DESCRIPCIÓN TEÓRICA DE OTROS FILTROS INTRODUCCIÓN

Transcripción

1 DESCRIPCIÓ TEÓRICA DE OTROS FILTROS ITRODUCCIÓ En este capítulo, nos adentraremos en otros ltros. Habrá algunos que se explcarán muy concsamente y otros se analzará proundamente. Para comenzar este capítulo, haremos unas derencas entre el ltrado de meda y el ltrado medana. Un ltrado de meda, queda encuadrado por deecto como un ltro lneal. Para un ltro de meda de una dmensón de longtud = k +, su salda para un nstante, queda dendo medante y k + [ m] = x[ m + j] j= k Al ser una operacón lneal, llegamos a (para k=3): y k [ m] = x[ m + j] = s[ m + j] + n[ m + j] 7 j= 3 7 j= 3 j= 3 3 = ( señal ltrada aparente) + ( rudo ltrado) Esto es sucente para analzar la atenuacón del rudo para una señal. El Fltrado Medana vene dado por la expresón [ m] = MED{ x[ m k], x[ m k + ],..., [ m], [ m + k ], [ m k] } y + donde MED toma el valor central después de la ordenacón. El ltrado medana es no lneal y por tanto no es posble aplcar la operacón a la señal y al rudo de manera separada.

2 ESTUDIO COMPARATIVO ETRE FILTRADO MEDIAA Y FILTRADO DE MEDIA. El ltrado de meda da problemas en los bordes. El ltrado medana preserva los bordes. (Este hecho es muy mportante en el procesado dgtal de mágenes ya que, debdo a las propedades de la vsón humana, los bordes son lo que orece mayor normacón en las mágenes. El ltrado de meda atenúa rudo adtvo Gaussano de manera eectva y la atenuacón no depende de la señal. El ltrado medana atenúa rudo adtvo Gaussano al menos tan ben como el ltrado de meda pero la atenuacón es dependente de la señal. Por ejemplo, tende a ormar patrones de escaleras cuando ltramos señales de rudo en orma de rampa. En el caso de rudo mpulsvo, el ltrado medana es mejor que el ltrado de meda. En el caso de un mpulso smple, el ltrado de meda propaga el mpulso pero reduce la ampltud, mentras que el ltrado medana elmna totalmente el mpulso. Para -D, el ltrado medana con una longtud en la ventana de - k + elmna completamente los mpulsos de longtud neror a k + ndependentemente de la señal. Esto es una derenca undamental entre el unconamento de los ltros lneales y no lneales. La respuesta al mpulso (esto es, la señal de salda cuando la señal de entrada es gual a pata un nstante =0 y cero para cualquer otro) de un ltro, lneal de tempo nvarante no trval claramente no puede ser una secuenca de valores cero. El unconamento deal del ltrado medana se mantene úncamente para el caso que tengamos un mpulso sobre una señal constante. Por ejemplo, s el mpulso está encerrado sobre un borde, se puede elmnar pero en el msmo tempo, el borde se mueve haca el mpulso. Esto es llamado el eecto jtter.

3 Para el estudo del ltrado medana y ltrado de meda en el procesado de mágenes, consderaremos una máscara cuadrada de 5 x 5. La ventana que se va desplazando sobre cada pxel, la operacón (meda / medana) usa los 5 valores del pxel dentro de la ventana, y el resultado de la operacón es la salda en la localzacón de la ventana. Fg..- IMAGE ORIGIAL GEOMÉTRICA Fg..- IMAGE CO FILTRADO MEDIAA CO UA VETAA 5 X 5 Fg. 3.- IMAGE CO FILTRADO DE MEDIA CO UA VETAA 5 X 5 3

