Introducción al Tema 8. Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales Distribución. Características: media, varianza, etc. Transformaciones.

Transcripción

1 Introducción al Tema 8 1 Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales Distribución. Características: media, varianza, etc. Transformaciones. V.A. de uso frecuente Tema 7. Modelos probabiĺısticos discretos Tema 8. Modelos probabiĺısticos continuos Distribución uniforme. Distribución exponencial. Otras distribuciones (Pareto, Weibull y Cauchy). Distribución normal y relacionadas.

2 2 Tema 8. Modelos probabiĺısticos continuos Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes: Distribución uniforme. Distribución exponencial. Otras distribuciones (Pareto, Weibull y Cauchy). Distribución normal. Propiedades. Uso de tablas. El teorema central del ĺımite y aproximaciones mediante la distribución normal. Otras distribuciones relacionadas con la normal: logarítmico-normal, χ 2, t de Student y F de Fisher Snedecor. Lecturas recomendadas: Capítulos 17 y 18 del libro de Peña y Romo (1997) y las secciones 5.5 a 5.8 de Newbold (2001).

3 Distribución uniforme 3 Supongamos que una variable X puede tomar valores al azar en un rango (a, b) y que la probabilidad de que X tome valores en cualquier intervalo de longitud fija en (a, b) sea la misma. En este caso, se dice que X tiene una distribución uniforme entre a y b y se escribe X U(a, b). f(x) 1 b a 0 a b x

4 4 La función de distribución Si X U(a, b), luego, si a < x b, F (x) = Pr(X x) = x a 1 b a du = [ u ] x b a a = x a b a F (x) 1 0 a b x

5 5 La media y desviación típica Teorema 1. Sea X U(a, b). Entonces E[X] = a + b 2 (b a)2 V [X] = 12 DT [X] = b a 12 Demostración E[X] = b a 1 b a x dx = = b2 a 2 2(b a) = a + b 2 [ x 2 2(b a) ] b a

6 6 E [ X 2] = b a x 2 b a dx = [ x 3 3(b a) = b3 a 3 3(b a) = b2 + ab + a 2 3 V [X] = E [ X 2] E[X] 2 = b2 + ab + a 2 ] b = b2 + ab + a 2 a2 + 2ab + b = a2 2ab + b 2 (b a)2 = a ( a + b 2 ) 2

7 7 Ejemplo 1. Si juego con la siguiente rueda de fortuna: X pierdo gano Cuál es la probabilidad de que gane? Sea X el ángulo desde la vertical a la flecha. Luego X U(0, 360 o ). La probabilidad de que gane es Pr(X 90) = = 1 4

8 Distribución exponencial 8 En el tema anterior, estudiamos la distribución Poisson X Pr(λ) como modelo para el número de sucesos raros en una unidad del tiempo. Ahora, supongamos que queremos estudiar la distribución del tiempo Y entre un suceso y el siguiente. En este caso, la distribución de Y es una distribución exponencial con parámetro λ. Definición 1. Y tiene una distribución exponencial con parámetro λ si f(y) = λe λy para 0 < y. En este caso se escribe Y Ex(λ). La distribución exponencial permite modelar la duración de elementos: vida de personas, duración de huelgas, del período de desempleo, etc.

9 9 La función de distribución de Y es F (y) = Pr(Y y) = y 0 λe λu du = [ e λu] y 0 = 1 e λy para 0 < y <. Finalmente, F (y) = { 0 si y 0 1 e λy si 0 < y.

10 10 La media y varianza Teorema 2. Si Y Ex(λ), entonces E[Y ] = 1 λ V [Y ] = 1 λ 2 DT [Y ] = 1 λ Demostración parcial Recordamos que λ es el número de sucesos esperados en una unidad de tiempo. Entonces, el tiempo esperado entre sucesos debe ser 1/λ, es decir que E[Y ] = 1/λ.

