Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2008

Transcripción

1 Solucó del exame de Ivestgacó Operatva de Sstemas de septembre de 008 Problema : (3 putos) E Vllafresca uca hace sol dos días segudos. S u día hace sol, hay las msmas probabldades de que el día sguete haya lluva o eve. S u día llueve o eva, hay u 50% de probabldades de que al día sguete el tempo sga gual. Por otra parte, s hoy está llovedo o evado, la probabldad de que mañaa haga sol es del 5%. Se pde: a) Matrz de trascó y dagrama de trascó de estados (DTE). lasfcar los estados y la cadea de Markov. b) Hallar la proporcó de días de cada tpo (sol, lluva o eve) que se da e Vllafresca. c) S hoy está llovedo, calcular la probabldad de que pasado mañaa o haga sol. Solucó: partado a): Podemos modelar la stuacó medate ua cadea de Markov e la que cada etapa represete u día. sí pues, el estado represetará que hoy el tempo es del tpo. Por lo tato, el cojuto de estados es S {Ll, So, N}. El DTE correspodete es: 0,5 0,5 So 0,5 Ll 0,5 0,5 0,5 0,5 N 0,5 La matrz de trascó será como sgue: 0,5 Q 0,5 0,5 0,5 0 0,5 0,5 0,5 0,5 E cuato a la clasfcacó de los estados, todos so recurretes y aperódcos. Nguo es absorbete. El úco cojuto cerrado es S. Por tato, la M es rucble, aperódca y recurrete, co lo cual es ergódca.

2 partado b): omo la cadea de Markov es fta y ergódca, podemos afrmar que exste la dstrbucó estacoara, que será ecesara para hallar la probabldad de que ua persoa tome cada tpo de plato u día cualquera, que es lo que os pde. Para calcular la dstrbucó, plateamos el sguete sstema de ecuacoes: pll pll T pso Q pso pn pn p p + p Ll + So N El sstema puede resolverse, por ejemplo, fjado p Ll y ormalzado luego. La solucó fal es: 4 4 p Ll 0,4 pso 0, pn 0, Éstas so las proporcoes de días de cada tpo que se da e Vllafresca, expresadas e tatos por uo. partado c): Segú las ecuacoes de hapma-kolmogorov, la probabldad de trastar desde el estado Ll hasta el estado So e dos etapas es: ( ) 3 q Ll, So 0,5 0,5 + 0, ,5 0,5 0,875 6 Por lo tato, la probabldad de que s hoy llueve, pasado mañaa haga sol es 0,875. La probabldad de que o haga sol se obtee medate el suceso cotraro: ( ) p q Ll, So 0,875 0, Problema : (3 putos) Ua compañía cosdera la stalacó de ua mpresora para sus empleados. Se cosdera tres propuestas: Impresora oste ( ) Tempo medo servco (m) Los empleados evía trabajos a la mpresora co tasa 5 por hora. El coste del tempo que cada empleado espera a que la mpresora procese su trabajo es de 0, /hora. alcule qué mpresora debe stalar la compañía, supoedo 40 horas de trabajo semaales, 50 semaas de trabajo al año, y ua vda útl de la mpresora de dos años.

3 Solucó: El sstema se puede modelar como ua cola M/M/. El servdor es la mpresora, y cada empleado mada u trabajo para que lo realce el servdor. La razó de llegadas es 5 cletes/hora. La razó de servco depede del modelo de mpresora que se elja: 0 h 6 cletes / h h cletes / h 60 4 h 5 cletes / h 60 o esto se puede calcular el parámetro para cada ua de las opcoes: Se trata de mmzar el coste total, dode dcho coste es la suma del coste de adquscó de la mpresora y el coste por espera de los empleados. Para la opcó expresaremos esto de la sguete maera: T + E dode {,, }. El coste de adquscó vee dado e la tabla: T 00 T 600 T 000 El coste por esperas se calculará hallado el úmero de horas total que estará fucoado el sstema multplcado por el úmero medo de cletes e el sstema (L) y por el coste por clete y hora: E 40 h 50 semaas años L 0, Hallamos el úmero medo de cletes e el sstema para ua cola M/M/ a partr de las fórmulas que aparece al fal del exame: + L W Wq + Wq + Lq + + hora podemos hallar L y E para cada opcó: 5 L 5 cletes 6 6 E 40 h 50 semaas años L 0, 4000 L cletes 3 3 E 40 h 50 semaas años L 0, 600 L cletes 3 3 E 40 h 50 semaas años L 0, 400

