El conjuntos de los estudiantes inteligentes de la UPR Río Piedras. El conjunto de los mejores baloncelistas de la NBA.

Transcripción

1 1 Conjuntos Un conjunto es una colección de objetos bien definida. Ejemplos de conjuntos: El conjuntos de todos los estudiantes matriculados en el programa immersión. El conjunto de todos los pueblos de Puerto Rico. El conjunto de los gobernadores electos por el pueblo de Puerto Rico. Ejemplos de colecciones que no son conjuntos: El conjuntos de los estudiantes inteligentes de la UPR Río Piedras. El conjunto de los mejores baloncelistas de la NBA. Usualmente denotamos los conjuntos con letras mayusculas: A, B,.... Los objetos de un conjunto son llamados elementos y los denotamos con letras minusculas: a, b,.... Usamos llaves {} para denotar los conjuntos, por ejemplo el conjunto que consiste de las vocales se escribiría como {a, e, i, o, u}. Si A = {a, e, i, o, u}, escribimos que a es un elemento de A como a A y escribimos que b no es un elemento de A como b A. Decimos que el conjunto A 1 es igual a A si cada elemento de A 1 está en A y cada elemento de A esta en A 1. Escribimos A 1 = A. El conjuntos los números naturales: N = {1,, 3,...}. El conjuntos los números enteros: Z = {..., 3,, 1, 0, 1,, 3,...}. El conjuntos los números racionales: Q = { p p, q Z, q 0}. q El conjuntos los números reales R: 3 C = {n N 3 n 8}. Notar que C es el conjunto de los números naturales que estan entre 3 y 8 incluyendo los extremos, C = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Notar que {1, } = {, 1} = {1,, 1} = {1, 1, 1, 1,,, }. Pero {1} {1, }. Decimos que el conjunto B es un subconjunto del conjunto A si todo elemento de B es un elemento de A. Cuando B es un subconjunto de A escribimos B A. Ejemplos de conjuntos: El conjuntos de los pueblos de Puerto Rico que su nombre empieza con la letra S es un subconjunto del conjunto formado por pueblos de Puerto Rico. {i, u} {a, e, i, o, u} N Z 1

2 Notar que { 1,, 3} no es un subconjunto de N ya que 1 N. El conjunto universal U es el conjunto que contiene todos los elementos de la situación considerada. El siguiente diagrama es el diagrama de Venn asociado a un conjunto A donde el cuadrado representa el conjunto universal. A U El siguiente diagrama es el diagrama de Venn asociado cuando B es un subconjunto de A, B A. U B A B A El complemento de un conjunto del conjunto A es conjunto de elementos en el universo U que no estan en A y lo denotamos por A. Esto es A = {x U x A}. El complemento de A = {1,, 5, 9, 10} en U = {1,,..., 10} es A = {3, 4, 6, 7, 8}. Si U = Z, entonces N = {0, 1,..., }. La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que estan en A y B(en ambos). La intersección de A y B la denotamos por A B. Por lo tanto A B = {x U x A y x B}. U A B

3 La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que estan en A ó B. La unión de A y B la denotamos por A B. Por lo tanto A B = {x U x A ó x B}. U A B Notación Sean a, b R con a < b. 1. (a, b) = {x R a < x < b} a b. [a, b] = {x R a x b} a b 3. [a, b) = {x R a x < b} a b 4. (a, b] = {x R a < x b} a b 5. (, b] = {x R x b} b 6. (a, ) = {x R a < x} a Ejemplo 1. Sea U = {1,,..., 10}, A = {1,, 4, 7}, B = {x U x es primo}, C = {, 5, 8, 9}. Encuentre 1. A B. A C 3

4 3. A B C 4. A B C 5. A (B C) 6. A (B C) Ejemplo. Sea U = {x x es una letra de palabra apercibimiento }, A = {a, e, m, t}, B = {x U x es la letra de la palabra facinacion}, C = {x U x es una vocal}. Encuentre 1. A B. A C 3. A B C 4. A B C 5. A (B C) 6. A (B C) Ejemplo 3. Sea U = R, A = (0, 1], B = ( 1, 1 ), C = [0, 3]. Encuentre 1. A B. A C 3. A B C 4. A B C 5. A (B C) 6. A (B C) Aplicaciones Diagramas de Venn 1. Julianne Peterson, una sicóloga del deporte, planeaba realizar un estudio sobre las respuestas de los espectadores a ciertos aspectos de las películas de béisbol The Natural, Field of Dreams y The Rookie. Después de encuestar a un grupo de 55 estudiantes, obtuvo la siguiente información: 17 vieron The Natural, 17 vieron Field of Dreams, 3 vieron The Rookie, 6 vieron The Natural y Field of Dreams, 8 vieron The Natural y The Rookie, 10 vieron Field of Dreams y The Rookie, vieron las tres películas. Construya el diagrama de Venn asociado a la encuesta. Cuántos estudiantes vieron exactamente dos de estas películas? Cuántos estudiantes vieron exactamente una de estas películas? 4