11 11 Ejemplo 2. En promedio, hay 50 incendios serios cada año en una localidad. Sabemos que el número de fuegos por año tiene una distribución Poisson P oisson(50). Cuál es el tiempo medio entre fuegos? Hallar la probabilidad de que después del último fuego, se tarde más de 2 semanas hasta el siguiente. El tiempo medio entre fuegos es 1/50 de un año, es decir 365/50 = 7,3 días. Pr(T > 14) = 14 = e , e 365 t dt 365

12 12 Ejemplo 3. El tiempo T entre llegadas sucesivas de coches a un punto en la carretera se distribuye como una exponencial con parámetro λ = 0,01 segundos. 1) Hallar la media y varianza de T. 2) Una persona empieza a cruzar la calle inmediatamente después de que un coche pasa por alĺı. Si tarda 50 segundos en cruzar la calle, cuál es la probabilidad de que le atropelle la siguiente coche que pasa (suponiendo que no para)? 3) Cuál es la probabilidad de que en un minuto no llegue ningún coche?

13 13 1) E[T ] = 1/0,01 = 100 y V [T ] = 1/0,01 2 = ) Pr(T < 50) = 0 0,01e 0,01t dt = 1 e 0,01 50 = 1 e 0,5 0,393 3) Sea X el número de coches que llegan en un minuto. La distribución de X es Poisson: X P oisson(60 0,01) = P oisson(0,6). Entonces Pr(X = 0) = 0,60 e 0,6 0! 0,549.

14 14 Ejemplo 4. El tiempo de funcionamiento de una bombilla se distribuye como exponencial con una media de 10 días. a) Cuál es la probabilidad de que una bombilla funciona más de 10 días? b) Suponiendo que cada vez que falla una bombilla se la cambia por una nueva, hallar la probabilidad de que haya más de un fallo en un mes (30 días). c) Hallar el número medio de fallos en un mes.

15 a) Sea T Ex(λ) el tiempo de funcionamiento. Hallamos el valor de λ. Sabemos que E[T ] = 10 = 1 λ y luego λ = 0,1. 15 Ahora: Pr(T > 10) = 1 Pr(T 10) = 1 { 1 e 0,1 10} = e 1 0,368 b) El número de fallos X en 30 días tiene una distribución Poisson X P oisson(30 0,1) = P oisson(3). Pr(X > 1) = 1 Pr(X 1) { 3 0 e 3 = e 3 } 0! 1! c) El número medio de fallos por mes son 3.

16 Otras distribuciones - Weibull 16 La distribución exponencial se caracteriza por no poseer memoria, es decir, la probabilidad de observar un evento en cualquier intervalo de tiempo no depende del tiempo que ha pasado hasta ese intervalo. Esta característica es adecuada cuando los eventos aparecen al azar pero no cuando hay deterioro (e.g., duración de huelgas y período de desempleo) del sistema involucrado. Una generalización es la distribución de Weibull: Función de densidad: f(x) = cxc 1 b c exp ( x n Si c > 1 la tasa de eventos aumentará con el tiempo. Si c < 1 la tasa de eventos disminuirá con el tiempo. Si c = 1, coincide con la exponencial. Media: E[X] = b c Γ( 1 c). [ ( Varianza: V [X] = b2 c 2Γ 2 ) c 1 c Γ2( 1 c)]. ) 2

17 Otras distribuciones - Pareto 17 En los trabajos pioneros para describir la distribución de la renta, Vilfredo Pareto, tras estudiar la renta en numerosos países, observó que al menos para valores grandes: ln(n) ln(a) αx, donde A y α > 0 son parámetros y N es el número de individuos que perciben una renta mayor o igual que x. Sea X una variable aleatoria, por ejemplo, la renta de una persona. La función de distribución de Pareto(α, x 0 ) es: F (x) = { 1 ( x0 x ) α si x x0 0 si x < x 0 Media: E[X] = αx 0 α 1 Varianza: V [X] = αx 2 0 (α 2)(α 1) 2 Notar que E[X] y V [X] existen si α > 1 y > 2, respectivamente.

18 Otras distribuciones - Cauchy 18 Una variable aleatoria se dice que sigue una distribución de Cauchy(µ, θ), si tiene función de densidad: f(x) = µ π 1 µ 2 + (x θ) 2, < x <. La distribución de Cauchy solo tiene momentos de orden p < 1: E[ X p ] = 1 ( 1 p π β 2, 1 + p ). 2 La distribución de Cauchy, por tanto, no posee ni media ni varianza. Se ha utilizado para modelar rendimientos de activos financieros.