4 El prmer ejemplo de magen, Geométrca, está creada artcalmente y su estructura es de guras geométrcas. Las comparacones entre ambos ltrado, han sdo las sguentes: Como el ltro de meda no es capaz de preservar los bordes, y la magen Geométrca contene un gran número de ellos, la aparenca vsual total después del ltrado de meda es muy borrosa o dusa. El resultado del ltrado medana está dendo, pero muchos detalles mportantes se perden. Las esqunas se perden. Las líneas nas no se perden pero su lugar orgnal puede quedar con perturbacones. Vsualmente, la magen con el ltrado en medana es preerble al ltrado de meda. Vendo un estudo en recuenca, se puede observar que ambos ltros actúan como ltros paso bajo y las altas recuencas son atenuadas más que las bajas recuencas. En este ejemplo, y por regla general la gran mayoría, el ltrado no lneal (ltrado medana), es mucho mejor que el ltrado lneal (ltrado de meda). El problema del ltrado lo podríamos englobar desde los sguentes puntos: El propósto es elmnar el rudo; El rudo es mpulsvo; La señal y el rudo ocupan la msma banda de recuenca. El ltrado no lneal ha resultado ser satsactoro en solventar esos problemas. 4

5 - MODELOS DE FILTROS O LIEALES. A contnuacón, se hará un concso resumen de los prncpales ltros dgtales no lneales utlzados. Debdo a que en algunos casos, la traduccón del nombre del ltro al castellano, puede resultar conusa, se ha optado por dejar algunos de ellos en su nombre orgnaro..- FILTROS TRIMMED MEA El ltrado medana descarta los mpulsos de manera eectva. El ltrado medana tene problemas con el rudo gaussano adtvo El desarrollo del ltrado de meda era mejor que el ltrado medana para elmnar rudo gaussano adtvo. Pero el unconamento del ltro de meda deteroraba drástcamente con tpos de rudo mpulsvo. Por tanto, un buen compromso entre el ltrado medana y el ltrado meda podría ser ltrar con buen recaudo en stuacones donde tanto el rudo gaussano como el mpulsvo estén presentes. Quzás la mejor manera, de ltrar sobre este compromso, sea utlzando trmmed means. La prmera orma de obtener un ltro trmmed mean, el ltro (r, s)-old trmmed mean se obtene medante:. Clascar las muestras. Omtr todas las muestras r + s,,..., y,,...,, ( ) ( ) ( r ) ( s + ) ( s + ) ( ) 5

6 3. La salda es generada promedando las muestras restantes TrMean r s s = r + (,,..., ; r, s) = ( ) Una modcacón nmedata del ltro (r,s)-trmmed mean es el (r,s) old Wndorzed mean lter donde: Los valores de las r muestras más pequeñas se reemplazan por (r+) Los valores de las s muestras más pequeña se reemplazan por (-s) WnMean = r + = r + s (,,..., ; r, s) r( ) + ( ) + s( ) s..- OTROS FILTROS TRIMMED MEA En el ltro modcado trmmed mean tenemos: Un valor real constante q que es jado Todas las muestras en el rango [ (k+) q, (k+) + q] son promedadas, y la meda da la salda: 6

7 MTM (,,..., q) ; = = a = a donde a, s ( k + ) q, = 0 cualquer otro La dea del moded trmmed conlleva a exclur esas muestras en la ventana que se encuentran lo sucentemente lejos del valor de la medana. El parámetro q se usa para clascar las muestras en dos camnos: el que se encuentra demasado lejos del valor de la medana y aquellos en los que se encuentran muy próxmos a la medana. Una extensón adconal del ltro modcado trmmed mean es: Prmero se computa la medana, denotado por med, desde una ventana relatvamente pequeña (tamaño ); Usar, como salda, el valor de meda de las muestras comprenddas en el ntervalo [med-q, med + q] a través de las muestras de una ventana grande (tamaño M), centrada en el msmo punto. La dea anteror, genera el ltro de doble ventana modcado trmmed mean, y es capaz de usar grandes ventanas para suprmr rudo gaussano adtvo y en el msmo nstante, preservar detalles para desechar pxels que se encuentran lo sucentemente lejos de la medana de la ventana pequeña. 7

