Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 01 - Problemas 8, 9

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Raquel Sáez Rivas
hace 7 años
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1 Asignatura: Matemáticas II ºBachillerato página 1/8 Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 01 - Problemas 8, 9 Hoja 1. Problema 9 Resuelto por José Antonio Álvarez Ocete (diciembre 014) 8. Estudia y representa: El dominio de f(x) son todos los números reales excepto el 0, pues se anula el denominador de ambas fracciones. En cuanto a los puntos de corte: OY x=0, que no está contenido en el dominio de f(x), ergo f(x) no corta al eje OY OX y=0 0= 1+x x x +1 = 0 x= -1 P (-1,0) Sobre la simetría de f(x) podemos decir que no es ni par ni impar puesto que: f ( x ) f ( x) y f ( x) f ( x ) Asíntota Vertical: 1+x lim x 0 x 1 lim x Por lo tanto, hay una Asíntota Vertical en x=0

2 Asignatura: Matemáticas II ºBachillerato página /8 Asíntota Horizontal: 1+x lim x + x En el infinito, el polinomio de grado tiene más fuerza que el polinomio de grado 1, por lo tanto hay una Asíntota Horizontal en y=0. Crecimiento: Derivamos f(x) para poder estudiar su crecimiento: f ( x )= x + x x 6 x 4 Ahora la igualamos a 0 para buscar los puntos críticos (posibles máximos o mínimos): x x 6 + x =0 x 4 x x x 6 =0 x=0 x= Buscamos la imagen del punto evaluando en f(x): f ( ) = 1 ( ) + 1 ( ) = 4 7 Por tanto nuestro punto es: Q= (, 4 7) 0 f ( 10)>0 f ( 1)<0 f (1)<0 Pero, es máximo o mínimo? Colocamos los puntos críticos en la recta real y evaluamos para ver su crecimiento: Q es un máximo Curvatura: Para estudiarla hallamos la segunda derivada de f(x):

3 Asignatura: Matemáticas II ºBachillerato página /8 f ( x)= 6 x* x6 +6 x 5 * x ² + x4 +4 x * x x 1 x 8 Operamos y simplificamos y nos queda: f ( x)= 6 * (+ x) x 5 Para encontrar los posibles puntos de inflexión igualamos la segunda derivada a 0 y operamos: 6 * (+ x) x 5 =0 +x=0 x= Para hallar la imagen del punto x = - lo evaluamos en nuestra f(x) inicial: f ( )= 1 ( ) + 1 ( ) = 1 8 Con lo que el punto R queda como: R= (, 1 8) Pero, es un punto de inflexión? Colocamos los puntos críticos en la recta real y evaluamos para ver su curvatura, y vemos que R sí que es un punto de inflexión.

4 Asignatura: Matemáticas II ºBachillerato página 4/8 Representación: En último lugar, me sirvo de Geogebra para representar la gráfica:

5 Asignatura: Matemáticas II ºBachillerato página 5/8 Hoja 1. Problema 9 Resuelto por Gabriel Manzano (diciembre 014) 9. Estudia y representa: )=( f ( x x ) 7 9 x f ( x )=( x ( x ) 7 9 x ) = (7 9 x) = 9 x 1 x x+81 x DOMINIO: La función es continua en toda la recta real excepto donde el denominador se anule, es decir: x= b± b 4 a c a 81 x 16 x+49=0 x= 16± = PUNTOS DE CORTE: Punto de corte con el eje de abscisa. Implica que y=0 ( x ) (7 9 x) =0 ( x ) =0 9 x 1 x+4=0 Volvemos aplicar la ecuación de segundo grado x= b± b 4 ac x= 1± = a 18 (, 0) es punto de corte con EL eje OX Punto de corte con el eje de ordenada. Implica que x=0 (0, 4 49 ASÍNTOTAS: Asíntota vertical: lim x 7 9 y= = 4 49 ) es un punto de corte con el eje OY 9 x 1 x+4 f ( x)= lim x 81 x 16 x+49 =

6 Asignatura: Matemáticas II ºBachillerato página 6/8 lim x x 1 x+4 f ( x )= lim x 81 x 16 x+49 = Asíntota horizontal Existe una asíntota vertical en x lim f ( 1 x+4 x)=l i m x x 81 x 16 x+49 = = 1 9 Al ser una indeterminación infinito entre infinito, realizamos el cociente entre de los términos de mayor grado 9 x lim f ( 1 x+4 x )=l i m x x 81 x 16 x+49 = =1 9 Al ser una indeterminación infinito entre infinito, realizamos el cociente entre de los términos de mayor grado. Como coinciden los limites, concluimos que existe una asíntota horizontal en y= 1 9 Asíntota inclinada Cuando existe al menos una asíntota horizontal, no existe asíntota oblicua CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO Y PUNTOS DE INFLEXIÓN En primer lugar calculamos la derivada de f ( x )= ( x : 7 9 x ) Igualamos la derivada a cero: Despejamos x: f ' x ( (7 9 x )) [ ( x ) ( 9)] ( x )= ( 7 9 x ) ( (7 9 x) ) f ' ( x )= ( x 1 7 x+7 x x ) ( (7 9 x ) ) f ' ( x )=0 f ' ( x )= ( x 7 9 x ) ( ) (7 9 x ) f ' 6 ( x ) ( x )= (7 9 x) 6 ( x ) =0 6 ( x )=0 (7 9 x )

7 Asignatura: Matemáticas II ºBachillerato página 7/8 6 ( x )=0 18 x 1=0 x= Ahora evaluamos en la función derivada a la izquierda y a la derecha de y / + 7/9 - Por tanto: La función es decreciente desde (-, ) Creciente desde (, 7 9 ) Decreciente desde ( 7 9, + ) Para calcular máximos y mínimos sustituimos el valor en la función original: f ( Conclusión: Hay un mínimo en (, 0 ) ) =( ( ) 7 9 ( )) CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN Realizamos la segunda derivada: =0 f ' ' ( x )= 18 (7 9 x) (18 x 1) (7 9 x) ( 9) (7 9 x) 6 f ' ' ( x )= (7 9 x ) [18 (7 9 x) (18 x 1) ( 9)] (7 9 x) 6 f ' ' x (18 x 1) ( 7 ) ( x )= (7 9 x) 4 f ' ' x+486 x 4 4 x (18 x 11) ( x )= = = (7 9 x ) 4 4 ( 7 9 x) (7 9 x) 4 Igualamos la segunda derivada a cero: f ' ' ( x )=0 18(18 x 11) =0 18(18 x 11)=0 x= 11 (7 9 x) 4 18 Evaluamos en la segunda derivada a la izquierda y a la derecha de 11 18

8 Asignatura: Matemáticas II ºBachillerato página 8/8 (candidato a punto de inflexión): - Cóncavo 11/18 + Convexo Evaluamos el valor x0 del punto de inflexión en la función original: f ( 11 18) =( ( 11 18) =( ( 18)) ) = ( 18 : 7 =( 18) ) =( 7 ) = 1 81 Por tanto, un punto de inflexión en P ( 11 18, 1 81 ) Representación gráfica:

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