19 Distribución normal 19 La distribución normal o gaussiana es, probablemente, la distribución continua más conocida y utilizada. Definición 2. Se dice que una variable X se distribuye como una normal con parámetros µ y σ si f(x) = 1 ( σ 2π exp 1 ) 2σ2(x µ)2. En este caso, se escribe X N (µ, σ). La media de la distribución normal es µ y la desviación típica es σ. La densidad normal es simétrica respecto de su media, µ.

20 Función de densidad de la distribución normal 20 El siguiente gráfico muestra la función de densidad de tres distribuciones normales con distintas medias y desviaciones típicas. f(x) x

21 21 Una propiedad de la distribución normal: Si X N (µ, σ), entonces Pr(µ σ < X < µ + σ) 0,683 Pr(µ 2σ < X < µ + 2σ) 0,955 Pr(µ 3σ < X < µ + 3σ) 0,997 f(x) La regla de Chebyshev dice que para cualquier variable X: Pr(µ kσ < X < µ + kσ) 1 1 k x

22 22 Transformación lineal de una variable normal Si X N (µ, σ) e Y = a + bx es una transformación lineal, luego Y N (a + bµ, bσ). En particular, utilizando la transformación Z = X µ σ, se tiene Z N (0, 1) que es la distribución normal estándar. Existen tablas de esta distribución que pueden utilizarse para el cálculo de probabilidades con variables normales de media y varianzas conocidas.

23 Tablas de la distribución N (0, 1) 23

24 Tablas de la distribución N (0, 1) 24

25 25 Ejemplo 5. Sea Z N(0, 1). Hallar: Pr(Z < 1,5). Pr(Z > 1,5). Pr( 1,5 < Z < 1,5). Suponga que solo tiene la primera parte de la tabla Se puede calcular Pr(Z < 1,5)? Tenemos Pr(Z < 1,5) = 0,9332 Pr(Z > 1,5) = 1 Pr(Z < 1,5) = 1 0,0668 = 0,9332 Pr( 1,5 < Z < 1,5) = Pr(Z < 1,5) Pr(Z < 1,5) = 0,9332 0,0668 = 0,8664 Pr(Z < 1,5) = 1 Pr(Z > 1,5) = 1 Pr(Z < 1,5) por qué? = 1 0,0668 = 0,9332.

26 26 Ejemplo 6. Sea X N(µ = 2, σ = 3). Calcular Pr(X < 4). En este caso, tipificamos la variable original: Pr(X < 4) = Pr(X 2 < 4 2) = P ( X 2 = Pr ( Z < 0,66 6 ) donde Z N(0, 1) 0,7454 Cuál es Pr( 1 < X < 3,5)? 3 < 4 2 ) 3 0,7454 < Pr(Z < 0,66 6) < 0,7486 Pr( 1 < X < 3,5) = Pr( 1 2 < X 2 < 3,5 2) ( 1 2 = P < X 2 < 3,5 2 ) = Pr( 1 < Z < 0,5) donde Z N(0, 1) = Pr(Z < 0,5) Pr(Z < 1) = 0,6915 0,1587 = 0,5328.

27 27 Ejemplo 7. Es difícil etiquetar la carne empaquetada con su peso correcto debido a los efectos de pérdida de ĺıquido (definido como porcentaje del peso original de la carne). Supongamos que la pérdida de ĺıquido en un paquete de pechuga de pollo se distribuye como normal con media 4 % y desviación típica 1 %. Sea X la pérdida de ĺıquido de un paquete de pechuga de pollo elegido al azar. Cuál es la probabilidad de que 3 % < X < 5 %? Cuál es el valor de x para que un 90 % de paquetes tengan pérdidas de ĺıquido menores de x? En una muestra de 4 paquetes, hallar la probabilidad de que todos tengan pérdidas de peso de entre 3 y 5 %. Sexauer, B. (1980) Drained-Weight Labelling for Meat and Poultry: An Economic Analysis of a Regulatory Proposal, Journal of Consumer Affairs, 14,

