UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO

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1 UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Deprtmento de Mtemátics MATEMÁTICAS CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO Elbordo por Elen Romer

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3 Índice generl 4. Cálculo Integrl Cálculo de primitivs Integrles rcionles y descomposición en frcciones simples Integrles por prtes Cmbio de vrible Integrles trigonométrics El Teorem Fundmentl del Cálculo Cálculo de áres

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5 Cpítulo 4 Cálculo Integrl 4.1. Cálculo de primitivs El cálculo de primitivs es l operción invers del cálculo de derivds. Decimos que l función F es un PRIMITIVA o INTEGRAL INDEFINIDA de l función f, y lo denotmos por f(x) = F (x) (se lee: L integrl de f(x) diferencil de x es igul F (x)), si se verific F = f. L función f(x) se denomin INTEGRANDO. Al hblr de F decimos que es un primitiv de f, porque en relidd hy infinits primitivs: si F es un primitiv de f, entonces F +c tmbién es un primitiv de f, pr culquier constnte c, Por tnto, hbitulmente se escribe f(x) = F (x) + c, L constnte c se denomin CONSTANTE DE INTEGRACIÓN. TEOREMA Si f(x) y g(x) son funciones y k es un constnte, entonces: (f(x) ) 1. + g(x) = f(x) + g(x). 2. k f(x) = k f(x). Pr el producto y el cociente no tenemos resultdos similres. Ls integrles de ls funciones elementles se obtienen directmente de l tbl de derivds:

6 34 CAPÍTULO 4. CÁLCULO INTEGRAL INTEGRALES INMEDIATAS 1. = x + c, 2. x = x+1 + c, con = log x + c, x 4. e x = e x + c, x = x + c, pr 0. log sen x = cos x + c, cos x = sen x + c, cos 2 x = tg x + c, 1 x 2 = rc sen x + c, x = rctn x + c, A menudo suele escribirse = log x+c, lo cul es correcto si x > 0; pero si x es negtivo x est fórmul no sirve. Por ello es preferible usr l fórmul = log x + c, que es ciert x pr todo x 0. Tmbién tenemos lgunos procedimientos hbitules pr integrr funciones más complicds:

7 4.2. INTEGRALES RACIONALES Y DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES Integrles rcionles y descomposición en frcciones simples En primer lugr, dividimos si es necesrio pr obtener grdo menor en el numerdor que en el denomindor. Después comprobmos si l función es un integrl inmedit, pues sbemos que: u = log u + c, u u u = u+1 ( + 1) + c, u = rctn(u) + c. (u 2 + 1) Si tenemos lgo más complicdo que esto utilizmos el método siguiente: DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES L función se escribe como sum de frcciones más sencills ls que se plicmos lgun de ls tres fórmuls nteriores (si se puede). Este método es, en ciert medid, el inverso de l sum de frcciones. Los diversos csos que pueden presentrse son: 1. El denomindor es un potenci de un polinomio de primer grdo. 2x 2 5x + 6 Ejemplo:. Podemos escribir (x 1) 3 2x 2 5x + 6 = A (x 1) 3 x 1 + B (x 1) + C 2 (x 1), 3 pr ciertos vlores A, B, C R que clculmos sumndo ls frcciones e igulndo los numerdores de cd ldo. Sustituyendo tres vlores de x obtenemos tres ecuciones con ls que clculr A, B, C. Elegimos vlores sencillos; usmos ls ríces del denomindor: x = 1, en este cso, y otros dos vlores, por ejemplo, x = 0 y x = 2. L únic solución es A = 2, B = 1 y C = 3. Por tnto, 2x 2 5x + 6 = 2 (x 1) 3 x 1 (x 1) (x 1) 3 = 2 log x 1 + (x 1) (x 1) 2 + c.

8 36 CAPÍTULO 4. CÁLCULO INTEGRAL 2. El denomindor es producto de polinomios de primer grdo distintos. x 2 Ejemplo:. Podemos descomponer: x(x 1)(x 2) x 2 x(x 1)(x 2) = A x + B x 1 + C x 2, pr ciertos vlores A, B, C R que clculmos como ntes. Obtenemos que A = 1, B = 3 y C = 2 es l únic solución. Por tnto, x 2 x(x 1)(x 2) = x + 3 x 1 2 = log x + 3 log x 1 2 log x 2 + c. x 2 3. El denomindor es producto de potencis de polinomios de primer grdo. x Ejemplo:. Descomponemos: x 2 (x 1)(x + 1) x x 2 (x 1)(x + 1) = A x + B x 2 + C x 1 + D x + 1, pr ciertos vlores A, B, C, D R. Resolvemos como ntes, sustituimos ls ríces del denomindor: x = 0, x = 1 y x = 1; como flt un vlor más tommos, por ejemplo, x = 2. Llegmos que B = 1, C = 1 y D = 1, A = 0. Por tnto, x x 2 (x 1)(x + 1) = x 2 + x 1 x + 1 = 1 + log x 1 log x c. x 4. El denomindor es producto de polinomios de segundo grdo (sin ríces reles) y potencis de polinomios de primer grdo. 5x 2 x + 3 Ejemplo:. Escribimos: x(x 2 + 1) 5x 2 x + 3 x(x 2 + 1) = A x + Bx + C x 2 + 1, pr ciertos vlores A, B, C R. Hemos escrito (Bx + C)/(x 2 + 1) porque el grdo del numerdor debe ser menor que el del denomindor, como el grdo de x es dos, debemos poner en el numerdor un polinomio de grdo uno. Clculmos hor ls constntes: A = 3, B = 2 y C = 1, por tnto,