5 Cuántos estudiantes no vieron ninguna de estas películas?. La gerente de la cafetería de un hospital quería saber si la bebida que los hombres y mujeres preferían para el almuerzo dependía de la edad. Así que un día realizó una clasificación del almuerzo de acuerdo con la edad y con la preferencia por la bebida, recopilando lo números en la siguiente tabla: (a) n(g V ) = (b) n(t M) = (c) n((j G) V ) = Cola(C) Café(G) Té(T) Totales 18-5 años(j) años(m) Más de 33 años(v) Totales En la siguiente tabla se presenta un argumento matemático donde se concluye que = 1. Claramente esto no es correcto. Determine donde está el error del argumento matemático. Asumimos que x y y son distintos de cero. x = y x = xy multiplicamos ambos lados por x x y = xy y sumamos ambos lados y (x y)(x + y) = y(x y) factorizamos (x y)(x + y) x y = y(x y) x y Dividimos ambos lados por x y x + y = y cancelación y = y substituimos x por y y y = y y dividimos ambos lados por y. = 1 conclusión 3 Lógica Una proposición matemática es una afirmación que tiene un único valor de verdad. Por ejemplo, 6 = 3 es una proposición verdadera y 1 = 0 es una proposición falsa. La clase 5

6 de matemática es la mejor es un ejemplo de una afirmación que no es una proposición ya no tiene un valor de verdad único. Existe otro tipo de oraciones matemáticas llamadas oraciones abiertas. Un ejemplo de este tipo es x + 3 = 5. Está oración es cierta para x = y falsa para x. Sea D un conjunto y x cualquier elemento de D. Una oración abierta que envuelva la x es llamada oración abierta; x es llamada la variable y D el dominio de la oración abierta. El conjunto solución de oración abierta es el conjunto de elementos en D tal que la oración abierta es cierta. Ejemplo 4. Considerar la oración abierta x = 1 para x D = N. Tenemos que el conjunto solución es {1}. Considerar la oración abierta x = 1 para x D = Z. Tenemos que el conjunto solución es { 1, 1}. Una oración abierta es llamada identidad si su conjunto solución es igual a su dominio. La oración abierta x+3 = 3+x para x R es una identidad(esto es la propiedad conmutativa de la suma sobre R). Una oración abierta es llamada contradicción si su conjunto solución es vacío. La oración abierta x + 3 = x + 5 para x R es una contradicción(es equivalente a 0 = ). Un tabla de verdad asociada a una proposición es una tabla que tiene todos los posibles valores de verdad de la proposición. Sea p una proposición entonces us tabla de verdad es: p V F Sean p y q proposiciones simples, entonces podemos usar la conjución y para formar una nueva proposición: p y q. La conjución de p y q la denotamos p q. Ejemplo 5. Determine el valor de verdad. 1. ( < 5) ( 5 < ). verdadera. ( < 1) ( 5 < ). falsa 3. ( 6 = 3) (1 = 0). Falsa p q p q V V V V F F F V F F F F 4. ( es primo) (11 es un cuadrado perfecto). verdadera 6

7 5. (3x + 1 < 5) (x < 5). Notar que para x =, la oración es falsa: (7 < 5) ( < 5). Notar que para x = 1, la oración es cierta: (4 < 5) ( < 5). Por lo tanto no podemos determinar su valor de verdad. Ejemplo 6. Si p es la oración abierta x 7 < 0 y q es la oración abierta 4 x 3. Encuentre u gráfique el conjunto solución de: 1. p. q 3. p q Sean p y q proposiciones simples, entonces podemos usar la disjunción o disyunción ó para formar una nueva proposición: p ó q. La disyunción de p y q la denotamos p q. Ejemplo 7. Determine el valor de verdad. 1. ( < 5) ( 5 < ). verdadera. ( < 1) (5 < ). Falsa 3. ( 6 = 3) (1 = 0). verdadera p q p q V V V V F V F V V F F F 4. ( es primo) (11 es un cuadrado perfecto). verdadera 5. (3x + 1 < 5) (x < 5). Notar que para x = 8, la oración es falsa (5 < 5) (8 < 5). Notar que para x = 1, la oración es cierta (4 < 5) (1 < 5). Por lo tanto no podemos determinar su valor de verdad. Ejemplo 8. Si p es la oración abierta x 1 < 0 y q es la oración abierta 4+x 1. Encuetre y gráfique el conjunto solución de: 1. p. q 3. p q 7