28 28 ( 3 4 Pr(3 < X < 5) = Pr 1 < X 4 1 < 5 4 ) 1 = Pr( 1 < Z < 1) = Pr(Z < 1) Pr(Z < 1) = 0,8413 0,1587 = 0,6827 Queremos Pr(X < x) = 0,9. Entonces ( X 4 Pr < x 4 ) = Pr(Z < x 4) = 0,9 1 1 Mirando las tablas, tenemos x 4 1,28 que implica que un 90 % de las paquetes tienen pérdidas de menos de x = 5,28 %. Para un paquete p = Pr(3 < X < 5) = 0,6827. Sea Y el número de paquetes en la muestra que tienen pérdidas de entre 3 % y 5 %. Luego Y B(4, 0,6827). ( ) 4 Pr(Y = 4) = 0, (1 0,6827) 4 = 0,

29 Sumas y diferencias de dos variables normales 29 Si X N (µ X, σ X ) e Y N (µ, σ Y ) son independientes, entonces la distribución de la suma o diferencia de ambas variables es también normal con las siguientes medias y desviaciones típicas: X + Y N ( ) µ X + µ Y, σx 2 + σ2 Y X Y N ( ) µ X µ Y, σx 2 + σ2 Y.

30 30 Ejemplo 8. (Junio/2004) Un determinado establecimiento vende tres marcas diferentes de coches. Sean X 1, X 2 y X 3 variables aleatorias independientes normales, que representan el volumen semanal de ventas para cada una de las marcas. Las ventas medias semanales de estas marcas son 42, 60 y 78 mil euros, respectivamente, y sus desviaciones típicas respectivas son 12, 18 y 10 mil euros. a) Cuál es la probabilidad de que la primera marca no supere los 30 mil euros en una semana? Y la probabilidad de que la segunda marca supere en un semana la mediana de la tercera marca? b) Calcular la probabilidad de que, en una semana determinada, las ventas del establecimiento sean superiores a los 120 mil euros. c) Cuál es la probabilidad de que la suma de las ventas de la primera marca y de la tercera superen a las ventas de la segunda marca en más de 18 mil euros, en una semana?

31 31 a) X 1 N(42, 12). Luego Pr(X 1 < 30) = P ( X < ) = Pr(Z < 1) donde Z N (0, 1) = 0,1587 La distribución normal es simétrica en torno de su media, es decir que la moda, media y mediana son iguales. Entonces, queremos calcular Pr(X 2 > 78). Pr(X 2 > 78) = ( X2 60 P 18 = Pr(Z > 1) = 0,1587 > )

32 32 b) Las ventas totales son Y = X 1 + X 2 + X 3, y E[Y ] = = 180 V [Y ] = = 568 DT [Y ] 23,833 Y N(180, 23,833) ( ) Y Pr(Y > 120) = P > 23,833 23,833 = Pr(Z > 2,52) = Pr(Z < 2,52) = 0,9941 c) Se quiere Pr(X 1 + X 3 X 2 > 18). Sea D = X 1 + X 3 X 2. Luego E[D] = = 60 y V [D] = 568 como calculamos anteriormente. ( ) D Pr(D > 18) = P > 23,833 23,833 = Pr(Z > 1,76) = Pr(Z < 1,76) = 0,9608.

33 33 Ejemplo 9. (Junio/2002) Las calificaciones de 0 a 100 obtenidas en dos pruebas distintas A y B por los alumnos presentados a la Selectividad, son independientes y siguen las distribuciones normales: N A (µ = 62; σ = 20) y N B (µ = 52; σ = 10), respectivamente. La prueba se considera superada con 50 puntos. Calcular: (a) La probabilidad de que un alumno en la prueba A haya obtenido una puntuación menor que 40. (b) La probabilidad que haya superado la prueba B. (c) Si un alumno ha obtenido una puntuación de 68 en la primera prueba y de 62,5 en la segunda en qué prueba ha obtenido mejor resultado respecto de los demás alumnos? (d) Si para el acceso a una Universidad se necesita que la media aritmética de las dos notas anteriores sea mayor que 70, cuál es la probabilidad de que un alumno escogido al azar pueda acceder a dicha Universidad?