9 4.3. INTEGRALES POR PARTES 37 5x 2 x + 3 x(x 2 + 1) 2x = 3 x + x x = 3 log x +log(x2 +1) rctn x+c. En generl, un polinomio de segundo grdo en el denomindor sin ríces se trt completndo en el numerdor su derivd (si el numerdor es de grdo 1) y si qued un constnte en el numerdor se completn cudrdos en el denomindor porque: 2x + 4 x 2 + 2x + 2 = 2x + 2 x 2 + 2x (x + 1) = log ( x 2 + 2x + 2 ) + 2 rctn(x + 1) + c, x 2 + 2x + 2 = x 2 + 2x = (x + 1) El número totl de incógnits en l descomposición en frcciones simples de un cociente de polinomios es siempre igul l grdo de su denomindor. El número de vlores de x que hy que sustituir tmbién es igul de incógnits. Ls únics funciones rcionles que no hemos visto cómo descomponer en frcciones simples son ls que tienen un denomindor con polinomios de segundo grdo sin ríces reles, elevdos potencis myores que uno, como 1/(x 2 + 1) Integrles por prtes TEOREMA Si f(x) y g(x) son funciones derivbles, entonces f(x)g (x) = f(x)g(x) f (x)g(x). L fórmul de integrción por prtes es l versión integrl de l regl de l derivd de un producto. Si u(x) es un función derivble llmmos DIFERENCIAL de u du = u (x). Usndo l notción de ls diferenciles, con u = f(x) y v = g(x), l regl de integrción por prtes se escribe de l siguiente mner, que result más fácil de recordr: u dv = u v v du.

10 38 CAPÍTULO 4. CÁLCULO INTEGRAL En principio, l regl de integrción por prtes, como el cmbio de vrible, puede utilizrse siempre, unque no se teng ningun grntí de obtener un integrl inmedit. Sin embrgo, existen unos cuntos csos en los que su uso es recomendble, pues trnsform l integrl en otr más simple. Si p(x) es un polinomio y α,, b R, conviene integrr por prtes en ls siguientes integrles p(x) e x+b, p(x) (x + b) α, p(x) sen(x + b), p(x) cos(x + b), hciendo u = p(x), l integrr por prtes tnts veces como el grdo de p(x), llegremos un integrl elementl. Tmbién conviene integrr por prtes en ls integrles p(x) log(x + b), hciendo dv = p(x), porque l derivd del logritmo es mucho más fácil de mnejr Cmbio de vrible TEOREMA Si f y g son funciones y g es derivble, entonces f(x) = f(g(t))g (t) dt. Lo que se hce en l práctic pr plicr l fórmul del cmbio de vrible es escribir x = g(t) (x como función de l vrible t); entonces = g (t) dt. Por supuesto, el cmbio tmbién se puede escribir como t = F (x), en este cso, hbitulmente hy que despejr x como función de t pr hllr. Con un cmbio de vrible se trnsform l integrl en otr que, l resolverl, depende de un vrible que no es l originl, por lo que hy que deshcer el cmbio trs hber resuelto l integrl. El cmbio de vrible tmbién se denomin MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. En lugr de usr t como nuev vrible en el cmbio, puede usrse culquier otr, como s ó z. Ls vribles u y v tmbién pueden usrse, pero NO ES RECOMENDABLE.

11 4.5. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS 39 L fórmul del cmbio de vrible es l versión integrl de l regl de l cden. CAMBIOS DE VARIABLE FRECUENTES 1. Si prece e x y no es inmedit l integrl, se puede hcer el cmbio t = e x, y que entonces x = log t y = dt/t. 2. Si precen vris ríces de l mism expresión, por ejemplo, 1 + x, x, x, se cmbi 1 + x = t 12 pr que tods ls ríces se trnsformen en potencis enters positivs. 3. Si prece 1 x 2 hcemos el cmbio sen t = x, pues sí: 1 x2 = cos t y = cos t dt. Si l expresión es b(x α) 2, l trnsformmos en l nterior y luego hcemos el cmbio. 4. Si prece 1 + x 2 podemos hcer tg t = x y entonces: 1 + x2 = 1 cos t y = dt cos 2 t. Si l expresión es + b(x α) 2, l trnsformmos primero en l nterior y luego hcemos el cmbio Integrles trigonométrics Pr ls integrles que con funciones trigonométrics, si no son inmedits utilizmos ls fórmuls hbitules pr ests funciones pr trnsformrls en otrs que sí sen inmedits. 1. Fórmuls básics: 2. Fórmuls del ángulo doble sen 2 (x) + cos 2 (x) = 1, tg 2 (x) + 1 = sen(2x) = 2 sen(x) cos(x), cos(2x) = cos 2 (x) sen 2 (x). 1 cos 2 (x).

