1 CÁLCULO CON RADICALES. Nota: Para m = 2, es l raíz cuadrada y el 2 no se escribe.

Transcripción

1 DEFINICIÓN : 1 CÁLCULO CON RADICALES ( m 2, 3, 4,.. ) Ejemplo: Nota: Para m 2, es l raíz cuadrada y el 2 no se escribe. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES: Se escribe el radical en forma de potencia, se simplifica el exponente y se vuelve a la forma de raíz. Si la base es numérica se descompone previamente. REDUCCIÓN DE RADICALES A COMÚN ÍNDICE Se escriben en forma de potencia. Se reduce a común denominador las diferentes potencias fraccionarias y se vuelve a la forma radical. Este proceso será necesario para ordenar expresiones radicales, para multiplicar y para dividir. Reduce a común índice :, y.pasamos a potencia,,,, Reducimos a c. den... Pasamos a raíz, y ****************************************** FIN SEMANA 1 PRODUCTO Y DIVISIÓN DE RADICALES DEL MISMO ÍNDICE Si los radicales tienen el mismo índice: ; Si los radicales son de distinto índice hay dos opciones : reducir a común índice y operar después o adoptar la escritura del radical en forma de potencia y operar aplicando las propiedades de las potencias. En clase seguiremos esta última opción.

2 Ejemplo 1 Ejemplo 2 EJERCICIO CLASE : Opera y simplifica : a) b) En los anteriores ejemplos la base de las potencias era única. Y si aparecen diferentes bases? (paso a exponente)... (separamos). ( reducimos a común denominador). EJERCICIO CLASE: Opera y simplifica... a) b) RAICES ENCAJADAS : Pasa a forma de exponente fraccionario (cuidado con los paréntesis). Aplica propiedades de potencias y una vez reducido, expresa el resultado en forma radical. Ejemplo : ( ) ( ) EJERCICIO CLASE: a) b) INTRODUCCIÓN DE FACTORES DENTRO DE UNA RAIZ

3 Ejemplo: EXTRACCIÓN DE FACTORES FUERA DE LA RAIZ PASO 1 : Factoriza los radicandos si son numéricos PASO 2: Para aquellas potencias cuyo exponente es igual o mayor que el índice de la raíz, divide el exponente entre el índice. La base correspondiente elevada al cociente de la división sale de la raíz. La base elevada al resto queda dentro. (Si el resto es 0 no hace falta escribirla ya que a 0 1) Ejemplo: SUMA-RESTA DE RADICALES Definición: Radicales semejantes son los que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Sólo se pueden sumar y restar radicales semejantes. Así, + no se puede hacer. Tampoco se puede operar la expresión +. A veces, en las operaciones aparecen radicales no semejantes en apariencia. Basta con hacer una extracción de factores para que sean semejantes y la operación sea posible. Ejemplo: ********************************************** FIN SEMANA 2 RACIONALIZACIÓN Dada una expresión fraccionaria con raíces en el denominador, racionalizar esta expresión es encontrar una equivalente sin raíces debajo ( no hay inconveniente en que aparezcan en el numerador) CASO 1 Qué hacer? Multiplicar numerador y denominador por CASO 2 En el denominador aparece una suma o resta de dos términos, de los cuales uno o los dos tienen una raíz cuadrada. Qué hacer? Multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador ( Conjugado de A + B es A B y conjugado de A B es A + B). A la hora de operar recuerda productos notables. Ejemplo 1 :

4 Ejemplo 2: ( ) ( )( ) ( ) EJERCICIOS DE CLASE : Racionaliza las siguientes expresiones 1) 2) 3) 4) 5) Efectúa la operación: NOTACIÓN CIENTÍFICA Se supone que el alumno debe conocer las operaciones en notación científica desde 3º ESO. Abordamos esta parte como repaso.,,,,.,.,.,.,...,,.,. +,, +,, +,, EJERCICIO:,, ************************************* FIN SEMANA LOGARITMOS Sean a y b dos números reales positivos: NOTA: Si a 10 se trata del logaritmo decimal y no se escribe: Si a e ( número e ) ( se lee logaritmo neperiano)

5 EJERCICIO 1: Calcula el valor de los siguientes logaritmos aplicando la definición: EJERCICIO 2 Calcula el valor de la expresión: + EJERCICIO 3 Halla el valor de x en cada caso:, 1), 2) + 3) 4) 5) (Cambio de base) PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS SE TRABAJARÁN LAS PROPIEDADES CON UNA HOJA DE EJERCICIOS ENTREGADA EN CLASE ****************************************FIN SEMANA 4

6 4 COMBINATORIA DEFINICIÓN: n! ( Factorial de n, n entero positivo),!.. n!,! Ejemplo: 5! DEFINICIÓN Número combinatorio. Para n y m enteros positivos, n m!!! Ejemplo:! 15!! Conviene simplificar para evitar números demasiado grandes: Ejemplo:!!!!! 105 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS 1) 0 1 2) 1 1 n Dado un conjunto de elementos, la Combinatoria tiene como objetivo la formación de grupos a partir de esos elementos que cumplan una serie de propiedades, y también averiguar cuántos grupos hay. Los tipos de agrupaciones y propiedades se recogen en el cuadro que aparece en la siguiente página.

7 TIPO DE GRUPO Variaciones ordinarias de orden m Variaciones con repetición de orden m Combinaciones de n elementos tomados de m en m Permutaciones de n elementos Permutaciones con repetición ELEMENTOS DISPONIBLES NÚMERO DE ELEMENTOS DE CADA GRUPO n m n > m n m No hay n m n > m n n n elementos de los cuales hay n 1 del tipo x 1 n 2 del tipo x 2 n k del tipo x k RESTRICCIONES CARACTERÍSTICAS NÚMERO n Un grupo se distingue de otro por los elementos o por el orden de éstos. No se pueden repetir En cada grupo los elementos pueden repetirse. Un grupo se diferencia de otro por los elementos o por el orden En cada agrupación los elementos no se repiten y un grupo se distingue de otro por sus elementos. El orden no cuenta Dado que en cada agrupación entran todos los elementos disponibles, los grupos se distinguen por el orden En cada agrupación entran todos los elementos. Un grupo se distingue de otro por el orden V n,m!! VR n,m n m C m n P n n!!,,..!!! (*) EJEMPLO: Con las letras A,B, C forma : a) Variaciones ordinarias de orden 2 AB, AC, BC, BA, CA, CB b) Variaciones con repetición de orden 2 AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC c) Combinaciones de orden 2 {A, B}, { A, C}, { B, C}

8 d) Permutaciones ABC, ACB BAC BCA CAB CBA EJEMPLO: Con las letras de la palabra PAPA forma las permutaciones con repetición PAPA APAP PAAP APPA PPAA AAPP HOJA DE EJERCICIOS PARA HACER EN CLASE ********************************** (Fin semanas 5, 6)