34 34 a) Sea X la nota del alumno de la prueba A. Luego X N (62, 20). Pr(X < 40) = P (X 62 < 40 62) ( ) X = P < = Pr(Z < 1,1) donde Z N (0, 1) 0,1357 b) Sea Y la nota del alumno de la prueba B. Entonces Y N (52, 10). Pr(Y > 50) = P ( Y > ) = Pr(Z > 0,2) donde Z N (0, 1) = Pr(Z < 0,2) por simetría 0,5793

35 35 c) Si su resultado en la primera prueba es 68, calculamos el valor de Z Z 1 = = 0,3 En el segundo caso su resultado es 62,5 y Z 2 = 62, = 1,05 Luego hace mucho mejor en la segunda prueba con respeto a sus compañeros. d) E[M] = 1 2 ( ) = 57 y V [M] = 1 ( ) = Por tanto M N(57, 125) y ( M 57 Pr(M > 70) = P > 125 ) Pr(Z > 1,16) = Pr(Z < 1,16) = 0,1230.

36 Aproximación mediante la distribución normal 36 Hacemos el experimento de tirar una moneda con p = 1/3 un número n de veces. Dibujamos la función de probabilidad de X = # cruces en los casos n = 5, 20, 50 y 100. p p x x p p x x

37 37 Se ve que para n grande, la función de probabilidad binomial tiene una forma parecida a la densidad normal. p x

38 Aproximación normal de la distribución binomial 38 Teorema 3. Si X B(n, p), entonces si n es suficientemente grande, X np np(1 p) N(0, 1). Esta aproximación funciona bastante bien si tanto n (n > 30) como np y n(1 p) son grandes. Si np o n(1 p) es pequeño, (< 5), la aproximación Poisson funciona mejor. Ejemplo 10. Sea X B(100, 1/3). Estimar Pr(X < 40). Calculamos primero a media y varianza de X. E[X] = = V [X] = = 22. 2

39 39 Usamos la aproximación normal Pr(X < 40) = P ( X ,714 < ) ,714 P (Z < 1,414) donde Z N(0, 1) 0,921. La probabilidad correcta es 39 x=0 ( 100 x ) ( ) x ( ) 100 x 1 2 = 0, La aproximación no parece muy satisfactoria pero la podemos mejorar.

40 Corrección de continuidad 40 Si X B(n, p), entonces Pr(X x) = Pr(X < x + 1) e igualmente Pr(X x) = Pr(X > x 1). Cuando implementamos la aproximación normal, usamos la corrección de continuidad Pr(X x) = Pr(X < x + 0,5) Pr(X x) = Pr(X > x 0,5) Pr(x 1 X x 2 ) = Pr(x 1 0,5 < X < x 2 + 0,5) Ejemplo 11. Volvemos al Ejemplo 10. Pr(X < 40) = Pr(X 39) = Pr(X < 39,5) ( ) 39, P Z < = Pr(Z < 1,308) = 0,905 4,714 La aproximación mejora usando la corrección de continuidad.

41 41 Ejemplo 12. El 35 % de los habitantes de una ciudad votan a cierto partido poĺıtico. Se encuesta a 200 personas. Llamemos X al número de personas que votan a dicho partido. Cuál es la distribución de X? Calcular la probabilidad de que entre la gente de la encuesta haya entre 70 y 80 votantes de ese partido. La verdadera distribución de X es binomial X B(200, 0,35). La media de la distribución es 70 y la desviación típica es 6,745. Para calcular Pr(70 X 80) usamos una aproximación normal

42 42 Pr(70 X 80) = Pr(69,5 < X < 80,5) ( 69,5 70 = P < X 70 6,745 6,745 Pr( 0,074 < Z < 1,557) ) 80,5 70 < 6,745 = Pr(Z < 1,557) Pr(Z < 0,074) = 0,940 0,470 = 0,47 La distribución binomial no es la única distribución que se puede aproximar mediante una distribución normal. La distribución de la media (o suma) de cualesquiera variables independientes y idénticamente distribuidas puede aproximarse por una normal. X = 1 n (X X n )

43 Teorema central del ĺımite 43 Teorema 4. Sean X 1, X 2,..., X n variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas con media µ y desviación típica σ, ambas finitas. Si n es suficientemente grande, entonces X µ σ/ n N (0, 1). El teorema puede interpretarse como que si n es grande, la suma n i=1 X i tiene aproximadamente una distribución normal n X i N ( nµ, nσ 2). i=1

44 Aproximación normal de la distribución Poisson 44 Sea X P oisson(λ) el número de sucesos raros en una unidad de tiempo. Definimos Y como el número de sucesos en n unidades de tiempo. Luego podemos escribir Y = X 1 + X X n donde X i P oisson(λ) es el número de sucesos en la i-ésima unidad de tiempo. Podemos aplicar el teorema central del ĺımite para aproximar la distribución Poisson con una distribución normal. Teorema 5. Sea X P oisson(λ). Para λ grande (λ > 20), entonces X N(λ, λ).