8 L-FILTROS Los L-Fltros son estmadores que realzan un compromso entre: Una operacón pura no lneal (ordenacón) Una operacón lneal pura (ponderacón) El punto de salda se obtene como una suma ponderada de los valores de datos ordenados en la ventana que se desplaza. El conjunto de ponderacones determna las característcas de los ltros. Sea el vector de ponderacón de un L-ltro denotado como a=( a,a,..., a ) y el vector de entrada =(,,..., ). Entonces la salda de un L-ltro, vendrá dado por L (,,..., ; a) = a ( ) = La gran ventaja de los L-ltros es que para un conocda dstrbucón de rudo es posble elegr las ponderacones del ltro de manera de que se pueda optmzar el ltro en el sentdo del error cuadrátco de meda..4- C-FILTROS Los L-ltros (al gual que los ltros medana) descartan la normacón del orden espacal de los datos completamente. Esto causa problemas, por ejemplo en la preservacón de detalles, al r ncrementando el tamaño de las ventanas. Como la normacón del orden espacal es descartada, esos ltros son tambén ncapaces de recuperar las característcas espectrales de la magen. Un método de ncorporar tanto la normacón de orden espacal y la normacón de rango de orden de la secuenca de entrada es medante el ltro de combnacón o C- ltro. Los C-ltros ncluyen: 8

9 Fltro lneal FIR y L-ltros Un C-ltro puede ser entenddo de la sguente manera: Un C-ltro es un L-ltro con los coecentes de () dependente sobre su poscón espacal en la ventana. Un C-ltro es un ltro FIR con los coecentes de () dependente sobre rango dentro de la ventana. La salda de un C-ltro con coecentes x, C =[e (, j)] y entradas (,,..., ), vendrá dada por: C, I = (,,..., ; C) = c( R( ) ) Donde R(X ) es el rango de las muestras. La salda del C-ltro normalzado se dene por ormc (,,... ; C) I = = c I = ( R( ), ) c ( R( ), ).5.- FILTRADO MEDIAA PODERADO En el ltrado medana, cada muestra dentro de la ventana de ltrado tene la msma nluenca en el ltrado de salda. Para mejorar el rendmento, un camno podría ser dar mayor énass las muestras de la ventana del ltrado que se encuentren en una determnada poscón; por ejemplo, al 9

10 valor central de la muestra la cual se está ltrando en ese momento. La dea es desarrollar un ltro medana ponderado..6.- RAGO DE ORDE Y FILTROS ESTADISTICOS PODERADO. Los ltros de rango de orden son smples modcacones del ltrado medana. La salda del r-esmo ltro de rango de orden vene dado por ( ; r) ( r ) RO,,..., = esto es, el r-esmo orden estadístco de las muestras,,..., en la ventana del ltro. Los ltros de rango de orden pueden ser utlzados en stuacones donde la dstrbucón de rudo no es smétrca; por ej. cuando hay más mpulsos postvos que negatvos. En este caso el uso de algún ltro de rango de orden de bajo orden (r < k) puede proveer ltros más robustos comparado con el ltro medana. Los ltros estadístcos de rango de orden son dendos de una manera análoga a l ltrado medana ponderado. La salda del r-esmo ltro estadístco de rango de orden con pesos a = ( a,a,..., a ), vene dada por WOS (,,..., ; r) = r esmo orden estadstco de { a, a,..., a } Los ltros ponderados de orden estadístcos pueden mejorar las propedades de preservacón de detalles de los ltros de rango de orden de una manera smlar al mejoramento proporconado por los ltros medana ponderados sobre el ltrado medana estándar. 0

11 FILTROS MEDIAA MULTIPLATAFORMA En el ltrado medana multplataorma, en lugar de una operacón de medana, numerosas plataormas de ltros son utlzadas. El ltro medana separable en -D es una modcacón del ltrado medana que genera propedades comparables al ltro medana pero es mucho más rápdo. El ltro medana separable en -D se obtene usando dos ltros medana sucesvos de -D con una longtud en la ventana de z = l+ (z * z = ), el prmero a través de las las y el segundo a través de las columnas: SepMed,, Z,,, Z,, Z, Z, Z = { MED{,,..., },..., MED{, } MED,,, Z Z, Z, Z, Z,..., Denotaremos los resultados de los ltros medana horzontal, vertcal, en dagonal, en cruz y en orma de medante: h med v med d45 med = MED d35 med = MED c med x med = MED = MED = MED = MED { L+,, l +,,..., L+, Z} {, L+,, l +,,..., z, L+ } { z., z,,...,, Z} {,,,,..., z, z} { L+,, l +,,..., L+, Z} MED{, L +,, l +,,..., z, L+ } {,,..., } MED{,,..., } z, z,, Z,, z, z Entonces, los sguentes ltros medana multplataorma pueden ser obtendos medante:

12 MSM = MED MSM = MED MSM 3 = MED h MSM 4 = MED MSM 5 = MED { L+, L+, h med, v med} {, d45 med, d35 med} L+, L + { med, v med, d 45 med, d35 m} { L+, L +, h med, v med, d45 med d35} {, c med, x med} L+, L+ Grácamente tendríamos: c med d35 med d 45 med x med h med v med Una combnacón de ltros lneales y no lneales puede ser obtenda reemplazando los subltros de los ltros medana multplataorma por ltros lneales. La dea de esto son los ltros híbrdos medana:

13 Algunos de los subltros lneales son típcamente obtendos para segur el curso de la señal de entrada y suavzar el rudo gaussano. El uso de la medana aclta el desarrollo de ltros lmtado a bordes u otras áreas de transcón Debdo a los subltros, este tpo de ltros permten mayor dseño de posbldades que el ltro medana. Elgendo un pequeño número de subltros lneales, la ecenca de mplementacón de las estructuras puede ser desarrollada para entornos donde las operacones de comparacón / ntercambo necesaras para encontrar la medana son costosas. Los ltros híbrdos medana pueden ser utlzados además para alvar el problema de los bordes de jtter en el ltrado de medana. La salda de un ltro híbrdo medana, vene dado por: MED MedHybr(,,..., ) = { F (,,..., ),..., F (,,..., )} M donde los ltros ( ),..., M ( ) son ltros FIR o IIR. Exste una gran varedad de ltros híbrdos medana en -D debdo a la posbldad de elegr un gran número de subltros, su tpo, y tambén, la orma de la ventana y ponderacón. Un ejemplo, es el llamado ltro LH+ dendo medante 3

14 LH +,, Z,,, Z,, Z, Z, Z { g, g, } = MED g, E W l +, j+ W E W E S SW SE Su versón rotada es el llamado ltro RLH+: R LH +,, Z,,, Z,, Z, Z, Z { g, g, } = MED g W, SW E l +, j + 4

15 Combnando los ltros LH+ y RLH+, resulta el ltro LH+ que vene dado por la expresón: LH +,, Z,,, Z,, Z, Z, Z { LH +, RLH +, } = MED l +, j + La medana puede naturalmente ser reemplazada por cualquer otro orden estadístco o, más generalmente, cualquer orden estadístco ponderado. Entonces se obtenen los ltros híbrdos FIR-WOS..8.- FILTROS SELECTIVOS DE REALZADO DE BORDES Los ltros selectvos son ltros multnvel donde muchas subventanas son usadas, y basadas sobre algún crtero para la cual la salda sea elegda para ser una de las saldas de esas ventanas. Las medas y las varanzas de las subventanas son calculadas y la salda está dada por la meda de las ventanas que han tendo una pequeña varanza. Por tanto, la dea es coger la salda desde el área con pxels vecnos más homogéneos. El ltro de comparacón y seleccón es un ltro suavzador de realzado de bordes. Este ltro está basado en la observacón que la salda del ltrado medana es menor que la salda del ltrado de meda antes de un borde de manera ascendente; y la salda del ltrado medana es mayor que la salda del ltrado de meda después de un borde de manera ascendente. Es decr, para realzar un borde borroso, el valor de alguna muestra menor que la medana (por ejemplo, la menor muestra) se elge para la salda s la medana es menor que 5

