ECUACIONES. Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas (una de ellas puede ser un número), separadas por el signo =.

Transcripción

1 ECUACIONES IDENTIDADES, IGUALDADES FALSAS Y ECUACIONES.- Una igualdad algebraica está formada por dos epresiones algebraicas (una de ellas puede ser un número), separadas por el signo. Ejemplos.- ( ) ; ( ) En una igualdad algebraica: A las variables que intervienen se les llama incógnitas. ; 0 Ala epresión algebraica que está delante del signo igual se le llama primer miembro de la igualdad, y a la que está detrás del signo igual, segundo miembro de la igualdad. Las igualdades algebraicas pueden ser de tres clases: Identidades o ecuaciones triviales: La igualdad es cierta para todos los valores reales por el que sustituyamos la incógnita (o incógnitas en el caso de que haya más de una). ( ) Para : Para que le demos a. ; para cualquier valor de, se cumple la igualdad: y ( ) : ( ) ( ) y ( ) Igualdades falsas: La igualdad no se cumple para ningún valor que se le dé a la incógnita: ( ), y así ocurre para todos los valores, pues: no se puede cumplir que quitando unidades y añadiéndole unidades al mismo número ( ), salga lo mismo. Ecuaciones: La igualdad se cumple solo para algunos valores de la incógnita y no se cumple para otros. Ejemplo : es válida sólo para. Ejemplo : 0 es válida para y, y no es válida para el resto de los valores reales que demos a. Vamos a centrar nuestro estudio en las ecuaciones.

2 ECUACIÓN.- Una ecuación es una propuesta de igualdad, en la que interviene una o más letras denominadas incógnitas, que es cierta solo para algún (o algunos) valor de la incógnita (o incógnitas), llamado solución (o soluciones) de la ecuación. Las soluciones de la ecuación son, por lo tanto, los valores de la incógnita (o incógnitas) que hacen que la igualdad sea cierta. Resolver una ecuación es hallar todas sus soluciones. En general vamos a resolver igualdades algebraicas (no solo ecuaciones), ya que tienen el mismo aspecto antes de su resolución. Resolver una igualdad algebraica es hallar su solución o soluciones, o llegar a la conclusión de que todos los valores de las incógnitas son soluciones (identidad), o de que no tiene ninguna (igualdad falsa). ECUACIONES EQUIVALENTES.- Dos ecuaciones son equivalentes si tienen eactamente las mismas soluciones o ambas carecen de solución. Para resolver una ecuación, hemos de despejar la mediante una serie de pasos. Cada paso consiste en transformar la ecuación en otra equivalente en la que la esté más próima a ser despejada. Las transformaciones que permiten pasar de una ecuación a otra equivalente hasta conseguir despejar : Transformación Regla práctica Sumar o restar el mismo número o la misma Lo que está sumando en uno de los dos epresión algebraica en los dos miembros de la miembros, pasa restando al otro miembro, igualdad y viceversa / / / / 6 Multiplicar o dividir los dos miembros por el mismo número distinto de cero. / 6 6 / : Lo que está multiplicando a todo lo demás de un miembro pasa dividiendo a todo lo demás del otro. Y viceversa. Tipos de ecuaciones.- Eisten diversos tipos de ecuaciones, entre ellas estudiaremos: Polinómicas: En ellas, la incógnita aparece solamente en epresiones polinómicas. El grado de una ecuación polinómica es el grado del término que tenga mayor grado Racionales: En ellas hay fracciones algebraicas y la incógnita aparece en algún denominador. Irracionales: La incógnita está dentro de una raíz.

3 ECUACIONES LINEALES O POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO.- Una ecuación de primer grado es una igualdad algebraica que se puede reducir a la forma siendo a 0. Tiene una única solución. a b, Las igualdades algebraicas que parecen ecuaciones de primer grado y que, sin embargo, no tienen solución (igualdades falsas) o tienen infinitas soluciones (identidades): Ejemplo.- ( ) 0 5 ó 0 5 Ejemplo.- 6 ( ) ó 0 0 soluciones. No tiene solución. Tiene infinitas Realmente, estas igualdades sabemos que no son ecuaciones (pues carecen del término en ). Sin embargo, puesto que antes de simplificar no sabemos en qué van a quedar, las trataremos como ecuaciones. Para resolver las ecuaciones de primer grado seguiremos los siguientes pasos:.- Desarrollar los paréntesis, si los hay..- Quitar denominadores, si los hay, reduciendo previamente ambos miembros a común denominador (m.c.m de todos los denominadores) y multiplicando ambos miembros por él..-después de reducir términos semejantes en los dos miembros, pasamos los términos en a un miembro y los números al otro miembro..- Reducimos términos semejantes en cada miembro. 5.- Despejamos la, obteniendo, así, la solución. Comprobación: Sustituir la solución en cada miembro de la ecuación inicial para comprobar que coinciden los resultados. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.- Es una ecuación que se puede epresar de la forma: a b c 0 con a, b, y c, números reales conocidos y a 0. Las ecuaciones de º grado puede ser: Completas: Cuando b 0 y c 0. Se resuelve usando la fórmula: Incompletas: Cuando b 0 ó c 0 b b ac a. Se resuelven sin necesidad de utilizar la fórmula anterior: Si b 0 : a c 0 despejar c a despejar c a c : a b 0 ( a b) Si a b sacamos factor común para queel producto de dos factores sea 0 0 b a despejo

