Transformada de Laplace
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- Natalia Maestre Juárez
- hace 8 años
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1 Tranformada d alac CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
2 Tranformada d alac f(t funcón tmoral f(t f(t ara t < [ f (t] F( f (t t σ jω varabl comlja d alac t f(t g(t [ f (t] [ g(t ] F( G( Cambo d varabl t CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
3 Tranformada d alac a Tranformada d alac un método oraconal qu ud utlzar ara rolvr cuacon dfrncal lnal. Tranforma cuacon dfrncal n cuacon algbraca d una varabl comlja. S la cuacón algbraca rulv n, ud ncontrar la olucón d la cuacón dfrncal (Tranformada nvra d alac utlzando una tabla d tranformada, o bn mdant la técnca d xanón n fraccon arcal. CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
4 Tranformada d alac [ f (t] [ g(t ] F( f(t g(t G( Cambo d varabl t Rolucón dl roblma n l domno X( Intrrtacón y xrón d la olucón n l domno t x(t j [ X( ] j X( t d Cambo d varabl t CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
5 Tranformada d alac Domno tmoral Domno d alac Ec.Df.Ord. Cond. Inc. PSO Tomar (TB PSO Rolvr Y(N( / D( Solucón y (t PSO 4 Tomar - (TB PSO 3 Factorzar D( Dcomonr n fraccon ml CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
6 Prodad d la T. alac (I [ ] F( f (t f (t t naldad [ af(t bg(t ] af( bg( Dfrncacón n l domno dl tmo df(t F( f( d f(t F( f( df( Intgracón n l domno dl tmo t ( f(t F( f ( CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
7 Prodad d la T. alac (II Dlazamnto n l tmo - d [ f(t- d ] F( Torma dl valor ncal lm f(t t Torma dl valor fnal lm f(t t lm F( lm F( Torma d convolucón f( tg(t- τdτ NOT: Et torma ólo váldo F( no tn olo obr l j magnaro o con art ral otva. E váldo olamnt, xt F(G( lm f ( t t CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
8 Prodad d la T. alac (III Tranformacón d varabl. Cambo d cala [ f( t/ α ] αf( α α : Contant otva [ f( αt ] F( / α α Tralacón n l camo comljo [ f(t ] F( y [ f (t] F( ± α mαt f (t f(t Dfrncacón n l camo comljo [ tf(t ] df( d α : Contant CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
9 Prodad I [ ] F( f (t f (t t [ af (t bg(t ] af( bg( [ af (t bg(t ] [ af (t bg(t ] t a f (t t b g(t t af( bg( df (t u dv df (t F( f ( uv v du df (t t dv df (t df (t df (t u t t [ f (t] f (t f ( F( t t v f (t du t CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
10 Prodad II [ f (t d ] [ f (t d ] f (t d t d F( f (t d d t f ( τ ( τ d dτ t d τ t τ d; t τ f ( τ d τ dτ d f ( τ τ dτ d F( lmf (t t lm F( f (t lm F( lm f ( d f (t d t F( t d f (t d t f ( f ( f ( f ( d t f ( f ( f (t f ( d t CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
11 Prodad III f ( τg(t τdτ t f ( τg(t τdτ f ( τg(t τdτ t τ α t α τ; t α f ( τg(t τdτ τ f ( τ f ( τ τ τ dτ g( α dτ F(G( t g( α α α dα dα f ( τg(t τ f ( τ F(G( τ t dτ dτ g( α α CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6 τ τ dα f ( τg( α ( ατ dτ dα
12 Tranformada d alac d funcon báca (I f(t funcón calón f(t ara t < f(t k ara t > f(tk t [ f (t] F( f (t t k t k t k f(t funcón rama f(tkt f(t ara t < f(t kt ara t > CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6 t F( Kt. t K
13 Tranformada d alac d funcon báca (II f(t funcón xonncal f(t ara t < f(t k -αt ara t t F( K. αt. t K ( α t K α Tabla d tranformada d la funcon ma comun CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
14 Tabla d la tranformada má comun f(t Imulo untaro t n -αt t n -αt F( n! n α n! ( α n CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
15 Tabla d la tranformada má comun w.. w.co wt. w at w wt ( a w at a wt ( a w n wt. n. co f(t F( CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
16 Método d rduccón n F ( fraccon arcal En lo tma d control cuyo comortamnto rg or una cuacón dfrncal d cofcnt contant, la funcón F( tn normalmnt la forma: dond:... N ( D ( n N ( ( ( ( 3...( n on la raíc dl olnomo D( Eta raíc odrán r: ral ml, ral múltl, comlja ml, comlja múltl. CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
17 CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6 Método d rduccón n fraccon arcal RICES REES SIMPES: - a funcón F( odrá dcomonr n la gunt forma: - lcando la rodad d lnaldad d la tranformada d alac n n n n... ( N( D( N( F( [ ] n n F t f ( (