16 la meda; para otro caso, el valor de alguna muestra mayor que la medana (por ejemplo el valor máxmo) es elegda para la salda..9.- FILTROS DE SELECCIÓ DE RAGO El dagrama de bloques que lustra el ltrado de seleccón de rango es el sguente: ETRADA EXTRACCIO VALORES Z SALIDA SELECCIÓ RAGO CLASIFICAR OUTPUT Uno de los bloques extrae alguna normacón de las muestras = (,,..., ). Esa normacón se almacena en un vector característco z. El segundo bloque genera el vector ordenado (). El tercer bloque, la salda del selector de rango, elge las muestras más apropadas de () =(,,..., ) para ser la salda. Esta eleccón está basada en el vector característco z y la regla de seleccón de rango S( )..0 M-FILTROS Un M-estmador o un M-ltro se dene por una uncón ρ sobre R: M (,..., ; ρ) ( ) I θ = ( ), = arg mn ρ θ 6

17 O por la dervada parcal ψ (con respecto a θ) de ρ; la estmada M(,,..., ) satsace la ecuacón: = ψ ( θ ) = 0..-R-FILTROS de rangos. Los R-Fltros se basan en los conocdos R-estmadores, que están basados en tests El prmer R-ltro ntroducdo ue el ltro Wlcoxon: Wl ( ),,..., MED + = MED = + ( ) ( j) : j : j j Esto es, el ltro Wlcoxon consste de operacones lneales, llamados promedos de Walsh W,j = (, j ) / o promedos ordenados de Walsh W (,j) = ( (), (j) ) / y de una operacón lneal. Un ltro relaconado con el ltro Wlcoxon es el D-ltro Hodges-Lehmann, que vene dado por la expresón: L H ( ) ( + ) (,,..., ) = MED + : k + 7

18 Esto es, el D-ltro Hodges-Lehmann es un caso especal del ltro Wlcoxon y es la medana de los cuas medo rangos ( (), (-+) ) /...- PODERACIO MEJORADA CO FILTROS DE RAGO MIIMO La Ponderacón Mejorada de m valores con ltros de rango mínmo (WMMR m ) han sdo desarrolladas para restaurar una gran clase de bordes deormados, mentras suavza las regones de rudo sn bordes y rechazar mpulsos. En un _ltro WMMR m se selecconará m (k < m k + ) de los valores ordenados dentro de la ventana de desplazamento con el rango más pequeño, y ponderar esos valores.. El índce J para mnmzar (J+m-) - (J) es encontrado y entonces. La ponderacón meda de los valores (J), (J+),..., (J+m-) con pesos a, a, a m se calcula y nos da la salda. Claramente, J no necesaramente es únca. En este caso, la salda vene dada por la meda de las ponderacones medas correspondentes a todos los valores que mnmzan el rango..3.- FILTROS DE MEDIAS O LIEALES La meda no lneal de los números,,..., vene dada por y = g a = = ( ) a donde g(x) es una uncón g: R R y los a son las ponderacones.. Los valores de la señal son transormados por g( ) en nuevos valores.. La meda de las ponderacones de los nuevos valores se computa. 8

19 3. La salda es obtenda aplcando la transormacón nversa a la meda de las ponderacones. aturalmente, después de la transormacón g( ) algún otra operacón en lugar del promedo puede ser usada, por ejemplo algún ltro no lneal. Sea a = a j para todo, j y consderando los sguentes casos de g(x): x, el ltro medo artmetco MEA / x, el ltro medo armonco HARM g( x) = ln x, el ltro medo geometrco GEOM p x, p R \ {, 0, }, el ltro medo Lp S usamos señales dependentes de las ponderacones a = X p, =,,...,, y la uncón g(x) = x, obtenemos el ltro contra-armónco COTR p. El ltro de meda geométrco tene una mportante relacón con los ltros homomórcos, que se usa en algunos casos donde el rudo es multplcatvo. Un ejemplo típco de uente de lumnacón E[m,n], en la cual con relactanca r[m,n], contrbuye a una ormacón de magen multplcatva, es decr, más lumnosdad en unos lados que en otros. La magen observada es m, n = r m, n * E m, n y lo que se desea extraer es r[m,n] de ella. Cuando un logartmo no lneal es aplcado a la magen, el rudo multplcado es transormado en rudo adtvo ln m, n = ln r[ m, n] + ln E[ m, n] 9