4 hora podemos hallar los costes totales: T + E T + E T + E Se observa que el meor coste total se alcaza e la opcó, co lo cual la compañía debe stalar la mpresora tpo. Problema 3: ( putos) Solucó: Sea el sstema de ecuacoes sguete: x+y 0 3y x x 00 y 0 Se pde: a) Represete gráfcamete la regó factble, y calcule sus vértces. b) E qué puto de la regó factble la fucó F(x, y) 5x+0y alcazaría su valor máxmo? c) Formule la prmera tabla correspodete a la aplcacó del algortmo del Smplex para este problema. Qué método se debe aplcar aquí? partado a): La represetacó gráfca queda como sgue:

5 Los vértces so: G(30,0): terseccó de las rectas y 0 y x 3y. (90,30): terseccó de las rectas x + y 0 y x 3y D(00,0): terseccó de las rectas x + y 0 y x 00 I(00,0): terseccó de las rectas y 0 y x 00 partado b): Hallamos el valor de la fucó objetvo e los vértces de la regó factble: F(G) F(30,0) 5*30 + 0*0 950 F() F(90,30) 5*90 + 0* F(D) F(00,0) 5*00 + 0*0 900 F(I) F(00,0) 5*00 + 0*0 700 El valor máxmo se alcaza por lo tato e el puto D(00,0). partado c): Se utlza el método de las dos fases. El problema auxlar de la Fase I es: Maxmzar x 7 Sujeto a: x + x + x 3 0 x + 3x + x 4 0 x + x 5 00 x x 6 + x 7 0 x, x, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 0 Tégase e cueta que xx, yx. Las varables x e y o tee restrccó de o egatvdad explícta e el problema orgal, pero dcha restrccó se deduce de las restrccoes y 0, 3y x. Por lo tato o es ecesaro añadr más varables auxlares que las que aparece. La prmera tabla es la sguete: ase c P 0 P P P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P P P P

6 Problema 4: ( putos) Durate ua cofereca cuya duracó será de 3 días se ha habltado u comedor. Se ecestará 40 mateles el prmer día, 60 el segudo, y 70 el tercero. Los mateles se debe comprar e el prmer día, y puede adqurrse a u costo de 0 por udad. Después de usados se puede lavar, para lo cual hay servcos de lavadería dspobles: uo rápdo e que el lavado dura día a u costo de 5 por udad, y otro más leto que dura días y cuesta 8 por matel. Los mateles será desechados después de la cofereca. Se quere mmzar los costos totales. Para tal f, formule u modelo que permta coocer el úmero de mateles que debe ser adqurdos el prmer día y el úmero de mateles que debe ser evados a cada ua de las lavaderías cada día. Nota: No tete obteer la solucó, sólo debe dar el plateameto. Solucó: Varables de decsó: x atdad de mateles comprados. x atdad de mateles evados al servco rápdo el prmer día. x 3 atdad de mateles evados al servco ormal el prmer día. x 4 atdad de mateles evados al servco rápdo el segudo día. Fucó objetvo: Restrccoes: Mmzar Z 0x + 5x + 8x 3 + 5x 4 Mateles para el prmer día: o x 40 Mateles para el segudo día: los que se ha comprado pero o usado el prmer día más los que se ha evado al servco rápdo el prmer día o (x 40) + x 60 Mateles para el tercer día: los que o se usaro el segudo día más los que se evaro al servco leto el prmer día y los que se evaro al servco rápdo el segudo día o (x 40) + x 60 + x 3 + x 4 70 atdad de mateles evados a lavar el prmer día: o puede superar los que se usaro ese día. o x + x 3 40

7 atdad de mateles evados a lavar hasta el segudo día: o puede superar los que se usaro el prmero y el segudo día o x + x 3 + x Las dsttas catdades debe ser postvas o x, x, x 3, x 4 0 Por lo tato, obteemos el sguete sstema de programacó leal: sujeto a Mmzar Z 0x + 5x + 8x 3 + 5x 4 x 40 x + x 00 x + x + x 3 + x 4 70 x + x 3 40 x + x 3 + x 4 00 x, x, x 3, x 4 0 FÓRMULS DE TEORÍ DE OLS: M/M/: W q t / W () t e ( ) M/M/c: p0 c ( c ) p0, s 0,,..., c p! c c p, e otro caso 0 c! p c c c +!( ) c c 0 q W e t / W L ( ) ( c )! L q t c c+ c p c! 0 ( ) M/M/ y M/M/c: W W q + Lq Wq L W M/M//k: ( ) k, s k + +, s p ( ) ef p k

8 W W q + Lq efwq L efw ( k + ) k k + L k, s +, s Redes de Jackso abertas: K γ K L L W L V Redes de Jackso cerradas: + Lj( m ) Wj( m) c L j(0) 0 j j L ( m) m j * jwj( m) K W( m) * Lj( m) j( m) W ( m ) j