8 Notar que la proposición 1 0 tiene la veracidad opuesta a 1 = 0. La negación de una proposición p es una proposición p que tiene la veracidad opuesta a p. Así que si p : 1 = 0, entonces p : 1 0. La tabla de la verdad de p es: p p V F F V Ejemplo 9. Encuentre la negación de las siguientes proposiciones. 1. p : La casa es blanca. p : La casa no es blanca.. p : Todos los caballos son negros. p : Hay al menos un caballo que no es negro. 3. p :Ningún perro tiene pulgas. p : Hay al menos un perro que tiene pulgas. 4. p : Existen caballos color marrón. p : Ningún caballo es color marrón. Ejemplo 10. Encuentre la negación de las siguientes proposiciones. 1. x < 0 Su negación es x x (x < 1) (x > ) Ejemplo 11. Encuentre la negación de las siguientes proposiciones. 1. a = 0 b = 0 Su negación es a 0 b 0.. a = 0 b = 0 Su negación es a 0 b 0. Ejemplo 1. Encuentre la negación de las siguientes proposiciones. 1. Para todo número real x, x 0 Su negación es: Hay al menos un número real x tal que x < 0.. Existe un número real x tal que x = 1 Su negación es: Para todo número real x tenemos que x 1. No hay número real x tal que x = 1. Dos proposiciones p y q son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad para todas las posiciones situaciones, equivalentemente si tienen la misma tabla de verdad. Lo escribimos p q. 8

9 Ejemplo 13. Tenemos que p (p ) ya que p p (p ) V F V F V F Las Leyes de De Morgan para la lógica son: (p q) (p q ), (p q) (p q ),. Ejemplo 14. Usar las Leyes de De Morgan para encontrar una proposición equivalente: la proposición (1 = 0) ( es primo) es equivalente a (1 0) ( no es un número primo) la proposición ( Todos los perros tienen pulgas) (4 no es un cuadrado perfecto) es equivalente a (Hay al menos un perro que no tiene pulgas) (4 es un cuadrado perfecto) Una proposición que se usa mucho en las matemáticas es la si p, entonces q, donde p y q son proposiciones. Toda porposición de la forma si p, entonces q es llamada proposición condicional, donde p y q son proposiciones. La denotamos por p q. La tabla de la verdad para p q. p q p q V V V V F F F V V F F V Dado una proposición condicional p q definimos: el recíproco de p q es q p. el inverso de p q es p q. el contrapositivo de p q es q p. Ejemplo 15. Enunciar el reíproco, inverso y contrapositivo de la proposición Si hoy es martes, entonces hoy llueve. Recíproco: Si hoy llueve, entonces, hoy es martes. Inverso: Si hoy no es martes, entonces hoy no llueve. Contrapositivo: Si hoy no llueve, entonces, hoy no es martes. Ejemplo 16. Elaborar la tabla de la verdad de p q. p q q p q V V F F V F V V F V F F F F V F 9

10 Ahora vamos a elaborar la tabla de verdad de (p q). p q p q (p q) V V V F V F F V F V V F F F V F Notar que (p q) y p q tienen la misma tabla de verdad. Por lo tanto (p q) p q. Negando ambos lados de p q p q obtenemos p q p q. (1) Ejemplo 17. Si p es la oración abierta x 1 < 0 y q es la oración abierta 4 + x 1. Encuentre y gráfique el conjunto solución de: 1. p El conjunto solución es x < 1 : (, 1 ) 1. q El conjunto solución es x 3 : [ 3, ) 3 3. p q. Para encontrar el conjunto solución usamos (??): p q p q. Así que el conjunto solución es (, 1 ] [ 3, ) = (, ). Notar que una proposición condicional es equivalente a su contrapositivo: p q q p. 10