18 Método d rduccón n fraccon arcal RICES REES SIMPES: - Por lo tanto la anttraformada d alac : f ( t n. t olo rduo dl olo - - a manra d calcular l valor d cada rduo la gunt: ( F( CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
19 EJEMPO : Método d rduccón n fraccon arcal Hallar la anttraformada d alac d: SOUCION F( a funcón F( la odmo onr n la forma: ( 3 ( 4 3 F( ( ( 5( ( 3 ( 4 ( ( 5( 6 contnuacón calculamo lo valor d F( 5 F(( F(( F(( 6 6 Por tanto la tranformada nvra d alac : ft ( CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6 4 t 5t 6t
20 Método d rduccón n fraccon arcal EJEMPO : Hallar la anttranformada d alacfd: ( SOUCION ( F( ( ( 3 S S 3 ( ( ( 3 Vamo a calcular lo d otra forma: ( ( 3 ( ( 3 Igualando lo cofcnt: Por tanto la olucón : f ( t 5 t 5 3t CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
21 CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6 Método d rduccón n fraccon arcal RICES REES MÚTIPES: - o cofcnt... n calculan gún lo vto antrormnt y lo a r d la gunt manra: r r n n r a a a N D N F (... ( ( (... (...( ( ( ( ( ( ( r r r r r r r ( D( N( d d! (r a ( D( N( d d a ( D( N( a
22 Método d rduccón n fraccon arcal RICES REES MÚTIPES: - Tnndo n cunta qu: r t - r ( ( r! - Por lo tanto la Tranformada nvra d F( rá d la forma: [ ] t t nt f( t F( a a t t... at a. ( r! ( r! r r r r t t n CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
23 Método d rduccón n fraccon arcal EJEMPO 3: Hallar la anttranformada d alac d: F ( ( ( 4( 3 SOUCIÓN o onmo n la forma: F( ( ( 4( 3 F(( F(( 3 3 a ( a 4 3 CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
24 Método d rduccón n fraccon arcal EJEMPO 3: a a F(( d d F(( d d Por lo tanto la olucón rá: f (t 3 4 4t 3t 5 4 t t CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
25 Método d rduccón n fraccon arcal EJEMPO 4: Hallar la anttranformada d alac d: F ( SOUCIÓN F( 3 3 ( B S (S 3 ( C (S ( ( B( C B( C B ; B ; C 3 B C CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
26 Método d rduccón n fraccon arcal EJEMPO 4: Por lo tanto la olucón quda: F ( ( 3 Y fnalmnt, la funcón tmoral : f (t t t t f (t t ( t CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
27 Método d rduccón n fraccon arcal RICES COMPEJS CONJUGDS: - Suongamo l dnomnador d º ordn cuya raíc on: α jw d - o ao a dar on lo gunt:. Obtnr fraccon con un dnomnador d gundo grado (cuya raíc on comlja conjugada y un numrador d rmr grado. a B a a. Obtnr lo valor d y B 3. Dcomonr y traformar la fraccón n tranformada d alac cuya CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6 anttranformada tá n la tabla.
28 Método d rduccón n fraccon arcal EJEMPO 5: - Hallar la anttranformada d alac d la funcón: SOUCIÓN F( ( B C F( ( 5 5 Idntfcando cofcnt d otnca d obtnn, B y C: B B C C CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
29 CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6 Método d rduccón n fraccon arcal EJEMPO 5: - Ponndo la fraccon como tranformada d alac conocda: - Y la olucón rá: ( ( ( F t t t f t t n co 5 3 (
30 d Ejmlo: y Rolucón d cuacon d y y du. 5u dfrncal y( ; dy d y du y. u 5 Y( Y( Y( U( U(-.5U( d y( ; u(t t ara t Y(( (.5U( U( Y( (.5 (.5 Y( ( ( [ Y( ] y (t.5 ( (... domno t domno domno t CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
31 Dcomocón n fraccon ml.5 y(t Y( ( ( y(t [ ].5 ( (.5 ( ( a b a 3b c.5 ( a( b( ( c( ( ( ( ( a b c.5 a (.5 b.5 ( c a -.5 b.5 c t.5 t (.5t t CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
32 naldad [ ] Dfrncacón n l domno dl tmo Intgracón n l domno dl tmo Dlazamnto n l PROPIEDDES DE T. PCE TRNSFORMDS MÁS COMUNES af ( t bg( t af( bg( f(t F( df ( t F( f ( n Imulo untaro d f ( t n n F( f ( n d f ( t df ( n n F( f ( f '(... f ( t ( F( f ( f ( t n ( n F( ( n! [ f ( t ] f ( n n n t n d at f ( t d F( a n! lm f(t lmf( at t t n n ( a lmf(t lmf( w nwt t w f ( t g( t τ dτ F( G( cowt w [ f ( t/ α ] αf( α w α contant otva nwt [ f αt ] F( / α at ( a w α S [ f (t] F( y [ f (t] F( ± α ndo α contant, ntonc a mαt at co wt f(t f(t ( a w df( tf(t d tmo [ ] Torma dl valor ncal orma dl valor fnal Torma d convolucón Tranformacón d varabl. Cambo d cala ( Tralacón n l camo comljo Dfrncacón n l camo comljo [ ] CIPQ Marga Marco, Itzar Caban, Eva Portllo, 6
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