4 Para resolver una ecuación de º grado: Si tiene una forma complicada, arréglala: suprime paréntesis, quita denominadores, agrupa términos semejantes y pásalos todos al primer miembro, etc. Sólo cuando esté simplificada, aplica el método que corresponda para resolverla. Si la ecuación de segundo grado es completa, aplica la fórmula. Si la ecuación de segundo grado es incompleta, resuélvela sin la fórmula, sacando factor común o despejando, según del tipo que sea. Ejemplos:. 6 0;. 0 ; ( ) 6 (dos soluciones) (una solución doble). 0 ; R (sin solución). 0 ; ; (dos soluciones) ; ( ) ; 0 0; (dos soluciones) ; 0 ; 0 0 ; 0 (una solución doble) NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE º GRADO.- En los ejemplos observamos que el número de soluciones (una, dos o ninguna) de una ecuación de º grado depende del signo del radicando de la raíz que forma parte de la fórmula de la ecuación de º grado, que notaremos con la letra griega: (delta), llamado discriminante de la ecuación: Discriminante b ac Si Si Si > 0 La ecuación tiene dos soluciones reales y distintas 0 La ecuación tiene una sola solución, llamada solución doble. < 0 La ecuación no tiene solución. ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR A DOS.- Son ecuaciones polinómicas en las que el término de mayor grado tiene grado mayor o igual que tres. Se resuelven de la siguiente forma: º. Se epresan con el segundo miembro igual a 0: ( ) 0 P en caso de que no esté epresada así. º.Se factoriza el polinomio P ( ) en factores de grado y y se escribe la ecuación factorizada:

5 (...) (...)... (...) 0 º. Para que un producto de varios factores sea 0, es necesario que sea 0 cualquiera de ellos (...) 0 ; (...) 0 ;..; (...) 0 º. Se despeja la de cada uno de los factores, escribiendo todas sus soluciones º ( ) ( ) ( 5 ) ( ) 0 ( doble) 0 0 º ECUACIONES REDUCIBLES A ECUACIONES DE º GRADO.- Hay ecuaciones que, sin ser de primer ni de segundo grado, se pueden resolver utilizando los recursos que ya tenemos: ECUACIONES BICUADRADAS Y BICÚBICAS.- Son ecuaciones polinómicas que se pueden epresar de la forma: 6 a b c 0 (bicuadradas) y a b c 0 (bicúbicas) con a 0. Para resolverlas: Se hace un cambio de variable de la forma siguiente: Bicuadradas: t, con lo que ( ) t, quedando: at bt c 0 (ecuación de º grado en t). Se despeja t con el procedimiento que proceda según el tipo de ecuación deº grado que sea y una vez obtenido t, se deshace el cambio para conseguir los valores de con: t. 0 ; hacemos: t, quedando: t t 0 ; despejamos t: 6 t deshaciendo el cambio: t t Bicúbicas: t 6, con lo que ( ) t, quedando: at bt c 0 (ecuación de º grado en t). Se despeja t con el procedimiento que proceda según el tipo de ecuación deº grado que sea y una vez obtenido t, se deshace el cambio para conseguir los valores de con: t.

6 0 6 ; hacemos: t, quedando: 0 t t ; despejamos t: ( ) t deshaciendo el cambio: t t ECUACIONES RACIONALES.- Las ecuaciones en las que aparecen fracciones algebraicas, se denominan ecuaciones racionales. Para resolver este tipo de ecuaciones, se multiplican sus dos miembros por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores. Una vez eliminados los denominadores se resuelve la ecuación polinómica obtenida. Al multiplicar los dos miembros de la ecuación por una misma epresión algebraica, debemos suponer que esta es distinta de 0. Si entre las soluciones obtenidas hay alguna que anule a algún denominador, debemos rechazarla, por eso se debe comprobar que las soluciones obtenidas no anulan a los denominadores que intervienen en la ecuación. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y / anula a los dos denominadores, así que ha que rechazarla. La solución es: ECUACIONES IRRACIONALES.- Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la incógnita en el radicando (bajo el signo radical) Para resolver una ecuación irracional, se siguen los siguientes pasos: º Si la ecuación tiene un solo radical: Se aísla el radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos. Si la ecuación tiene dos o más radicales: Se aísla uno cualquiera de ellos en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales.

7 º Se elevan al cuadrado los dos miembros de la ecuación. º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos. º Se resuelve la ecuación obtenida. 5º Es imprescindible, en este tipo de ecuaciones, comprobar si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial, ya que hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación. Elevar al cuadrado los dos miembros de la ecuación, no es una transformación que permita pasar de una ecuación a otra equivalente en todos los casos; por ejemplo: La ecuación: tiene como solución: Al elevar sus dos miembros al cuadrado: que tiene como soluciones: Observamos que no tienen eactamente las mismas soluciones; sin embargo, la solución de la primera ecuación ( ) se encuentra entre las soluciones de la segunda ( y ), por eso basta con resolver la segunda ecuación y rechazar las soluciones de dicha ecuación que no cumplan la ecuación inicial ( / ). º º ( ) ( ) 5 ( ) (posibles soluciones) º º º Descartamos las soluciones no válidas (5º): Para 5 : 5 5 Luego 5 es solución de la ecuación inicial. º º Para : Luego no es solución. En las ecuaciones irracionales, la comprobación de las soluciones forma parte de su resolución En este tipo de ecuaciones, las soluciones no se comprueban para estar seguros de que no nos hemos equivocado al resolverlas, sino para descartar las soluciones etrañas que se han podido introducir al elevar los dos miembros al cuadrado.