45 45 El gráfico muestra la función de probabilidad de la distribución Poisson con λ = 20 y la densidad normal con media y varianza λ. P(X=x) x La aproximación se mejora si el valor de λ es más grande.

46 46 Cuando se utiliza la aproximación normal de la distribución Poisson, es importante aplicar la corrección de continuidad. Ejemplo 13. Sea X P oisson(49). Estimar Pr(45 X 52). Pr(45 X 52) = Pr(44,5 < X < 52,5) por la corrección de continuidad ( 44,5 49 = P < X 49 ) 52,5 49 < Pr( 0,643 < Z < 0,5) donde Z N(0, 1) = Pr(Z < 0,5) Pr(Z < 0,643) = 0,6915 0,2602 0,431 La solución exacta calculada a través de la distribución Poisson es Pr(45 X 52) = 52 x=45 49 x e 49 x! = 0,433.

47 Distribuciones asociadas a la distribución normal 47 Definición 3. Si X N(µ, σ) y se define Y = e X, se dice que Y se distribuye como logarítmico normal con parámetros µ, σ. La distribución logarítmico normal es un modelo empleado típicamente para tiempos de funcionamiento de máquinas y para variables asimétricas como ingresos o gastos. E[Y ] = exp(µ + σ 2 /2). Var(Y ) = exp(2µ+σ 2 )(exp(σ 2 ) 1). f(x) x

48 Distribuciones asociadas a la distribución normal 48 Definición 4. Sean X 1, X 2,..., X n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas N (0, 1). La distribución χ 2 con n grados de libertad es la distribución de la v.a. S = n Xi 2. i=1 E[S] = n. Var(S) = 2n. α χ 2 α

49 Distribuciones asociadas a la distribución normal 49 Definición 5. Sean Y, X 1, X 2,..., X n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas N (0, 1). La distribución t de Student con n grados de libertad es la distribución de la v.a. T =. Y ni=1 X 2 i E[T ] = 0. Var(T ) = n n 2. α α t α 0 t α

50 Distribuciones asociadas a la distribución normal 50 Definición 6. Sean X 1, X 2,..., X n e Y 1, Y 2,..., Y m variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas N (0, 1). La distribución F n,m de Fisher con n y m grados de libertad es la distribución de la v.a. F = 1 ni=1 n Xi 2 mi=1 Y i 2 1 m. E[F ] = m m 2. Var(F ) = 2m2 (n+m 2) n(m 2) 2 (m 4). 1/T F m,n. F n,m,α = 1/F m,n,1 α. α F n,m,α

51 Recapitulación 51 Tema 8. Modelos probabiĺısticos continuos Distribución uniforme. Distribución exponencial. Ejemplos sencillos de v.a. continuas. Distribución normal. Propiedades. Aproximaciones mediante la distribución normal. Otras distribuciones relacionadas con la normal. La distribución más utilizada en estadística y econometría.

52 Tema 2. Análisis de datos univariantes. Tema 3. Análisis de datos bivariantes. Tema 4. Correlación y regresión. Tema 5. Series temporales y números índice. Descripción de variables y datos socioeconómicos 52 Tema 5. Probabilidad. Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales. Tema 7. Modelos probabilísticos discretos. Tema 8. Modelos probabilísticos continuos. Tema 9. Variables aleatorias multidimensionales. Modelización de la incertidumbre en las variables socieconómicas Tema 5 Tema 6 Tema 7 Tema 8 Introducción a la Probabilidad Variables aleatorias unidimensionales: Definición y propiedades Ejemplos. Tema 9 Variables aleatorias multidimensionales : Definición y propiedades Ejemplos. Estudiar situaciones más realistas