TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

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Natalia Calderón Gómez
hace 5 años
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1 .0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de optimizción. Aunque los ejemplos son esencilmente geométricos, ellos ilustrn un procedimiento generl. Antes de enumerr los psos que se deben seguir l bordr problems que incluyen extremos bsolutos, se enunci sin demostrción, un teorem, conocido como el criterio de l segund derivd, el cul permite, en lgunos csos, determinr, de un mner ms fácil, si un punto crítico ddo corresponde un máximo o un mínimo reltivo. TEOREMA (Criterio de l segund derivd pr extremos reltivos) Se f un función dos veces derivble en un intervlo bierto I, se c un punto de I, tl que f ' ( c ) 0. Entonces: i. Si f ' ' ( c ) < 0, entonces, f present un máximo reltivo en c. ii. Si f ' ' ( c ) > 0, entonces, f present un mínimo reltivo en c. Observción: Si f ' ' ( c ) 0, entonces, l nturlez del punto crítico c no qued determind, como lo ilustrn los siguientes csos: L función, f (x) x, stisfce: f (0) 0 y f (0) 0. Sin embrgo, f (x) present un mínimo reltivo en x 0 (fig.. ()).

2 fig..

3 Igulmente, l función: g (x) - x, stisfce: g (0) 0 y g (0) 0. Sin embrgo, g (x) present un máximo reltivo en x 0 (fig.. (b)). Tmbién, l función, h (x) x, stisfce: h (0) 0 y h (0) 0, pero h (x) es creciente en todo el eje rel y no present extremo reltivo en x 0 (fig.. (c)). En lo que sigue se considerrán lgunos problems cuy solución es un extremo bsoluto de un función definid en un intervlo cerrdo. Se hce uso del teorem de l sección. (Teorem de los vlores extremos), el cul grntiz l existenci de un vlor máximo bsoluto y de un vlor mínimo bsoluto de un función continu en un intervlo cerrdo. Se enumern continución lgunos psos que son útiles l bordr un problem de est nturlez.. Hcer hst donde se posible un dibujo indicndo ls vribles que intervienen en el problem.. Determinr l función mximizr o minimizr si como el intervlo en el cul está definid.. Utilizr l informción del problem pr expresr l función obtenid en el pso., en términos de un sol vrible.. Utilizr l regl práctic dd en l observción l teorem de l sección pr encontrr extremos bsolutos. Se ilustr el procedimiento nterior con lgunos ejemplos. Ejemplo. Los puntos A y B están situdos uno frente l otro y en ldos opuestos de un rio recto de 00 mts. de ncho. El punto D está 00 mts. de B y en su mism orill. (fig..). Un compñí de teléfonos dese tender un cble desde A hst D. Si el costo por metro de cble es el 5% ms cro bjo el gu que por tierr. Cómo se debe tender el cble, pr que el costo totl se mínimo?.

4 fig.. Solución: Se Q el punto sobre l mism orill y un distnci x de B donde termin el trmo de cble bjo el gu. Se puede definir hor ls constntes y vribles del problem: x: distnci de B Q; 0 x 00 y: distnci de A Q; (longitud de cble bjo el gu). 00 x: distnci de Q D; (longitud de cble por tierr). k (const): costo por metro de cble por tierr. 5 5 k (const): costo por metro de cble por gu. k. 5k P : costo totl (función minimizr). De cuerdo l teorem de Pitágors, y x + 00 (). Ahor, l función costo totl viene dd por:

5 C 5 k y + k ( 00 x ) (). Sustituyendo () en (), l función costo totl puede escribirse en términos solmente de l vrible x sí: C ( x ) 5 k x k ( 00 x ) ; con 0 x 00 (dominio de C (x)). C ( x ) / ( x + 00 ) + k ( 00 x ) 5 k () Como C (x) es un función continu en un intervlo cerrdo, C (x) lcnz un vlor máximo y un vlor mínimo en [0, 00]. Al derivr en () e igulr cero, se obtienen los puntos críticos: C ' ( x ) 5 k ( x ) / ( x + 00 ) k 0 5 x k 0 / y como k 0 ( x + 00 ) ( x + 00 ) 5 x 0 5 x x + 00 / 0 x x. De donde x 00. Asi que x 00 es el único punto crítico y de cuerdo l criterio de l segund derivd, corresponde un mínimo reltivo (verifíquelo). En consecuenci, el mínimo bsoluto es el menor entre los siguientes vlores: C (0), C (00) y C (00). 5 C ( 0 ) k k 975 k Esto signific geométricmente, que el cble se tir desde A hst B bjo el gu y desde B hst D por tierr, implicndo un gsto de 975 k pesos. (fig.. ())

7 fig.. 5 C ( 00 ) k k k. Esto indic geométricmente, que el punto Q coincide con D, y en este cso el cble se tiende directmente desde A hst D por gu, demndndo un gsto totl de 75 5k 88. 5k pesos.. (fig.. (b)). 5 C ( 00 ) k k 85 k. Esto signific que si el punto Q está 00 mts. de B y se tiende el cble bjo el gu desde A hst Q y por tierr desde Q hst D, demndrí un gsto de 85 k pesos, menor, pr l compñí que los dos nteriores. (fig.. (c)). Ejemplo. Un lmbre de 00 cm. de longitud, se cort en dos prtes formndo con un de ells un círculo y con l otr un cudrdo. Cómo debe ser cortdo el lmbre pr que:. L sum de ls áres de ls dos figurs se máxim. b. L sum de ls áres de ls dos figurs se mínim.