20 Este rudo ln E[m,n] es entonces atenuado por un ltro que da la señal t m, n ln r m, n y la transormacón nversa (exponencal) se utlza para obtener la magen deseada r[m,n]=exp t[m,n].4.- FILTROS MORFOLÓGICOS Un ltro F( ) se llama morológco s es ncremento: (x) g(x) para todo x mplca que F((x)) F(g(x)) para todo x; dempotente: F (F ((x))) = F ( (x)) se mantene para todo y x. La dempotenca garantza que cualquer señal se camba por el ltro en una señal de raíz por una teracón de ltrado. En otras palabras, el ltro repetdo no camba la señal otra vez..5.- FILTROS MORFOLOGICOS SUAVES La estructura del sstema [B, A, r] consste de tres parámetros, conjuntos ntos de A y B y un número natural r que satsace r B. El conjunto B se llama el conjunto de estructuracón A es llamado su centro (uerte). 0

21 B \ A es llamado su borde (suave) y r es llamado el índce de orden de su centro o tambén el parámetro de repetcón El conjunto de estructuracón descrbe la orma y el tamaño de la ventana deslzante, B = El centro (duro) descrbe un área especal dentro del conjunto de estructuracón..6.- FILTROS POLIOMICOS Un ltro de Volterra (polnómco) de orden M se dene por El ltro cuadrátco es: Este ltro puede quedar escrto en una matrz compacta de producto s de la orma ( ) = = = = = = = m o M o h h h h H H h h Vol M M,...,,,...,,, ;,...,, ( ) = = = j j h H Quad, ;,...,, ( ) T H H Quad = ;,,..., ( ) = Z Z Z Z Z,,,,,,,,,,...,,

22 donde H es una matrz x (normalmente smétrca). Esta matrz H se denomna kernel cuadrátco del ltro..7.- FILTROS DEPEDIETES DE DATOS El ltro local lneal de estmacón del error cuadrátco medo mínmo (LLMMSE) es uno de los ejemplos de ltros dependentes de datos. Este método de ltrado es el estmador local lneal del error cuadrátco medo mínmo de la señal orgnal S degradada por rudo blanco adtvo estaconaro con meda cero; por ejemplo =S +. Sea σ n la estmacón local de la desvacón estándar del rudo Sea σ s la estmacón local de la desvacón estándar de la señal Sea m la estmacón local del promedo dentro de la ventana La salda del ltro LLMMSE vene dada por LLMMSE σ σ σ (,,..., ) = + m σ ec. Aquí asumremos que para el proceso de rudo, se cumplrá que σ n 0 σ s

23 En el procesado de mágenes, lo que se asumó anterormente, para el rudo blanco adtvo rara vez ocurre, y a veces, se mantene; Esto es, por ejemplo, para ltrado de rudo mpulsvo, la ec. da la estmacón local lneal del error cuadrátco medo. De hecho la órmula adecuada sería: σ S LLMMSE = σ + σ S σ S + σ S + σ m donde σ s es la desvacón estándar de la señal orgnal..8.- FILTROS BASADOS E DECISIOES Los ltros de supresón de mpulsos se basan en una smple pero eectva dea; en cada poscón, prmero se decde o no s se debe encontrar un mpulso; s hemos encontrado uno, se ltrará por algún ltro no lneal o por el contraro no se alterará. Quzá el test más smple esté basado en la estadístca: D = s ( K + ) donde * es la muestra donde se está tomando la decsón (k+) es la medana dentro de la ventana de desplazamento, y s es alguna escala de estmacón La escala de estmacón más smple es la varanza de muestras, pero es una estmacón no robusta. La medana de las desvacones absolutas de la medana es la que se suele utlzar. 3

24 COCLUSIOES GEERALES Aunque en prncpos, todos los ltros expuestos anterormente se podrían mplementar para el procesado de mágenes, hay algunos por ejemplo como el ltro de pla que al trabajar bt a bt y debdo a que cada pxel tene 8 bts y una matrz (magen) puede constar áclmente de 56 x 56 bts, el operar con éste tpo de ltro, podría resultar poco práctco y tedoso. Hay otros ltros como el ltro dependente de datos o el ltro basado en decsones que al r pdendo datos, puede que al nal resulte molesto o perda atractvo. En los capítulos sucesvos, se explcarán algunos ltros de manera mucho más extensas. 4