes plicds ls operciones con número reles, sen nturles, enteros o rcionles..- Propiedd conmuttiv, El orden de los fctores no ltern el resultdo. + = + y =.- Propiedd socitiv, + ( + ) = ( + ) + y ( ) = ( ).- Elemento neutro, es el elemento que operdo con uno culquier no lo modific. Así el elemento neutro de l sum es el 0, pues + 0 = y el elemento neutro del producto es el, pues =..- Elemento inverso, es el elemento que operdo con uno culquier permite obtener el elemento neutro de es operción. En l sum el inverso se llm opuesto y serí, + ( ) = 0. En el producto el inverso se llm inverso y serí, =. En ls frcciones l invers se obtiene dndo l vuelt l frcción: = =.- Propiedd distributiv respecto de l sum, es un propiedd que fect l sum y l producto simultánemente, ( +) = + = 0 + =. * PREFIJOS PARA UNIDADES PREFIJO VALOR PREFIJO VALOR TERA 0 = DECI 0 - = 0, GIGA 0 = CENTI 0 - = 0,0 MEGA 0 = MILI 0 - = 0,00 KILO 0 =.000 MICRO 0 - = 0,00000 HECTO 0 = 00 NANO 0 - = 0, DECA 0 = 0 PICO 0 - = 0, * NÚMERO DE SOLUCIONES (RAÍCES) DE UN RADICAL: ÍNDICE RADICANDO NÚMERO DE RAÍCES REALES CASOS PAR (CUADRADA) POSITIVO DOS, POSITIVA Y NEGATIVA NEGATIVO NO TIENE - IMPOSIBLE CERO UNA RAÍZ, EL CERO 0 0 IMPAR (CÚBICA) CUALQUIERA UNA y - 0

11 º ESO NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. * VALOR ABSOLUTO: x x - x si si x 0 x 0 * OPERACIONES ERRÓNEAS CON RADICALES y POTENCIAS: ) b b b FALSO b) b b FALSO b b FALSO b b VERDADERO c) (+b) = + b ( + ) + = + = FALSO ( + ) = = d) + = FALSO + = + = 0 e) + = VERDADERO + = = + + = VERDADERO + + = = * EXPRESIONES NOTABLES: ) (+b) = + b + b El cudrdo de un sum es igul l cudrdo del primero más el doble del primero por el segundo, más el cudrdo del segundo. b) ( b) = b + b El cudrdo de un rest es igul l cudrdo del primero menos el doble del primero por el segundo, más el cudrdo del segundo. c) (+b) ( b) = b Sum por diferenci, diferenci de cudrdos.

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