8 Solución: Supóngse que el lmbre se prte un distnci x de uno de sus extremos. Si x es l longitud de l circunferenci, entonces 00 x es el perímetro del cudrdo. (fig..) fig.. Por lo tnto, el rdio de l circunferenci es x π y el ldo del cudrdo es 00 x. Si A (x) es l función que represent l sum de mbs áres, se tiene entonces: A( x) x x + (00 ) ; 0 00 π x () Puesto que A (x) es un función continu en el intervlo [0, 00], entonces, existe un vlor máximo y un vlor mínimo de A (x) en [0, 00]. Al derivr () e igulr cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto:

9 A' ( x) x π + ( )(00 x) intervlo x 00 x 00 0 x π 8 + [0, 00] (Porqué?). π π es el único punto crítico y pertenece l Además, por el criterio de l segund derivd, dicho vlor corresponde un mínimo reltivo. Ahor, los vlores máximo y mínimo de A (x) está entre los vlores: A (0), A (00) y 00 π A. + π Pero, A (0) 0 π + (00 0) 00 A (00 ) (00 00 ) π π 00π A + π 00π π + π π + π 00 + π Como π < < + π, entonces, desiguldd, se deduce que: < < + π π y de est últim π < < A < A(0) < + π π + π A(00 ). De est form, l últim desiguldd indic que el áre máxim se obtiene pr x 00, o se, no prtiendo el lmbre y formndo con el un circunferenci, mientrs que el áre mínim se obtiene prtiendo el lmbre un distnci 00 π + π de uno de sus extremos, y, formndo con est primer prte un circunferenci y con l prte restnte 00 + π un cudrdo. Ejemplo. Se dispone de un crtulin cudrd de ldo y se quiere hcer un cj sin tp recortndo cudrdos igules en ls esquins y doblndo sus ldos. Cuál debe ser l

10 longitud del ldo del cudrdo que se recort pr que el volumen de l cj se máximo? Cuál es el volumen de l cj?. Solución: Se x: longitud del ldo del cudrdo que se recort en cd un de ls esquins (fig..5 ()), donde 0 x. fig..5 Al doblr l prte de crtulin restnte, se form l cj biert que prece en l fig..5 (b). Ahor, volumen de l cj áre de l bse x ltur. Esto es, V ( x) ( x) x x x + x ; 0 x (). Puesto que V (x) (función mximizr) es un función continu en el intervlo 0,, entonces V (x) lcnz un vlor máximo y un vlor mínimo en dicho intervlo. Al derivr V (x) en () e igulr cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto: V ' ( x) x 8x + (x )(x ) 0

11 0 0 x x x x puntos críticos Pr nlizr l nturlez de los puntos críticos, se us el criterio de l segund derivd. Asi, V x x 8 ) ( ' ' 0 8 ' ' > V, lo cul indic que x corresponde un mínimo reltivo. (interprete geométricmente el resultdo). 0 8 ' ' < V, lo cul indic que x corresponde un máximo reltivo. En consecuenci, el volumen máximo se obtiene recortndo en ls esquins de l crtulin cudrdos de ldo y se obtiene de est form un cj cuyo volumen viene ddo por: 7 V. Ejemplo. Dos psillos de y 9 pies de ncho están unidos en ángulo recto (Ver fig..). Encuentre l longitud de l brr rect ms lrg que puede psrse horizontlmente de un psillo otro por un esquin. Solución: Supóngse que l brr puede psr horizontlmente, cundo esté en l posición como prece en l figur djunt.

12 Si θ (rdines) denot el ángulo que form l brr con el psillo menor, entonces π θ será el ángulo que form con el psillo myor. L longitud desed es l longitud L mínim de l brr. L AC AB + BC (). En el triángulo APB se tiene: AB sec θ AB 9 9 sec θ () En el triángulo BQC se tiene: BC csc θ BC csc θ () Sustituyendo () y () en () se obtiene l función mximizr: L ( θ ) 9 sec θ + csc θ () ; 0 < θ < π / + Note que L + cundo θ 0 ó π θ (Porqué?) Luego, L ' ( θ ) 9 sec θ. tn θ csc θ. cot θ (R.D. 5 y )

13 L ' ( θ ) 9 cos θ sen θ cos θ sen θ cos θ sen θ 9 sen θ cos θ cos sen θ cos θ sen θ ( tn θ ) θ cos θ ( tn θ ) cos θ sen θ 9 sen sen (5) θ cos θ θ cos θ Asi que L' ( θ ) 0 tn θ θ tn Ahor, el signo de ' ( θ ) θ 0.78 (Rd.) L solo depende del signo del fctor ( θ ) tn. Pr ello, considere l gráfic de l función tngente (fig..7 ()) y en l cul se h señldo el vlor de tn θ pr θ

14 fig..7 A l izquierd de θ 0. 78, tn θ <, con lo cul, ( θ ) 0 tn θ < tn θ < 0 L' <. A l derech de θ 0. 78, tn θ >, con lo cul, ( θ ) 0 tn θ > tn θ > 0 L' >. Del nálisis nterior, se deduce que θ (Rd.) corresponde un mínimo reltivo de L(θ) y cuy gráfic se prece l de l fig..7 (b). Esto signific que el vlor mínimo bsoluto de L (y por lo tnto, l longitud máxim de l vrill en cuestión) es: L ( 0.78 ) 9 sec ( 0.78 ) + csc ( 0.78 ) Un procedimiento lgebráico, pr obtener el vlor excto de L es el siguiente:

15 Como, sec θ tn + θ + / / + / / y, csc θ cot + θ + / / + / / Se tiene que: L 9 sec θ + csc θ 9 ( ) / / / / + / + ( + ) / / / / / ( / + ) + (fctor común) / / ( ) [ ] / + / / / / + / / ( + ) problem. / es l longitud de l brr que cumple ls condiciones del

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