12 40 CAPÍTULO 4. CÁLCULO INTEGRAL 3. Fórmuls del cudrdo: Se obtienen de ls fórmuls nteriores obtenemos: cos 2 (x) = 1 + cos(2x) 2, sen 2 (x) = 1 cos(2x) Fórmuls del seno y coseno de l sum: sen(x + y) = sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y), cos(x + y) = cos(x) cos(y) sen(x) sen(y). Pr ls integrles rcionles en seno y coseno: R(sen(x), cos(x)), si no se pueden resolver por métodos sencillos, existe el cmbio universl que funcion siempre: t = tg(x/2). Con este cmbio result sen(x) = 2t 1 t2 2 dt, cos(x) =, = 1 + t2 1 + t2 1 + t. 2 L integrl se trnsform en un integrl rcionl norml y se resuelve por descomposición en frcciones simples. Este cmbio puede usrse en culquier cso, pero debe considerrse como un último recurso, y que suele involucrr un cntidd de cálculos muy superior culquier otro cmbio. Por tnto, sólo debe usrse cundo no exist ningun otr posibilidd El Teorem Fundmentl del Cálculo El áre A comprendid entre l gráfic de un función continu positiv f, el eje X y ls rects x = y x = b, es l INTEGRAL DEFINIDA de f en [, b] y se escribe A = b f = b f(x) = b f(t) dt. Los puntos y b se llmn EXTREMOS DE INTEGRACIÓN. L vrible de integrción que se escribe (y se x, t, etc.) es un vrible mud: se puede usr culquier letr pr designrl, o incluso no escribirl, como prece en l primer notción b f. Si f tiene distintos signos, l integrl será el áre por encim del eje menos el áre por debjo del eje. TEOREMA

13 4.6. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 41 Si f es un función continu en [, b], entonces f es integrble en [, b], es decir, se puede clculr l integrl de f en ese intervlo. Si < b, se define b f(x) = b f(x), es decir, si los extremos de integrción están invertidos l integrl cmbi de signo. Est integrl definid se relcion con el cálculo de primitivs de l form siguiente: TEOREMA: REGLA DE BARROW Sen f y g continus en [, b] y g derivble en (, b), tles que g (x) = f(x) pr todo x (, b) (g es un primitiv de f en (, b)). Entonces b f = g(b) g(). Notción: Si g es un función definid en el intervlo [, b] se define l expresión [g(x)] b como [ ] b g(x) = g(b) g(). Según esto, l regl de Brrow puede escribirse como b f = [ g(x) ] b. Pr plicr l regl de Brrow es suficiente con obtener un primitiv, por lo que no es necesrio escribir l constnte de integrción. Si usmos l constnte, el resultdo será el mismo, y que l evlur l primitiv en y en b con signo contrrio, l constnte prece un vez con signo positivo y otr con negtivo, y se cncel. TEOREMA Si f y g son funciones continus en [, b], entonces b f(x)g (x) = [ f(x)g(x) ] b b f (x)g(x). TEOREMA Se g un función tl que g es continu en [, b] y se f integrble en [g(), g(b)]. Entonces g(b) f(x) = b g() f(g(t)) g (t) dt.

14 42 CAPÍTULO 4. CÁLCULO INTEGRAL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si f es continu en [, b] y F (x) = x f(t) dt pr todo x [, b], entonces F es derivble en [, b] y F (x) = f(x) pr todo x [, b]. Al hblr de l derivd en y en b nos estmos refiriendo derivds lterles, y que no sbemos si F está definid l izquierd de o l derech de b. L vrible de integrción t puede ser sustituid por s, y,... pero no por x, que es l vrible que prece en uno de los límites de l integrl y que por tnto tiene un significdo definido de ntemno. Como consecuenci del teorem fundmentl del Cálculo se obtiene el siguiente resultdo que permite derivr funciones más generles definids medinte integrles: TEOREMA Si f es continu en [, b] y g y h son derivbles en [α, β] y con vlores en [, b], entonces l función A(x) = h(x) g(x) f(t) dt es derivble en [α, β] y su derivd es A (x) = f(h(x)) h (x) f(g(x)) g (x) Cálculo de áres El áre comprendid entre l gráfic de un función continu positiv f, el eje X y ls rects x = y x = b es igul b f(x). Si f no es un función positiv, es integrl es igul l áre comprendid entre l gráfic de f, el eje X y ls rects x = y x = b en l prte en l que f es positiv, menos el áre en l prte en l que f es negtiv. El áre comprendid entre l gráfic de un función continu f no necesrimente positiv, el eje X y ls rects x = y x = b es igul b f(x).

15 4.7. CÁLCULO DE ÁREAS 43 El áre comprendid entre ls gráfics de dos funciones continus f y g y ls rects x = y x = b es igul b f(x) g(x).